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四川省雅安市名山区名山中学蒙山校区2025-2026学年下学期八年级半期质量监测数学试题
1．下列中国风传统图腾的图案中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．若aA．a-3-2b D．3a<3b
3．不等式2(x+1)+x≥8的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
4．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是(　　)
A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．若a=b，则|a|=|b| D．若 ab=0，则a=0
5．若一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是(　　)
A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形
6．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
7．在平面直角坐标系中，点A(1，2)， B(1，4)，将线段AB平移，使得AB中B落在对应点B'(-1，-2)的位置，则点A的对应点A'的坐标为(　　)
A．(-2，-1) B．(-1，-4) C．(-1，-2) D．(-4，-1)
8．若 是完全平方式，则实数t的值为(　　)
A． B．或 C．5 D．4
9．下列说法中正确的有(　　)
⑴有三个内角相等的三角形一定是等边三角形；
⑵等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；
⑶等边三角形的对称轴是三条边上的高；
⑷等边三角形是中心对称图形，对称中心是三条角平分线的交点.
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
10．已知 可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是(　　)
A．13， 14 B．15， 16
C．16， 17 D．15， 17
11．如图， OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OF=8cm， △FOP的面积为12cm2，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为(　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
12．在平面直角坐标系中，等边△ABC 如图放置，点A的坐标为(1，0).每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△AOB1，第二次旋转后得到△AOB2，…，以此类推，则点A2025的坐标为(　　)
A．(22025，0) B．
C． D．
13．如图，点A的坐标是(2，4)，点 B的坐标是(6，0)，将ΔOAB 沿x轴向右平移得到ΔDCE，若OE=8，则点C的坐标为　 　.
14．因式分解： 　 　.
15．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是　 　．
16．给出下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称.其中正确的有　 　个.
17．如图，已知△ABC中， ∠BAC=120°，分别作AC，AB边的垂直平分线PM，PN交于点 P，分别交 BC于点 E和点 F.则以下各说法中： ①∠P=60°， ②∠EAF=60°， ③点P到点 B和点C的距离相等，④PE=PF.正确的说法是　 　.(填序号)
18．计算
（1）解不等式组 要求利用数轴求不等式组的解集。
（2）因式分解：
19． 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(-2，2)， B(-1，4)，C(-4，5)，请解答下列问题：
（1）△ABC 的面积为　 　；
（2）将△ABC 绕点O按顺时针方向旋转90°得到 作出 并写出C1坐标；
20． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=3， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E，连接CE，求AB， CE的长.
21．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线 与x轴交于点D(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，两直线交于点E.
（1）求k， b的值；
（2）求△ACE的面积；
（3）请根据图象直接写出 时，x的取值范围.
22．某市启动“亮化”工程.根据工程规划，需要使用照明灯和投射灯共50万个，需花费 1005万元，已知照明灯的售价为每个 9元，投射灯的售价为每个 120元，请解决下列问题：
（1）该城市“亮化”工程使用照明灯和投射灯各多少个
（2）某公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯，且安装的投射灯数量少于照明灯数量的 ，照明灯数量不超过57个，求该公司大楼安装照明灯和投射灯的方案.
23．如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC.
（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上， PA=2，求PB的长；
（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA， PB， PC的数量关系，并证明.
24．如果 因式分解的结果为　 　.
25．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是　 　．
26．将两个等腰三角形顶点重合叠放，∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC， AD=AE.
（1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接BD和CE，试证明： △ABD≌△ACE.
（2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在BC上，连接EB和EC，
①证明： ED⊥BC.
②若延长BA交CE于点P，求EP的长度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，不符合题意；
C、图案是中心对称图形，符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】一个图形绕着某一个点旋转能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，据此解答即可．
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，故A正确，不符合题意；
，
，故B错误，符合题意；
，
，故C正确，不符合题意；
，
，故D正确，不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据不等式的性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质”逐项判定即可．
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
如图，
故答案为：C． .
【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集解答即可．
4．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题；绝对值的概念与意义；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：选项A：原命题全等三角形的对应角相等是真命题，
逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合要求；
选项B：原命题直角三角形的两个锐角互余是真命题，
逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，
∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为，
∴第三个角为=，
∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合要求；
选项C：原命题若，则是真命题，
逆命题为若，则，是假命题，
例如时但，不符合要求；
选项D：原命题若，则是假命题，时也可以是，不符合要求；
故答案为：B .
