资源简介

广东省汕头市潮阳区六校联盟2025年中考模拟考试三模数学试题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若收入100元记作元，则支出40元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．国家统计局发布的数据显示，2023年全年全国粮食总产量亿斤，比上年增加亿斤，增长，连续9年稳定在万亿斤以上．数据“万亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．利用如图所示的方法（图下方的①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．关于其中的原理，下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
4．由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则下列关系中正确的是（　　）
A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．a＜b＜c
6．若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同，并设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2，2，2＋2，则∠BAD的度数等于(　　)
A．120° B．135° C．150° D．以上都不对
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：　 　．
12．计算：　 　．
13．某班的八个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，6，9，7，6，9，则这组数据的众数是　 　．
14．如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为　 　．
15．已知抛物线 与线段AB无公共点，且A（-2，-1），B（-1，-2），则a的取值范围是　 　.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．化简求值：，其中．
17．如图，，，．求证：．
18．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？
（2）若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．某市教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是___________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为___________；
（2）补全条形统计图：
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有1000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
20．如图，为半的直径，与半圆相切，四边形是平行四边形，与半交于点
（1）求证：是半的切线；
（2）若，，求平行四边形的面积．
21．如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为．
（1）求像的长；
（2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）
22．
（1）如图1，在Rt中，，垂足分别为点，求证：；
（2）如图2，在中，，过点作，过点作，垂足分别为点．猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在等腰中，，．
①求出点坐标；
②若点（不与点重合）在坐标平面内，若以点为顶点的三角形与全等，直接写出点的所有可能坐标．
23．在梯形中，，点在边上，且．
（1）如图1所示，点在边上，且，连接，求证：；
（2）已知；
①如图2所示，点为的平分线上一点，且，求的长；
②如图3所示，如果点在边上，连接与交于．如果，且，求边的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入100元记作元，
∴支出40元记作元．
故答案为：B．
【分析】正负数表示具有相反意义的量，因此先规定其中一个为正数，则另一个就用负数表示。本题中先规定收入100元记作元，则支出40元记作元．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵万亿，
∴“万亿”用科学记数法表示为，
故选：C．
【分析】科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
由题图（2）的操作可得：∠PEB+∠PEA=180°，∠PEB=∠PEA，
∴∠PEA=90°，
同理，由题图（3）的操作可得∠NPE=90°，
∴，
∴MN//AB.
故答案为：A．
【分析】先根据折叠的性质得到∠PEA=90°，∠NPE=90°，根据平行线的判定方法即可求解．
4．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：组合体的左视图为：
左视图的面积=4×1×1=，
故答案为：C．
【分析】左视图，即从左边看到的立体图形的形状。本题根据左视图的定义先画出左视图，然后结合正方形的面积计算公式列式计算即可．
5．【答案】C
【知识点】幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵a=8131=3124，b=2741=3123，c=961=3122，
∴a＞b＞c．
故选：C．
【分析】根据幂的乘方的逆运算变形，再比较大小即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解集在数轴上表示如下：
故答案为：D．
【分析】用数轴表示不等式的解集时，首先标出原点和界点．定边界点时要注意，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．本题据此先找到-2点，因为解集包括-2，因此-2点是实心，然后根据“小于向左”即可表示出解集。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】设进馆人次的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误；故选C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各个命题进行分析，从而得到答案．
9．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=-k的图象，得k＞0，k值相互矛盾，故A错误；
B、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=-k的图象，得k＜0，故B正确；
C、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=-k的图象，得k＜0，k值相矛盾，故C错误；
D、由函数y=kx的图象的图象经过原点，故D错误；
故选：B．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过A作AE⊥CD于E，如图
∵AB⊥BC，AB∥DC，
∴∠B=∠C=∠AED=∠AEC=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AB=CE=2，AE=BC=2，∠BAE=90°．
∵CD=22，
∴DE=2+2-2=2，
∴AD==4=2AE，
∴∠D=30°，∠DAE=90°-30°=60°．
∴∠BAD=90°+60°=150°．
故答案为：C．
【分析】做辅助线后，结合平行线的判定及性质，综合得出四边形ABCE是矩形，此时根据矩形的性质得出AB=CE=2，AE=BC=2，∠BAE=90°，根据勾股定理求出AD=4，根据“含30°直角三角形的性质”即可求出∠DAE=60°的度数，最后角度求和即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】本题先提公因式4，变为4（m2-n2），然后再利用平方差公式对括号里面的式子进行因式分解即可．
12．【答案】6
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：
，
故答案为：6．
【分析】本题先计算零次幂20250=1、负整数指数幂、乘方（-1）2025=-1，再进行有理数的加减法计算即可．
13．【答案】9
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在所给数据中，9出现的3次，出现次数最多，
∴众数是9，
故答案为：9．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
将代入直线中，得，
∴点，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【分析】本题结合条件可以先把点代入直线中，求出的=2，此时即可得到，而“直线与直线相交于点”，因此P点横纵坐标就是方程组的解，从而得出答案。
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】当二次函数开口向上时，抛物线与线段AB无公共点，则a＞0；当二次函数经过(－2，－1)时，则a= ，则 ＜a＜0时，抛物线与线段AB无公共点；当二次函数经过(－1，－2)时，则a= ，则 时，抛物线与线段AB无公共点．
【分析】此题分三种情况：①当二次函数开口向上时，抛物线与线段AB无公共点，则a＞0；②当二次函数经过(－2，－1)时，利用待定系数法求出a的值，根据抛物线与线段AB无公共点；从而得出a的取值范围；③当二次函数经过(－1，－2)时，利用待定系数法求出a的值，根据抛物线与线段AB无公共点；从而得出a的取值范围。
16．【答案】解：原式
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子分解因式，并将除法转变为乘法，进而将被除式的分子分解因式后约分化简，最后将a的值代入化简结果计算即可.
