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浙教版（2024）八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 强化训练（参考答案）
【题型1】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明
【典例】如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中,不能判定其为平行四边形的是()
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OB=OD D.AB∥CD,AD=BC
【答案】D
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
【强化训练2】如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列选项中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A.∠ABD=∠BDC,OA=OC B.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB C.∠ABC=∠ADC,AB=CD D.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB
【答案】C
【解析】
若∠ABD=∠BDC,OA=OC,又∵∠AOB=COD,
则△AOB≌△COD(AAS),
∴OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,A可以判定。
若∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB,
又∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠DCB=360°,
则∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠ADC+∠BAD=180°,
∴BC∥AD,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,B可以判定。
若∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB,
又∵BD=DB,
则△ABD≌△CDB(AAS),AB∥DC,
∴AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,D可以判定。
由∠ABC=∠ADC,AB=CD,AC=CA,
不能推出三角形全等,故无法判定四边形ABCD是平行四边形,C符合题意。
【强化训练3】如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　.
【答案】
【解析】∵E为CD的中点,∴CE＝DE.
又∵EF＝BE,
∴四边形DBCF是平行四边形,
∴CF∥AB,DF∥BC,DF＝BC,
∴∠FCG＝∠A＝30°,∠CGF＝∠ACB＝90°.
∵在Rt△FCG中,CF＝3,
∴FG＝CF＝,
∴CG＝.
∵DF＝BC＝2,∴DG＝,
∴CD＝.
【强化训练4】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论．
【答案】
解：四边形BDFC是平行四边形．理由如下：
∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴BC∥AF，
∴∠BCE＝∠FDE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△BCE和△FDE中，，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BE＝EF，
∵CE＝DE，BE＝EF，
∴四边形BDFC为平行四边形．
【题型2】添加一个条件成为平行四边形
【典例】如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（　　）
A.AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE
【答案】D
【解析】
把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB．
添加：∠F＝∠CDE，
理由：
∵∠F＝∠CDE，
∴CD∥AB，
在△DEC与△FEB中，，
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴DC＝BF，
∵AB＝BF，
∴DC＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：D．
【强化训练1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：
甲：添加BM＝PC；
乙：添加BM∥PC；
丙：添加MP＝BC．
则正确的方案（　　）
A.只有甲、乙才对
B.只有乙、丙才对
C.只有甲、丙才对
D.甲、乙、丙都对
【答案】B
【解析】
根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
∵∠P+∠BCP＝180°，
∴MP∥BC，
甲：添加BM＝PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形；
乙：添加BM∥PC后，满足两组对边平行，能证明四边形MBCP为平行四边形；
丙：添加MP＝BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形；
综上可知，只有乙、丙才对，
故选：B．
【强化训练2】如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。
【答案】
AB∥CD(答案不唯一)
【强化训练3】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号).
【答案】①③④
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC.
若BF＝DE，则BF－OB＝DE－OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形，①符合题意.
∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
若∠EAB＝∠FCD，
则在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE＝DF.
又∵BO＝DO，∴OE＝OF.
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，③符合题意.
若AF∥CE，则∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
∵
∴△ABF≌△CDE(AAS)，
∴BF＝DE，
同上易证四边形AECF是平行四边形，④符合题意.
∵通过AE＝CF不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形，②不合题意.
综上所述，一定能判定四边形AECF是平行四边形的有①③④.
【题型3】数平行四边形的个数
【典例】分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】
如图所示：
构成的平行四边形有□ACBD，□ABCF，□ABEC，共3个平行四边形，故选C.