【分析】先写出每个命题的逆命题，然后判断真假解答即可.
5．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
即这个多边形是九边形．
故答案为：A .
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵点到三角形三个顶点的距离相等，∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点.
故答案为：C.
【分析】抓住已知条件：三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，利用线段垂直平分线的判定定理，可得答案。
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点平移后得到对应点，
横坐标变化为，纵坐标变化为，
可得平移规律为：横坐标减，纵坐标减，
点的坐标为，
的横坐标为，纵坐标为，
即．
故答案为：B .
【分析】先根据点及其对应点坐标得到平移规律“横坐标减，纵坐标减”，然后求出A'的坐标即可．
8．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得或．
故答案为：B．
【分析】根据完全平方式的结构特征“首平方，尾平方，乘积的2倍在中央”列式计算即可．
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）有三个内角相等的三角形一定是等边三角形，说法正确；
（2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，说法正确；
（3）等边三角形的对称轴是三条边上的高所在直线，说法错误；
（4）等边三角形不是中心对称图形，说法错误．
故答案为：A .
【分析】根据等边三角形的定义和性质逐项判断即可．
10．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴ 这两个整数是15和17。
故答案为：D .
【分析】利用平方差公式因式分解，找出在10至20之间的因数解答即可．
11．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的面积为，，
∴，
∴，
过P点作于H，如图：
∵平分，，，
∴，
∵点E是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的面积求出，过P点作于H，根据角平分线的性质求出，再根据垂线段最短解答即可．
12．【答案】C
【知识点】点的坐标；旋转的性质；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在x轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在x轴正半轴，，
……，
每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴，
而，
在x轴负半轴上，且，
∴点的坐标为．
故答案为：C .
【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，且边长每次扩大2倍，得到点落在x轴负半轴，且，据此解答即可．
13．【答案】(4，4)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点B的坐标是，
∴，
∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到，
∴将点向右平移2个单位长度得到点．
故答案为：(4，4) .
【分析】先得到平移规律“向右平移2个单位长度”，然后得到点C的坐标解答．
14．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】直接利用平方差公式因式分解即可．
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组，
由得，
由得，即，
故不等式组的解集为．
由于解集有且只有三个整数解，且，
∴整数解为，，．
∴．
故答案为：．
【分析】分别解两个不等式求出解集，根据解集中有且只有三个整数解，得到a的取值范围即可．
16．【答案】2
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①中心对称图形不一定是轴对称图形，例如平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，因此①错误；
②若轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，则该图形绕两条对称轴的交点旋转180°后与自身重合，一定是中心对称图形，因此②正确；
③根据中心对称的性质，关于一点中心对称的两个图形全等，故关于某一点为中心对称的两个三角形全等，因此③正确；
④两个重合的图形把其中一个图形绕某点旋转后不一定能与另一个图形重合，例如平移得到的两个重合图形不是中心对称，因此④错误.
综上，正确的命题共个.
故答案为：．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义和性质逐项判断解答即可.
17．【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接PC，PA，PB，
∵
垂直平分，垂直平分
，
，
，故说法②正确；
垂直平分，垂直平分
，
∵，同理，
∴，故①正确；
垂直平分，垂直平分
，
，即点到点和点的距离相等，故③说法正确
不一定是等腰三角形
与的大小无法确定，故④说法错误，
∴说法正确的为①②③．
故答案为：①②③ .
【分析】连接PC，PA，PB，根据三角形内角和额的，然后根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合三角形内角和定理计算，判断②；在中运用三角形内角和求解，判断①；根据线段垂直平分线的性质判断③；根据不一定是等腰三角形判断④解答即可．
18．【答案】（1）解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
把它们的解集在数轴上表示出来，如下：
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：①；
②．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）求出两个不等式的解集，在数轴上表示，得到两个解集的公共部分解答即可；
（2）①利用平方差公式因式分解；
②先提出公因式2，再利用完全平方公式分解因式．
19．【答案】（1）3.5
（2）解：如图所示：
由图可得，坐标为.
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：由图可得，的面积．
故答案为：3.5.
