资源简介

广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在等比数列中，，，则与的等比中项为
A． B． C． D．
2．已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．一场文艺汇演中共有2个小品节目 2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（　　）
A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种
4．已知数列满足，，则（　　）
A．510 B．512 C．1022 D．1024
5．若直线为函数且的图象的一条切线，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数在处取得极小值10，则的值为（　　）
A．2或 B．或 C． D．
7．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（　　）
A．72 B．96 C．114 D．124
8．设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9．现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（　　）
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
10．若数列是公比为的等比数列，则下列说法不正确的是（　　）
A．若数列是递增数列，则，
B．若数列是递减数列，则，
C．若，则
D．若，则是等比数列
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（　　）
A． B．
C．在上是增函数 D．存在最小值
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．设等差数列满足，，若，则项数n的最大值是　 　．
13．某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有　 　种（用数字作答）.
14．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是　 　．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
16．已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
17．如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.
（1）将表示为的函数，并注明定义域；
（2）此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？
18．设数列的前项和为，，且.
（1）设，求证数列为等差数列；
（2）求；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数，其中．
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值．
(2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围．
(3)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为，，所以与的等比中项为.
故选：D
【分析】根据等比中项的性质，若G是a，b的等比中项，则进行求解即可.
2．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意可得，且在点的左侧附近，，此时，排除B、D；
在点的右侧附近，，此时，排除A，
则函数的图象可能是C．
故答案为：C.
【分析】根据函数的极值与导函数的关系，得的正负，利用排除法求解即可．
3．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序；
再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序，
根据分步乘法计数原理可知： 不同的演出顺序共有2400种.
故答案为：C.
【分析】根据分步计数原理，结合排列数公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，得
，
，
，
，
以上各式相加得，
，
所以，所以.
故选：B.
【分析】利用累加法将数列的递推公式整理成的形式，再利用等比数列的前n项和公式即可求得数列 的通项公式，进而可求得a9.
5．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点为，函数且，求导可得，
由导数的几何意义可得，则，即，故，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】设切点为，求导，利用导数的几何意义列出关于、的方程组，结合指数、对数函数的互化求解的值即可.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： ， ，
又 在 处取得极小值10，
则 ，解得， 或，
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在处取得极小值，符合题意；
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在处取得极大值，不合题意.
所以，， 则有
故选：C.
【分析】先对函数进行求导，进而结合已知条件函数在处取得极小值10，可知，列式解出的值并检验极小值点，再求的值即可.
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种；
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种，
故不同的安排方法共有种.
故答案为：C.
【分析】根据分组、分配，结合排列组合求解即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由，可得，
即，
令，
由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，无最小值，
由得，，
若时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，
若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，则由，
即且，得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得等价于，
令，函数)和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，据此求解即可．
9．【答案】A,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、4个球全放4个盒中，没有空盒子的放法共种，故A正确；
B、可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，故B错误；
C、恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，
先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，
再排列共种，故C正确；
D、恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子，
另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用全排列计算即可判断A；由题意可知每个球有4种放法，利用乘法原理计算即可判断B；取1个盒子不放球，再将4个球按分成3组放入3个盒子计算即可判断C；从4个盒4个球中选定一组标号相同的球和盒子，另外3个球3个盒子标号不能对应放，列式计算即可判断D．
10．【答案】A,B,C
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：A，若数列是递增数列，也可以，，故选项A错误；
B，若数列是递减数列，也可以，，故选项B错误；
C，若，则，所以选项C错误；
D，，所以，所以是等比数列，故选项D正确
故选：ABC.
【分析】举例说明即可判断选项ABC；利用等比数列的概念即可判断选项D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，故选项A正确；
B，因为，所以，即，故选项B正确；
C，，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
又，
故恒成立，
所以在上恒成立，故在上是增函数，故选项C正确；
D，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值，故选项D正确；.
故选：ABC
【分析】构造，求导得到其单调性在上单调递增，在上单调递减，利用单调性即可比大小从而判断AB选项；构造，二次求导，得到其单调性在上是增函数可判断选项C；利用单调性即可判断选项D.
12．【答案】8
【知识点】等差数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：由，而，
所以，所以等差数列递减，
所以等差数列，要使项数n的最大值为8.
故答案为：8
【分析】利用等差中项的性质有、，可得，即可判断数列的正负边界位置.
13．【答案】35
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，将8个名额排成一列，有7个间隔，
在这7个间隔中插入3个隔板，可将8个名额分成4组，依次对应4个班级，
所以有种分配方法.
