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2026年高考最后阶段冲刺训练 16圆锥曲线（学生版）
训练要点：①圆锥曲线的定义和标准方程；②圆锥曲线的几何性质；③直线和圆锥曲线的位置关系；④定点、定值、范围、恒成立，存在性问题.
一、单选题
1．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
2．（2026·江苏镇江·二模）椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川南充·二模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·辽宁朝阳·一模）若抛物线的准线过点，则（ ）
A．1013 B． C． D．2026
5．（2026·广东惠州·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2026·天津河东·二模）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2026·河北衡水·二模）已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（2018·福建三明·三模）已知椭圆C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2026·陕西咸阳·二模）已知点在抛物线：上，为其焦点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．的坐标为
C．若，则 D．
10．（2026·吉林·二模）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ）
A． B．的离心率为
C．直线的斜率为 D．的渐近线方程为
11．（2026·云南昆明·二模）若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．存在，使得四边形是平行四边形
D．面积的最大值为
三、填空题
12．（2026·重庆九龙坡·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____.
13．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______.
14．（2026·重庆·二模）已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________．
四、解答题
15．（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.
16．（2025·广东茂名·二模）已知双曲线的实轴长为，离心率为.
(1)求双曲线的标准方程：
(2)过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点.
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）记，分别为，的面积，求的取值范围.
17．（2026·吉林长春·二模）已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为．
(1)求的方程；
(2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值．
18．（2026·广东广州·二模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3．
(1)求的方程：
(2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点．
（i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；
（ii）证明：直线ME过定点．
19．（2026·重庆·二模）已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且
(1)求直线AB的斜率(用表示)；
(2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1.
①求证：直线l恒过定点Q；
②若向量，且，求的面积S的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考最后阶段冲刺训练 16圆锥曲线（详解版）
训练要点：①圆锥曲线的定义和标准方程；②圆锥曲线的几何性质；③直线和圆锥曲线的位置关系；④定点、定值、范围、恒成立，存在性问题.
一、单选题
1．（2026·四川凉山·二模）若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】由方程确定曲线的形状，再确定曲线上的点到原点距离最大的点，进而求出最大面积.
【详解】曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称，
当时，曲线方程为，即，
此时曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点）及原点，
因此曲线是上述圆弧及其关于坐标轴、原点对称而得的图形，加上原点，
圆弧到原点距离最大值为，对应的点为，
点关于坐标轴、原点对称点为，点顺次连接得正方形，
并且是符合条件的面积最大的正方形，所以正方形的面积的最大值为4.
2．（2026·江苏镇江·二模）椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆及所给条件表示出点的坐标，并将其代入椭圆方程，利用将椭圆方程转化为关于的齐次方程，即可求出椭圆的离心率.
【详解】
如图所示，圆是以为直径的圆，点是圆与椭圆在第二象限的交点，
且，则，，
所以点，即.
将点的坐标代入椭圆的方程可得，即.
在椭圆中有，将其代入上式，整理可得，
等式的两边同时除以可得，即，
即，解得或.
因为椭圆的离心率，所以，故，解得.
所以椭圆的离心率为.
3．（2026·四川南充·二模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据双曲线的标准方程求出焦点、的坐标，再利用三角形内切圆的性质以及双曲线的性质，推导出、的横坐标，设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到、两点横坐标的关系，结合内切圆圆心的位置特点，求出、的纵坐标与、两点坐标的关系式，进而得到、的表达式，再计算.
【详解】由双曲线，得：，，，
所以焦点，，
过的直线与右支交于，，且，
设内切圆与边的切点为，根据切线长性质，有
，
又，解得，，
以为起点向右移动4个单位得，
因此内切圆圆心在直线上，
设，，，不妨点在第一象限，同理，
由三角形面积公式：，
又的周长的一半，
内切圆半径，且，得，
由焦半径公式，代入得，故，
同理，于是
当直线的斜率不存在时，
可得，代入到双曲线方程中，
得，，此时；
当直线的斜率存在时，
设直线的斜率为，则，
代入双曲线方程得，
由韦达定理，
计算，
；
；
于是.
