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浙江省杭州市萧山高桥初中2025-2026学年九年级下学期月考数学试卷
1．用科学记数法表示的数 的原数是(　　)
A．5002 B．500200 C．50020 D．500.2
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C .
【分析】原数可以写为5.002×10000，然后根据乘法运算法则解答即可．
2．底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，左视图为：
故答案为：C .
【分析】根据从左面看到的几何图形是左视图解答即可.
3．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=50°时，则∠2的度数为(　　)
A．130° B．100° C．50° D．40°
【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵直尺的两边互相平行，
∴，
∴，
故答案为：D .
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据平角的定义解答即可．
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】无理数的概念；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：的算术平方根是，
∵是有理数，
∴取立方根为，
∵是有理数，
∴取算术平方根为，
∵是无理数，
∴．
故选：A．
【分析】根据算术平方根，立方根的定义，结合有理数，无理数的定义即可求出答案.
5．不等式组的解集在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
故答案为：C .
【分析】先解不等式求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到不等式的解集，再表示在数轴上即可解答．
6．如图，在△ABC中， ∠C=42°， ∠A=88°，AB=60，则点A到BC的距离为(　　)
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作，垂足为D，
在中，，
，
在中，，
，
∴点A到的距离为．
故答案为：A .
【分析】过点A作，根据三角形内角和得到的度数，再在直中，利用正弦的定义求出AD长即可．
7．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题，其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少 设共有m人， n辆车，下列四个方程： ①3(n-2)=2n+9； ②3(n+2)=2n-9； 其中符合题意的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有人，辆车．
对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数；
对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即，
所以，故①正确，②错误．
“每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数，
所以，故③正确，④错误．
综上，符合题意的是①③，
故答案为：A .
【分析】根据两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立方程解答即可．
8．已知二元一次方程3x-y=1的一个解是 那么点P(a，b)一定不在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：，
，
是一次函数，
、，
一次函数经过第一、三、四象限，
二元一次方程的一个解是，
点一定不在第二象限．
故答案为：C .
【分析】将方程化为一次函数，根据直线经过的象限解答即可．
9．二次函数 的图象的顶点为A (m，k).且另有一点B (k，m)也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是(　　)
A．m>k B．m0
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为A（m，k），
∴y=a（x-m）2+k，
整理得：y=ax2-2amx+m2+k，
∴b=-2am，
∵A（m，k）和B（k，m）都在抛物线上，可得：
am2+bm+c=k①，ak2+bk+c=m②，
②-①得：m-k=ak2+bk-am2-bm
=-a（m2-k2）-b（m-k）
=-a（m+k）（m-k）-b（m-k），
∴a（m+k）（m-k）+b（m-k）+（m-k）=0，
（m-k）[a（m+k）+b+1]=0，
（m-k）[a（m+k）-2am+1]=0，
（m-k）（ak-am+1）=0，
∴m-k=0或ak-am+1=0，
∴m-k=0或a（m-k）=1，
∴a（m-k）＞0，
故答案为： D.
【分析】根据顶点式得到抛物线的解析式为y=ax2-2amx+m2+k，进而得到b=-2am，然后把点B的坐标代入，因式分解为（m-k）（ak-am+1）=0解答即可．
10．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
11．因式分解： 　 　.
【答案】7a(a-3b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】直接提取公因式进行因式分解即可．
12．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（除颜色不同外，其余都相同）．若从中任意摸出一个球是白球的概率为，则　 　．
【答案】4
【知识点】解分式方程；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从中任意摸出一个球是白球的概率为，
，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：4．
【分析】根据概率公式列方程计算即可．
13．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB=60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为　 　.
【答案】24
【知识点】相似三角形的实际应用；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
点D为的中点，
，
，
，
，
，
解得：，
∴钢梁的长为，
故答案为：．
【分析】根据垂直的定义可得，在中，利用勾股定理可求出的长，即可得到，然后根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可．
14．如图，在△ABC中， AB=AC=6cm，以AB为直径作半圆，交BC于点 D，交AC于点E.若∠BAC=50°，求弧DE的长为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．
故答案为： .
【分析】连接，，根据等边对等角即可得到∠C=∠ODB，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等和等边对等角求出的度数，根据弧长公式计算即可．
15．已知实数x、y满足 则y+x的最大值为　 　.
【答案】4
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
，
，
当时，有最大值4，
故答案为：4．
【分析】根据已知等式利用含的式子表示．然后配方得到顶点式求出最值解答即可．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， OE=BE.点P是劣弧AD上任意一点(不与点A，D重合)，CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点 F，设∠PCD=α.①则∠A=　 　， (用含α的代数式表示)； ②当∠F=3∠PCD时，则 　 　.
