资源简介

第二十一章四边形第2节：平行四边形及其性质
知识点
（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
（2）平行四边形用“” 表示，如图，平行四边形ABCD，记作ABCD ( 要注意字母顺序).
（3）平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．
（4）两条平行线之间的平行线段相等.
（5）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
（6）平行四边形的对角线互相平分.
（7）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
（8）过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
（9）平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
（10）过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
（11）面积公式：平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S = ah（其中S表示面积，a表示底，h表示高）.
（注意要点：计算面积时，底和高要相对应.比如一个平行四边形有不同的底和高，在计算时要准确使用对应的一组底和高的值.）
（12）平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
（13）平行四边形的判定：
①两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（注意：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也肯能是等腰梯形）
（14）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（15）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
（16）三角形的中位线与平行四边形的综合运用
①.在复杂的几何图形中，先找出三角形的中位线，利用中位线的性质得到线段的平行关系和数量关系.再看这些关系是否满足平行四边形的判定条件.
②.若已知平行四边形，可通过平行四边形的性质得到线段平行和相等的条件，进而找出潜在的三角形中位线，从而建立起两者之间的联系解决问题.
练习题
第 1 课时 平行四边形的性质（1）
１．如图所示，在△ＡＢＣ 中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ 上的点，且 ＤＥ∥ＡＣ，ＥＦ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＢＣ，则图中平行四边形共有 （ ）
Ａ．１ 个 Ｂ．２ 个 Ｃ．３ 个 Ｄ．４ 个
２．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ ∶ ∠Ｂ＝ ２ ∶ １，则∠Ｄ 的度数为 （ ）
Ａ．６０° Ｂ．１２０° Ｃ．９０° Ｄ．３０°
３．如图，在平面直角坐标系中， ＯＡＢＣ 的顶点 Ｏ，Ａ，Ｃ 的坐标分别是（０，０），（３，０），（１，２），则点 Ｂ 的坐标是 （ ）
Ａ．（２，４） Ｂ．（４，２） Ｃ．（５，３） Ｄ．（４，３）
４．如图，点 Ｅ 是平行四边形 ＡＢＣＤ的边 ＣＤ 的中点，连接 ＡＥ 并延长交 ＢＣ 的延长线于点 Ｆ，ＡＤ＝ ５．求证：△ＡＤＥ≌△ＦＣＥ，并求 ＢＦ 的长．
５．如图，平行四边形 ＡＢＣＤ 的对角线交点是原点．若 Ａ（－１，２），则点 Ｃ 的坐标是 （ ）
Ａ.（２，－１） Ｂ.（－２，１） Ｃ.（１，－２） Ｄ.（－１，－２）
６． ＡＢＣＤ 的周长为 ２０ ｃｍ，对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，若△ＢＯＣ 的周长比△ＡＯＢ 的周长大 ２ｃｍ，则ＣＤ＝ ｃｍ．
７．如图，在 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ，ＢＤ⊥ＡＤ，若 ＡＤ ＝ ８，ＢＤ ＝ １２，则 ＡＣ 的长是 ．
８．如图，在 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ ＝１０８°，∠ＡＢＣ 的平分线交 ＡＤ 于点 Ｅ，连接 ＣＥ．若ＢＥ＝ ＡＤ，则∠ＥＣＤ 的度数为 （ ）
Ａ．１８° Ｂ．３０° Ｃ．３６° Ｄ．４２°
９．如图所示，以 ＡＢＣＤ 的边ＡＢ为边向右作等边△ＡＢＥ，且ＡＤ＝ＡＥ，连接ＤＥ，ＣＥ，则∠ＣＥＤ的度数为 （ ）
Ａ．１５０° Ｂ．１４５° Ｃ．１３５° Ｄ．１２０°
１０．如图，四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ，∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＨ⊥ＢＤ 于点 Ｈ，ＡＢ ＝ ２，ＢＣ ＝ ２ ３ ，则 ＡＨ 的长为 ．
１１．如图，在 ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＢＣ的中点，且ＢＣ＝２ＡＢ ＝４，当∠Ｂ＝６０°时，ＤＥ的长为 ．
12．如图，在 ＡＢＣＤ 中，∠ＢＣＤ的平分线交 ＡＢ 于点 Ｅ，若 ＡＤ＝２，则 ＢＥ＝ ．
13．如图，在 ＡＢＣＤ 中，ＢＥ 平分∠ＡＢＣ 交 ＡＤ 于点 Ｅ，ＣＦ 平分∠ＢＣＤ交ＡＤ于点Ｆ．若ＡＢ＝６，ＡＤ＝１０，则 ＥＦ 的长为 ．
