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浙教版（2024）八年级下册 5.2 菱形 强化训练
【题型1】利用菱形的性质求角度
【典例】菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（　　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，连结AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)
A.20° B.60° C.70° D.80°
【强化训练2】如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分别交BC，CD于点E，F．若∠EAF＝60°，则∠D的度数为 　 　．
【强化训练3】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　 　．
【强化训练4】如图,在菱形ABCD中,过顶点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,连结EF。
(1)求证:△DEF为等腰三角形。
(2)若∠DEF=66°,求∠A的度数。
【强化训练5】八年级下册数学教材内容：菱形的对角线互相垂直.
[结论运用]
图1　 图2　 图3
(1)如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝10，OD＝8，则菱形ABCD的面积是　　.
(2)如图2，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，AC，BF.求证：AC＝BF.
(3)如图3，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，若∠DAE＝42°，则∠ACF＝　　°.
【题型2】利用菱形的性质求线段长
【典例】如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为(　　)
A. B.1 C. D.
【强化训练1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　）
A. B. C. D.4
【强化训练2】如图，在面积为24的菱形ABCD中，AC＋BD＝14，则AB的长为(　　)
A.5 B.3 C.6 D.7
【强化训练3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连结AE，F为CD的中点，连结OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为____.
【强化训练4】如图,在菱形ABCD中,O是BD的中点,AM⊥BC,垂足为M,AM交BD于点N。连结OM,若OM=2,BD=8,则MC的长为　　　　。
【强化训练5】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证：BG＝DE.
(2)若E为AD的中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长.
【题型3】利用菱形的性质求面积
【典例】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连结OE。若OE=3,BD=10,则菱形ABCD的面积为()
A.30 B.40 C.50 D.60
【强化训练1】如图,在菱形ABCD中,若AB=5, AC=6,则菱形ABCD的面积为()
A.20 B.24 C.26 D.32
【强化训练2】如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB＝AD＝5,BD＝8,∠ABD＝∠CDB,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.40 B.24 C.20 D.15
【强化训练3】若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为　　.
【强化训练4】如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AC＝4，求菱形ABCD的面积．
【强化训练5】菱形ABCD的两条对角线相交于点O．已知AB＝5cm，OB＝3cm，求菱形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积．
【题型4】求菱形在坐标系中的坐标
【典例】如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，2），（﹣2，﹣1），BC∥x轴，将菱形ABCD平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（　　）
A.（﹣1，2） B.（3﹣2，3） C.（3+1，2） D.（3+3，3）
【强化训练1】如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为（　　）
A. B. C. D.（﹣2﹣，）
【强化训练2】在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（3，4），点C的坐标是　 　．
【强化训练3】已知点A(0，3)，B(6，0)，C是x轴正半轴上一点，D是同一平面直角坐标系内一点.若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　.　
【题型5】添加条件使四边形是菱形
【典例】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是(　　)
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AC＝BD D.AB＝BC
【强化训练1】下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　　)
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线相等且互相垂直
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：　　，使四边形ABCD成为菱形.
【强化训练3】如图， ABCD中，E，F是边AD，CD的点，DE＝DF，添加下列条件之一使 ABCD成为菱形．①∠1＝∠2；②AF＝CE；③AB＝CD．
（1）添加的条件是：　 　；（填序号）
（2）添加条件后，请证明 ABCD为菱形．
【题型6】证明四边形是菱形
【典例】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD＝4OE.③四边形AECF是菱形．④S△BOE＝S△ABC.其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.①③ D.②③④
【强化训练1】下列命题正确的是(　)
A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
【强化训练3】如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上，且BC＝AB，连结CD.求证：四边形ABCD是菱形.浙教版（2024）八年级下册 5.2 菱形 强化训练（参考答案）
【题型1】利用菱形的性质求角度
【典例】菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（　　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
【答案】A
【解析】
因为菱形的一条对角线与边长相等，
所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°，
所以该菱形较大内角的度数是120°．
故选：A．
【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，连结AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)
A.20° B.60° C.70° D.80°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠DCA＝∠1＝20°，
∴∠2＝90°－∠DCA＝70°.