【答案】30+ α；
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接、，
是的直径，弦于点E，，，
、，
在中，，
∴，
，
，
，
；
②，
由①知、，
，
即，
解得，
，
，
设的半径为，则、，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
故答案为：30+ α， .
【分析】连接、，根据垂径定理可得、，然后根据圆周角定理及推论可得、，利然后根据角的和差求出∠BAF的度数；利用求出 α 的度数，即可得到，根据等角对等边可得，设的半径为，根据勾股定理求出的值，即可求出比值解答即可．
17．先化简，再求值：
（x+2）（3x-2）-2x（x+2），其中x= -1．
【答案】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
当x＝ ﹣1时，
原式＝（ ﹣1）2﹣4＝﹣2 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式混合运算顺序和法则进行化简，再把x的值代入进行计算，即可得出答案.
18．解分式方程：
【答案】解：两边同乘去分母，
得，
则
检验：把代入中，，
是分式方程的解．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x-1)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，并检验解答即可．
19．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点 P，连结PB， PD.
（1）求证： PB=PD.
（2）将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA 的延长线上点 Q 处，求∠DPQ 的度数.
【答案】（1）证明：正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，AB=AD，
∵AP=AP，
∴△DAP≌△BAP(SAS)，
∴PB=PD；
（2）解：∵PB=PD， PD=PQ，
∴PB=PQ，
∴∠PBQ=∠PQB，
∵△DAP≌△BAP(SAS)，
∴∠PDA=∠PBQ=∠PQB，
∵， ∠QMA+∠MQA=90°，
∴∠DMP+∠ADP=90°，
∴∠DPQ=90°.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据正方形的性质，利用SAS得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可；
（2）根据SAS得到△DAP≌△BAP，即可得到，进而求出，得到结论即可．
20．学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图.请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中， “70~80”这组的百分比 m=　 　；
（3）抽取的n名学生测试成绩的中位数是　 　分，其中“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85， 85， 85， 86， 86： 86， 97， 88， 88， 89.
（4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，请用树状图或者列表求甲被选中的概率.
【答案】（1）解：人，
人，
补全频数直方图如下：

（2）20 %
（3）84.5
（4）解：画树状图如下：
共有12种可能结果，其中甲被选中的有6种，
∴甲被选中的概率．

【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（2），
故答案为：；
（3）解：∵分的人数已有人，“”组有12人，
∴中位数在“”这组，
又“”这组的数据如下：
81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89，
∴第25和26名的成绩分别是84分，85分，
∴中位数是分；
故答案为：84.5；
【分析】（1）先运用70~80分的人数除以占比求出样本人数，再用用本人数减去其它组的频数求出“”这组的频数，补全频数直方图即可；
（2）用“”这组的频数除以样本人数解答即可；
（3）根据中位数的定义解答即可；
（4）通过画树状图列出所有等可能的情况，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A 和点 B，与反比例函数 的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(1，3)
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式.
（2）求点 D 的坐标，并直接写出当 时x的取值范围.
【答案】（1）解：∵反比例函数 过点(1，3)，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为
∵一次函数 过点A， C，点A 的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(1，3)，
解得
∴一次函数解析式为
（2）解：由(1)得：反比例函数解析式为 一次函数解析式为 令
解得：
∴当y1>y2时，自变量x的取值范围是-3【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
令，
解得：，，
，
当时，自变量x的取值范围是或．
故答案为：或.
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，再把点A和C的坐标代入直线解析式求出k，b的值解答即可；
（2）先解两解析式联立的方程组求出点D的横坐标，借助图象得到直线在反比函数图象上方时自变量x的取值范围解答即可．
22．如图，点A， B， C， D均在⊙O上，连接AB， BC， AC， AD， CD，且AD经过圆心，延长BC交⊙O的切线AE于点E，切点是A.
（1）求证： ∠B=∠CAE；
（2）若 求 BC的长.
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵∠B=∠CAE，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EBA

【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，再根据同角的余角相等，再根据同弧所对的圆周角相等和等量代换得到结论即可；
（2）根据两角相等证明，再根据全等三角形的对应边成比例解答即可．
23．二次函数 的图象经过点A(2m+1，y1)，点 B(m-1，y2).
（1）若m=4，求抛物线的顶点坐标；
（2）若存在实数k，使得 且1（3）当m-1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小再增大，y的最大值与y的最小值的和为 ，求m的值.