4．（2026·辽宁朝阳·一模）若抛物线的准线过点，则（ ）
A．1013 B． C． D．2026
【答案】D
【详解】由题意易得，解得.
5．（2026·广东惠州·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先利用抛物线得到焦点坐标，再通过抛物线的定义得到点的横坐标，进而求出纵坐标，最后利用三角形的面积公式算出答案
【详解】由可得焦点坐标为，
所以，所以代入抛物线可得，
因此的面积为.
6．（2026·天津河东·二模）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由点差法即可求解．
【详解】由双曲线方程得，渐近线方程为，则直线的斜率，
设，代入双曲线方程得，
两式相减得，，
所以，
因为弦中点为，所以，
当时，，
当时，，
又因为点在第一象限，所以，
所以．
7．（2026·河北衡水·二模）已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】设出点、，利用椭圆上的点的切线性质及圆的切点弦性质可表示出，即可得、坐标关系，再利用数量积的坐标公式计算即可得.
【详解】设，，有，即，
由直线与椭圆切于点，
则，即，
由为点关于圆的切点弦，则，
故，故，
则.
8．（2018·福建三明·三模）已知椭圆C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质，结合椭圆第二定义可得，进而即可求解.
【详解】解：因为椭圆C：，所以，
所以直线l：为准线，
若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，
则，两次相除得，
又由椭圆的第二定义可得，
，
为的中点；
反之，若直线过线段中点，
当直线斜率为零时，与重合，
所以“轴”是“直线过线段中点”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
9．（2026·陕西咸阳·二模）已知点在抛物线：上，为其焦点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．的坐标为
C．若，则 D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质判断D.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程是，A正确，B错误，
由点在抛物线上，可得，
若，则，，故，
抛物线上的点到焦点的距离，又，
因此，当且仅当时取等号
10．（2026·吉林·二模）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ）
A． B．的离心率为
C．直线的斜率为 D．的渐近线方程为
【答案】ABC
【详解】设的右焦点为，连接，由与轴垂直及对称性，得与轴垂直，
又，则，令，由，得，
对于A，，A正确；
对于B，由，得，
即，解得或（舍去），
因此的离心率，B正确；
对于 C，由，，得直线的斜率，C正确；
对于D，，得的渐近线方程为，D错误.
11．（2026·云南昆明·二模）若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．存在，使得四边形是平行四边形
D．面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用椭圆和圆的对称性，结合椭圆的定义、圆的性质、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可.
【详解】因为曲线由半圆和半椭圆组成，
所以曲线关于横轴对称，不妨研究当时的情况.
A：由椭圆的标准方程可知，
所以是椭圆的焦点，
于是有，所以本选项结论正确；
B：显然，所以是直角三角形，且，
所以，当且仅当时，取等号，即，此时，显然重合，不符合题意，
即，所以本选项说法不正确；
C：当时，
由.
当时，
由.
假设四边形是平行四边形，因为，
所以，
即，舍去，所以存在，使得四边形是平行四边形，所以本选项说法正确；
D：的面积为，当且仅当时取等号，即，
所以当时，面积的最大值为，所以本选项说法正确.
三、填空题
12．（2026·重庆九龙坡·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____.
【答案】
【分析】通过三角形面积确定坐标，再由斜率公式即可求解
【详解】由椭圆方程 ，得 ，，
因此 ，即 ，
所以，右焦点 ，
设 ，在轴上方故 ，
的面积： ，
解得：，
将 代入椭圆方程： ，
即
故直线 的斜率： .
13．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______.
【答案】
【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率.
【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以.
由直线与的一条渐近线平行可得，所以，
又由双曲线定义可得，所以，得，所以.
由得，即，整理得，
所以，，离心率.
【点睛】本题是结合圆的几何性质、双曲线定义与渐近线斜率的离心率求解问题，核心方法是通过几何关系与定义联立方程，建立关系求离心率.
14．（2026·重庆·二模）已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________．
【答案】/
【分析】联立直线与抛物线方程，得，，从而得，构造函数，利用导数，求出的最大值，即可求解.