14．如图，在 ＡＢＣＤ 中，ＤＦ平分∠ＡＤＣ，交 ＢＣ 于点 Ｅ，交 ＡＢ 的延长线于点 Ｆ．
（１）求证：ＡＤ＝ ＡＦ．
（２）若ＡＤ＝ ６，ＡＢ＝3，∠Ａ＝１２０°，求ＢＦ的长和△ＡＤＦ的面积．
15．如图，点Ｏ是 ＡＢＣＤ对角线的交点，过点 Ｏ 的直线分别交 ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ．
（１）求证：△ＯＤＥ≌△ＯＢＦ．
（２）当 ＥＦ⊥ＢＤ 时，ＤＥ＝１５ｃｍ，分别连接ＢＥ，ＤＦ，求此时四边形 ＢＥＤＦ 的周长．
16．如图１， ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ 和 ＢＤ 相交于点Ｏ，ＥＦ 过点 Ｏ 且与边 ＡＢ，ＣＤ 分别相交于点Ｅ和点Ｆ．
（１）求证：ＯＥ＝ＯＦ．
（２）如图２，已知ＡＤ＝１，ＢＤ＝ ２，ＡＣ＝2，∠ＤＯＦ＝∠α．
①当∠α为多少度时，ＥＦ⊥ＡＣ？
②在①的条件下，连接ＡＦ，求△ＡＤＦ 的周长．
第 2 课时 平行四边形的性质（2）
１．如图，已知直线 ｍ∥ｎ，则下列能表示直线 ｍ，ｎ 之间的距离的是 （ ）
Ａ．线段 ＡＢ 的长 Ｂ．线段 ＡＣ 的长
Ｃ．线段 ＡＤ 的长 Ｄ．线段 ＤＥ 的长
２．在同一平面内，已知ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，若直线 ａ，ｂ 之间的距离为 ７ｃｍ，直线 ｂ，ｃ 之间的距离为 ３ ｃｍ，则直线 ａ，ｃ 之间的距离为（ ）
Ａ．４ ｃｍ 或 １０ ｃｍ Ｂ．４ ｃｍ
Ｃ．１０ ｃｍ Ｄ．不确定
３．如图，已知直线 ａ∥ｂ，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在直线 ａ 上，点 Ｄ，Ｅ，Ｆ 在直线 ｂ 上，ＡＢ＝ＥＦ＝２，若△ＣＥＦ 的面积为 ５，则△ＡＢＤ 的面积为 ．
4.如图所示的是某中学教学楼楼梯侧面图，楼梯扶手下的玻璃为平行四边形．小友同学用量角器量得∠Ｄ＝６０°，已知ＡＢ＝２.５ｍ，ＢＣ＝１.２ｍ，则这块玻璃的面积为
m２．
５．如图，已知梯形 ＡＢＣＤ 中， ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ＝ ３，ＢＣ＝ ６，ＣＤ＝ ４．求ＡＢ的长．
６．如图，在 ＡＢＣＤ 中，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，ＯＥ⊥ＢＤ 交 ＡＤ 于点 Ｅ，连接 ＢＥ，若△ＡＢＥ 的周长为 ８，则 ＡＢＣＤ 的周长为 （ ）
Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．３２
７．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，过点 Ｏ 的直线 ＥＦ 交 ＡＤ于点 Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ，Ｓ△ＡＯＥ＝３，Ｓ△ＢＯＦ＝７，则平行四边形 ＡＢＣＤ 的面积是 ．
8．如图，已知在 ＡＢＣＤ 中，对角线ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ，Ｅ，Ｆ 分别是线段 ＯＢ，ＯＤ 的中点，连接 ＡＥ，ＣＦ．
（１）求证：ＡＥ＝ＣＦ．
（２） 若ＡＣ⊥ＣＤ，∠ＢＯＣ＝１３５°， ＢＣ＝，求 ＢＤ的长．
９．如图，在 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ ＝８０°，点 Ｅ 是 ＣＤ 边上一点，且 ＢＤ 平分∠ＡＢＥ，若∠ＣＢＥ＝ ２０°，ＢＥ＝ ａ，ＥＣ＝ ｂ，则 ＡＢＣＤ 的周长为（ ）
Ａ．５ａ－ｂ Ｂ．４ａ＋２ｂ Ｃ．３ａ＋３ｂ Ｄ．６ａ－３ｂ
１０．如图，在 ＡＢＣＤ 中，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，ＡＣ ＝ ２，ＢＤ＝2，过点 Ａ 作 ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ，记 ＢＥ 的长为 ｘ，ＢＣ 的长为 ｙ．当 ｘ，ｙ 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是 （ ）
Ａ．ｘ＋ｙ Ｂ．ｘ－ｙ Ｃ．ｘｙ Ｄ．ｘ２＋ｙ２
１１．如图，四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形，∠ＢＡＤ 的平分线 ＡＥ 交 ＣＤ 于点 Ｆ，交ＢＣ 的延长线于点 Ｅ．
（１）求证：ＢＥ＝ＣＤ．
（２）连接ＢＦ，若ＢＦ⊥ＡＥ，∠ＢＡＥ＝６０°，ＡＢ＝４，求 ＡＢＣＤ的面积．
１２．如图，平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ，Ｅ 是 ＣＤ 上的点，连接ＥＯ 并延长，交 ＡＢ 于点 Ｆ，连接 ＢＥ，ＤＦ．
（１）求证：ＢＥ∥ＦＤ．
（２）若 ＢＤ⊥ＢＣ，∠ＢＣＤ＝ ６０°，求的值．
１３．行四边形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，直线 ＥＦ 过点 Ｏ．
（１）如图 １，直线 ＥＦ与ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｅ，Ｆ，求证：ＯＥ＝ＯＦ．
（２）如图 ２，若直线 ＥＦ 分别与 ＤＣ，ＢＡ 的延长线相交于点 Ｆ，Ｅ，则（１）中的结论还成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
２１．２．２ 平行四边形的判定
第 1 课时 平行四边形的判定（1）
１．如图，李华用钉子将四根木条钉成一个四边形框架ＡＢＣＤ，若 ＡＢ＝ＣＤ＝ ５，ＡＤ＝ ７，要使这个框架是一个平行四边形，则 ＢＣ 的长为 （ ）