【答案】（1）解：m=4时， 顶点(4，-16)
（2）解：把 x=2m+1代入
把x=m-1代入
（3）解：的对称轴直线 x=m，
当m-1≤x≤2m+1时，随着x的增大，y先减小再增大，∴点B(m-1，y2)在对称轴直线x=m左侧，点A(2m+1，y1)在对称轴直线 x=m右侧
∴当x=m时，y的最小值是
若2m+1-m>m-(m-1)，即 m>0， y的最大值是2m+1
或 (舍去)若2m+1-m(舍去)或
或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把代入，然后把抛物线的解析式化成顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）把点A和B的坐标代入求出y1和y2，再代入，化简得到k=，结合求出m的取值范围即可；
（3）根据函数解析式的到对称轴为直线时，根据函数的增减性得到的最小值是，再分和得到函数的最大值，格努题意列方程求出m的值解答即可．
24．如图，在矩形 ABCD 中， AE 平分∠BAD 交射线 BC 于点 E，过点 C 作 CF⊥AE 交射线 AE于点 F，连结 BD 交 AE 于点 G，连结 DF 交射线 BC 于点 H.
（1）当AB①求证： BE=CD
②猜想∠BDF 的度数，并说明理由.
（2）若 求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示).
【答案】（1）解：①解： ∵矩形ABCD，∴∠ABC=∠BAD=90°，∴AB=CD
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE=45°
∴△ABE是等腰直角三角形
∴AB=BE，∴BE=CD
②解：猜∠BDF=45°，
连接 BF，
∵CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∵∠CEF=∠AEB=45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，∴EF=CF，∴∠BEF=∠FCD=135°，由①得BE=CD
∴△BEF≌△DCF(SAS)
∴DF=BF，∴∠BFE=∠DFC，∴∠BFD=∠CFE=90°
∴△BFD 是等腰直角三角形，∴∠BDF=45°
（2）解：当时，如图，延长交的延长线于 过作于
则 而
同理：
即
当时，如图，记交交于点 过作于
同理：
即

【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；求正切值
【解析】【分析】（1）①利用矩形ABCD的性质，证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得结论；
②连结BF，根据SAS得到证明 即可得到 然后得到△BFD 是等腰直角三角形，从而证明结论；
（2）分两种情况讨论，当时，延长交的延长线于 过作于 即可得到 进而得到 求出 人居正切的定义解答即可，当时，同理可得答案.
1 / 1浙江省杭州市萧山高桥初中2025-2026学年九年级下学期月考数学试卷
1．用科学记数法表示的数 的原数是(　　)
A．5002 B．500200 C．50020 D．500.2
2．底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是(　　)
A． B． C． D．
3．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=50°时，则∠2的度数为(　　)
A．130° B．100° C．50° D．40°
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（　　）
A． B． C．2 D．3
5．不等式组的解集在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中， ∠C=42°， ∠A=88°，AB=60，则点A到BC的距离为(　　)
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
7．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题，其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少 设共有m人， n辆车，下列四个方程： ①3(n-2)=2n+9； ②3(n+2)=2n-9； 其中符合题意的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
8．已知二元一次方程3x-y=1的一个解是 那么点P(a，b)一定不在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．二次函数 的图象的顶点为A (m，k).且另有一点B (k，m)也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是(　　)
A．m>k B．m0
10．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
11．因式分解： 　 　.
12．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（除颜色不同外，其余都相同）．若从中任意摸出一个球是白球的概率为，则　 　．
13．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB=60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为　 　.
14．如图，在△ABC中， AB=AC=6cm，以AB为直径作半圆，交BC于点 D，交AC于点E.若∠BAC=50°，求弧DE的长为　 　.
15．已知实数x、y满足 则y+x的最大值为　 　.
16．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， OE=BE.点P是劣弧AD上任意一点(不与点A，D重合)，CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点 F，设∠PCD=α.①则∠A=　 　， (用含α的代数式表示)； ②当∠F=3∠PCD时，则 　 　.
17．先化简，再求值：
（x+2）（3x-2）-2x（x+2），其中x= -1．
18．解分式方程：
19．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点 P，连结PB， PD.
（1）求证： PB=PD.
（2）将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA 的延长线上点 Q 处，求∠DPQ 的度数.
20．学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图.请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中， “70~80”这组的百分比 m=　 　；
（3）抽取的n名学生测试成绩的中位数是　 　分，其中“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85， 85， 85， 86， 86： 86， 97， 88， 88， 89.
（4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，请用树状图或者列表求甲被选中的概率.
21．如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A 和点 B，与反比例函数 的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(1，3)
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式.
（2）求点 D 的坐标，并直接写出当 时x的取值范围.
22．如图，点A， B， C， D均在⊙O上，连接AB， BC， AC， AD， CD，且AD经过圆心，延长BC交⊙O的切线AE于点E，切点是A.
