资源简介

第二十一章四边形第3节：矩形及其性质
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.
（2）矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（4）当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
（5）矩形的判定
①对角线相等的平行四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③有三个角是直角的四边形是矩形
练习题
第 1 课时 矩形及其性质
１．工人师傅做铝合金窗框时，分下面三个步骤进行：
（１）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图 １，要求 ＡＢ＝ＣＤ，ＥＦ＝ＧＨ．
（２）摆成如图 ２ 所示的四边形，这时窗框的形状是 形，依据的数学原理是 ．
（３）将直角尺紧靠窗框的一个角（如图 ３），调整窗框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图 ４），说明窗框合格，这时窗框是 形，依据的数学原理是 ．
２．如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，对角线ＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏ，则下列结论一定正确的是（ ）
Ａ．ＡＢ＝ ＡＤ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ
Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ
３．如图，矩形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ，∠ＡＯＢ＝ ６０°，ＡＣ＋ＡＢ＝ １２，则边 ＡＢ 的长为（ ）
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．2 Ｄ．4
４．如图，矩形 ＡＢＣＤ 的对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，点 Ｅ，Ｆ 分别是 ＡＯ，ＡＤ 的中点．若 ＥＦ＝ ２，则 ＡＣ 的长为 ．
５．已知：如图，矩形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，ＣＥ∥ＤＢ，交 ＡＢ 的延长线于点 Ｅ．
（１）求证：ＡＣ＝ＥＣ．
（２）若∠ＡＯＤ＝１２０°，ＡＢ＝ ２.５ ｃｍ，求矩形的面积．
６．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＢＣ ＝９０°，ＢＤ 为斜边 ＡＣ 上的中线．若∠Ａ＝ ４０°，则∠ＤＢＣ＝（ ）
Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．５５°
７．某房梁的示意图如图所示，立柱ＡＤ⊥ＢＣ，Ｅ，Ｆ 分别是斜梁 ＡＢ，ＡＣ 的中点．若 ＡＢ ＝ＡＣ＝ ８ ｍ，则 ＤＥ 的长为 ｍ．
８．如图所示，在△ＡＢＣ 中，ＡＤ 是边ＢＣ 上的高，ＣＥ 是边 ＡＢ 上的中线，ＤＧ⊥ＣＥ 于点Ｇ，ＣＤ＝ ＡＥ．
（１）证明：ＣＧ＝ＥＧ．
（２）若 ＡＢ＝ １０，ＡＤ＝ ６，求 ＣＥ 的长．
９．如图，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ ＝９０°，∠Ａ＝ ２０°，ＣＤ 为 ＡＢ 边上的中线，ＤＥ⊥ＡＣ，则图中与∠Ａ 互余的角共有 （ ）
Ａ．２ 个 Ｂ．３ 个 Ｃ．４ 个 Ｄ．５ 个
１０．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ＡＢＣＤ 的顶点 Ａ 在第一象限，Ｂ，Ｄ 在 ｙ 轴上，ＡＢ 交 ｘ 轴于点 Ｅ， ＡＦ⊥ｘ 轴，垂足为 Ｆ，若ＯＢ＝ ３ＡＦ，ＯＦ＝ ４，以下结论不正确的是 （ ）
Ａ．ＡＥ 平分∠ＯＡＦ Ｂ．ＢＤ＝ 6
Ｃ．点Ｃ的坐标为（４，－） Ｄ．矩形ＡＢＣＤ的面积为 24
１１．翻花绳是中国民间流传的游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等，如图 １ 所示的是翻花绳的一种图案，可以抽象成图 ２，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＩＪ∥ＫＬ，ＥＦ∥ＧＨ，∠１ ＝ ∠２ ＝ ３０°，∠３ 的度数为 ．
１２．如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ是边 ＣＤ 上一点，ＢＦ⊥ＡＥ 于点 Ｆ，ＡＤ＝ＢＦ．
（１）求证：ＢＥ 平分∠ＣＢＦ．
（２）若 ＢＦ＝ ６，ＣＥ＝ ２，求 ＡＢ 的长．