【强化训练2】如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分别交BC，CD于点E，F．若∠EAF＝60°，则∠D的度数为 　 　．
【答案】
80°．
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝DC，
由题意得：AB＝AE，AD＝AF，
∴∠AEB＝∠B，∠AFD＝∠D，
∴∠AEB＝∠B＝∠AFD＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
设∠B＝∠D＝x，则∠AEB＝∠B＝x，
∴∠DAF＝∠BAE＝180°﹣2x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
即x+180°﹣2x+60°+180°﹣2x＝180°，
解得：x＝80°，
∴∠D＝80°，
故答案为：80°．
【强化训练3】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　 　．
【答案】
25°．
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝65°，
∵DH⊥AB，BO＝DO，
∴HO＝DO，
∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，
故答案为：25°．
【强化训练4】如图,在菱形ABCD中,过顶点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,连结EF。
(1)求证:△DEF为等腰三角形。
(2)若∠DEF=66°,求∠A的度数。
【答案】
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠A=∠C。
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°。
在△ADE和△CDF中,
∵
∴△ADE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF,
∴△DEF是等腰三角形。
(2)∵DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE=66°,
∴∠BEF=∠BFE=90°-66°=24°,
∴∠B=180°-24°-24°=132°。
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠A=180°-∠B=48°。
【强化训练5】八年级下册数学教材内容：菱形的对角线互相垂直.
[结论运用]
图1　 图2　 图3
(1)如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝10，OD＝8，则菱形ABCD的面积是　　.
(2)如图2，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，AC，BF.求证：AC＝BF.
(3)如图3，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连结AE，若∠DAE＝42°，则∠ACF＝　　°.
【答案】(1)96 (3)27
解：(1)∵四边形ABCD为菱形，AD＝10，OD＝8，
∴AC⊥BD，BD＝2OD＝16，
∴在Rt△AOD中，
OA＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴菱形ABCD的面积为S＝AC·BD＝×12×16＝96.
(2)如答图，连结CE，交AD于点H.
答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵四边形CDEF是菱形，
∴EF∥CD，EF＝CD，EC⊥FD，EH＝CH，
∴AB＝CD＝EF，AB∥CD∥EF，AD垂直平分线段EC，
∴四边形ABFE是平行四边形，AC＝AE，
∴AE＝BF，∴AC＝BF.
(3)∵四边形ACBD菱形，四边形CDEF菱形，
∴AD＝AC，CD＝CF＝DE，∠ADE＝∠ADC.
∵AD＝AD，∠ADE＝∠ADC，CD＝ED，
∴△ADC≌△ADE(SAS)，
∴∠DAE＝∠DAC＝42°.
∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝×(180°－∠DAC)＝69°.
∵CD＝CF，∴∠ADC＝∠CFD＝69°，
∴∠ACF＝∠CFD－∠DAC＝69°－42°＝27°.
【题型2】利用菱形的性质求线段长
【典例】如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为(　　)
A. B.1 C. D.
【答案】D
【强化训练1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　）
A. B. C. D.4
【答案】C
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵DH⊥BC，
∴S菱形ABCD＝BC DH＝AC BD，
即5DH＝×8×6，
解得：DH＝，
故选：C．
【强化训练2】如图，在面积为24的菱形ABCD中，AC＋BD＝14，则AB的长为(　　)
A.5 B.3 C.6 D.7
【答案】A
【解析】∵菱形ABCD的面积为24，
∴AC与BD互相垂直平分，且AC·BD＝24，
即AC·BD＝48.
∵AC＋BD＝14，
∴AB＝
＝
＝＝5.
【强化训练3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连结AE，F为CD的中点，连结OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为____.
【答案】2
【解析】 在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD.
在Rt△AOE中，AE＝＝5.
