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2026年高考最后阶段冲刺训练 17统计与统计案例（详解版）
训练要点：①随机抽样；②用样本估计总体；③变量间的相关关系；④回归分析；⑤独立性检验.
一、单选题
1．（2026·浙江杭州·二模）数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，
因为，不是整数，
所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7.
2．（2025·天津·二模）某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（ ）
A．估计到达该地旅游的女性占比约为55％
B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175
C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取8人
D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.6
【答案】B
【分析】根据题意，由三个年龄段的占比饼状图以及性别占比条形图，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，估计到达该地旅游的女性占比约为
，故A错误；
对于B，从调查的400人中，随机抽取一位进行深入调研，
则抽到中年男性的概率为，故B正确；
对于C，若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，
则中年人中应抽取（人），故C错误；
对于D，从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，
其是女性的概率为0.7，故D错误．
故选：B．
3．（2024·陕西榆林·二模）某工厂要对1110个零件进行抽检，这1110个零件的编号为.若采用系统抽样的方法抽检30个零件，且编号为0005的零件被抽检，则下列编号是被抽检的编号的是（ ）
A．0040 B．0041 C．0042 D．0043
【答案】C
【分析】根据系统抽样的定义结合已知条件求出抽样间隔，从而可求得结果.
【详解】因为零件的个数为1110，抽取30个零件，
所以抽样间隔为，
因为编号为0005的零件被抽检，
所以所有被抽检的编号为，
所以当时，，得被抽检的编号可以是0042，
当时，，得被抽检的编号可以是0079，
故选：C
4．（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.
【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小.
平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数，
故得.
5．（2026·河北·二模）某研究小组收集了60组关于“每天课外阅读时长（单位：分钟）”与“语文阅读理解得分（单位：分）”的数据，经计算，且由这60组数据拟合得到的经验回归方程为，则（ ）
A． B．12 C．1.2 D．12.84
【答案】C
【详解】解：．
6．（2026·湖北孝感·二模）为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】时的预测值，
时的真实为值，
样本点的残差为.
7．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好
C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30
D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点
【答案】D
【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；由决定系数的概念即可直接判断B；由分布乘法计数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D.
【详解】对于A，由二项分布的方差公式可知，
所以，所以，
所以二项分布的期望为，故A正确；
对于B，用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故B正确；
对于C，百位数字不能为0，有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位数的个数有种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有种方法，所以组成有重复数字的三位数的个数为，故C正确；
对于D，在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点，但不一定会经过样本数据点中的任何一个，故D错误；
故选：D.
8．（2025·甘肃金昌·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（ ）
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中.
A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
【答案】B
【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可.
【详解】由题意，列出列联表：
接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
故选：B.
二、多选题
9．（2026·福建厦门·二模）为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示：
直播间展示时长 1 2 3 4 5
即时下单量 12 18 25 30 34
若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ）
A．
B．回归直线过点
C．
D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63
【答案】ACD
【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大，
因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确；
对于B，由数据可知，，，
则回归直线过中心点，不过点，故B错误；
对于C，将点代入，可得，解得，故C正确；
对于D，由C知，与的经验回归方程为，
则时，，故D正确.
10．（2026·广东惠州·二模）下列命题正确的是（ ）
A．数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4
B．数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11
C．数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6
D．数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16
【答案】ABD
【分析】根据众数的概念，可判断A的正误；根据极差的求法，可判断B的正误；根据百分位数的求法，可判断C的正误；根据平均数、方差的性质，可判断D的正误.
【详解】选项A：数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4，故A正确；
选项B：数据7，9，12，15，9，14，18的极差是18-7=11，故B正确；
选项C：数据2，3，3，5，7，8，9共7个，，
则该组数据的第百分位数为7，故C错误；
选项D：数据，的平均数为，
方差为，故D正确.
11．（2025·河北保定·二模）防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）

A．这200名参赛学生的成绩的上四分位数为82.5分
B．这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分
C．这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.03
D．若用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为40的样本，则成绩在之间的应抽取20人
【答案】ABD
【分析】对于A，根据上四分位数的概念，结合频率分布直方图的性质，可得其正误；对于B，根据频率分布直方图的数据，利用平均数估计值的计算，可得其正误；对于C，根据频率分布直方图的性质，可得其正误；对于D，根据分层抽样的概念，结合频率分布直方图的数据可得每组的比例，可得其正误.
【详解】因为．，
所以这200名参赛学生的成绩的上四分位数即第75百分位数位于内，
则这200名参赛学生的成绩的上四分位数为，故A正确；
这200名参赛学生的成绩的平均值为
分，故B正确；
这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为，故C错误；
成绩在之间的应抽取人，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
12．（2026·湖南衡阳·二模）已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______．
【答案】1
【分析】根据题意，得到，结合和二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为，
可得是一个图象开口向上的关于k的二次函数，
所以函数在其图象的对称轴处取得最小值，即，所以．
13．（2024·广东广州·一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数）
【答案】
【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出，再根据决定系数公式求出.
【详解】因为，两边取对数可得，
又，，
依题意回归直线方程必过样本中心点，
所以，解得，所以，
又.
故答案为：；
14．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表：
生长期 3 9 11 17
植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2
由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米.
【答案】
【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可.
【详解】由题意可得，，
所以，
所以回归方程为，
所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米.
故答案为：.