17．【答案】证明：在和中，
，
∴（SAS），
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题结合条件和图形，利用SAS证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可得出证明结果．
18．【答案】（1）解：设蓄电池的电压为，结合图中信息可知，I和R是反比例关系，
∴，
当时，，
∴，
即该函数的解析式为；
∴蓄电池的电压是，这个函数的解析式为；
（2）解：结合（1）的计算结果，，
解得，
∴该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；列不等式
【解析】【分析】（1）结合图象可以列出I和R的反比例关系式，然后将已知点（8，6）代入反比例函数表达式中，即可求出U，从而得出答案；
（2）根据（1）中求出的函数关系，结合条件列出不等式，求解即可得出答案。
（1）解：设蓄电池的电压为，由电学知识，得：，
观察图象，可知当时，，
因而，
故这个函数的解析式为；
所以蓄电池的电压是，这个函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，，得：．
因为电流I与电阻R成反比例关系，所以，
所以该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内．
19．【答案】（1）500；
（2）
（3）解：本次调查的样本容量为等级人数为50人，
等级人数所占比例为50÷500×，
全校1000人需要培训的学生人数（人），
故估计该校需要培训的学生人数为100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：条形统计图中A等级的人数为150，扇形统计图中A等级所占比例为，
本次调查的样本容量为，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为，
故答案为：（1）500；；
【分析】（1）根据条形统计图中A项为150人对应的扇形统计图中A项占比，计算出样本容量500；然后根据扇形统计图中计算的即可；
（2）根据扇形统计图中B选项占，求出条形统计图中B选项的人数，即B等级人数为（人），然后补全条形统计图即可；
（3）结合条件，列式求出“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为=10%，由此估计1000名学生所占的百分比也为10%，进而求出该校需要培训的学生人数．
（1）解：条形统计图中A等级的人数为150，扇形统计图中A等级所占比例为，
本次调查的样本容量为，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为，
故答案为：500；；
（2）解：本次调查的样本容量为等级人数占，
∴B等级人数为（人），
故本次调查的B等级人数为200人，
补全条形统计图如下：
（3）解：本次调查的样本容量为等级人数为50人，
等级人数所占比例为，
全校1000人需要培训的学生人数（人），
故估计该校需要培训的学生人数为100人．
20．【答案】（1）证明：连接，如图
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
（SAS），
，
切于A，
，
，
是半的切线。
（2）解：，，
∴在平行四边形BOCD中，，，
在中，，
而AC切于A，即AC是平行四边形底边CD上的高，
平行四边形的面积=CD×AC=．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；切线的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先结合圆的性质、等腰三角形的性质得出，然后结合平行四边形的性质以及“两直线平行、内错角相等、同位角相等”，综合推出，此时利用SAS证明，从而得出，然后根据切线的性质即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质以及条件，得出，，再利用勾股定理求出=4，最后结合切线的性质并结合图形得出，AC是平行四边形底边CD上的高，最后根据平行四边形面积公式计算即可．
（1）证明：连接，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
切于A，
，
，
是半的切线；
（2）解：四边形是平行四边形，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
平行四边形的面积是．
21．【答案】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
答：的长为；
（2）解；由（1）得，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
答：焦距的长约为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意得，，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）由（1）得，根据平行线分线段成比例定理可得，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即，代值计算即可求出答案.