∵AE＝BE，∴OB＝AE＋OE＝8.
在Rt△AOB中，AB＝＝4，
即菱形的边长为4.
∵F为CD的中点，OB＝OD，∴OF＝BC＝2.
【强化训练4】如图,在菱形ABCD中,O是BD的中点,AM⊥BC,垂足为M,AM交BD于点N。连结OM,若OM=2,BD=8,则MC的长为　　　　。
【答案】
【解析】
如答图,连结AC。
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC过BD的中点O,∴OA=OC。
∵AM⊥BC,∴∠AMC=90°,
∴OM=AC,
∴OC=2,AC=4。
∵OB=BD=×8=4,
∴BC==2。
∵菱形ABCD的面积=BC·AM=AC·BD,
∴2×AM=×8×4,
∴AM=,
∴MC==。
【强化训练5】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证：BG＝DE.
(2)若E为AD的中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长.
【答案】解：(1)在矩形EFGH中，HE＝FG，EH∥GF，
∴∠GFH＝∠EHF.
又∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE.
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH.
在△BGF与△DEH中，
∵
∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE.
(2)如答图，连结EG.
答图
在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.
∵E为AD的中点，∴AE＝ED.
又∵BG＝DE，∴AE＝BG.
又∵AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG.
∵在矩形EFGH中，EG＝FH＝4，
∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为16.
【题型3】利用菱形的性质求面积
【典例】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连结OE。若OE=3,BD=10,则菱形ABCD的面积为()
A.30 B.40 C.50 D.60
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC。
∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,
∴AC=2OE=2×3=6,
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×6×10=30。
【强化训练1】如图,在菱形ABCD中,若AB=5, AC=6,则菱形ABCD的面积为()
A.20 B.24 C.26 D.32
【答案】B
【解析】连结BD,交AC于点O,如答图所示。
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC=AC=3,OB=BD,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∴OB===4,
∴BD=2OB=8,
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×6×8=24。
【强化训练2】如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB＝AD＝5,BD＝8,∠ABD＝∠CDB,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.40 B.24 C.20 D.15
【答案】B
【解析】∵∠ABD＝∠CDB,∴AB∥CD.
∵O是BD的中点,∴BO＝DO.
又∵∠AOB＝∠COD,
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴AB＝CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB＝AD,∴ ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠AOB＝90°.
在Rt△ABO中,BO＝BD＝4,
∴AO＝＝3.
∵AC＝2AO＝6,
∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×6×8＝24.
【强化训练3】若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为　　.
【答案】24
【强化训练4】如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AC＝4，求菱形ABCD的面积．
【答案】
解（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵四边形BECD是平行四边形，
∴DB∥CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥CE．
在直角△ACE中，∵∠E＝60°，AC＝4，
∴∠EAC＝60°，
∴CE=AC，
∴由勾股定理得，CE＝4．
∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝CE＝4，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×4×4＝8．
【强化训练5】菱形ABCD的两条对角线相交于点O．已知AB＝5cm，OB＝3cm，求菱形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积．
【答案】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，由勾股定理得：OA＝＝＝4，
∴AC＝2OA＝8（cm），BD＝2OB＝6（cm），
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×8×6＝24（cm2）．
【题型4】求菱形在坐标系中的坐标
【典例】如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，2），（﹣2，﹣1），BC∥x轴，将菱形ABCD平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（　　）
A.（﹣1，2） B.（3﹣2，3） C.（3+1，2） D.（3+3，3）
【答案】D
【解析】
∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，2），（﹣2，﹣1），
∴AB＝AD＝CD＝BC＝，
∴D的坐标为（1+3，2），
∵将菱形ABCD平移，使点B与原点O重合，
∴平移规律为向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，
∴平移后点D的对应点的坐标为（1+3+2，2+1），即（3+3，3），
故选：D．
【强化训练1】如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为（　　）
A. B. C. D.（﹣2﹣，）
【答案】D
【解析】
作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴CB＝OC＝OA＝2，CB∥OA，
∴∠BCE＝∠AOC＝45°，
∴∠CBE＝∠BCE＝45°，
∴BE＝CE，
∵CB＝＝＝CE＝2，
∴BE＝CE＝，
∴OE＝OC+CE＝2+，
∴B（﹣2﹣，），
故选：D．
【强化训练2】在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（3，4），点C的坐标是　 　．
【答案】
（8，4）．
【解析】
过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∵点A的坐标是（3，4），
∴AO＝5，
∵四边形AOBC是菱形，
∴AO＝AC＝BO＝BC＝5，AO∥BC，
∴∠AOB＝∠CBF，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
在△AOE和△CBF中，
∴△AOE≌△CBF（AAS），
∴EO＝BF＝3，
∵BO＝5，
∴FO＝8，
∴C（8，4）．
故答案为：（8，4）．
【强化训练3】已知点A(0，3)，B(6，0)，C是x轴正半轴上一点，D是同一平面直角坐标系内一点.若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　.　
