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浙教版（2024）八年级下册 4.3 图形的旋转 强化训练
【题型1】旋转三要素及旋转中不变的辨析
【典例】如图，菱形绕点D旋转后得到菱形，则下列角中不是旋转角的是（ ）．
A. B. C. D.
【强化训练1】如图4×4的正方形网格中,其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度,得到三角形②,则其旋转中心是()
A.点A B.点B C.点C D.点D
【强化训练2】下列图形中,△ABC经过旋转之后不能得到△A'B'C'的是()
A. B. C. D.
【强化训练3】如图所示，和是等边三角形，B、C、E在一条直线上，则绕着点逆时针旋转 度可得到．
【强化训练4】阅读理解，并完成任务：
小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：
如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？
他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理：
①连接A、作线段的垂直平分线；
②连接，作线段的垂直平分线，与交于点.
则点为所求作的旋转中心.
推理过程如下：
∵是绕点旋转而成的,
∴（依据1）,
∴点在线段的垂直平分线上（依据2）,
同理可得，点在线段的垂直平分线上,
∴点为与的交点.
任务：
（1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？
“依据1”：______________________________________________________.
“依据2”：______________________________________________________.
【题型2】旋转中的规律性问题
【典例】如图，矩形ABCD中AB是3 cm，BC是2 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（ ）
A.（ a, b） B.（-a,-b） C.（b,-a） D.（b,-a）
【强化训练2】如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2 019次旋转后的图形是 ．(在下列各图中选填正确图形的序号即可)
【强化训练3】如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【题型3】利用旋转的性质计算
【典例】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,点C的对应点E恰好落在边AB上,连结BD,则BD
的长为()
A.2 B.5 C. D.
【强化训练1】如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为 ．

【强化训练3】如图，正方形的边长为4，为中点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长为 ．
【强化训练4】如图,将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE,连结CE,CD,B,C,D三点恰好在同一条直线上。
(1)判断△ACE的形状。
(2)若CE⊥BD,求∠BAC的度数。
【题型4】利用旋转的性质证明
【典例】如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在中，，把绕点C顺时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.直线与直线互相垂直
【强化训练3】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，
（1）的形状为 ；
（2）、、三者之间存在着某种数量关系，请你用等式表示出来： ．
【强化训练4】已知：在钝角中，，把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，，．
(1)如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）；
(2)如图②，当时，
①探究线段与的数量关系，并说明理由；
②若，求的长；
(3)如图③，在四边形中，，，请求出线段的长．
【强化训练5】央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)[模型探究]如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：．
(2)[模型指引]如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)[拓展延伸]如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明．
【题型5】利用旋转的性质求最值
【典例】在中，，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若直角边的长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.1
【强化训练1】如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（ ）
A.1 B.0.5 C.2 D.1.5
【强化训练2】如图，PB=4，点A为动点，PA=，将△ABP绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，则PD的最大值是 ．
【强化训练3】如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是 ．
【题型6】根据中心对称的性质求解
【典例】如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：
①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；
②直线BD必经过点O；
③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；
④△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　）
A.4 B. C. D.
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（　　）
A.（3，﹣1） B.（0，0） C.（2，﹣1） D.（﹣1，3）
【强化训练3】如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，则AE的长为 　 　．
【强化训练4】如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，且EF＝AB.G，H是边BC上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则的值是____.
【强化训练5】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
【强化训练6】如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，求AE的长．
【题型7】已知两点关于原点对称求字母的值
【典例】已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（　　）
A.x＝﹣1，y＝2 B.x＝﹣1，y＝8 C.x＝﹣1，y＝﹣2 D.x＝1，y＝8
【强化训练1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）
A.33 B.－33 C.－7 D.7
【强化训练3】已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b= ．
【强化训练4】已知点A（2m+n，2），B（1，n﹣m）．
（1）m、n为何值时，点A、B关于y轴对称？
（2）m、n为何值时，点A、B关于原点中心对称？
【题型8】判断中心对称图形的对称中心
【典例】如图是由6个等边三角形组成的中心对称图形，点A，B，C是三角形的顶点，D是边AC的中点，则该图形的对称中心是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【强化训练1】如图，已知由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，则对称中心是（　　）
A.点C
B.线段BC的中点E
C.点D
D.线段FC的中点
【强化训练2】如图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（　　）
A.P点 B.M点 C.N点 D.Q点
【强化训练3】如图所示，正方形ABCD旋转后可以与正方形CDEF成中心对称，那么图形所在平面内，可以作为对称中心的点是 　 　．
【强化训练4】如图,在平面直角坐标系中, OABC的顶点A的坐标为(4,0),B的坐标为(6,2).
(1) OABC的对称中心点P的坐标为　　.