（1）由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
答：的长为；
（2）解；由（1）得，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
答：焦距的长约为．
22．【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）①；②或或
（1）解：（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
。
（2）猜想：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
。
（3）①解：如图所示，过点作轴于点．
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②的坐标为：或或。
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）②解：如图所示，当公共边为时，过点作于点．
与全等，
是等腰直角三角形，
，
同理可得，
，
；
当为公共边时，且时，过点作直线，过点作于点，过点作于点．
同理可得，
，
；
当为公共边时，且时，过点作于点，过点作轴于点，同理可得，
，
综上所述，的坐标为：或或．
【分析】（1）先根据垂直的定义得出，然后根据直角三角形锐角互余和平角的定义，列式推出，此时利用AAS证明，从而得出，最后列式代入即可得出答案；
（2）结合垂直的定义、直角三角形锐角互余和平角的定义，利用AAS证明，推出，最后列式代入即可；
（3）①结合A点和C点的坐标，显得出AO和CO的长度，然后根据等腰直角三角形的性质以及平角的定义，列式推出，此时即可用AAS证明，得出，，最后计算出OD的长，即可得出B点坐标；
②分AB为公共边、AC为公共边且、AC为公共边且三种情形，添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质、等腰三角形的性质等即可求出P3点的坐标．
23．【答案】（1）证明：连接并延长和交于点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
（2）解：①过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
即，
，
；
②延长交于点，
，
，
，
，即，
，
，
为中点，
，
∴，
又，
，
，
，
也为中点，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）作辅助线后，结合“两直线平行、内错角相等”得出，然后结合“对顶角相等”以及AA证明，得，继而结合条件综合推出，然后结合“两条边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”再证明，得，从依据“同位角相等、两直线平行”得出；
（2）①做辅助线后结合条件，利用SSS证明，从而得出，再根据角平分线的定义、“两直线平行、同旁内角互补”推出，然后利用AA得出，得出对应边成比例，变形得到，从而代入求出的长度；
②利用平行得出，从而计算出，然后利用“两条边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”证明，得出，从而“内错角相等、两直线平行”得出，此时利用三角形中位线相纸计算出，接着利用AA证明，得出，即，解得，则可得出答案．
（1）证明：连接并延长和交于点，
，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
即，
，
；
②延长交于点，
，
，
，
，即，
，
，
为中点，
，
∴，
又，
，
，
，
也为中点，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
．
1 / 1广东省汕头市潮阳区六校联盟2025年中考模拟考试三模数学试题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若收入100元记作元，则支出40元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：∵收入100元记作元，
∴支出40元记作元．
故答案为：B．
【分析】正负数表示具有相反意义的量，因此先规定其中一个为正数，则另一个就用负数表示。本题中先规定收入100元记作元，则支出40元记作元．
2．国家统计局发布的数据显示，2023年全年全国粮食总产量亿斤，比上年增加亿斤，增长，连续9年稳定在万亿斤以上．数据“万亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵万亿，
∴“万亿”用科学记数法表示为，
故选：C．
【分析】科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
3．利用如图所示的方法（图下方的①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．关于其中的原理，下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
由题图（2）的操作可得：∠PEB+∠PEA=180°，∠PEB=∠PEA，
∴∠PEA=90°，
同理，由题图（3）的操作可得∠NPE=90°，
∴，
∴MN//AB.
故答案为：A．
【分析】先根据折叠的性质得到∠PEA=90°，∠NPE=90°，根据平行线的判定方法即可求解．
4．由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：组合体的左视图为：
左视图的面积=4×1×1=，
故答案为：C．
【分析】左视图，即从左边看到的立体图形的形状。本题根据左视图的定义先画出左视图，然后结合正方形的面积计算公式列式计算即可．
5．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则下列关系中正确的是（　　）
A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．a＜b＜c
【答案】C
【知识点】幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵a=8131=3124，b=2741=3123，c=961=3122，
∴a＞b＞c．
故选：C．
【分析】根据幂的乘方的逆运算变形，再比较大小即可求出答案.
6．若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解集在数轴上表示如下：
故答案为：D．
【分析】用数轴表示不等式的解集时，首先标出原点和界点．定边界点时要注意，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．本题据此先找到-2点，因为解集包括-2，因此-2点是实心，然后根据“小于向左”即可表示出解集。
7．某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同，并设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】设进馆人次的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求出答案.