四、解答题
15．（2025·安徽滁州·二模）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表：
月用电量（kW·h） 用户数量 频率
20
0.3
40 0.2
由于表格受损，只能看到部分数据．
(1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率；
(2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据月用电量在内的用户数量及频率求得，再求出月用电量在区间内用户数量，进而得月用电量不低于用户数量，求出其频率即可；
（2）根据分层抽样方法，求出月用电量在区间，，的居民用户数，再根据古典概率求解方法求出概率即可.
【详解】（1），
月用电量在区间内的居民用户有户，
所以月用电量不低于的居民用户有户，
其频率为．
（2）月用电量在区间，，的居民用户各有户，
按分层随机抽样从中随机抽取9户，则月用电量在区间，，的居民用户各有3，4，2户，
从这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户居民用户月用电量在区间内的概率．
16．（2024·全国·模拟预测）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
(1)观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.
（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.
【详解】（1）依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
（2）由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
17．（2024·内蒙古包头·二模）某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 6 8 10 13
13 22 31 42 50 56 58
根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：.
(1)根据下列表格中的数据，比较模型① ②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高 更可靠的模型；
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）
【答案】(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高 更可靠.
(2)198.6
【分析】（1）利用相关指数的定义判断相关性即可.
（2）将给定数值代入拟合模型中求预测值即可.
【详解】（1）由表格中的数据，，
所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，
即模型②的拟合效果精度更高 更可靠.
（2）当万元时，科技升级直接收益的预测值为：
（万元）
18．（2023·广东汕头·二模）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：
行驶里程/万km 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15
轮胎凹槽深度/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82
以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.
(1)根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；
2.57 6.20 115.10 29.46
附：相关系数
(2)通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.
附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.
【答案】(1)，相关性较强
(2)答案见解析
【分析】（1）直接根据相关系数的计算公式求得，从而可判断相关性较强；
（2）由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数，从而可判断对数回归模型的拟合度更高.
【详解】（1）由题意，，
∵，∴，
∴行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强.
（2）由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大.
由题（1）得线性回归模型的相关系数，
决定系数，
由题意，对数回归模型的决定系数，
∵，∴对数回归模型的拟合度更高.
19．（2026·河北邯郸·二模）2026年马年春晚是大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下列联表：
年龄 “豆包”应用 合计
不关注 关注
不超过50岁 400 600
超过50岁 300
合计 1000
(1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联；
(2)从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，可判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄有关联．
(2)分布列见解析；
【分析】（1）补全列联表，进行零假设，求出，根据附表进行判断；
(2)根据超几何分布的特征，写出变量的分布列，根据分布列求出变量的数学期望.
【详解】（1）（1）补全的列联表如下：
年龄 “豆包”应用 合计
不关注 关注
不超过50岁 200 400 600
超过50岁 300 100 400
合计 500 500 1000
零假设为：人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄无关.
根据表中数据，计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，
即认为人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，
则关注“豆包”应用的有人，不关注“豆包”应用的有人，
则的所有可能取值为0，1，2，
的分布列为
0 1 2
的数学期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考最后阶段冲刺训练 17统计与统计案例（学生版）
训练要点：①随机抽样；②用样本估计总体；③变量间的相关关系；④回归分析；⑤独立性检验.
1．（2026·浙江杭州·二模）数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
2．（2025·天津·二模）某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（ ）
A．估计到达该地旅游的女性占比约为55％
B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175
C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取8人
D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.6
3．（2024·陕西榆林·二模）某工厂要对1110个零件进行抽检，这1110个零件的编号为.若采用系统抽样的方法抽检30个零件，且编号为0005的零件被抽检，则下列编号是被抽检的编号的是（ ）
A．0040 B．0041 C．0042 D．0043
4．（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河北·二模）某研究小组收集了60组关于“每天课外阅读时长（单位：分钟）”与“语文阅读理解得分（单位：分）”的数据，经计算，且由这60组数据拟合得到的经验回归方程为，则（ ）
A． B．12 C．1.2 D．12.84
6．（2026·湖北孝感·二模）为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好
C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30
D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点
8．（2025·甘肃金昌·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（ ）
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中.
A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
二、多选题
9．（2026·福建厦门·二模）为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示：
直播间展示时长 1 2 3 4 5
即时下单量 12 18 25 30 34
若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ）
A．
B．回归直线过点
C．
D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63
10．（2026·广东惠州·二模）下列命题正确的是（ ）
A．数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4
B．数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11
C．数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6
D．数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16
11．（2025·河北保定·二模）防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）

A．这200名参赛学生的成绩的上四分位数为82.5分
B．这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分
C．这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.03
D．若用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为40的样本，则成绩在之间的应抽取20人
三、填空题
12．（2026·湖南衡阳·二模）已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______．
13．（2024·广东广州·一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数）
14．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表：
生长期 3 9 11 17
植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2
由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米.
四、解答题
15．（2025·安徽滁州·二模）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表：
月用电量（kW·h） 用户数量 频率
20
0.3
40 0.2
由于表格受损，只能看到部分数据．
(1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率；
(2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率．
16．（2024·全国·模拟预测）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
(1)观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
17．（2024·内蒙古包头·二模）某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 6 8 10 13
13 22 31 42 50 56 58
根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：.
(1)根据下列表格中的数据，比较模型① ②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高 更可靠的模型；
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）
18．（2023·广东汕头·二模）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：
行驶里程/万km 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15
轮胎凹槽深度/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82
以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.
(1)根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；
2.57 6.20 115.10 29.46
附：相关系数
(2)通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.
附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.
19．（2026·河北邯郸·二模）2026年马年春晚是大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下列联表：
年龄 “豆包”应用 合计
不关注 关注
不超过50岁 400 600
超过50岁 300
合计 1000
(1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联；
(2)从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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