【分析】（1）根据割补法求出三角形的面积解答；
（2）根据旋转的性质得到点A、B、C的对应点、、，并顺次连接、、即可，得到 ，然后根据点C1的位置写出坐标即可．
20．【答案】解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据角的直角三角形的性质可得的长；然后根据得到，利用对应边相等得到，即可得到△ACE是等边三角形，据此解答即可．
21．【答案】（1）解：将，代入，
得：，解得：，
∴，；
（2）解：由（1）可知．
对于，令，则，
解得：，
∴，
∴，
∴；
联立，解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；几何图形的面积计算-割补法；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：根据图象可知当时，的图象在上方，即此时，
∴的取值范围是．
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点坐标，求出△ACD的面积；联立两直线解析式求出交点E的坐标，求出△ADE的面积，利用解答；
（3）借助图象，得到直线在上方时自变量的取值范围解答即可．
22．【答案】（1）解：设该城市“亮化”工程使用照明灯x万个，投射灯y万个．
依题意，得解得
答：该城市“亮化”工程使用照明灯45万个，投射灯5万个．
（2）解：设该公司大楼安装照明灯a个，投射灯b个．
依题意，得，
由方程得，将其代入不等式，解得．
∵a为整数且，
∴a取49~57之间的9个整数．
又∵b也是整数，
∴只有一组解，即时，．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该城市“亮化”工程使用照明灯万个，投射灯万个，然后根据“照明灯和投射灯共50万个，需花费1005万元”列方程组求出x和y的值解答即可；
（2）设该公司大楼安装照明灯个，投射灯个，根据“公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯”列方程，再根据“安装的投射灯数量少于照明灯数量的，照明灯数量不超过57”列不等式，然后求出整数解解答即可．
23．【答案】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵点P恰巧在的平分线上，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴；
（2）解：结论：．
在上截取，使，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先得到为等边三角形，根据三线合一得到，，然后根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（2）在上截取，使，连接，根据SAS得到和全等，即可得到，然后根据线段的和差解答即可．
24．【答案】(x+3)4
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故答案为：(x+3)4 .
【分析】把(x2+6x)看作整体，利用完全平方公式计算即可．
25．【答案】或
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：①由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
②∵，
∴，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据角的和差得到，然后根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）①根据全等三角形的性质得到，然后根据勾股定理的逆定理得到，即可得到，证明结论；
②根据勾股定理求出的长，得到，即可根据三角形的内角和定理得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可.
1 / 1四川省雅安市名山区名山中学蒙山校区2025-2026学年下学期八年级半期质量监测数学试题
1．下列中国风传统图腾的图案中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，不符合题意；
C、图案是中心对称图形，符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】一个图形绕着某一个点旋转能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，据此解答即可．
2．若aA．a-3-2b D．3a<3b
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，故A正确，不符合题意；
，
，故B错误，符合题意；
，
，故C正确，不符合题意；
，
，故D正确，不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据不等式的性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质”逐项判定即可．
3．不等式2(x+1)+x≥8的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
如图，
故答案为：C． .
【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集解答即可．
4．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是(　　)
A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．若a=b，则|a|=|b| D．若 ab=0，则a=0
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题；绝对值的概念与意义；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：选项A：原命题全等三角形的对应角相等是真命题，
逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合要求；
选项B：原命题直角三角形的两个锐角互余是真命题，
逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，
∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为，
∴第三个角为=，
∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合要求；
选项C：原命题若，则是真命题，
逆命题为若，则，是假命题，
例如时但，不符合要求；
选项D：原命题若，则是假命题，时也可以是，不符合要求；
故答案为：B .
【分析】先写出每个命题的逆命题，然后判断真假解答即可.
5．若一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是(　　)
A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
即这个多边形是九边形．
故答案为：A .
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可.
6．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵点到三角形三个顶点的距离相等，∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点.
故答案为：C.
【分析】抓住已知条件：三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，利用线段垂直平分线的判定定理，可得答案。
7．在平面直角坐标系中，点A(1，2)， B(1，4)，将线段AB平移，使得AB中B落在对应点B'(-1，-2)的位置，则点A的对应点A'的坐标为(　　)
A．(-2，-1) B．(-1，-4) C．(-1，-2) D．(-4，-1)
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点平移后得到对应点，
横坐标变化为，纵坐标变化为，
可得平移规律为：横坐标减，纵坐标减，
点的坐标为，
的横坐标为，纵坐标为，
即．
故答案为：B .