【答案】或
【解析】当AB为菱形的边时，如答图1.
答图1
AB＝＝3.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝3，AD∥BC，
∴点D的坐标为(3，3).
当AB为菱形的对角线时，如答图2，设菱形的边长为m.
答图2
∵点A(0，3)，B(6，0)，
∴OA＝3，OB＝6.
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，
∴CA＝CB＝m，∴OC＝6－m.
在Rt△AOC中，32＋(6－m)2＝m2，解得m＝，
∴点D的坐标为.
综上所述，点D的坐标为(3，3)或.
【题型5】添加条件使四边形是菱形
【典例】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是(　　)
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AC＝BD D.AB＝BC
【答案】D
【强化训练1】下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　　)
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线相等且互相垂直
【答案】C
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：　　，使四边形ABCD成为菱形.
【答案】AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等，答案不唯一)
【解析】当添加“AD∥BC”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“AB＝CD”时，∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“OB＝OD”时，∵AD＝BC，AC⊥BD，
∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)，
∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“∠ADB＝∠CBD”时，∴AD∥BC.
∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.
【强化训练3】如图， ABCD中，E，F是边AD，CD的点，DE＝DF，添加下列条件之一使 ABCD成为菱形．①∠1＝∠2；②AF＝CE；③AB＝CD．
（1）添加的条件是：　 　；（填序号）
（2）添加条件后，请证明 ABCD为菱形．
【答案】
（1）添加∠1＝∠2能使 ABCD成为菱形．
故答案为：①；
（2）证明：∵∠1＝∠2，∠D＝∠D，DF＝DE，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【题型6】证明四边形是菱形
【典例】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD＝4OE.③四边形AECF是菱形．④S△BOE＝S△ABC.其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.①③ D.②③④
【答案】A
【解析】 ∵E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE.
又∵BC＝2AB，∴AB＝BE＝EC.
又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE，
∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，即AB⊥AC，①正确．
在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB.
在△AOF和△COE中，∵
∴△AOF≌△COE(ASA)，∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AE＝CE，∴ AECF是菱形，③正确．
易知AC⊥EF.
在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD，
∴AD＝4OE，②正确．
在 ABCD中，OA＝OC.
又∵E为BC的中点，∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，
④正确．
综上所述，正确的是①②③④.
【强化训练1】下列命题正确的是(　)
A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
【答案】
（1）证明：∵D．E为AB，AC中点
∴DE为△ABC的中位线，DE＝BC，
∴DE∥BC，
即EF∥BC，
∵EF＝BC，
∴四边形BCEF为平行四边形．
（2）∵四边形BCEF为平行四边形，
∵∠ACB＝60°，
∴BC＝CE＝BE，
∴四边形BCFE是菱形．
【强化训练3】如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上，且BC＝AB，连结CD.求证：四边形ABCD是菱形.
【答案】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD.
又∵AB＝BC，∴AD＝BC.
又∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB＝AD，∴ ABCD是菱形.

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