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８
２．下面给出了四边形 ＡＢＣＤ 中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ 的度数之比，能判定四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形的是 （ ）
Ａ．１∶２∶３∶４ Ｂ．２∶３∶２∶３
Ｃ．２∶３∶３∶２ Ｄ．１∶２∶２∶３
３．如图，在△ＡＢＣ 中，∠Ｂ ＝４９°，分别以点 Ａ，Ｃ 为圆心，ＢＣ，ＡＢ 长为半径作弧，两弧相交于点 Ｄ，连接 ＡＤ，ＣＤ，则∠ＢＡＤ 的度数为（ ）
Ａ．１３９° Ｂ．１３１° Ｃ．１２９° Ｄ．１２１°
４．如图，Ｅ 是四边形 ＡＢＣＤ 的边 ＢＣ延长线上的一点，且 ＡＢ∥ＣＤ，则下列条件中不能判定四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形的是 （ ）
Ａ．∠Ｄ＝∠５ Ｂ．∠３ ＝∠４ Ｃ．∠１ ＝∠２ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｄ
５．一个四边形的三个相邻内角的度数依次是１０８°，７２°，１０８°，那么这个四边形 平行四边形（填“是”或“不是”）．
６．综合实践课上，嘉嘉画出△ＡＢＤ，利用尺规作图找一点Ｃ，使得四边形 ＡＢＣＤ为平行四边形．（１） ～（３）是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形的条件是 （ ）
Ａ．两组对边分别平行 Ｂ．两组对边分别相等
Ｃ．对角线互相平分 Ｄ．两组对角分别相等
７．如图，四边形 ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，ＯＡ ＝ ＯＣ，请补充一个条件： ，使四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．
８．如图，四边形 ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，点Ｅ，Ｆ 分别在线段ＯＡ，ＯＣ上，且ＯＢ＝ ＯＤ，∠１＝∠２，ＡＥ＝ＣＦ．求证：四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形．
９．如图，平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏ，Ｅ，Ｆ 分别是对角线 ＢＤ 上的两点，给出下列四个条件：①ＢＥ ＝ ＤＦ；②ＤＥ＝ＢＦ；③∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ；④∠ＢＣＥ ＝∠ＤＡＦ．其中能判定四边形 ＡＥＣＦ 是平行四边形的个数是（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
１０．如图， ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ，若 ＡＣ ＝ ３，ＢＤ＝５，则四边形 ＯＣＥＤ 的周长为 （ ）
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１６
11．如图，在 ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＣ，Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ和ＡＤ 上，ＥＦ∥ＡＢ，交 ＡＣ于点 Ｐ，若 ＣＤ＝６，ＡＣ＝８，ＣＥ＝ ７，则 ＡＦ 的长为 ．
１２．如图，在 ＡＢＣＤ 中，Ｍ，Ｎ是对角线 ＢＤ 的三等分点．
（１）求证：四边形 ＡＭＣＮ 是平行四边形．
（２）若ＡＭ⊥ＢＤ，ＡＤ＝５，ＢＤ＝６，求平行四边形ＡＭＣＮ的周长．
１3．如图，平行四边形 ＡＢＣＤ在直角坐标系中，点 Ｂ，Ｃ 都在 ｘ 轴上，其中 ＯＡ＝ ４，ＯＢ＝３，ＡＤ＝６，Ｅ是线段ＯＤ的中点．
（１）求出 Ｃ，Ｄ 点的坐标．
（２）平面内是否存在一点 Ｎ，使以 Ａ，Ｄ，Ｅ，Ｎ 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出点 Ｎ 的坐标；若不存在，请说明理由．
第 2 课时 平行四边形的判定（2）
１．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ４，ＢＣ＝ ６，∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ＝ ３２°．要使四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形，添加的条件可以是 （ ）
Ａ．ＢＤ＝ ８ Ｂ．∠ＣＢＤ＝ ３２° Ｃ．ＣＤ＝ ４ Ｄ．ＡＤ＝ ６
２．如图，下列条件中不能判定四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形的是 （ ）
Ａ．ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ Ｂ．ＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣ
Ｃ．ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ Ｄ．ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣ
３．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是 （ ）
