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第二十一章四边形第１节：四边形及多边形
知识点
（1）四边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首位顺次相接组成的图形叫作四边形.
（2）凸四边形:画出四边形任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；凹四边形:被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧
凸四边形 凹四边形
（如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.）
（3）四边形的不稳定性：指的是确定四边形的各条边的长，但并不能确定四边形的形状和大小.
（4）多边形的定义：在平面内，由n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.多边形有几条边就叫作几边形，其中三角形是最简单的多边形.
（5）n边形的一个顶点可作出（n-3）条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形，n(n≥3)边形共有对角线条.
（6）正多边形必备两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等，二者缺一不可.
（7）多边形的内角和定理：n边形的内角和=(n-2)×180°.
（8）多边形内角和公式的常见应用
①利用多边形的边数求内角和，或者利用多边形的内角和求边数；
②正n边形每个内角的度数;
（9）多边形的截角问题：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
①从所截角的两边截，边数增加1.
②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.
③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.
（注意：多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和增加180°.）
（10）多边形的外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.
（11）正n边形的每个内角都相等,所以它的每个外角也都相等,每一个外角的度数等于.
练习题
第二十一章 四边形
２１．１ 四边形及多边形
第1节：四边形及其内角和
１．下列图形中，不是四边形的是 （ ）
２．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠１＋∠２＋∠３＝３２０°，则∠Ｄ 的度数为 （ ）
Ａ．１６０° Ｂ．１５０° Ｃ．１４０° Ｄ．１３０°
３．如图所示，四边形 ＡＢＣＤ 中缺∠Ｃ，经测量得∠Ａ ＝１１０°，∠Ｄ＝ ７５°，∠１ ＝ ４５°，则这个四边形残缺前的∠Ｃ 的度数为 （ ）
Ａ．７５° Ｂ．６０° Ｃ．４５° Ｄ．４０°
４．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ｂ ＝５０°，∠Ｃ ＝ １１０°，∠Ｄ ＝ ９０°，ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＦ 是∠ＢＡＤ的平分线，与边 ＢＣ 交于点 Ｆ．求∠ＥＡＦ 的度数．
５．四边形没有稳定性，当四边形的形状发生改变时，发生变化的是 （ ）
Ａ．四边形的外角和 Ｂ．四边形的边长
Ｃ．四边形的周长 Ｄ．四边形的对角线长
６．在四边形纸片 ＡＢＣＤ 中，∠Ｃ ＝ ９０°， ＡＢ 与ＣＤ 不平行，将四边形纸片 ＡＢＣＤ沿ＥＦ折叠成如图所示的形状，点Ａ 落在点 Ａ′处，点Ｄ落在点 Ｄ′处，若 ∠Ｄ′ＥＣ＝１１５°，∠Ａ′ＦＢ＝ ４５°，则∠Ｂ 的度数为 ．
７．在 四 边 形ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝ ９８°，∠Ｄ＝ １４０°．
（１）如图①，若∠Ｂ＝∠Ｃ，则∠Ｂ＝ ６１ 度．
（２）如图②，作∠ＢＣＤ 的平分线ＣＥ交ＡＢ于点 Ｅ．若 ＣＥ∥ＡＤ，求∠Ｂ 的大小．
（３）如图③，作∠ＡＢＣ 和∠ＤＣＢ 的平分线交于点Ｅ，求∠ＢＥＣ 的度数．
第２节：多边形及其内角和
１．下列选项的图形中，不是凸多边形的是 （ ）
２．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 ８ 个三角形，这个多边形的边数是（ ）
Ａ．８ Ｂ．９ Ｃ．１０ Ｄ．１１
３．如图 １ 所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的几种测量角度，在图 ２ 所示的六角尺示意图中，ｘ 的值应是 （ ）
Ａ．１００ Ｂ．１１２.５ Ｃ．１２０ Ｄ．１２５
４．将一个正八边形与一个正六边形按如图所示的方式放置，顶点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 在同一条直线上，Ｅ 为公共顶点，则∠ＦＥＧ 的度数为（ ）
Ａ．４０° Ｂ．３５° Ｃ．３０° Ｄ．２５°
５．如图，五边形ＡＢＣＤＥ中，∠Ｂ＝１２０°，∠Ｃ＝１１０°，∠Ｄ＝１０５°，则∠Ａ＋∠Ｅ＝ ．
６．数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的 图 形， 则∠Ａ＋∠Ｂ ＋ ∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＋∠Ｇ的度数为 ．
７．以下是小明和小红的对话：
小明：“我把一个多边形的各内角度数相加，得到的和为 １ ５２０°．”
小红：“多边形的内角和不可能是 １ ５２０°，我看了你的过程，你多加了一个外角的度数．”
解决下列问题：
（１）多边形的内角和可能是 １ ５２０°吗？
（２）求该多边形的内角和．