（1）求证： ∠B=∠CAE；
（2）若 求 BC的长.
23．二次函数 的图象经过点A(2m+1，y1)，点 B(m-1，y2).
（1）若m=4，求抛物线的顶点坐标；
（2）若存在实数k，使得 且1（3）当m-1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小再增大，y的最大值与y的最小值的和为 ，求m的值.
24．如图，在矩形 ABCD 中， AE 平分∠BAD 交射线 BC 于点 E，过点 C 作 CF⊥AE 交射线 AE于点 F，连结 BD 交 AE 于点 G，连结 DF 交射线 BC 于点 H.
（1）当AB①求证： BE=CD
②猜想∠BDF 的度数，并说明理由.
（2）若 求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C .
【分析】原数可以写为5.002×10000，然后根据乘法运算法则解答即可．
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，左视图为：
故答案为：C .
【分析】根据从左面看到的几何图形是左视图解答即可.
3．【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵直尺的两边互相平行，
∴，
∴，
故答案为：D .
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据平角的定义解答即可．
4．【答案】A
【知识点】无理数的概念；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：的算术平方根是，
∵是有理数，
∴取立方根为，
∵是有理数，
∴取算术平方根为，
∵是无理数，
∴．
故选：A．
【分析】根据算术平方根，立方根的定义，结合有理数，无理数的定义即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
故答案为：C .
【分析】先解不等式求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到不等式的解集，再表示在数轴上即可解答．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作，垂足为D，
在中，，
，
在中，，
，
∴点A到的距离为．
故答案为：A .
【分析】过点A作，根据三角形内角和得到的度数，再在直中，利用正弦的定义求出AD长即可．
7．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有人，辆车．
对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数；
对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即，
所以，故①正确，②错误．
“每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数，
所以，故③正确，④错误．
综上，符合题意的是①③，
故答案为：A .
【分析】根据两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立方程解答即可．
8．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：，
，
是一次函数，
、，
一次函数经过第一、三、四象限，
二元一次方程的一个解是，
点一定不在第二象限．
故答案为：C .
【分析】将方程化为一次函数，根据直线经过的象限解答即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为A（m，k），
∴y=a（x-m）2+k，
整理得：y=ax2-2amx+m2+k，
∴b=-2am，
∵A（m，k）和B（k，m）都在抛物线上，可得：
am2+bm+c=k①，ak2+bk+c=m②，
②-①得：m-k=ak2+bk-am2-bm
=-a（m2-k2）-b（m-k）
=-a（m+k）（m-k）-b（m-k），
∴a（m+k）（m-k）+b（m-k）+（m-k）=0，
（m-k）[a（m+k）+b+1]=0，
（m-k）[a（m+k）-2am+1]=0，
（m-k）（ak-am+1）=0，
∴m-k=0或ak-am+1=0，
∴m-k=0或a（m-k）=1，
∴a（m-k）＞0，
故答案为： D.
【分析】根据顶点式得到抛物线的解析式为y=ax2-2amx+m2+k，进而得到b=-2am，然后把点B的坐标代入，因式分解为（m-k）（ak-am+1）=0解答即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
11．【答案】7a(a-3b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】直接提取公因式进行因式分解即可．
12．【答案】4
【知识点】解分式方程；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从中任意摸出一个球是白球的概率为，
，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：4．
【分析】根据概率公式列方程计算即可．
13．【答案】24
【知识点】相似三角形的实际应用；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
点D为的中点，
，
，
，
，
，
解得：，
∴钢梁的长为，
故答案为：．
【分析】根据垂直的定义可得，在中，利用勾股定理可求出的长，即可得到，然后根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可．
14．【答案】
【知识点】弧长的计算；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．
故答案为： .
【分析】连接，，根据等边对等角即可得到∠C=∠ODB，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等和等边对等角求出的度数，根据弧长公式计算即可．
15．【答案】4
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
，
，
当时，有最大值4，
故答案为：4．
【分析】根据已知等式利用含的式子表示．然后配方得到顶点式求出最值解答即可．
16．【答案】30+ α；
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接、，
是的直径，弦于点E，，，
、，
在中，，
∴，
，
，
，
；
②，
由①知、，
，
即，
解得，
，
，
设的半径为，则、，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
故答案为：30+ α， .
【分析】连接、，根据垂径定理可得、，然后根据圆周角定理及推论可得、，利然后根据角的和差求出∠BAF的度数；利用求出 α 的度数，即可得到，根据等角对等边可得，设的半径为，根据勾股定理求出的值，即可求出比值解答即可．
17．【答案】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
当x＝ ﹣1时，
原式＝（ ﹣1）2﹣4＝﹣2 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式混合运算顺序和法则进行化简，再把x的值代入进行计算，即可得出答案.