【强化训练1】如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（ ）个
A.4 B.5 C.3 D.6
【答案】B
【解析】
根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得．
如图，
图中的平行四边形有：□ABED，□ABGF，□BCFE，□ACFD，□PBQF，
故选B．
【强化训练2】如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有 个平行四边形．
【答案】
4
试题解析：∵在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上□ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
【强化训练3】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．

【答案】
3
【解析】
根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解．
依题意，，则四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
∴有个平行四边形
故答案为：．
【题型4】全等三角形拼平行四边形问题
【典例】将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（　　）
A.梯形 B.长方形 C.正方形 D.平行四边形
【答案】D
【解析】
根据平行四边形的判定及旋转平移的性质进行分析即可．
四边形JFCG绕点F顺时针旋转180°，四边形HAEJ绕点E顺时针旋转180°，余下的四边形DHJG沿着DB方向进行平移，刚好构成一个平行四边形．
故选：D．
【强化训练1】两个（　　）的三角形可以拼成一个平行四边形．
A.面积相等 B.形状相同 C.等底等高 D.能完全重合
【答案】D
【解析】
根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，
∴两个能完全重合的三角形可以拼成一个平行四边形．
故选：D．
【强化训练2】如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且∠D＞90°＞∠C，则∠C＝　 　．
【答案】
：72°或．
【解析】
分两种求出，分别构建方程即可解决问题；
由题意可知：AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，设∠DAE＝∠DEA＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB，
∴∠DEA＝∠EAB＝x，
∴∠C＝∠DAB＝2x，
①AE＝AB时，若BE＝BC，
则有∠BEC＝∠C，即（180°﹣x）＝2x，解得x＝36°，
∴∠C＝72°，
若EC＝EB，则有∠EBC＝∠C＝2x，
∵∠DAB+∠ABC＝180°，
∴4x+（180°﹣x）＝180°，
解得x＝，
∴∠C＝，
②EA＝EB时，同法可得∠C＝72°，
③BA＝BE时，∵∠AEB＝∠BAE＝x，
∴∠DEB＝2x，
∵∠C＝2x，∠DEB＝∠C+∠EBC，
这种情形显然不可能，
综上所述，∠C＝72°或．
故答案为：72°或．
【强化训练3】用边长分别为3cm，5cm，7cm两个三角形最多可拼成　 　个不同的平行四边形．
【答案】
3．
【解析】
根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，分别以3、5、7为对角线，其它两边为边即可得到平行四边形．
如图所示，共有3种情况：
故答案为：3．
【强化训练4】如图，△ABC≌△A'B'C'．用这两个三角形可以拼成几个不同的四边形？其中有几个是平行四边形？拼一拼，试试看．
【答案】
解：如图，可以拼成6个不同的四边形，其中有3个平行四边形．
【强化训练5】如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由．
【答案】
解：拼成的四边形ACA′B′是平行四边形，理由如下：
方法1：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A'B'，AC＝A'C'，
∴四边形ACA′B′是平行四边形；
方法2：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AC=A′C′，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，
∴AC∥A′C′，
∴四边形ACA′B′是平行四边形．
【题型5】利用平行四边形的判定与性质求角度
【典例】在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A.10° B.40° C.80° D.100°
【答案】D
【解析】
先证四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，再由平行线的性质得∠B+∠C＝180°，即可得出结论．
如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠C＝180°﹣80°＝100°，
故选：D．
【强化训练1】如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　）
A.65° B.60° C.50° D.40°
【答案】C
【解析】
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形对角相等即可求出∠BED的度数．
由题意得，BE＝AD，
∵AD∥BC，即AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠BED＝∠A＝50°，
故选：C．
【强化训练2】如图，在 ABCD中，∠ABD＝25°，现将 ABCD折叠成如图所示的形状，使点B与点D重合，EF为折痕，点C的对应点为C'，则∠C'EF的度数为 　°.