故答案为：
【分析】利用隔板法原理n 个名额排成一排，中间有n-1个空隙，插入k 1个隔板，就能把名额分成 k 份，每份至少 1 个，方法数为计算即得.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ， ，由题设可知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的下方，因为 ，故当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；故 ，而当 时， ， ，
故当 且 ，解之得 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ，由题设可知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的下方，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的最小值，而当 时， ， ，故当 且 ，进而求出实数a的取值范围。
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，即，解得或，
当时，，当时，，
则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）解：由（1）知的单调递增区间为和，单调递减区间为，且，，
在上的最大值为，
因为关于x的不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，即，所以，
则的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，问题转化为在区间上恒成立，即，即可求解的取值范围．
（1）因为，所以，
令，即，解得或，
且当时，，当时，，
所以的单调递增区间为和，递减区间为；
（2）由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为；
且，，
所以在上的最大值为，
因为关于x的不等式在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，所以，
所以的取值范围为．
16．【答案】（1）由①
所以当时，②
②①得：，整理得：，
所以，.
（2）由（1）知，
所以，
所以
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据的关系作差即可求出通项公式；
（2）直接用裂项相消法求和即可.
17．【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：，
由解得
列表如下：
0 +
单调递减 最小值 单调递增
当t取得最小值，
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数最大（小）值；简单函数定义域
【解析】【分析】（1）根据题目信息将表示为的函数即可；
（2）对函数进行求导，再利用导数求出函数的单调区间，利用单调性判断最值即可求解.
（1）由题意可得：
（2），由解得
在上递增，列表如下：
0 +
单调递减 最小值 单调递增
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
18．【答案】解：（1），即，
则数列是首项为，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，即，，
，①
，②
①-②，得，则；
（3）不等式即为，化简得，对任意恒成立，
令，则，
所以时，，即；
时，，即；
时，，即；
所以，
所以的最大项为，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）得，即，推出，再利用错位相减法求和即可；
（3）由（2）得结论，不等式化简为，对任意恒成立，令，利用作差法，结合单调性求的最小值.
19．【答案】解：(1)函数定义域为，
求导可得，由题意可得，解得；
(2)由(1)知，，
令，则，
时，时，即在上单调递减，在上单调递增，
当时，，即，则a的取值范围是；
(3)，，
令，则，
令，则
令，则，即在(0，1]上单调递减，
而，
存在有，时，即，时，即，
于是在上单调递增，在上单调递减，而，则时，
时，则在(0，1]上单调递增，，即，
则a的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求函数的定义域，再求导，由题意可得求解即可；
(2)由(1)知，恒成立，分离参数可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值，即可得a的取值范围；
(3)不等式转化为，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，即可得a的取值范围．
1 / 1广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在等比数列中，，，则与的等比中项为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为，，所以与的等比中项为.
故选：D
【分析】根据等比中项的性质，若G是a，b的等比中项，则进行求解即可.
2．已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意可得，且在点的左侧附近，，此时，排除B、D；
在点的右侧附近，，此时，排除A，
则函数的图象可能是C．
故答案为：C.
【分析】根据函数的极值与导函数的关系，得的正负，利用排除法求解即可．
3．一场文艺汇演中共有2个小品节目 2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（　　）
A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序；
再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序，
根据分步乘法计数原理可知： 不同的演出顺序共有2400种.
故答案为：C.
【分析】根据分步计数原理，结合排列数公式求解即可.
4．已知数列满足，，则（　　）
A．510 B．512 C．1022 D．1024
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，得
，
，
，
，
以上各式相加得，
，
所以，所以.
故选：B.
【分析】利用累加法将数列的递推公式整理成的形式，再利用等比数列的前n项和公式即可求得数列 的通项公式，进而可求得a9.
5．若直线为函数且的图象的一条切线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点为，函数且，求导可得，
由导数的几何意义可得，则，即，故，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】设切点为，求导，利用导数的几何意义列出关于、的方程组，结合指数、对数函数的互化求解的值即可.
6．已知函数在处取得极小值10，则的值为（　　）
A．2或 B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： ， ，
又 在 处取得极小值10，
则 ，解得， 或，
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在处取得极小值，符合题意；
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在处取得极大值，不合题意.
所以，， 则有
故选：C.
【分析】先对函数进行求导，进而结合已知条件函数在处取得极小值10，可知，列式解出的值并检验极小值点，再求的值即可.
7．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（　　）
A．72 B．96 C．114 D．124
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种；
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种，
故不同的安排方法共有种.
故答案为：C.
【分析】根据分组、分配，结合排列组合求解即可.