(2)求出直线PA的函数表达式.
(3)求证:不论k取何值, OABC都被直线y＝kx＋1－3k分成面积相等的两部分.浙教版（2024）八年级下册 4.3 图形的旋转 强化训练（参考答案）
【题型1】旋转三要素及旋转中不变的辨析
【典例】如图，菱形绕点D旋转后得到菱形，则下列角中不是旋转角的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】、旋转后的对应边为，不可以作为旋转角，符合题意，
、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意，
、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意，
、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意，
故选：．
【强化训练1】如图4×4的正方形网格中,其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度,得到三角形②,则其旋转中心是()
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】B
【解析】
设三角形①的三个顶点分别为E,F,G,三角形②的三个顶点与之相应为E',F',G'。
方法一:作出点A与两个三角形各顶点之间的连线,可以看出∠EAE'≠∠FAF',所以点A 不是旋转中心,用这种方法可以推断出点B是旋转中心,点C,D不是旋转中心。
方法二:作对应顶点连线的垂直平分线,如作EE'和FF'的垂直平分线,由AE=AE',AF=AF',易证两条垂直平分线的交点即为旋转中心。
【强化训练2】下列图形中,△ABC经过旋转之后不能得到△A'B'C'的是()
A. B. C. D.
【答案】D
【强化训练3】如图所示，和是等边三角形，B、C、E在一条直线上，则绕着点逆时针旋转 度可得到．
【答案】60
【解析】∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴E绕点逆时针方向旋转度可得到．
故答案为．
【强化训练4】阅读理解，并完成任务：
小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：
如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？
他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理：
①连接A、作线段的垂直平分线；
②连接，作线段的垂直平分线，与交于点.
则点为所求作的旋转中心.
推理过程如下：
∵是绕点旋转而成的,
∴（依据1）,
∴点在线段的垂直平分线上（依据2）,
同理可得，点在线段的垂直平分线上,
∴点为与的交点.
任务：
（1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？
“依据1”：______________________________________________________.
“依据2”：______________________________________________________.
【答案】解：（1）如图所示：
（2）对应点到旋转中心的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【题型2】旋转中的规律性问题
【典例】如图，矩形ABCD中AB是3 cm，BC是2 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3 cm和2 cm，小正方形的边长为1 cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．
故选：C．
【强化训练1】在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（ ）
A.（ a, b） B.（-a,-b） C.（b,-a） D.（b,-a）
【答案】B
【解析】通过观察，可以发现规律：P2（b,-a）, P4（-a，-b）,P6（-b,a），P8（a,b）, P10（b,-a）….故每8次是一个循环，20208=252……4,故与P4坐标一样,为（-a,-b）.
【强化训练2】如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2 019次旋转后的图形是 ．(在下列各图中选填正确图形的序号即可)
【答案】(4)
【解析】观察图形，将图形（1）以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，
第1次旋转的得到的图形为：
第2次旋转的得到的图形为：
第3次旋转的得到的图形为：
第4次旋转的得到的图形为：
第5次旋转的得到的图形为：
······
由此可得，每4次一个循环，
∵2019=504×4+3，
所以第2019次旋转后的图形与（4）一样．
故答案为（4）．
【强化训练3】如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【答案】（22017，-22017）
【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017）．
故答案为（22017，-22017）．
【题型3】利用旋转的性质计算
【典例】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,点C的对应点E恰好落在边AB上,连结BD,则BD
的长为()
A.2 B.5 C. D.
【答案】C
【解析】
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB===5。
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,
∴∠AED=∠C=90°,AE=AC=4,DE=BC=3,
∴BE=AB-AE=5-4=1,
∴在Rt△DBE中,BD===。
【强化训练1】如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在正方形中，，，
将绕点A顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示：
则，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D.