4.已知：如图，在 ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ 和 ＣＤ 上的点，ＡＥ ＝ ＣＦ，Ｍ，Ｎ 分别是 ＤＥ和 ＢＦ 的中点．
求证：（１）△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ．
（２）四边形 ＥＮＦＭ 是平行四边形．
５．尺规作图问题：如图１，点Ｅ是 ＡＢＣＤ 边ＡＤ上一点（不包含Ａ，Ｄ），连接ＣＥ．用尺规作 ＡＦ∥ＣＥ，Ｆ 是边 ＢＣ 上一点．
小明：“如图 ２，以 Ｃ 为圆心，ＡＥ 长为半径作弧，交ＢＣ 于点 Ｆ，连接 ＡＦ，则 ＡＦ∥ＣＥ．”
小丽：“以点 Ａ 为圆心，ＣＥ 长为半径作弧，交 ＢＣ 于点 Ｆ，连接 ＡＦ，则 ＡＦ∥ＣＥ．”
小明：“小丽，你的作法有问题．”
小丽：“哦，我明白了！”
（１）如图 ２，证明：ＡＦ∥ＣＥ．
（２）指出小丽作法中存在的问题．
６．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ＣＤ，点 Ｅ 在边 ＡＢ 上， ．请从“①∠Ｂ ＝ ∠ＡＥＤ；②ＡＥ ＝ ＢＥ，ＡＥ ＝ ＣＤ”这两组条件中任选一组 作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（１）求证：四边形 ＢＣＤＥ 为平行四边形．
（２）若 ＡＤ⊥ＡＢ，ＡＤ＝ ８，ＢＣ＝ １０，求线段 ＡＥ 的长．
７．如图，Ｅ 是 ＡＢＣＤ 边 ＡＤ延长线上一点，连接 ＢＥ，ＣＥ，ＢＤ，ＢＥ 交 ＣＤ 于点 Ｆ．添加以下条件，不能判定四边形 ＢＣＥＤ 为平行四边形的是 （ ）
Ａ．ＢＤ∥ＣＥ Ｂ．ＤＥ＝ＢＣ
Ｃ．∠ＡＥＣ＝∠ＣＢＤ Ｄ．∠ＡＥＢ＝∠ＢＣＤ
８．如图，Ｆ 是 ＡＢＣＤ 的边 ＣＤ上的点，Ｑ 是 ＢＦ 的中点，连接 ＣＱ 并延长交 ＡＢ 于点 Ｅ，连接 ＡＦ 与 ＤＥ 相交于点 Ｐ，若 Ｓ△ＡＰＤ＝ ４ ｃｍ２，Ｓ ＡＢＣＤ＝ ６４ ｃｍ２，则阴影部分的面积为 （ ）
Ａ．２８ｃｍ２ Ｂ．２６ｃｍ２ Ｃ．２４ｃｍ２ Ｄ．２０ｃｍ２
９．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＤ，点 Ｅ 为 ＡＤ 上一点，连接 ＢＥ，ＣＥ．若 ＡＥ＝ＤＥ＝ＢＣ＝５，则ＢＥ２＋ＣＥ２ ＝ ．
１０．如图，四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ＣＤ，对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，ＡＥ⊥ＢＤ 于点 Ｅ，ＣＦ⊥ＢＤ 于点 Ｆ，连接 ＡＦ，ＣＥ，若ＤＥ＝ＢＦ，则下列结论：①ＣＦ＝ＡＥ；②ＯＥ＝ＯＦ；③四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确的结论是 （填序号）．
１１．如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ ＡＣ＝ １０ ｃｍ，ＢＣ ＝ 4ｃｍ，其中 ＢＤ是 ＡＣ 边上的高．点 Ｍ 从点 Ａ 出发，沿 ＡＣ 方向匀速运动，速度为 ４ ｃｍ/ｓ；同时点 Ｐ 由 Ｂ 点出发，沿ＢＡ 方向匀速运动，速度为 １ｃｍ/ｓ，过点 Ｐ 的直线ＰＱ∥ＡＣ，交 ＢＣ 于点 Ｑ，连接 ＰＭ，设运动时间为 ｔ（ｓ）（０＜ｔ＜２．５），解答下列问题：
（１）线段 ＢＰ＝ ｃｍ，ＡＭ＝ ｃｍ（用含 ｔ 的代数式表示）．
（２）求 ＡＤ 的长．
（３）当 ｔ 为何值时，以 Ｐ，Ｑ，Ｄ，Ｍ 为顶点的四边形是平行四边形？
12．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＤ⊥ＢＣ 于 Ｄ，ＢＧ 平分∠ＡＢＣ，分别交 ＡＤ，ＡＣ 于点 Ｅ，Ｇ，ＥＦ∥ＢＣ 交 ＡＣ 于 Ｆ，求证：ＡＥ＝ＣＦ．
13.如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ＣＤ，ＢＣ＞ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｃ．求证：∠Ａ＝∠Ｄ．
14．如图，在等腰三角形 ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ ＡＣ，延长边 ＡＢ 到点 Ｄ，延长边 ＣＡ 到点 Ｅ，连接ＤＥ，恰有 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＥ＝ＤＥ．求∠ＢＡＣ 的度数．
15．如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ ＡＣ，延长ＡＢ 到点 Ｄ，使ＢＤ＝ＡＢ，点 Ｅ 是 ＡＢ 的中点，连接ＣＤ，ＣＥ．求证：ＣＤ＝２ＣＥ．
16．如图， ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＞ＡＤ，∠ＤＡＢ 与∠ＡＤＣ 的平分
线交于点 Ｅ，∠ＡＢＣ 与∠ＢＣＤ 的平分线交于点 Ｆ，连接 ＥＦ．求证：ＥＦ＝ＡＢ－ＢＣ．
17．如图，已知在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ，Ｄ 为 ＡＢ 上一点，Ｅ 为 ＡＣ 延长线上一点，ＢＤ ＝ＣＥ，连接 ＤＥ．求证：ＤＥ＞ＢＣ．
２１．２．３ 三角形的中位线
１．如图，小张想估测被池塘隔开的 Ａ，Ｂ 两处景观之间的距离，他先在 ＡＢ 外取一点 Ｃ，然后步测出 ＡＣ，ＢＣ 的中点 Ｄ，Ｅ，并步测出ＤＥ 的长约为 １８ ｍ，由此估测 Ａ，Ｂ 之间的距离为（ ）
Ａ．１８ ｍ Ｂ．２４ ｍ Ｃ．３６ ｍ Ｄ．５４ ｍ
２．如图，点 Ｄ，Ｅ，Ｆ 分别是△ＡＢＣ 各边的中点，∠Ａ＝ ７０°，则∠ＥＤＦ＝ （ ）
Ａ．２０° Ｂ．４０° Ｃ．７０° Ｄ．１１０°