１３．操作探究题 【问题提出】
（１）如图①，在矩形 ＡＢＣＤ 中，Ｅ 为 ＢＣ 上一点，将△ＡＢＥ 沿 ＡＥ 折叠得到△ＡＦＥ，点 Ｆ 恰好在 ＡＤ上，则∠ＢＡＥ 的度数为 ．
【问题拓展】如图②，将图①中的矩形纸片沿过点Ｄ 的直线折叠，使得点 Ｃ 恰好落在 ＥＦ 上的点 Ｈ处，ＤＧ 为折痕．
（２）若 ＡＢ＝ ５，ＡＤ＝ ８，求 ＦＨ 的长．
（３）若 ＡＥ∥ＨＧ，求边 ＡＢ 与 ＢＣ 之间的数量关系．
第 2 课时 矩形的判定
１．依据所标数据，下列四边形不一定是矩形的是 （ ）
２．如图，四边形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形 ＡＢＣＤ 为矩形，添加的条件可以是 （ ）
Ａ．ＯＢ＝ ５ Ｂ．ＯＤ＝ ５ Ｃ．ＡＢ＝ ５ Ｄ．ＢＣ＝ ８
３．已知四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，下列条件中，不能判定 ＡＢＣＤ 为矩形的是（ ）
Ａ．∠Ａ＝ ９０° Ｂ．∠Ｂ＝∠Ｃ Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．ＡＣ⊥ＢＤ
４．如图， ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，Ｆ 为 ＯＣ 上一点，Ｅ 为 ＡＯ 上一点，且 ＡＦ ＝ ＣＥ，ＥＦ ＝２ＢＯ，连接 ＢＥ，ＤＦ，ＤＥ，ＢＦ，求证：四边形 ＥＢＦＤ 是矩形．
５．如图，四边形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，有下列条件：①ＡＢ∥ＣＤ，②ＡＤ＝ＢＣ．
（１）请从以上①②中任选 １ 个作为条件，求证：四边形 ＡＢＣＤ 是矩形．
（２）在（１） 的条件下，若 ＡＢ ＝ ３，ＡＣ ＝ ５，求四边形ＡＢＣＤ 的面积．
６．如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ，Ｄ 是 ＢＣ 的中点，ＣＥ∥ＡＤ，ＡＥ⊥ＡＤ，ＥＦ⊥ＡＣ．
（１）求证：四边形 ＡＤＣＥ 是矩形．
（２）若 ＢＣ＝ ４，ＣＥ＝ ３，求 ＥＦ 的长．
７．如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是四边形 ＡＢＣＤ 四条边的中点，要使四边形 ＥＦＧＨ 为矩形，则四边形 ＡＢＣＤ应具备的条件是 （ ）
Ａ．一组对边平行而另一组对边不平行 Ｂ．对角线相等
Ｃ．对角线互相垂直 Ｄ．对角线互相平分
如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＢ＝ ３，ＡＣ＝ ４，点 Ｐ 为斜边 ＢＣ 上的一个动点，过 Ｐ 分别作 ＰＥ⊥ＡＢ 于点 Ｅ，ＰＦ⊥ＡＣ 于点Ｆ，连接 ＥＦ，则线段 ＥＦ 的最小值为 。
９．如图，在△ＡＢＣ 中，Ｄ，Ｅ 分别为ＡＢ，ＡＣ 的中点，ＤＦ⊥ＢＣ，垂足为 Ｆ，点 Ｇ 在 ＤＥ 的延长线上，ＤＧ＝ＦＣ，连接 ＣＧ．
（１）求证：四边形 ＤＦＣＧ 是矩形．
（２）若∠Ｂ＝ ４５°，ＤＦ＝３，ＤＧ＝５，求 ＢＣ 和 ＡＣ 的长．
１０．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ 为线段 ＣＤ 的中点，连接 ＡＣ，ＡＥ，延长 ＡＥ，ＢＣ交于点Ｆ，连接 ＤＦ，∠ＡＣＦ＝ ９０°．
（１）求证：四边形 ＡＣＦＤ 是矩形．
（２）若 ＣＤ＝ １０，ＣＦ＝ ６，求四边形 ＡＢＣＥ 的面积．
１１．如图，在△ＡＢＣ 中，Ｏ 是边 ＡＣ 上的一个动点，过点 Ｏ 作直线 ＭＮ∥ＢＣ，交∠ＡＣＢ 的平分线于点 Ｅ，交△ＡＢＣ 的外角∠ＡＣＤ 的平分线于点 Ｆ．
（１）求证：ＯＥ＝ＯＦ．
（２）若 ＣＥ＝ １２，ＣＦ＝ ５，求 ＯＣ 的长．
（３）连接 ＡＥ，ＡＦ，当点 Ｏ 在边 ＡＣ 上运动到什么位置时，四边形 ＡＥＣＦ 是矩形？ 请说明理由．
答案
第 1 课时 矩形及其性质
１．（2）平行四边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
（３）矩 有一个内角是 ９０ 度的平行四边形是矩形 ．
２．Ｃ
３．Ｂ
４．８
５．解析 （１）证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ是矩形，
∴ ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ＝ＢＤ，
∵ ＣＥ∥ＤＢ，
∴ 四边形 ＤＣＥＢ 是平行四边形，
∴ ＢＤ＝ＣＥ，
∵ ＡＣ＝ＢＤ，
∴ ＡＣ＝ＣＥ
６．Ｃ
７．４
８．解析 （１）证明：连接 ＤＥ，如图，
∵ ＡＤ⊥ＢＣ，
∴ ∠ＡＤＢ＝ ９０°，
∵ Ｅ 为 ＡＢ 的中点，
∴ ＤＥ＝ ＡＥ＝ＢＥ，
∵ ＣＤ＝ ＡＥ，
∴ ＤＥ ＝ ＣＤ，
∵ ＤＧ⊥ＥＣ，
∴ ＣＧ＝ＥＧ．
（２）3
９．Ｃ
１０．Ｃ
１１．６０°