【强化训练2】如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为 ．

【答案】
【解析】连接，

∵，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【强化训练3】如图，正方形的边长为4，为中点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】作延长线于，
由正方形的边长为4，为中点，线段绕点逆时针旋转得到线段，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【强化训练4】如图,将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE,连结CE,CD,B,C,D三点恰好在同一条直线上。
(1)判断△ACE的形状。
(2)若CE⊥BD,求∠BAC的度数。
【答案】
解:(1)∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE,
∴AC=AE,∠CAE=140°,
∴△ACE是顶角为140°的等腰三角形。
(2)∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE,
∴∠BAD=∠CAE=140°,AB=AD,AC=AE,
∴∠ABC=∠ADB=(180°-∠BAD)=×(180°-140°)=20°。
同理可得∠ACE=∠AEC=20°。
∵CE⊥BD,∴∠ECB=90°,
∴∠ACB=∠ECB-∠ACE=90°-20°=70°。
在△ABC中,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-20°-70°=90°,
即∠BAC的度数为90°。
【题型4】利用旋转的性质证明
【典例】如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由旋转可知，，
，
，即，
故A选项不符合题意；
由旋转可知，，
显然与不一定相等，即与不一定相等，
故B选项不符合题意，
由旋转可知，，
，
，
故C选项不符合题意；
，
是等边三角形，
，
则旋转的角度为，
，
，
，
由旋转可知，，
，
，
故D选项符合题意，
故选：D．
【强化训练1】如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵将以点为中心顺时针旋转得到，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【强化训练2】如图，在中，，把绕点C顺时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.直线与直线互相垂直
【答案】C
【解析】绕点C顺时针旋转得到，且点B，C，D恰好在一条直线上，
，，
，
，
， 故选项C符合题意；
，
，故选项A不符合题意；
，，
直线与直线的夹角为，不垂直，故选项D不符合题意；
，
，
，又不为等边三角形，
，故选项B不符合题意；
故选：C．
【强化训练3】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，
（1）的形状为 ；
（2）、、三者之间存在着某种数量关系，请你用等式表示出来： ．
【答案】（1）直角三角形
（2）
【解析】在中，，
，
由旋转的性质得：，
，
的形状为直角三角形；
由旋转得：，，，
，，
，
又，，
，
，
，
由勾股定理得：，
即，
故答案为：直角三角形，．
【强化训练4】已知：在钝角中，，把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，，．
(1)如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）；
(2)如图②，当时，
①探究线段与的数量关系，并说明理由；
②若，求的长；
(3)如图③，在四边形中，，，请求出线段的长．
【答案】解：（1）∵把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，
，，，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①，理由如下：
∵把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，
，，，
，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
；
（3）如图，过点A作，交的延长线于点H，

∵，
，，
，，
，
，
，
∴，
∵，
，
∴
∴．
【强化训练5】央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)[模型探究]如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：．
(2)[模型指引]如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)[拓展延伸]如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明．
【答案】解：（1）∵，
∴（等量代换）,
即，
在和中,
∴．
（2）∵中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）；理由如下：
如图，在的延长线上找一点E，使，
设，
∵AB=AC,
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【题型5】利用旋转的性质求最值
【典例】在中，，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若直角边的长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.1
【答案】D
【解析】在上取，使得，连接，如图所示，
，，，
，，
线段绕点A顺时针旋转得到线段，
，，
，即，
，
，
，
当时，取得最小值，
当时，取得最小值．
，
，
，
当时，，
线段长度的最小值为1．
故选：D．
【强化训练1】如图，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转得到，取的中点E，的中点P，则在旋转过程中，线段的最大值为（ ）
A.1 B.0.5 C.2 D.1.5
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，，
由旋转得，，，，
∵点P是的中点，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当点E、C、P三点共线时，最大，最大值为，
∵点E是的中点，，
∴，
∴最大值为．
故选：D．
【强化训练2】如图，PB=4，点A为动点，PA=，将△ABP绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，则PD的最大值是 ．
【答案】6
【解析】连接PQ，
∵PA=，PB=4，△ADQ是△ABP绕点A逆时针方向旋转90°得到的，
∴AQ=PA=，DQ= PB=4，∠PAQ=90°，
∴PQ=PA=2，
∵PQ+DQPD，
∴当P、Q、D三点共线时，PD取得最大值，最大值为2+4=6．
故答案为：6．
【强化训练3】如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是 ．
【答案】
【解析】当D，E，F共线时，AF最小，如图所示，
∵AB=AC，AB=DF，
∴AC=DF，
又∵∠FDC=∠ACD=45°，
∴DO=OC，
∴OA=OF，
∵∠AOF=90°，
∴AF=AO，
当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，
∵CD=2，
∴CO=，
∵AO=,
∴AF=,
故答案为：．
【题型6】根据中心对称的性质求解
【典例】如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：
①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；
②直线BD必经过点O；
③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；
④△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB＝CD、AD＝BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论进行判断．
△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是 ABCD的对称中心，则有：
（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确；
（2）直线BD必经过点O，正确；
（3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；
（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；
其中正确的个数为4个，
故选：D．
【强化训练1】如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　）
A.4 B. C. D.