【详解】设，由，消得到，
所以，即，且，
则以为邻边的平行四边形面积．
令，则，
当时，，当，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故当最大，最大值为，所以的最大值为．
四、解答题
15．（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据离心率公式，可得a，b的关系，则，代入点坐标，求出b值，进而可得a值，即可得答案.
（2）设出直线l的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据弦长公式，可得的表达式，根据点到直线的距离，可得点P到直线AB的距离，即可得的面积S的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】（1）因为椭圆的离心率，
所以，则，
因为点在椭圆上，所以，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）设直线，
联立，化简得，
，解得.
由韦达定理得，
则，
所以，
又因为，
所以.
当时，即时，的面积取到最大值，
此时，直线或.
16．（2025·广东茂名·二模）已知双曲线的实轴长为，离心率为.
(1)求双曲线的标准方程：
(2)过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点.
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）记，分别为，的面积，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据离心率和实轴长可得方程；
（2）（i）设出直线的方程与双曲线联立，写出韦达定理，求出的斜率，化简可得答案；
（ii）根据斜率相等把面积比转化为线段比，结合韦达定理可求范围.
【详解】（1）设焦距为，因为实轴长为，离心率为，所以，
所以，故双曲线的标准方程为.
（2）（i）证明：当直线斜率为0时，，
的方程为；
令可得，此时的斜率为.
当直线斜率不为0时，设，
联立，可得，
因为直线与双曲线的左右两支交于两点，
所以，，
设，则，
且，解得.
的方程为，令可得，
所以的斜率为，
化简可得，
由可得，
所以；
综上可得，直线的斜率为定值.
（ii）当直线斜率为0时，，
两个三角形相似，.
当直线斜率不为0时，此时，
所以，
因为，所以，
因为，所以，即或（舍），
所以；
综上可得.
17．（2026·吉林长春·二模）已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为．
(1)求的方程；
(2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线定义可知抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值.
（2）抛物线方程和直线方程联立，用韦达定理表示根的关系，再利用弦长公式，点到直线的距离公式求出的底和高，最后利用导数即可求出面积的最大值.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线为，
抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值，即，即，故的方程为．
（2）由题意可知直线斜率存在，设的方程为，与抛物线联立消去可得
，则，，
则，
的中点在直线上，
即，即，
由弦长公式可知，
点到直线的距离为，
即的面积为，
令，，则，
则，
令，则
令可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此在处取得最大值，即的最大值为，
即面积的最大值为．
18．（2026·广东广州·二模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3．
(1)求的方程：
(2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点．
（i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；
（ii）证明：直线ME过定点．
【答案】(1)
(2)（i） 不为定值.证明见解析.（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可.
（2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而 不为定值.
（ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点
【详解】（1）因为直线被椭圆所截得的线段的长为3，
所以在椭圆上，代入得，
又，解得：.
（2）设点，
设 ，
由 得，
由 ，得 ，解得 或 ，
又点 ， 在 轴下方，则 ，
由韦达定理得
得 ，即 ，
因为 ，
所以
，
所以 不是定值.
（ii）证明：
由（i）得
则直线 的方程为 ，
即 ，
当 时，得 ，
所以必过定点.
19．（2026·重庆·二模）已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且
(1)求直线AB的斜率(用表示)；
(2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1.
①求证：直线l恒过定点Q；
②若向量，且，求的面积S的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得解；
（2）①设直线方程为，将其与抛物线方程联立，设，由斜率之和为，结合韦达定理可证明结论；
②由于轴，则，进而化简求最值.
【详解】（1）根据题意，将点代入抛物线方程，
得，所以抛物线C：，
则，由于，则，
所以；
（2）①设，直线的方程为，
所以，
联立，消去并化简得：，
所以，，
所以，
即，
所以，所以，
所以直线的方程为，即
所以直线过定点，该点坐标为；
②由，，可得轴，且，
联立与，并令，得，
则，且由得，
由，即，
得，
由于得，且，
则的面积
，
而
，
由于，得，而即，
即，所以，且，则且，
由于在单调递减，在单调递增，
所以，当，当，
当，
故面积S的取值范围为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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