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2026年高考最后阶段冲刺训练18计数原理、概率、随机变量及其分布（学生版）
训练要点：①加法原理与乘法原理；②排列组合问题；③二项式定理；④古典概型和几何概型；⑤条件概率与全概率；⑥离散型随机变量及其分布列，期望、方差；⑦二项分布；⑧超几何分布；⑨正态分布.
一、单选题
1．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（2026·重庆万州·模拟预测）现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（ ）
A．84种 B．129种 C．156种 D．165种
3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在的展开式中，记项的系数为，其中，则所有满足的系数之和为（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
4．（2026·河南·模拟预测）某校人工智能社团共有甲、乙等6名成员，指导老师要从中选出3人组队参加全国青少年AI创新大赛，参赛队中1人负责主程序编写，另外2人负责数据标注，若甲、乙两人有且只有一人参赛，则参赛队的人员安排方法数为（ ）
A．64 B．48 C．36 D．18
5．（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥 B．
C． D．
6．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·上海徐汇·二模）已知甲 乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ）
A．且
B．且
C．
D．
8．（2026·安徽淮南·二模）设，随机变量的分布列为
0 1
则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．的最小值为 D．的最大值为
二、多选题
9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2026·重庆九龙坡·二模）一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ）
A． B． C． D． 与 相互独立
11．（2026·重庆·二模）某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______．
13．（2026·陕西西安·模拟预测）投掷一枚质地均匀的骰子次，已知仅有一次掷得偶数的情况下，第三次掷得奇数的概率为___________．
14．（2026·河北张家口·二模）有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________.
四、解答题
15．（2026·贵州六盘水·模拟预测）“中国凉都·六盘水”有着丰富的特产、独特的文化和美丽的风景，根据旅游宣传需要，以乌蒙大草原、红心猕猴桃、布依族风情、岩脚面、牂牁江景区等为背景制作了形状大小相同的三类卡片（特产卡片、文化卡片、景区卡片），某游客持有5张不同的景区卡片，3张不同的特产卡片，2张不同的文化卡片，现从中随机抽取4张卡片．
(1)求抽取的4张卡片中恰有3张是景区卡片的概率；
(2)设抽取的4张卡片中特产卡片的张数为，求随机变量的分布列与数学期望．
16．（2024·山西太原·二模）一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
(1)求该款行李箱密码的不同种数；
(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．
17．（2026·安徽合肥·二模）某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单.
(1)求该订单乘客接受动态调价的概率；
(2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率.
18．（2026·河北沧州·模拟预测）某学校开展“趣味问答”活动，试题按照难度分两大类，学生们答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，若回答的是类试题，则下一次回答类试题，若回答的是类试题，则下一次等可能地回答类或类试题，如此循环，答对一道试题即为通过活动，每名学生首先回答类试题．
(1)若同学甲有三次答题机会，求同学甲通过活动的概率；
(2)若某班有16名同学参加本次活动，每名学生有四次答题机会，表示通过活动的人数，求的值；
(3)若同学乙不限答题次数，求同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率．
19．（2025·江西萍乡·二模）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表：
抽取次数 抽取件数 平均误差
第一次 30 0.3
第二次 20
(1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数；
(2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望．
附：若，则，；．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考最后阶段冲刺训练18计数原理、概率、随机变量及其分布（详解版）
训练要点：①加法原理与乘法原理；②排列组合问题；③二项式定理；④古典概型和几何概型；⑤条件概率与全概率；⑥离散型随机变量及其分布列，期望、方差；⑦二项分布；⑧超几何分布；⑨正态分布.
一、单选题
1．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、，则花盆有种颜色可选，然后对、是否同色进行分类讨论，确定、、的涂色种数，以及、、同色时的涂法种数，结合分类、分步计数原理以及间接法可得结果.
【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、．
由题可知有种颜色可选，
①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选，
其中、、同色时有种颜色可选，
此时花盆摆放的不同方式有种；
②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选，
则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选，
其中、、同色时只有种颜色可选，
此时花盆摆放的不同方式有种．
综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种．
2．（2026·重庆万州·模拟预测）现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（ ）
A．84种 B．129种 C．156种 D．165种
【答案】D
【详解】3本都给1个人：共种；
3本分为1本和2本，分给2个人：选2个不同竞拍者并分配数量，共种；
3本分给3个人，每人1本：选3个不同竞拍者，共种；
总结果数：种.
3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在的展开式中，记项的系数为，其中，则所有满足的系数之和为（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
【答案】D
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
二项式的展开式的通项公式为，
所以的展开式中，记项的系数为，
因为，又，所以所有的组合为，
所以，，，，，
所以.
4．（2026·河南·模拟预测）某校人工智能社团共有甲、乙等6名成员，指导老师要从中选出3人组队参加全国青少年AI创新大赛，参赛队中1人负责主程序编写，另外2人负责数据标注，若甲、乙两人有且只有一人参赛，则参赛队的人员安排方法数为（ ）
A．64 B．48 C．36 D．18
【答案】C
【分析】根据特殊元素优先及分步乘法计数原理计算即可得.
【详解】先从甲、乙两人中选出1人，再从除甲、乙外的4人中选出2人，
最后从选出的3人中选1人负责主程序编写，
根据分步乘法计数原理，可得参赛队的人员安排方法数为．
5．（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥 B．
C． D．
【答案】C
【详解】已知，
由条件概率公式可知，
，故B错；
若事件与事件互斥，则需，故A错；
，故C正确；
，故D错．
6．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】记“小张第一次拨打错误”为事件，“第三次恰好拨打正确”为事件；
易知,
因此小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是.