8．设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由，可得，
即，
令，
由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，无最小值，
由得，，
若时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，
若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，则由，
即且，得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得等价于，
令，函数)和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，据此求解即可．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9．现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（　　）
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
【答案】A,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、4个球全放4个盒中，没有空盒子的放法共种，故A正确；
B、可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，故B错误；
C、恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，
先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，
再排列共种，故C正确；
D、恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒子，
另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用全排列计算即可判断A；由题意可知每个球有4种放法，利用乘法原理计算即可判断B；取1个盒子不放球，再将4个球按分成3组放入3个盒子计算即可判断C；从4个盒4个球中选定一组标号相同的球和盒子，另外3个球3个盒子标号不能对应放，列式计算即可判断D．
10．若数列是公比为的等比数列，则下列说法不正确的是（　　）
A．若数列是递增数列，则，
B．若数列是递减数列，则，
C．若，则
D．若，则是等比数列
【答案】A,B,C
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：A，若数列是递增数列，也可以，，故选项A错误；
B，若数列是递减数列，也可以，，故选项B错误；
C，若，则，所以选项C错误；
D，，所以，所以是等比数列，故选项D正确
故选：ABC.
【分析】举例说明即可判断选项ABC；利用等比数列的概念即可判断选项D.
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（　　）
A． B．
C．在上是增函数 D．存在最小值
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，故选项A正确；
B，因为，所以，即，故选项B正确；
C，，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
又，
故恒成立，
所以在上恒成立，故在上是增函数，故选项C正确；
D，由C选项可知，函数在上单调递增，故无最小值，故选项D正确；.
故选：ABC
【分析】构造，求导得到其单调性在上单调递增，在上单调递减，利用单调性即可比大小从而判断AB选项；构造，二次求导，得到其单调性在上是增函数可判断选项C；利用单调性即可判断选项D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．设等差数列满足，，若，则项数n的最大值是　 　．
【答案】8
【知识点】等差数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：由，而，
所以，所以等差数列递减，
所以等差数列，要使项数n的最大值为8.
故答案为：8
【分析】利用等差中项的性质有、，可得，即可判断数列的正负边界位置.
13．某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有　 　种（用数字作答）.
【答案】35
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，将8个名额排成一列，有7个间隔，
在这7个间隔中插入3个隔板，可将8个名额分成4组，依次对应4个班级，
所以有种分配方法.
故答案为：
【分析】利用隔板法原理n 个名额排成一排，中间有n-1个空隙，插入k 1个隔板，就能把名额分成 k 份，每份至少 1 个，方法数为计算即得.
14．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ， ，由题设可知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的下方，因为 ，故当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；故 ，而当 时， ， ，
故当 且 ，解之得 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ，由题设可知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的下方，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的最小值，而当 时， ， ，故当 且 ，进而求出实数a的取值范围。
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，即，解得或，
当时，，当时，，
则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）解：由（1）知的单调递增区间为和，单调递减区间为，且，，
在上的最大值为，
因为关于x的不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，即，所以，
则的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，问题转化为在区间上恒成立，即，即可求解的取值范围．
（1）因为，所以，
令，即，解得或，
且当时，，当时，，
所以的单调递增区间为和，递减区间为；
（2）由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为；
且，，
所以在上的最大值为，
因为关于x的不等式在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，所以，
所以的取值范围为．
16．已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）由①
所以当时，②
②①得：，整理得：，
所以，.
（2）由（1）知，
所以，
所以
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据的关系作差即可求出通项公式；
（2）直接用裂项相消法求和即可.
17．如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.
（1）将表示为的函数，并注明定义域；
（2）此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？
【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：，
由解得
列表如下：
0 +
单调递减 最小值 单调递增
当t取得最小值，
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数最大（小）值；简单函数定义域
【解析】【分析】（1）根据题目信息将表示为的函数即可；
（2）对函数进行求导，再利用导数求出函数的单调区间，利用单调性判断最值即可求解.
（1）由题意可得：
（2），由解得
在上递增，列表如下：
0 +
单调递减 最小值 单调递增
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
18．设数列的前项和为，，且.
（1）设，求证数列为等差数列；
（2）求；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】解：（1），即，
则数列是首项为，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，即，，
，①
，②
①-②，得，则；
（3）不等式即为，化简得，对任意恒成立，
令，则，
所以时，，即；
时，，即；
时，，即；
所以，
所以的最大项为，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）得，即，推出，再利用错位相减法求和即可；
（3）由（2）得结论，不等式化简为，对任意恒成立，令，利用作差法，结合单调性求的最小值.
19．已知函数，其中．
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值．
(2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围．
(3)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
【答案】解：(1)函数定义域为，
求导可得，由题意可得，解得；
(2)由(1)知，，
令，则，
时，时，即在上单调递减，在上单调递增，
当时，，即，则a的取值范围是；
(3)，，
令，则，
令，则
令，则，即在(0，1]上单调递减，
而，
存在有，时，即，时，即，
于是在上单调递增，在上单调递减，而，则时，
时，则在(0，1]上单调递增，，即，
则a的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求函数的定义域，再求导，由题意可得求解即可；
(2)由(1)知，恒成立，分离参数可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值，即可得a的取值范围；
(3)不等式转化为，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，即可得a的取值范围．
1 / 1

展开更多......

收起↑