８．已知一个正多边形的一个外角为 ４５°，则这个正多边形的边数是 （ ）
Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０
９．已知一个多边形的内角和是它外角和的 ４ 倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引 条对角线． （ ）
Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９
１０．按要求完成下列各题：
（１）已知一个多边形的内角和比它的外角和的 ３倍少 １８０°，求这个多边形的边数．
（２）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为 ９ ∶ ２，求这个多边形的边数．
11．如图所示的是正 ｎ 边形纸片的一部分，其中ｌ，ｍ是正ｎ边形两条边的一部分，若 ｌ，ｍ 所在的直线相交形成的锐角为 ６０°，则 ｎ 的值是 （ ）
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０
１２．如 图，在正六边形ＡＢＣＤＥＦ 中，作正 五 边 形 ＨＫＣＤＧ，连 接 ＢＫ，则∠ＡＢＫ 的度数为 （ ）
Ａ．２４° Ｂ．３０° Ｃ．３６° Ｄ．４５°
１３．窗棂是中国传统文化的一种元素，它常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若∠１＋∠３＋∠５ ＝１５０°，则∠２＋∠４＋∠６ ＝ °．
１４．如图，将正五边形纸片ＡＢＣＤＥ 折叠，使点 Ｂ 与点 Ｅ 重合，折痕为 ＡＦ，展开后，再将纸片折叠，使边 ＡＢ 落在线段 ＡＦ 上，点Ｂ 的对应点为点 Ｑ，折痕为 ＡＰ，则∠ＡＰＱ 的大小为 度．
１５．李华学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴
趣．有道题如下：如图，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＢＣ 和∠ＡＣＢ 的平分线 ＢＥ，ＣＦ 相交于点 Ｇ．经证明，有如下结论：
（１）∠ＢＧＣ＝ １８０°－（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）．
（２）∠ＢＧＣ＝ ９０°＋∠Ａ．
李华发现这个题目其实是解决“三角形的一个内角与另外两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系”这个问题，他把这个问题改编如下：
问题 １：若将△ＡＢＣ 改为任意四边形 ＡＢＣＤ 呢？ 如图①，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＤＰ，ＣＰ 分别平分∠ＡＤＣ，∠ＢＣＤ，请你利用上述结论探究∠Ｐ 与∠Ａ＋∠Ｂ 之间的数量关系，并说明理由．
问题 ２：若将上题中的四边形 ＡＢＣＤ 改为六边形ＡＢＣＤＥＦ 呢？ 如图②所示，请你利用上述结论探究∠Ｐ 与∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｅ＋∠Ｆ 之间的数量关系，并说明理由．
答案
２１．１．１ 四边形及其内角和
１．Ｄ
２．Ｃ
３．Ｄ
４．解析 ∵ ＡＥ⊥ＢＣ，
∴ ∠ＡＥＣ＝ ９０°，
∵ ∠Ｃ ＝ １１０°，∠Ｄ ＝ ９０°，
∴ ∠ＤＡＥ ＝ ３６０°－∠Ｄ－∠Ｃ－∠ＡＥＣ＝７０°，∠ＢＡＤ＝３６０°－∠Ｄ－∠Ｃ－∠Ｂ＝１１０°，
∵ＡＦ平分∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＤ＝∠ＢＡＤ＝×１１０°＝５５°，
∴ ∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ－∠ＦＡＤ＝ ７０°－５５° ＝ １５°．
５．Ｄ
６．５５°
７．解析 （１）∵ ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝３６０°，∠Ａ＝９８°，∠Ｄ ＝１４０°，
∴ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝３６０°－９８°－１４０° ＝ １２２°，
∵ ∠Ｂ＝∠Ｃ，
∴ ２∠Ｂ＝１２２°，
∴ ∠Ｂ＝６１°．
故答案为 ６１．
（２ ） ∵ ＣＥ∥ＡＤ，
∴∠Ａ ＋ ∠ＡＥＣ＝１８０°，∠Ｄ＋∠ＤＣＥ＝１８０°，
∵∠Ａ ＝ ９８°，∠Ｄ ＝ １４０°，
∴∠ＡＥＣ ＝１８０°－９８° ＝ ８２°，∠ＤＣＥ ＝ １８０°－１４０° ＝ ４０°，
∵ＣＥ 平分∠ＢＣＤ，
∴∠ＢＣＤ＝ ２∠ＤＣＥ ＝ ８０°，
∴∠Ｂ＝３６０°－∠Ａ－∠Ｄ－∠ＢＣＤ＝３６０°－９８°－１４０°－８０°＝４２°．
(3)119°
２１．１．２ 多边形及其内角和
１．Ａ
２．Ｃ
３．Ｂ
４．Ｃ
５．２０５ °
６．５４０°
７．解析 （１）多边形的内角和不可能是 １ ５２０°．
理由：假设多边形的内角和是 １ ５２０°，设多边形的边数为 ａ，则（ａ－２）×１８０°＝１５２０°，解得ａ＝１０．
∵ ａ 不是正整数，
∴ 多边形的内角和不可能是１５２０°．
８．Ｂ
９．Ｂ
１０．解析 （１）设这个多边形的边数是ｎ，依题意得（ｎ－２）×１８０°＝３×３６０°－１８０°，
∴ ｎ－２＝６－１，
∴ｎ ＝７．
∴ 这个多边形的边数是 ７．
(2)11
11．Ｂ
12．Ｃ
13．３３０
14．４５
15．解析 问题 １：∠Ｐ＝（∠Ａ＋∠Ｂ）．
理由：∵ ＤＰ，ＣＰ 分别平分∠ＡＤＣ，∠ＢＣＤ，
∴ ∠ＰＤＣ＝∠ＡＤＣ，∠ＰＣＤ＝∠ＢＣＤ，
∴ ∠Ｐ ＝ １８０°－∠ＰＤＣ－∠ＰＣＤ＝１８０°－∠ＡＤＣ－
∠ＢＣＤ＝１８０°－（ ∠ＡＤＣ ＋ ∠ＢＣＤ） ＝ １８０°－（３６０°－∠Ａ－∠Ｂ）＝（∠Ａ＋∠Ｂ）．
问题2：∠Ｐ=（∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｅ＋∠Ｆ）－180°

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