7．（2026·上海徐汇·二模）已知甲 乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ）
A．且
B．且
C．
D．
【答案】C
【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高
从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误；
由正态分布的对称性：，，C正确；
，而，所以，因此，D错误
8．（2026·安徽淮南·二模）设，随机变量的分布列为
0 1
则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】C
【分析】根据方差公式，结合二次函数性质判断即可.
【详解】.
.
结合二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故AB错误.
最小值为，无最大值，故C正确，D错误.
二、多选题
9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】令，得，故A正确；
的展开式中，，
，，
，故B正确；
令，得，令，得，
，
又，
，故C错误，D正确．
10．（2026·重庆九龙坡·二模）一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ）
A． B． C． D． 与 相互独立
【答案】BC
【分析】根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可.
【详解】由题意可得，，所以A错误；
，所以B正确；
，所以，所以C正确；
由于，所以，
所以与不相互独立，所以D错误.
11．（2026·重庆·二模）某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意求得随机变量的期望与方差，设随机变量为面试完成后答对题的数量，根据二项分布的期望与方差公式求得，由题意可得，根据期望与方差的性质可得，结合选项依次判断即可.
【详解】由题意可得随机变量的可能取值为，
，
所以，
，
记随机变量为面试完成后答对题的数量，
由题意可得随机变量服从二项分布，即，
所以，
由题意可得，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，随机变量与之间没有确定的关系，故C错误；
对于D，，故D正确.
三、填空题
12．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】由独立事件概率乘法公式及二次函数性质即可求解.
【详解】由事件相互独立，得，
代入已知条件得：，
二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
故 .
13．（2026·陕西西安·模拟预测）投掷一枚质地均匀的骰子次，已知仅有一次掷得偶数的情况下，第三次掷得奇数的概率为___________．
【答案】
【详解】设事件为“仅有一次掷得偶数”，事件为“第三次掷得奇数”，
则，，
所以．
14．（2026·河北张家口·二模）有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________.
【答案】/5.4
【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可.
【详解】的可能取值为，
，
，
，
所以的数学期望.
四、解答题
15．（2026·贵州六盘水·模拟预测）“中国凉都·六盘水”有着丰富的特产、独特的文化和美丽的风景，根据旅游宣传需要，以乌蒙大草原、红心猕猴桃、布依族风情、岩脚面、牂牁江景区等为背景制作了形状大小相同的三类卡片（特产卡片、文化卡片、景区卡片），某游客持有5张不同的景区卡片，3张不同的特产卡片，2张不同的文化卡片，现从中随机抽取4张卡片．
(1)求抽取的4张卡片中恰有3张是景区卡片的概率；
(2)设抽取的4张卡片中特产卡片的张数为，求随机变量的分布列与数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题及古典概率公式计算得解.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】（1）依题意，从10张卡片中任取4张的试验有个基本事件，
恰有3张是景区卡片的事件有个基本事件，
所以抽取的4张卡片中恰有3张是景区卡片的概率为.
（2）依题意，的可能值为，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
16．（2024·山西太原·二模）一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
(1)求该款行李箱密码的不同种数；
(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）分只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次和两个数字各出现两次且另一个数字出现一次讨论即可；
（2）首先得到X的取值为1，2，3，分别写出其概率，再利用均值公式即可得到答案.
【详解】（1）当密码中只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次时，
其不同种数为，
当密码中有两个数字各出现两次且另一个数字出现一次时，
其不同种数为，
∴该款行李箱密码的不同种数为．
（2）由题意得X所有可能的取值为1，2，3，
，
，
，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴X的数学期望．
17．（2026·安徽合肥·二模）某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单.
(1)求该订单乘客接受动态调价的概率；
(2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）设事件表示“出行目的为工作通勤”，表示“出行目的为接驳交通枢纽”，表示“出行目的为其他”，事件表示“乘客接受动态调价”.
由题意得：，，.
，，.
由全概率公式：.代入计算：.
故该订单乘客接受动态调价的概率为.
（2）由贝叶斯公式：.代入计算：.
故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为.
18．（2026·河北沧州·模拟预测）某学校开展“趣味问答”活动，试题按照难度分两大类，学生们答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，若回答的是类试题，则下一次回答类试题，若回答的是类试题，则下一次等可能地回答类或类试题，如此循环，答对一道试题即为通过活动，每名学生首先回答类试题．
(1)若同学甲有三次答题机会，求同学甲通过活动的概率；
(2)若某班有16名同学参加本次活动，每名学生有四次答题机会，表示通过活动的人数，求的值；
(3)若同学乙不限答题次数，求同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同学答对第一、第二、第三道题通过活动分类讨论即可；
（2）求出每个同学通过活动的概率，再根据二项分布即可求解；
（3）设表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，再根据与的关系列方程组求解即可．
【详解】（1）若同学甲答对第一题通过活动，则概率为，
若同学甲答对第二题通过活动，则概率为，
若同学甲答对第三题通过活动，则概率为，
所以同学甲通过活动的概率为．
（2）设每名学生通过活动的概率为，
则，
所以，分析可得，所以．
（3）设表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，
表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，所以，
，
所以计算可得，
所以同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率为．
19．（2025·江西萍乡·二模）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表：
抽取次数 抽取件数 平均误差
第一次 30 0.3
第二次 20
(1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数；
(2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望．
附：若，则，；．
【答案】(1)9545件
(2)
Y 0 1 2 3 4
P
．
【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可.
（2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可.
【详解】（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而，
故为“特等品”，即“特等品”的概率为，
故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件；
（2）由题意得：，
则，，
，，
，
则Y的分布列如下：
Y 0 1 2 3 4
P
其数学期望．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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