8．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误；故选C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各个命题进行分析，从而得到答案．
9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=-k的图象，得k＞0，k值相互矛盾，故A错误；
B、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=-k的图象，得k＜0，故B正确；
C、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=-k的图象，得k＜0，k值相矛盾，故C错误；
D、由函数y=kx的图象的图象经过原点，故D错误；
故选：B．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
10．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2，2，2＋2，则∠BAD的度数等于(　　)
A．120° B．135° C．150° D．以上都不对
【答案】C
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过A作AE⊥CD于E，如图
∵AB⊥BC，AB∥DC，
∴∠B=∠C=∠AED=∠AEC=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AB=CE=2，AE=BC=2，∠BAE=90°．
∵CD=22，
∴DE=2+2-2=2，
∴AD==4=2AE，
∴∠D=30°，∠DAE=90°-30°=60°．
∴∠BAD=90°+60°=150°．
故答案为：C．
【分析】做辅助线后，结合平行线的判定及性质，综合得出四边形ABCE是矩形，此时根据矩形的性质得出AB=CE=2，AE=BC=2，∠BAE=90°，根据勾股定理求出AD=4，根据“含30°直角三角形的性质”即可求出∠DAE=60°的度数，最后角度求和即可．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】本题先提公因式4，变为4（m2-n2），然后再利用平方差公式对括号里面的式子进行因式分解即可．
12．计算：　 　．
【答案】6
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：
，
故答案为：6．
【分析】本题先计算零次幂20250=1、负整数指数幂、乘方（-1）2025=-1，再进行有理数的加减法计算即可．
13．某班的八个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，6，9，7，6，9，则这组数据的众数是　 　．
【答案】9
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在所给数据中，9出现的3次，出现次数最多，
∴众数是9，
故答案为：9．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
14．如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
将代入直线中，得，
∴点，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【分析】本题结合条件可以先把点代入直线中，求出的=2，此时即可得到，而“直线与直线相交于点”，因此P点横纵坐标就是方程组的解，从而得出答案。
15．已知抛物线 与线段AB无公共点，且A（-2，-1），B（-1，-2），则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】当二次函数开口向上时，抛物线与线段AB无公共点，则a＞0；当二次函数经过(－2，－1)时，则a= ，则 ＜a＜0时，抛物线与线段AB无公共点；当二次函数经过(－1，－2)时，则a= ，则 时，抛物线与线段AB无公共点．
【分析】此题分三种情况：①当二次函数开口向上时，抛物线与线段AB无公共点，则a＞0；②当二次函数经过(－2，－1)时，利用待定系数法求出a的值，根据抛物线与线段AB无公共点；从而得出a的取值范围；③当二次函数经过(－1，－2)时，利用待定系数法求出a的值，根据抛物线与线段AB无公共点；从而得出a的取值范围。
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．化简求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子分解因式，并将除法转变为乘法，进而将被除式的分子分解因式后约分化简，最后将a的值代入化简结果计算即可.
17．如图，，，．求证：．
【答案】证明：在和中，
，
∴（SAS），
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题结合条件和图形，利用SAS证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可得出证明结果．
18．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？
（2）若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【答案】（1）解：设蓄电池的电压为，结合图中信息可知，I和R是反比例关系，
∴，
当时，，
∴，
即该函数的解析式为；
∴蓄电池的电压是，这个函数的解析式为；
（2）解：结合（1）的计算结果，，
解得，
∴该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；列不等式
【解析】【分析】（1）结合图象可以列出I和R的反比例关系式，然后将已知点（8，6）代入反比例函数表达式中，即可求出U，从而得出答案；
（2）根据（1）中求出的函数关系，结合条件列出不等式，求解即可得出答案。
（1）解：设蓄电池的电压为，由电学知识，得：，
观察图象，可知当时，，
因而，
故这个函数的解析式为；
所以蓄电池的电压是，这个函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，，得：．
因为电流I与电阻R成反比例关系，所以，
所以该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．某市教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是___________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为___________；
（2）补全条形统计图：
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有1000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【答案】（1）500；
（2）
（3）解：本次调查的样本容量为等级人数为50人，
等级人数所占比例为50÷500×，
全校1000人需要培训的学生人数（人），
故估计该校需要培训的学生人数为100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：条形统计图中A等级的人数为150，扇形统计图中A等级所占比例为，
本次调查的样本容量为，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为，
故答案为：（1）500；；
【分析】（1）根据条形统计图中A项为150人对应的扇形统计图中A项占比，计算出样本容量500；然后根据扇形统计图中计算的即可；
（2）根据扇形统计图中B选项占，求出条形统计图中B选项的人数，即B等级人数为（人），然后补全条形统计图即可；