【答案】115
【解析】由折叠，得∠FDB＝∠ABD＝25°，∠C'EF＝∠CEF，∠DFE＝∠BFE，
∴∠DFB＝180°－∠FDB－∠ABD＝130°，
∴∠BFE＝∠DFB＝65°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CEF＋∠BFE＝180°，
∴∠CEF＝115°，∴∠C'EF＝115°.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度．
【答案】
见试题解答内容
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EDF＝∠EBF＝45°．
故答案为：45．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA，分别交AB、CD于点E、F．
（1）若∠DAB＝60°，求∠DFB的度数；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣60°＝120°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝60°，
∴∠DFB＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【题型6】利用平行四边形的判定与性质求线段的长度
【典例】如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【解析】
根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
【强化训练1】如图,在 ABCD中,∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连结BP,过点P作EF⊥CD,分别交AB,CD于点E,F。已知BE=2,AE=x,BP=y,当x,y发生变化时,下列代数式值不变的是()
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
【答案】B
【解析】
设∠CAB=α,则∠D=5∠CAB=5α。
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=5α,AB∥CD。
在△ABC中,∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-α-5α=180°-6α。
∵PC=BC,
∴∠CPB=∠CBP===3α,
∴∠PBA=∠ABC-∠CBP=5α-3α=2α。
如答图,在AE上取QE=BE=2,连结PQ。
答图
∵EF⊥CD,AB∥CD,∴EF⊥AB,
∴EF是QB的垂直平分线,
∴PQ=PB,∴∠PQB=∠PBQ=2α,
∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α,
∴∠QPA=∠CAB=α,
∴AQ=QP=BP=y。
∵AE=x,∴AE-AQ=QE=2,即x-y=2,
∴x,y发生变化时,x-y不变。
【强化训练2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　．
【答案】
8．
【解析】
由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【强化训练3】在 ABCD中,∠ABC的平分线交直线AD于点E,AB=4,DE=1,则 ABCD的周长为　　　　。
【答案】
14或18
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=DC,
∴∠AEB=∠CBE。
①当点E在线段AD上时,如答图1。
答图1
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=4。
∵DE=1,∴AD=5,
∴C ABCD=4+4+5+5=18;
②当点E在AD的延长线上时,如答图2。
答图2
同①可得AE=AB=4。
∵DE=1,∴AD=3,
∴C ABCD=4+4+3+3=14。
综上所述, ABCD的周长为14或18。
【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE．
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长．
【答案】
解：（1）证明：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），
在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）∵DF＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝6﹣2＝4．
在Rt△BCF中，由勾股定理得．
由（1）可知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝2．
∴EF＝BF﹣BE＝2．
在Rt△CEF中，由勾股定理得．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，连结AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连结AC，若AC平分∠EAF，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝18，求AF的长．
【答案】
解（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC＝∠ACE，
∴AE＝CE＝AF，
设AF＝AE＝EC＝x，
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BE2＝AE2，
∴122+（18﹣x）2＝x2，
∴x＝13，
∴AF＝13．
【题型7】平行四边形的判定与性质的实际应用
【典例】如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得AB＝10cm，AD＝8cm，固定AB．逆时针转动AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，则（　　）
A.甲说得对
B.乙说得对
C.甲、乙说的都对
D.甲、乙说的都不对
【答案】C
【解析】
如图，作DM⊥AB于点M，则平行四边形ABCD的面积＝AB×DM＝10DM，可得DM≤8cm，即平行四边形的高DM的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法．
如图，作DM⊥AB于点M，
则平行四边形ABCD的面积＝AB×DM＝10DM，
∵DM≤AD，AD＝8，
∴DM≤8cm，即平行四边形的高DM的最大值是8cm，
∴在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，故乙的说法正确；
在逆时针转动AD过程中，DM先逐渐变大，到与AD相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形ABCD的面积先变大，后变小；故甲的说法正确；
∴甲乙的说法都是正确的，
故选：C．
【强化训练1】生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠BAD＝140°，则∠BCD的度数为（　　）
A.40° B.100° C.120° D.140°
【答案】D
【解析】
根据平行四边形的对角相等解答即可．
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴∠BCD＝∠BAD＝140°，
故选：D．
【强化训练2】如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.绿花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
【答案】C
【解析】
根据平行四边形的性质可知GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄＝S蓝，S绿＝S红，S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），根据等量相减原理知S紫＝S橙，依此就可找出题中说法错误的．
∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD
∴GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，
∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，
得S黄＝S蓝，（故D正确）
S绿＝S红，（故A正确）
S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），
根据等量相减原理知S紫＝S橙，（故B正确）
S绿与S蓝显然不相等．（故C错误）
故选：C．
【强化训练3】如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______．
【答案】
(1)2；(2).