【分析】先根据点及其对应点坐标得到平移规律“横坐标减，纵坐标减”，然后求出A'的坐标即可．
8．若 是完全平方式，则实数t的值为(　　)
A． B．或 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得或．
故答案为：B．
【分析】根据完全平方式的结构特征“首平方，尾平方，乘积的2倍在中央”列式计算即可．
9．下列说法中正确的有(　　)
⑴有三个内角相等的三角形一定是等边三角形；
⑵等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；
⑶等边三角形的对称轴是三条边上的高；
⑷等边三角形是中心对称图形，对称中心是三条角平分线的交点.
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）有三个内角相等的三角形一定是等边三角形，说法正确；
（2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，说法正确；
（3）等边三角形的对称轴是三条边上的高所在直线，说法错误；
（4）等边三角形不是中心对称图形，说法错误．
故答案为：A .
【分析】根据等边三角形的定义和性质逐项判断即可．
10．已知 可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是(　　)
A．13， 14 B．15， 16
C．16， 17 D．15， 17
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴ 这两个整数是15和17。
故答案为：D .
【分析】利用平方差公式因式分解，找出在10至20之间的因数解答即可．
11．如图， OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OF=8cm， △FOP的面积为12cm2，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为(　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的面积为，，
∴，
∴，
过P点作于H，如图：
∵平分，，，
∴，
∵点E是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的面积求出，过P点作于H，根据角平分线的性质求出，再根据垂线段最短解答即可．
12．在平面直角坐标系中，等边△ABC 如图放置，点A的坐标为(1，0).每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△AOB1，第二次旋转后得到△AOB2，…，以此类推，则点A2025的坐标为(　　)
A．(22025，0) B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；旋转的性质；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在x轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在x轴正半轴，，
……，
每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴，
而，
在x轴负半轴上，且，
∴点的坐标为．
故答案为：C .
【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，且边长每次扩大2倍，得到点落在x轴负半轴，且，据此解答即可．
13．如图，点A的坐标是(2，4)，点 B的坐标是(6，0)，将ΔOAB 沿x轴向右平移得到ΔDCE，若OE=8，则点C的坐标为　 　.
【答案】(4，4)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点B的坐标是，
∴，
∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到，
∴将点向右平移2个单位长度得到点．
故答案为：(4，4) .
【分析】先得到平移规律“向右平移2个单位长度”，然后得到点C的坐标解答．
14．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】直接利用平方差公式因式分解即可．
15．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组，
由得，
由得，即，
故不等式组的解集为．
由于解集有且只有三个整数解，且，
∴整数解为，，．
∴．
故答案为：．
【分析】分别解两个不等式求出解集，根据解集中有且只有三个整数解，得到a的取值范围即可．
16．给出下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称.其中正确的有　 　个.
【答案】2
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①中心对称图形不一定是轴对称图形，例如平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，因此①错误；
②若轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，则该图形绕两条对称轴的交点旋转180°后与自身重合，一定是中心对称图形，因此②正确；
③根据中心对称的性质，关于一点中心对称的两个图形全等，故关于某一点为中心对称的两个三角形全等，因此③正确；
④两个重合的图形把其中一个图形绕某点旋转后不一定能与另一个图形重合，例如平移得到的两个重合图形不是中心对称，因此④错误.
综上，正确的命题共个.
故答案为：．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义和性质逐项判断解答即可.
17．如图，已知△ABC中， ∠BAC=120°，分别作AC，AB边的垂直平分线PM，PN交于点 P，分别交 BC于点 E和点 F.则以下各说法中： ①∠P=60°， ②∠EAF=60°， ③点P到点 B和点C的距离相等，④PE=PF.正确的说法是　 　.(填序号)
【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接PC，PA，PB，
∵
垂直平分，垂直平分
，
，
，故说法②正确；
垂直平分，垂直平分
，
∵，同理，
∴，故①正确；
垂直平分，垂直平分
，
，即点到点和点的距离相等，故③说法正确
不一定是等腰三角形
与的大小无法确定，故④说法错误，
∴说法正确的为①②③．
故答案为：①②③ .