３．如图， ＡＢＣＤ 的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，Ｅ 是 ＡＢ 的中点，则下列结论一定成立的是（ ）
Ａ．ＤＢ＝ ２ＥＯ Ｂ．ＢＣ＝ ２ＥＯ
Ｃ．ＡＢ＝ ２ＥＯ Ｄ．ＤＣ＝ ２ＥＯ
４．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 １，△ＡＢＣ 的三个顶点均在网格线的交点上，点 Ｄ，Ｅ 分别是边 ＢＡ，ＣＡ 与网格线的交点，连接 ＤＥ，则 ＤＥ 的长为 （ ）
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
５．已知，如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＣ ＝ ７ｃｍ，点 Ｄ，Ｅ 分别是 ＡＣ，ＢＣ 的中点，连接 ＤＥ，在 ＤＥ上有一点 Ｆ，ＥＦ＝ ２ ｃｍ，连接 ＡＦ，ＣＦ，若 ＡＦ⊥ＣＦ，则ＡＢ＝ ｃｍ ．
６．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，点Ｍ为边 ＡＤ上一点，ＡＭ＝２ＤＭ，ＢＭ平分∠ＡＢＣ，点 Ｅ，Ｆ 分别是 ＢＭ，ＣＭ 的中点，若ＥＦ＝３ｃｍ，则ＡＢ的长为 ｃｍ ．
７．如图，已知在 ＡＢＣＤ 中，Ｅ 为 ＡＢ 的中点，连接 ＢＤ．
（１）请用无刻度直尺作△ＡＢＤ 中与 ＡＤ 平行的中位线 ＥＦ（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（２）在（１）的条件下，若 ＥＦ＝ ５，求 ＢＣ 的长．
８．如图，在△ＡＢＣ 中，Ｄ，Ｅ 分别是ＡＢ，ＡＣ 的中点，连接 ＤＥ，延长 ＢＣ 到点 Ｆ，使得ＣＦ＝ＢＣ，连接 ＤＦ 交 ＡＣ 于点 Ｏ．求证：ＯＣ＝ＯＥ．
９．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ⊥ＢＤ，且 ＡＣ ＝ ３，ＢＤ ＝ ４，点 Ｅ，Ｆ 分别是边ＡＢ，ＣＤ 的中点，则 ＥＦ 的长度是 （ ）
Ａ． Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．２
１０．如图，△ＡＢＣ 中，ＢＣ＝５，ＡＣ ＝ ３，ＣＥ 平分∠ＡＣＤ，ＡＤ⊥ＣＥ 于 Ｅ，ＡＤ 交 ＢＣ 于Ｄ，Ｆ 为 ＡＢ 的中点，则 ＥＦ＝ ．
１１．如图，在△ＡＢＣ 中，ＢＡ＝ＢＣ＝ ５，ＡＣ＝ ６，点 Ｄ，Ｅ 分别是边 ＡＣ，ＢＣ 上的动点，分别取 ＡＤ，ＤＥ 的中点 Ｍ，Ｎ，则 ＭＮ 的最小值是 ．
12．如图，四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ ＝3，ＡＤ ＝ ３，点 Ｍ，Ｎ分别为线段 ＢＣ，ＡＢ 上的动点（含端点，但点 Ｍ 不与点 Ｂ 重合），点 Ｅ，Ｆ 分别为 ＤＭ，ＭＮ 的中点，则 ＥＦ 的最大值为 （ ）
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．４.５ Ｄ．５
13．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ 和 ＢＤ 相交于点 Ｏ，分别与 ＭＮ 相交于点Ｆ，Ｅ，ＡＣ ＝ ＢＤ，Ｍ，Ｐ，Ｎ 分别是边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ 的中点，Ｑ 是 ＭＮ 的中点．求证：ＰＱ⊥ＭＮ．
14．如图，四边形 ＡＢＣＤ 中，已知 ＡＢ ＝ ＣＤ，点 Ｅ，Ｆ 分别为 ＡＤ，ＢＣ 的中点，延长 ＢＡ，ＣＤ，分别交射线 ＦＥ 于Ｐ，Ｑ 两点．求证：∠ＢＰＦ＝∠ＣＱＦ．
15．如图，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，ＢＡ ＝ ＢＣ，△ＢＥＦ 为等腰直角三角形，∠ＢＥＦ ＝ ９０°，Ｍ 为 ＡＦ 的中点，连接 ＭＥ，求证：ＭＥ＝ＣＦ．
16．如 图，在△ＡＢＣ 中， ＡＥ平分∠ＢＡＣ，ＢＥ⊥ＡＥ于点Ｅ，点 Ｆ 是 ＢＣ 的中点．
（１）如图 １，ＢＥ 的延长线与 ＡＣ 边相交于点 Ｄ，求证：ＥＦ＝（ＡＣ－ＡＢ）．
（２）如图 ２，写出线段 ＡＢ，ＡＣ，ＥＦ 的数量关系，并证明你的结论．
17．如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ，点 Ｄ 是边 ＡＢ 上一点，ＤＥ∥ＢＣ 交 ＡＣ 于点 Ｅ，连接 ＢＥ，点 Ｆ，Ｇ，Ｈ 分别为 ＢＥ，ＤＥ，ＢＣ 的中点．
（１）求证：ＦＧ＝ＦＨ．
（２）当∠Ａ 为多少度时，ＦＧ⊥ＦＨ？ 并说明理由．
18．如图 １，ＢＤ，ＣＥ 分别是△ＡＢＣ 的外角平分线，过点 Ａ 作 ＡＦ⊥ＢＤ，ＡＧ⊥ＣＥ，垂足分别为 Ｆ，Ｇ，连接 ＦＧ，延长 ＡＦ，ＡＧ，与直线ＢＣ相交于Ｍ，Ｎ．
（１）求证：ＦＧ＝（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）．
（２）如图 ２，ＢＤ，ＣＥ 分别是△ＡＢＣ 的内角平分线，如图 ３，ＢＤ 为△ＡＢＣ 的内角平分线，ＣＥ 为△ＡＢＣ 的外角平分线．在图 ２、图 ３ 两种情况下，线段 ＦＧ 与△ＡＢＣ 的三边又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．
答案
第 1 课时 平行四边形的性质（1）
１．Ｃ
２．Ａ
３．Ｂ
４．解析 证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，
∴ ＢＣ ∥ ＡＤ，ＢＣ ＝ ＡＤ ＝ ５，
∴ ∠Ｄ ＝ ∠ＦＣＥ，
∵ Ｅ 是 ＣＤ 的中点，
∴ ＤＥ ＝ ＣＥ，
在△ＡＤＥ 和△ＦＣＥ中，
∴ △ＡＤＥ≌△ＦＣＥ（ＡＳＡ），
∴ ＦＣ＝ ＡＤ＝ ５，
∴ ＢＦ＝ＢＣ＋ＦＣ＝５＋５＝１０．
５．Ｃ