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ，AO＝CO＝AC＝1，根据△PQC与△BOC关于点C中心对称，可得CQ＝CO＝1，∠Q＝90°，PQ＝BO＝＝，再根据勾股定理可得AP的长．
∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，
∴AO＝CO＝1，BO⊥AC，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝，
∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，
∴AP＝＝＝2．
故选：D．
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（　　）
A.（3，﹣1） B.（0，0） C.（2，﹣1） D.（﹣1，3）
【答案】A
【解析】连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标．
连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．
观察图形知，E（3，﹣1）．
故选：A．
【强化训练3】如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，则AE的长为 　 　．
【答案】6．
【解析】根据中心对称的性质求得AE＝BC，在直角△ABC中，利用勾股定理求得BC的长度即可解决问题了．
在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则由勾股定理知：BC＝＝＝6．
∵D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，
∴△ADE与△CDB关于点O成中心对称，
∴AE＝BC＝6．
故答案为：6．
【强化训练4】如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，且EF＝AB.G，H是边BC上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则的值是____.
【答案】
【解析】如答图，连结OA,OB,OC，设平行四边形ABCD的面积为4s.
答图
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOC＝S ABCD＝s.
∵EF＝AB，GH＝BC，
∴S1＝s，S2＝s，
∴＝＝.
【强化训练5】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
【答案】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称
∴△A′BD≌△ACD，
∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．
（2）∵AD＝A'D，
∴AA'＝2AD，
∵AC＝A'B，AC＝3，
∴A'B＝3，
在△AA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．
∴1＜AD＜4．
【强化训练6】如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，求AE的长．
【答案】根据△ABC与△DEC关于C点成中心对称，可得△ABC≌△DEC，即可得∠CAB＝∠CDE＝90°，AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，进而有AD＝2，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解．
∵△ABC与△DEC关于C点成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，AC＝DC，∠CAB＝∠CDE，
∵AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，
∴∠CAB＝∠CDE＝90°，AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，
∴AD＝2，
∴在Rt△ADE中，有：．
即．
【题型7】已知两点关于原点对称求字母的值
【典例】已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（　　）
A.x＝﹣1，y＝2 B.x＝﹣1，y＝8 C.x＝﹣1，y＝﹣2 D.x＝1，y＝8
【答案】A
【解析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．
∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，
∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，
解得：x＝﹣1，y＝2，
故选：A．
【强化训练1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出、的值，然后代入求解即可．
∵点，关于原点对称，
∴
∴，
故选：C．
【强化训练2】在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）
A.33 B.－33 C.－7 D.7
【答案】D
【强化训练3】已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b= ．
【答案】﹣4
【解析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，再根据有理数的减法法则可得答案．
∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1，
∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4
故答案为：．
【强化训练4】已知点A（2m+n，2），B（1，n﹣m）．
（1）m、n为何值时，点A、B关于y轴对称？
（2）m、n为何值时，点A、B关于原点中心对称？
【答案】解：（1）∵点A（2m+n，2），B（1，n-m），A、B关于y轴对称，
∴，
解得：；
（2）∵点A（2m+n，2），B（1，n-m），A、B关于原点中心对称，
∴，
解得：．
【题型8】判断中心对称图形的对称中心
【典例】如图是由6个等边三角形组成的中心对称图形，点A，B，C是三角形的顶点，D是边AC的中点，则该图形的对称中心是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】D
【解析】根据中心对称图形的概念分析判断后即可得解．
此图绕D点旋转180度后与原图重合，所以对称中心是D点．
故选：D．
【强化训练1】如图，已知由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，则对称中心是（　　）
A.点C
B.线段BC的中点E
C.点D
D.线段FC的中点
【答案】D
【解析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此可得结论．
由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，则对称中心是对称点连线的中点，
∴对称中心为CF（或BE）的中点．
故选：D．
【强化训练2】如图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（　　）
A.P点 B.M点 C.N点 D.Q点
【答案】A
【解析】根据中心对称图形的概念分析判断后即可得解．
此图绕点P旋转180度后与原图重合，所以对称中心是P点．
故选：A．
【强化训练3】如图所示，正方形ABCD旋转后可以与正方形CDEF成中心对称，那么图形所在平面内，可以作为对称中心的点是 　 　．
【答案】CD的中点．
【解析】根据中心对称的概念得出结论即可．
由题意知，该图形的对称中心在CD的中点，
故答案为：CD的中点．
【强化训练4】如图,在平面直角坐标系中, OABC的顶点A的坐标为(4,0),B的坐标为(6,2).
(1) OABC的对称中心点P的坐标为　　.
(2)求出直线PA的函数表达式.
(3)求证:不论k取何值, OABC都被直线y＝kx＋1－3k分成面积相等的两部分.
【答案】(1)(3,1)
解:(2)设直线PA的函数表达式为y＝kx＋b,
则有解得
∴直线PA的函数表达式为y＝－x＋4.
(3)对于直线y＝kx＋1－3k,
当x＝3时,y＝3k＋1－3k＝1,
∴直线y＝kx＋1－3k经过点P(3,1),
∴不论取何值, OABC都被直线y＝kx＋1－3k分成面积相等的两部分.

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