【解析】
（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可；（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可．
（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，
∴四边形是平行四边形，
∴，即在地面上影子的长为2米；
故答案为：2；
（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，
当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半，
∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴．
故答案为：．
【强化训练4】如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：AE=CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？
【答案】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△AOE 和△COF中，
∠DAC=∠BCA，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
（2）设计图形如图：
理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以．
因为平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，
所以找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可．
【强化训练5】如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B A E F；乙乘2路车，路线是B D C F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．
【答案】
解：可以同时到达．理由如下：
∵BA∥DE，AE∥DB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB＝DE，AE＝BD，
∵F是CE的中点，
∴EF＝FC，
∵EC⊥BC，AF∥BC，
∴AF⊥CE，
即AF垂直平分CE，
∴DE＝DC，即AB＝DC，
∴AB+AE+EF＝DC+BD+CF，
∴二人同时到达F站．浙教版（2024）八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 强化训练
【题型1】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明
【典例】如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中,不能判定其为平行四边形的是()
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OB=OD D.AB∥CD,AD=BC
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD
【强化训练2】如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列选项中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A.∠ABD=∠BDC,OA=OC B.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB C.∠ABC=∠ADC,AB=CD D.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB
【强化训练3】如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　.
【强化训练4】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论．
【题型2】添加一个条件成为平行四边形
【典例】如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（　　）
A.AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE
【强化训练1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：
甲：添加BM＝PC；
乙：添加BM∥PC；
丙：添加MP＝BC．
则正确的方案（　　）
A.只有甲、乙才对
B.只有乙、丙才对
C.只有甲、丙才对
D.甲、乙、丙都对
【强化训练2】如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。
【强化训练3】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号).
【题型3】数平行四边形的个数
【典例】分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（ ）个
A.4 B.5 C.3 D.6
【强化训练2】如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有 个平行四边形．
【强化训练3】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．

【题型4】全等三角形拼平行四边形问题
【典例】将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（　　）
A.梯形 B.长方形 C.正方形 D.平行四边形
【强化训练1】两个（　　）的三角形可以拼成一个平行四边形．
A.面积相等 B.形状相同 C.等底等高 D.能完全重合
【强化训练2】如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且∠D＞90°＞∠C，则∠C＝　 　．
【强化训练3】用边长分别为3cm，5cm，7cm两个三角形最多可拼成　 　个不同的平行四边形．
【强化训练4】如图，△ABC≌△A'B'C'．用这两个三角形可以拼成几个不同的四边形？其中有几个是平行四边形？拼一拼，试试看．
【强化训练5】如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由．
【题型5】利用平行四边形的判定与性质求角度
【典例】在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A.10° B.40° C.80° D.100°
【强化训练1】如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　）
A.65° B.60° C.50° D.40°
【强化训练2】如图，在 ABCD中，∠ABD＝25°，现将 ABCD折叠成如图所示的形状，使点B与点D重合，EF为折痕，点C的对应点为C'，则∠C'EF的度数为 　°.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA，分别交AB、CD于点E、F．
（1）若∠DAB＝60°，求∠DFB的度数；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．
【题型6】利用平行四边形的判定与性质求线段的长度
【典例】如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
【强化训练1】如图,在 ABCD中,∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连结BP,过点P作EF⊥CD,分别交AB,CD于点E,F。已知BE=2,AE=x,BP=y,当x,y发生变化时,下列代数式值不变的是()
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
【强化训练2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　．
【强化训练3】在 ABCD中,∠ABC的平分线交直线AD于点E,AB=4,DE=1,则 ABCD的周长为　　　　。
【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE．
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，连结AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连结AC，若AC平分∠EAF，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝18，求AF的长．
【题型7】平行四边形的判定与性质的实际应用
【典例】如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得AB＝10cm，AD＝8cm，固定AB．逆时针转动AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，则（　　）
A.甲说得对
B.乙说得对
C.甲、乙说的都对
D.甲、乙说的都不对
【强化训练1】生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠BAD＝140°，则∠BCD的度数为（　　）
A.40° B.100° C.120° D.140°
【强化训练2】如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.绿花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
【强化训练3】如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______．
【强化训练4】如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：AE=CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？
【强化训练5】如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B A E F；乙乘2路车，路线是B D C F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．

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