６．４
７．２０
８．Ｃ
９．Ａ
１０．
１１．2
12．２
13．２
14．(1)略 （2）BF=3 △ＡＤＦ的面积=9
15．(1)略 （2）60cm
16．解析 （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＯＢ＝ＯＤ，ＡＢ∥ＣＤ．
∴∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ．
又∵∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ，
∴ △ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（ＡＳＡ）．
∴ＯＥ＝ＯＦ．
(2)①45°
②1+
第 2 课时 平行四边形的性质（2）
１．Ｂ
２．Ａ
３．５
４．
５．解析 如图，过点 Ａ 作 ＡＥ⊥ＢＣ，垂足为 Ｅ．
∵ ＡＥ，ＤＣ 的长都是平行线 ＡＤ，ＢＣ 之间的距离，
∴ ＡＥ＝ＤＣ＝ ４．∵ ∠Ｃ＝ ９０°，ＡＥ⊥ＢＣ，
∴ ＡＥ∥ＤＣ，
又∵ＡＤ∥ＢＣ，
∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形，
∴ ＥＣ＝ ＡＤ＝ ３．
∴ ＢＥ＝ＢＣ－ＥＣ＝ ６－３ ＝ ３，
∴ 在 Ｒｔ△ＡＢＥ 中，ＡＢ＝＝５．
６．Ｃ
７．４０
8．解析 （１）证明：在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＯ＝ＤＯ，ＡＯ＝ＣＯ，
∴ ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ．
∵点Ｅ，Ｆ分别为ＯＢ，ＯＤ 的中点，
∴ ＢＥ＝ＢＯ，ＤＦ＝ＤＯ，
∴ ＢＥ＝ＤＦ．
在△ＡＢＥ 和△ＣＤＦ 中，
∴ △ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ），
∴ ＡＥ＝ＣＦ．
（２）2
９．Ｂ
１０．Ｃ
１１．解析 （１）证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，
∴ ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ ＝ＣＤ，
∴ ∠ＤＡＥ ＝ ∠Ｅ，
∵ ＡＥ 平分∠ＢＡＤ，
∴ ∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ，
∴ ∠Ｅ＝∠ＢＡＥ，
∴ ＢＥ＝ ＡＢ，
∴ ＢＥ＝ＣＤ．
(2)由（１）得 ＢＥ＝ ＡＢ，
∵ ∠ＢＡＥ＝ ６０°，
∴ △ＡＢＥ 是等边三角形，
∴ ＡＥ＝ ＡＢ＝ ４，
∵ ＢＦ⊥ＡＥ，
∴ ＡＦ＝ＥＦ＝ ２，
∴ ＢＦ＝＝ 2，
∵ ＡＤ∥ＢＣ，
∴∠Ｄ＝∠ＥＣＦ，
在△ＡＤＦ 和△ＥＣＦ中，
∴ △ＡＤＦ≌△ＥＣＦ（ＡＡＳ），
∴Ｓ△ＡＤＦ＝Ｓ△ＥＣＦ，
∴ Ｓ平行四边形ＡＢＣＤ＝ Ｓ△ＡＢＥ＝ＡＥ·ＢＦ ＝×4×2＝4．
１２．解析 （１） 证明：∵ 四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＡＢ∥ＣＤ， ＯＢ ＝ ＯＤ，
∴ ∠ＯＢＦ ＝∠ＯＤＥ，∠ＢＦＯ＝∠ＤＥＯ，
∴△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ（ＡＡＳ），
∴ ＯＦ＝ＯＥ，
又∵ ＯＢ＝ＯＤ，
∴ 四边形 ＢＥＤＦ 是平行四边形，
∴ ＢＥ∥ＦＤ．
（2）∵ ＢＤ ⊥ＢＣ，
∴ ∠ＣＢＤ＝９０°，
∵ ∠ＢＣＤ＝６０°，
∴ ∠ＢＤＣ＝９０°－６０° ＝３０°，
∴ＣＤ ＝２ＢＣ，
∴ ＢＤ＝＝BC，
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ＯＢ＝ＢＤ＝ＢＣ，ＢＣ＝ＡＤ，
∴＝＝．
１３．解析 （１）证明：∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ∥ＢＣ，
∴ ∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ，
在△ＡＯＥ 和△ＣＯＦ 中，
∴ △ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＳＡ），
∴ ＯＥ＝ＯＦ．
（２）成立
２１．２．２ 平行四边形的判定
第 1 课时 平行四边形的判定（1）
１．Ｃ
２．Ｂ
３．Ｂ
４．Ｃ
５．是
６．Ｃ
７．ＯＢ＝ＯＤ（答案不唯一）
８．证明 ∵ ∠ＥＯＢ 与∠ＦＯＤ 是对顶角，
∴ ∠ＥＯＢ＝∠ＦＯＤ，
在△ＥＯＢ 和△ＦＯＤ 中，
∴ △ＥＯＢ≌△ＦＯＤ（ＡＳＡ），
∴ ＯＥ＝ＯＦ，
∵ ＡＥ＝ＣＦ，
∴ ＯＡ＝ＯＣ，
∵ ＯＢ＝ＯＤ，
∴ 四边形ＡＢＣＤ为平行四边形．
９．Ｃ
１０．Ｃ
11．３
１２．解析 （１）证明：如图，连接 ＡＣ 交 ＢＤ 于点 Ｏ，
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，
∵ Ｍ，Ｎ 是对角线 ＢＤ 的三等分点，
∴ ＢＭ＝ＤＮ，
∴ ＯＢ－ＢＭ＝ＯＤ－ＤＮ，即 ＯＭ＝ＯＮ，
∴ 四边形 ＡＭＣＮ 是平行四边形．
（２）6+2
13．解析 （１） ∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，
∴ ＢＣ ＝ ＡＤ ＝６，ＡＤ∥ＢＣ，
∵ 点 Ｂ，Ｃ 都在 ｘ 轴上，点 Ａ在 ｙ 轴上，ＯＡ＝ ４，
∴ Ｄ（６，４），
∵ ＯＢ＝ ３，
∴ ＯＣ＝ＢＣ－ＯＢ＝ ６－３ ＝ ３，
∴ Ｃ（３，０）．
（２）存在，点 Ｎ 的坐标为（－３，２）或（９，２）或（３，６）．
详解：由（１）得 Ｄ（６，４），
∵Ｅ 是线段 ＯＤ 的中点，
∴ Ｅ（３，２），
∵ 点 Ａ 在 ｙ 轴上，且 ＯＡ＝ ４，