１２．（1）略 （2）AB=10
１３．解析 （１）４５°．
详解：由折叠的性质可知∠ＢＡＥ ＝∠ＦＡＥ，
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形，
∴ ∠ＢＡＤ＝ ９０°，
∴ ∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＥ＝ ４５°．
（２）4
（３）AB=(2－)BC
第 2 课时 矩形的判定
１．Ａ
２．Ｂ
３．Ｄ
４．证明 ∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＯＢ ＝ ＯＤ，ＯＡ ＝ＯＣ，ＢＤ＝ ２ＢＯ，
∵ ＡＦ＝ＣＥ，
∴ ＡＦ－ＡＯ＝ＣＥ－ＣＯ，即 ＯＦ＝ＯＥ，
又∵ ＯＢ＝ＯＤ，
∴ 四边形 ＥＢＦＤ 为平行四边形，
又∵ ＥＦ＝ ２ＢＯ，
∴ ＥＦ＝ＢＤ，
∴ 四边形 ＥＢＦＤ 为矩形．
5.解析 （１）选择①，
证明：∵ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，
∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∵ ∠ＡＢＣ＝ ９０°，
∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形．
选择②，
证明：∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，
∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∵ ∠ＡＢＣ＝ ９０°，
∴ 四边形 ＡＢＣＤ 是矩形．
（２）∵ ＡＢ＝ ３，ＡＣ＝５，∠ＡＢＣ＝ ９０°，
∴ ＢＣ＝＝４，
∴ 矩形 ＡＢＣＤ 的面积＝ＡＢ·ＢＣ＝３×４ ＝ １２．
６．解析 （１） 证明：∵ 在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ 是 ＢＣ 的中点，
∴ ＡＤ⊥ＢＣ，
∴ ∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ ＝ ９０°，
∵ ＣＥ∥ＡＤ，
∴ ∠ＥＣＤ ＝ ∠ＡＤＢ ＝９０°，
∵ ＡＥ⊥ＡＤ，
∴ ∠ＥＡＤ ＝ ９０°，
∴ ∠ＡＤＣ ＝∠ＥＣＤ＝∠ＥＡＤ＝９０°，
∴ 四边形 ＡＤＣＥ是矩形．
（２）∵ 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ的中点，ＢＣ＝４，
∴ ＢＤ＝ＣＤ＝ＢＣ ＝ ２，由（１）可知，四边形 ＡＤＣＥ是矩形，
∴ ＡＥ＝ＣＤ＝ ２，∠ＡＥＣ＝ ９０°，
∴ 在 Ｒｔ△ＡＥＣ 中，ＡＣ＝＝ ，
∵ ＥＦ⊥ＡＣ，
∴ Ｓ△ＡＥＣ＝ＡＣ·ＥＦ＝ＡＥ·ＣＥ，
∴ ＥＦ＝＝．
７．Ｃ
8.
9．解析 （１）证明：∵ Ｄ，Ｅ 分别为 ＡＢ，ＡＣ 的中点，
∴ ＤＥ 是△ＡＢＣ 的中位线，
∴ ＤＥ∥ＢＣ，
∵ 点 Ｇ 在 ＤＥ 的延长线上，
∴ ＤＧ∥ＦＣ，
∵ ＤＧ＝ＦＣ，
∴ 四边形 ＤＦＣＧ 是平行四边形，
∵ ＤＦ⊥ＢＣ，
∴ ∠ＤＦＣ ＝ ９０°，
∴ 平行四边形 ＤＦＣＧ 是矩形．
（２）BC=8 AC=2
10．解析 （ １） 证明： ∵ 四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＡＤ∥ＢＣ，
∴∠ＡＤＥ ＝ ∠ＦＣＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ，
∵ Ｅ 为线段 ＣＤ 的中点，
∴ ＤＥ＝ＣＥ，
∴ △ＡＤＥ≌△ＦＣＥ（ＡＡＳ），
∴ ＡＥ＝ＦＥ，
∴ 四边形 ＡＣＦＤ 是平行四边形，
∵ ∠ＡＣＦ＝ ９０°，
∴ 四边形 ＡＣＦＤ 是矩形．
（２）36
11．解析 （１）证明：∵ ＣＥ 平分∠ＡＣＢ，
∴ ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＢＣＥ，
∵ ＭＮ ∥ ＢＣ，
∴ ∠ＢＣＥ ＝∠ＯＥＣ，
∴ ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＯＥＣ，
∴ ＯＥ＝ＯＣ，同理可得 ＯＦ＝ＯＣ，
∴ ＯＥ＝ＯＦ．
（２）∵ ＣＥ，ＣＦ 分别平分∠ＡＣＢ 和∠ＡＣＤ，
∴ ∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ，∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＤ，
∵∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝１８０°，
∴ ∠ＥＣＦ＝∠ＡＣＥ ＋∠ＡＣＦ＝×１８０°＝９０°，
∴ ＥＦ ＝＝１３，
∴ ＯＣ＝ＥＦ＝ ６.５．

展开更多......

收起↑