18．【答案】解：两边同乘去分母，
得，
则
检验：把代入中，，
是分式方程的解．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x-1)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，并检验解答即可．
19．【答案】（1）证明：正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，AB=AD，
∵AP=AP，
∴△DAP≌△BAP(SAS)，
∴PB=PD；
（2）解：∵PB=PD， PD=PQ，
∴PB=PQ，
∴∠PBQ=∠PQB，
∵△DAP≌△BAP(SAS)，
∴∠PDA=∠PBQ=∠PQB，
∵， ∠QMA+∠MQA=90°，
∴∠DMP+∠ADP=90°，
∴∠DPQ=90°.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据正方形的性质，利用SAS得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可；
（2）根据SAS得到△DAP≌△BAP，即可得到，进而求出，得到结论即可．
20．【答案】（1）解：人，
人，
补全频数直方图如下：

（2）20 %
（3）84.5
（4）解：画树状图如下：
共有12种可能结果，其中甲被选中的有6种，
∴甲被选中的概率．

【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（2），
故答案为：；
（3）解：∵分的人数已有人，“”组有12人，
∴中位数在“”这组，
又“”这组的数据如下：
81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89，
∴第25和26名的成绩分别是84分，85分，
∴中位数是分；
故答案为：84.5；
【分析】（1）先运用70~80分的人数除以占比求出样本人数，再用用本人数减去其它组的频数求出“”这组的频数，补全频数直方图即可；
（2）用“”这组的频数除以样本人数解答即可；
（3）根据中位数的定义解答即可；
（4）通过画树状图列出所有等可能的情况，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．【答案】（1）解：∵反比例函数 过点(1，3)，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为
∵一次函数 过点A， C，点A 的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(1，3)，
解得
∴一次函数解析式为
（2）解：由(1)得：反比例函数解析式为 一次函数解析式为 令
解得：
∴当y1>y2时，自变量x的取值范围是-3【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
令，
解得：，，
，
当时，自变量x的取值范围是或．
故答案为：或.
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，再把点A和C的坐标代入直线解析式求出k，b的值解答即可；
（2）先解两解析式联立的方程组求出点D的横坐标，借助图象得到直线在反比函数图象上方时自变量x的取值范围解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵∠B=∠CAE，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EBA

【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，再根据同角的余角相等，再根据同弧所对的圆周角相等和等量代换得到结论即可；
（2）根据两角相等证明，再根据全等三角形的对应边成比例解答即可．
23．【答案】（1）解：m=4时， 顶点(4，-16)
（2）解：把 x=2m+1代入
把x=m-1代入
（3）解：的对称轴直线 x=m，
当m-1≤x≤2m+1时，随着x的增大，y先减小再增大，∴点B(m-1，y2)在对称轴直线x=m左侧，点A(2m+1，y1)在对称轴直线 x=m右侧
∴当x=m时，y的最小值是
若2m+1-m>m-(m-1)，即 m>0， y的最大值是2m+1
或 (舍去)若2m+1-m(舍去)或
或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把代入，然后把抛物线的解析式化成顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）把点A和B的坐标代入求出y1和y2，再代入，化简得到k=，结合求出m的取值范围即可；
（3）根据函数解析式的到对称轴为直线时，根据函数的增减性得到的最小值是，再分和得到函数的最大值，格努题意列方程求出m的值解答即可．
24．【答案】（1）解：①解： ∵矩形ABCD，∴∠ABC=∠BAD=90°，∴AB=CD
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE=45°
∴△ABE是等腰直角三角形
∴AB=BE，∴BE=CD
②解：猜∠BDF=45°，
连接 BF，
∵CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∵∠CEF=∠AEB=45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，∴EF=CF，∴∠BEF=∠FCD=135°，由①得BE=CD
∴△BEF≌△DCF(SAS)
∴DF=BF，∴∠BFE=∠DFC，∴∠BFD=∠CFE=90°
∴△BFD 是等腰直角三角形，∴∠BDF=45°
（2）解：当时，如图，延长交的延长线于 过作于
则 而
同理：
即
当时，如图，记交交于点 过作于
同理：
即

【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；求正切值
【解析】【分析】（1）①利用矩形ABCD的性质，证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得结论；
②连结BF，根据SAS得到证明 即可得到 然后得到△BFD 是等腰直角三角形，从而证明结论；
（2）分两种情况讨论，当时，延长交的延长线于 过作于 即可得到 进而得到 求出 人居正切的定义解答即可，当时，同理可得答案.
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