【分析】连接PC，PA，PB，根据三角形内角和额的，然后根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合三角形内角和定理计算，判断②；在中运用三角形内角和求解，判断①；根据线段垂直平分线的性质判断③；根据不一定是等腰三角形判断④解答即可．
18．计算
（1）解不等式组 要求利用数轴求不等式组的解集。
（2）因式分解：
【答案】（1）解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
把它们的解集在数轴上表示出来，如下：
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：①；
②．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）求出两个不等式的解集，在数轴上表示，得到两个解集的公共部分解答即可；
（2）①利用平方差公式因式分解；
②先提出公因式2，再利用完全平方公式分解因式．
19． 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(-2，2)， B(-1，4)，C(-4，5)，请解答下列问题：
（1）△ABC 的面积为　 　；
（2）将△ABC 绕点O按顺时针方向旋转90°得到 作出 并写出C1坐标；
【答案】（1）3.5
（2）解：如图所示：
由图可得，坐标为.
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：由图可得，的面积．
故答案为：3.5.
【分析】（1）根据割补法求出三角形的面积解答；
（2）根据旋转的性质得到点A、B、C的对应点、、，并顺次连接、、即可，得到 ，然后根据点C1的位置写出坐标即可．
20． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=3， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E，连接CE，求AB， CE的长.
【答案】解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据角的直角三角形的性质可得的长；然后根据得到，利用对应边相等得到，即可得到△ACE是等边三角形，据此解答即可．
21．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线 与x轴交于点D(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，两直线交于点E.
（1）求k， b的值；
（2）求△ACE的面积；
（3）请根据图象直接写出 时，x的取值范围.
【答案】（1）解：将，代入，
得：，解得：，
∴，；
（2）解：由（1）可知．
对于，令，则，
解得：，
∴，
∴，
∴；
联立，解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；几何图形的面积计算-割补法；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：根据图象可知当时，的图象在上方，即此时，
∴的取值范围是．
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点坐标，求出△ACD的面积；联立两直线解析式求出交点E的坐标，求出△ADE的面积，利用解答；
（3）借助图象，得到直线在上方时自变量的取值范围解答即可．
22．某市启动“亮化”工程.根据工程规划，需要使用照明灯和投射灯共50万个，需花费 1005万元，已知照明灯的售价为每个 9元，投射灯的售价为每个 120元，请解决下列问题：
（1）该城市“亮化”工程使用照明灯和投射灯各多少个
（2）某公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯，且安装的投射灯数量少于照明灯数量的 ，照明灯数量不超过57个，求该公司大楼安装照明灯和投射灯的方案.
【答案】（1）解：设该城市“亮化”工程使用照明灯x万个，投射灯y万个．
依题意，得解得
答：该城市“亮化”工程使用照明灯45万个，投射灯5万个．
（2）解：设该公司大楼安装照明灯a个，投射灯b个．
依题意，得，
由方程得，将其代入不等式，解得．
∵a为整数且，
∴a取49~57之间的9个整数．
又∵b也是整数，
∴只有一组解，即时，．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该城市“亮化”工程使用照明灯万个，投射灯万个，然后根据“照明灯和投射灯共50万个，需花费1005万元”列方程组求出x和y的值解答即可；
（2）设该公司大楼安装照明灯个，投射灯个，根据“公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯”列方程，再根据“安装的投射灯数量少于照明灯数量的，照明灯数量不超过57”列不等式，然后求出整数解解答即可．
23．如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC.
（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上， PA=2，求PB的长；
（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA， PB， PC的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵点P恰巧在的平分线上，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴；
（2）解：结论：．
在上截取，使，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先得到为等边三角形，根据三线合一得到，，然后根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（2）在上截取，使，连接，根据SAS得到和全等，即可得到，然后根据线段的和差解答即可．
24．如果 因式分解的结果为　 　.
【答案】(x+3)4
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故答案为：(x+3)4 .
【分析】把(x2+6x)看作整体，利用完全平方公式计算即可．
25．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是　 　．
【答案】或
26．将两个等腰三角形顶点重合叠放，∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC， AD=AE.
（1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接BD和CE，试证明： △ABD≌△ACE.
（2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在BC上，连接EB和EC，
①证明： ED⊥BC.
②若延长BA交CE于点P，求EP的长度.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：①由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
②∵，
∴，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据角的和差得到，然后根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）①根据全等三角形的性质得到，然后根据勾股定理的逆定理得到，即可得到，证明结论；
②根据勾股定理求出的长，得到，即可根据三角形的内角和定理得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可.
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