（3）结合条件，列式求出“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为=10%，由此估计1000名学生所占的百分比也为10%，进而求出该校需要培训的学生人数．
（1）解：条形统计图中A等级的人数为150，扇形统计图中A等级所占比例为，
本次调查的样本容量为，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为，
故答案为：500；；
（2）解：本次调查的样本容量为等级人数占，
∴B等级人数为（人），
故本次调查的B等级人数为200人，
补全条形统计图如下：
（3）解：本次调查的样本容量为等级人数为50人，
等级人数所占比例为，
全校1000人需要培训的学生人数（人），
故估计该校需要培训的学生人数为100人．
20．如图，为半的直径，与半圆相切，四边形是平行四边形，与半交于点
（1）求证：是半的切线；
（2）若，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：连接，如图
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
（SAS），
，
切于A，
，
，
是半的切线。
（2）解：，，
∴在平行四边形BOCD中，，，
在中，，
而AC切于A，即AC是平行四边形底边CD上的高，
平行四边形的面积=CD×AC=．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；切线的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先结合圆的性质、等腰三角形的性质得出，然后结合平行四边形的性质以及“两直线平行、内错角相等、同位角相等”，综合推出，此时利用SAS证明，从而得出，然后根据切线的性质即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质以及条件，得出，，再利用勾股定理求出=4，最后结合切线的性质并结合图形得出，AC是平行四边形底边CD上的高，最后根据平行四边形面积公式计算即可．
（1）证明：连接，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
切于A，
，
，
是半的切线；
（2）解：四边形是平行四边形，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
平行四边形的面积是．
21．如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为．
（1）求像的长；
（2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）．
【答案】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
答：的长为；
（2）解；由（1）得，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
答：焦距的长约为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意得，，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）由（1）得，根据平行线分线段成比例定理可得，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即，代值计算即可求出答案.
（1）由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
答：的长为；
（2）解；由（1）得，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
答：焦距的长约为．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）
22．
（1）如图1，在Rt中，，垂足分别为点，求证：；
（2）如图2，在中，，过点作，过点作，垂足分别为点．猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在等腰中，，．
①求出点坐标；
②若点（不与点重合）在坐标平面内，若以点为顶点的三角形与全等，直接写出点的所有可能坐标．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）①；②或或
（1）解：（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
。
（2）猜想：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
。
（3）①解：如图所示，过点作轴于点．
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②的坐标为：或或。
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）②解：如图所示，当公共边为时，过点作于点．
与全等，
是等腰直角三角形，
，
同理可得，
，
；
当为公共边时，且时，过点作直线，过点作于点，过点作于点．
同理可得，
，
；
当为公共边时，且时，过点作于点，过点作轴于点，同理可得，
，
综上所述，的坐标为：或或．
【分析】（1）先根据垂直的定义得出，然后根据直角三角形锐角互余和平角的定义，列式推出，此时利用AAS证明，从而得出，最后列式代入即可得出答案；
（2）结合垂直的定义、直角三角形锐角互余和平角的定义，利用AAS证明，推出，最后列式代入即可；
（3）①结合A点和C点的坐标，显得出AO和CO的长度，然后根据等腰直角三角形的性质以及平角的定义，列式推出，此时即可用AAS证明，得出，，最后计算出OD的长，即可得出B点坐标；
②分AB为公共边、AC为公共边且、AC为公共边且三种情形，添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质、等腰三角形的性质等即可求出P3点的坐标．
23．在梯形中，，点在边上，且．
（1）如图1所示，点在边上，且，连接，求证：；
（2）已知；
①如图2所示，点为的平分线上一点，且，求的长；
②如图3所示，如果点在边上，连接与交于．如果，且，求边的长．
【答案】（1）证明：连接并延长和交于点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
（2）解：①过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
即，
，
；
②延长交于点，
，
，
，
，即，
，
，
为中点，
，
∴，
又，
，
，
，
也为中点，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）作辅助线后，结合“两直线平行、内错角相等”得出，然后结合“对顶角相等”以及AA证明，得，继而结合条件综合推出，然后结合“两条边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”再证明，得，从依据“同位角相等、两直线平行”得出；
（2）①做辅助线后结合条件，利用SSS证明，从而得出，再根据角平分线的定义、“两直线平行、同旁内角互补”推出，然后利用AA得出，得出对应边成比例，变形得到，从而代入求出的长度；
②利用平行得出，从而计算出，然后利用“两条边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”证明，得出，从而“内错角相等、两直线平行”得出，此时利用三角形中位线相纸计算出，接着利用AA证明，得出，即，解得，则可得出答案．
（1）证明：连接并延长和交于点，
，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
即，
，
；
②延长交于点，
，
，
，
，即，
，
，
为中点，
，
∴，
又，
，
，
，
也为中点，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
．
1 / 1

展开更多......

收起↑