∴ Ａ（０，４），
设 Ｎ（ｘ，ｙ），分情况讨论如下：
①当 ＡＥ 为对角线时，＝，＝，
解得 ｘ ＝ －３，ｙ ＝ ２，
∴ Ｎ（－３，２）；
②当 ＤＥ 为对角线时，＝，＝，
解得 ｘ ＝ ９，ｙ ＝ ２，
∴ Ｎ（９，２）；
③当 ＡＤ 为对角线时，＝，＝，
解得 ｘ ＝ ３，ｙ ＝ ６，
∴ Ｎ（３，６）．
综上所述，平面内存在一点 Ｎ，使以Ａ，Ｄ，Ｅ，Ｎ为顶点的四边形是平行四边形，点 Ｎ 的坐标为（－３，２）或（９，２）或（３，６）．
第 2 课时 平行四边形的判定（2）
１．Ｃ
２．Ｄ
３．Ｃ
4.证明 （１）∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＡＤ＝ＣＢ，∠Ａ＝∠Ｃ，
在△ＡＤＥ 和△ＣＢＦ 中，
∴ △ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）．
（２）略
５．解析 （１）证明：根据小明的作法知 ＣＦ＝ＡＥ，
∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
∴ ＡＤ∥ＢＣ，
又∵ ＣＦ ＝ＡＥ，
∴ 四边形 ＡＦＣＥ 是平行四边形，
∴ ＡＦ∥ＣＥ．
（２）以点Ａ为圆心，ＣＥ 长为半径画弧，交 ＢＣ 于点Ｆ，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．故小丽的作法有问题．
６．解析 选择①或②．
（１）若选择①，证明如下：
∵ ∠Ｂ＝∠ＡＥＤ，
∴ ＢＣ∥ＤＥ，
∵ ＡＢ∥ＣＤ，
∴ 四边形 ＢＣＤＥ为平行四边形．
若选择②，证明如下：
∵ ＡＥ＝ＢＥ，ＡＥ＝ＣＤ，
∴ ＢＥ＝ＣＤ，
∵ ＡＢ∥ＣＤ，
∴ 四边形 ＢＣＤＥ 为平行四边形．
（２） 由 （ １） 可知，四边形 ＢＣＤＥ为平行四边形，
∴ ＤＥ＝ ＢＣ ＝ １０，
∵ ＡＤ⊥ＡＢ，
∴ ∠Ａ ＝ ９０°，
∴ ＡＥ＝=６，即线段 ＡＥ 的长为 ６．
７．Ｄ
８．Ａ
９．２５
１０．①②③
１１．解析 （１）ｔ；４ｔ．
（２）设 ＡＤ＝ ｘ ｃｍ，则 ＣＤ＝ （１０－ｘ）ｃｍ，
∵ ＢＤ 是 ＡＣ 边上的高，
∴ ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ＝ ９０°，
∴ ＢＤ２＝ ＡＢ２－ＡＤ２ ＝ＢＣ２－ＣＤ２，
∴ １０２－ｘ２＝（4）２－（１０－ｘ）２，
解得 ｘ＝ ６，
∴ ＡＤ＝６ｃｍ．
（３）分两种情况：
①当点 Ｍ 在线段 ＡＤ 上时，如图所示，
∵ ＡＢ＝ ＡＣ，
∴ ∠ＡＢＣ＝∠Ｃ，
∵ ＰＱ∥ＡＣ，
∴ ∠ＰＱＢ ＝∠Ｃ，
∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＰＱＢ，
∴ ＰＱ＝ＢＰ＝ ｔ ｃｍ，
由（２）得 ＡＤ＝６ｃｍ，
∴ ＭＤ＝ ＡＤ－ＡＭ＝ （６－４ｔ）ｃｍ．
∵ ＰＱ∥ＭＤ，
∴ 当 ＰＱ＝ＭＤ，即 ｔ＝６－４ｔ 时，四边形 ＰＱＤＭ 是平行四边形，此时 ｔ＝１.２；
②当点 Ｍ 在线段 ＣＤ 上时，如图所示，易得 ＰＱ＝ ＢＰ ＝ ｔ ｃｍ，ＭＤ ＝（４ｔ－６）ｃｍ．
∵ ＰＱ∥ＭＤ，
∴ 当ＰＱ＝ ＭＤ，即ｔ ＝ ４ｔ－６ 时，四边形 ＰＱＭＤ 是平行四边形，此时 ｔ ＝ ２．
综上所述，当 ｔ ＝ １.２ 或 ｔ ＝２时，以Ｐ，Ｑ，Ｄ，Ｍ为顶点的四边形是平行四边形．
略
13.证明 作 ＤＥ∥ＡＢ 交 ＢＣ 于Ｅ，如图所示，则∠Ｂ＝∠ＤＥＣ，
∵ ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，
∴ ∠ＤＥＣ ＝ ∠Ｃ，
∴ ＤＥ＝ＤＣ，
∵ ＡＢ＝ＣＤ，
∴ ＡＢ＝ＤＥ，
∴ 四边形 ＡＢＥＤ 是平行四边形，
∴ ∠Ａ＝∠ＢＥＤ，ＡＤ∥ＢＣ，
∴ ∠ＡＤＥ＝∠ＤＥＣ．
∵ ∠ＢＥＤ＝∠Ｃ＋∠ＥＤＣ，
∴ ∠Ａ＝∠ＡＤＥ＋∠ＥＤＣ＝∠ＡＤＣ．
14．100°
15．略
16．略
17．证明 如图，过点 Ｄ 作 ＤＦ∥ＢＣ，且 ＤＦ＝ＢＣ，连接 ＥＦ，
ＣＤ，ＣＦ，
∴ 四边形 ＤＢＣＦ 是平行四边形，
∴ ＢＤ ＝ ＣＦ，∠Ｂ＝∠ＤＦＣ，
∵ ＢＤ＝ＣＥ，
∴ ＣＥ ＝ＣＦ，
∴ ∠ＣＥＦ ＝∠ＣＦＥ．
∵ ＡＢ＝ＡＣ，
∴ ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＣ，
∵ ∠ＡＣＢ ＝∠ＣＧＥ＋∠ＤＥＣ＞∠ＤＥＣ，
∴ ∠ＤＦＥ ＝∠ＤＦＣ＋∠ＣＦＥ ＞∠ＤＥＣ＋∠ＣＥＦ＝∠ＤＥＦ，
∴ ＤＥ＞ＤＦ，
∵ ＤＦ＝ＢＣ，
∴ ＤＥ＞ＢＣ．
２１．２．３ 三角形的中位线
１．Ｃ
２．Ｃ
３．Ｂ
４．Ｂ
５．１１
６．４
７．解析 （１）如图，连接 ＡＣ，交 ＢＤ 于Ｆ，连接 ＥＦ，则线段 ＥＦ 就是所求作的线段．
（２）∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为平行四边形，
∴ ＡＤ＝ＢＣ，由（１）知 ＥＦ 是△ＡＢＤ 的中位线，
∴ ＡＤ＝ ２ＥＦ＝ １０，
∴ ＢＣ＝ ＡＤ＝ １０．
８．证明 ∵ Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ 的中点，
∴ ＤＥ 是△ＡＢＣ 的中位线，
∴ ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝ＢＣ，
∴ ∠ＤＥＯ＝∠ＦＣＯ，
∵ ＣＦ＝ＢＣ，
∴ ＤＥ＝ＣＦ，
∵ ∠ＤＯＥ＝∠ＦＯＣ，
∴ △ＤＯＥ≌△ＦＯＣ（ＡＡＳ），
∴ ＯＣ＝ＯＥ．
９．Ｃ
１０．１
１１．
12．Ａ
13．略
14．证明 如图，连接 ＢＤ，取 ＢＤ 的中点 Ｍ，连接 ＥＭ，ＦＭ．
∵ 点 Ｅ 是ＡＤ 的 中 点，
∴ 在 △ＡＢＤ中，ＥＭ∥ＡＢ，ＥＭ＝ＡＢ，
∴ ∠ＭＥＦ＝∠Ｐ，同理可证，ＦＭ∥ＣＤ，ＦＭ＝ＣＤ.
∴∠ＭＦＱ ＝ ∠ＣＱＦ，
∵ ＡＢ ＝ ＣＤ，
∴ ＥＭ ＝ ＦＭ，
∴ ∠ＭＥＦ ＝ ∠ＭＦＥ，
∴ ∠Ｐ＝∠ＣＱＦ．
15．证明 如图，延长 ＦＥ 至 Ｎ，使 ＥＮ ＝ ＥＦ，连接 ＢＮ，ＡＮ，
∵ Ｍ 是 ＡＦ 的中点，
∴ ＭＥ 是△ＡＦＮ 的中位线，
∴ ＭＥ＝ＡＮ．
∵ ＥＦ ＝ ＥＮ，∠ＢＥＦ ＝ ９０°，
∴ ＢＥ 垂直平分 ＦＮ，
∴ ＢＦ ＝ ＢＮ，
∴ ∠ＢＮＦ ＝ ∠ＢＦＮ．
∵ △ＢＥＦ为等腰直角三角形，∠ＢＥＦ ＝ ９０°，
∴ ∠ＢＦＮ ＝ ４５°，
∴ ∠ＢＮＦ＝ ４５°，
∴ ∠ＦＢＮ ＝ ９０°，即∠ＦＢＡ＋∠ＡＢＮ ＝９０°．
又∵ ∠ＦＢＡ＋∠ＣＢＦ＝ ９０°，
∴ ∠ＣＢＦ ＝∠ＡＢＮ．
在△ＢＣＦ 和△ＢＡＮ 中，
∴ △ＢＣＦ≌△ＢＡＮ．
∴ ＣＦ＝ ＡＮ．
∴ ＭＥ＝ＡＮ＝ＣＦ．
16．（1）略
（2）ＥＦ＝（ＡＢ－ＡＣ）
17．解析 （１）证明：∵ ＡＢ＝ ＡＣ，
∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，
∵ ＤＥ∥ＢＣ，
∴ ∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ，∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ，
∴ ∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ，
∴ ＡＤ＝ ＡＥ，
∴ ＤＢ＝ＥＣ，
∵ 点 Ｆ，Ｇ，Ｈ 分别为 ＢＥ，ＤＥ，ＢＣ 的中点，
∴ ＦＧ 是△ＥＤＢ 的中位线，ＦＨ 是△ＢＣＥ 的中位线，
∴ ＦＧ＝ＢＤ，ＦＨ＝ＣＥ，
∴ ＦＧ＝ＦＨ．
（２）90°
18．解析 （ １） 证明：∵ ＡＦ⊥ＢＤ，
∴ ∠ＡＦＢ＝∠ＭＦＢ＝ ９０°，
∵ ＢＤ 平分 ∠ＡＢＭ，
∴ ∠ＡＢＦ ＝ ∠ＭＢＦ，
∵ ＢＦ ＝ ＢＦ，
∴ △ＡＢＦ≌△ＭＢＦ，
∴ ＡＢ ＝ ＭＢ， ＡＦ ＝ ＭＦ，
同理可得，ＣＮ＝ＡＣ，ＡＧ ＝ ＮＧ，
∴ ＦＧ 是△ＡＭＮ 的中位线，
∴ ＦＧ＝ＭＮ＝（ＭＢ＋ＢＣ＋ＣＮ）＝（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）．
（２）题图 ２ 中，ＦＧ＝（ＡＢ＋ＡＣ－ＢＣ）．题图 ３ 中，ＦＧ＝（ＡＣ＋ＢＣ－ＡＢ）．
如图 １，延长 ＡＦ，ＡＧ，与直线 ＢＣ 相交于 Ｍ，Ｎ，
由（１）可知，ＭＢ＝ ＡＢ，ＡＦ＝ＭＦ，ＣＮ＝ ＡＣ，ＡＧ＝ＮＧ，
∴ ＦＧ＝ＭＮ＝（ＢＭ＋ＣＮ－ＢＣ）＝（ＡＢ＋ＡＣ－ＢＣ）．
如图 ２，延长 ＡＦ，ＡＧ，与直线 ＢＣ 相交于 Ｍ，Ｎ，由（１）可知，ＭＢ＝ ＡＢ，ＡＦ＝ＭＦ，ＣＮ＝ ＡＣ，ＡＧ＝ＮＧ，
∴ ＦＧ＝ＭＮ＝（ＣＮ＋ＢＣ－ＢＭ）＝（ＡＣ＋ＢＣ－ＡＢ）．

展开更多......

收起↑