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广东省汕头市潮南区某校2024-2025学年高一下学期期中数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知全集，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由，得，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集，并集运算求解即可.
2．已知复数，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：复数，
由，整理得，解得或，即等价于或，
且是的真子集，则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】根据列关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可．
3．已知，则的值是（　　）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题得.
故选：D
【分析】利用同角的商数关系和正余弦齐次式的计算化简即可求解.
4．已知向量，，则在上的投影向量的模为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，
则在上的投影向量的模为.
故答案为：C
【分析】先利用向量的夹角公式可得，再利用投影向量的定义即可求解.
5．如图所示，已知，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知，
故选：A
【分析】以，为基底，根据向量的线性运算求解即可.
6．已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】B
【知识点】解三角形；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由题意不妨设，则，设每条边增加，
则新的三角形的三边分别为，
因为，所以，
即为新的三角形的最大边，
所以新的三角形的最大角的余弦值为
因为，所以，
所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形.
故答案为：B.
【分析】不妨设，设每条边增加，新的三角形的三边分别为，易知是最大边，利用余弦定理求最大角的余弦值判断即可.
7．设点M是线段的中点，点A在直线外，，，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．6
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，得
因为，所以，所以是直角三角形，∠A=90°，
所以
故选：．
【分析】利用数量积公式即可求得，，进而利用在直角中，斜边BC的中线等于斜边的一半即可求解．
8．在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；解三角形
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理，
可得为钝角；
因为，所以点在三角形底边的高线上，
则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：
又，则，
故，；
则，设，，
故，当且仅当时取得等号；
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】在中，利用余弦定理求得为钝角，由，可得点在三角形底边的高线上，以所在直线为轴，以其上的高线为轴，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质求解即可.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由A，B，C三点共线，得，
则，即，解得或.
故答案为：BC.
【分析】根据向量共线的坐标表示列式求参数值即可.
10．下列各组向量中，可以作基底的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、由，得，不平行，则向量，可以作基底，A是；
B、由，得，平行，则向量，不可以作基底，B不是；
C、由，得，不平行，则向量，可以作基底，C是；
D、由，得，平行，则向量，不可以作基底，D不是.
故答案为：AC.
【分析】根据向量平行的坐标表示，结合基底的定义逐项判断即可.
11．在中，内角 所对的边分别为 ，已知，，则（　　）
A． B．的周长的最大值为
C．当最大时，的面积为 D．的最大值为
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、
由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，因为，所以，故A错误；
B、，得，
因，则，当且仅当时等号成立，
则的周长的最大值为，故B正确；
C、由正弦定理得，则，
故当时，取最大值，此时，，故C正确；
D、由C选项可知，
，
其中，故当时，取最大值，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用正弦定理，结合余弦定理求解即可判断A；，得，利用基本不等式求解即可判断B；利用正弦定理，结合三角形面积公式求解即可判断C；利用正弦定理边化角，求三角函数的最值即可判断D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若复数是纯虚数，其中，则　 　．
【答案】3
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得
故答案为：3
【分析】根据复数的概念列式求解即可.
13．设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为三点共线，所以，则，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据共线定理列方程组，求的值即可.
14．如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为　 　米.
【答案】25
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，AC=50，，，，
所以米.
又从处观察塔尖，测得仰角为45°，所以米.
过作的垂线，垂足为（如图），
则米，，
所以米，
所以楼房的高度为米.
【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决，先 分析水平面△ABC 的几何关系，再利用利用仰角求塔高CE，进而求得楼房的高度DB即可.
四、解答题（共77分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c；
（1）若，，，求的面积；
（2）若，求角A的值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得，
因为，所以，则，
则；
（2）解：由，可得，
由余弦定理得，因为，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，再根据三角形内角和定理可得，最后利用三角形面积公式求解即可；
（2）直接利用余弦定理求解即可.
（1）由正弦定理，可得，又，
所以，则，
.
（2）由，可得，
由余弦定理得，又，
所以.
16．（1）已知，，与的夹角，求．
（2）已知，，与的夹角为60°，求．
（3） 已知，，与的夹角为，问：当为何值时，.
【答案】解：（1）．
（2）
．
（3）因为，，与的夹角为，
所以，
若，则，
即，所以，
所以，解得：.
所以当时，.
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）应用平面向量数量积公式计算即可；
（2）根据数量积运算律及平面向量数量积公式计算求解即可；
（3）根据向量垂直的充要条件为向量的数量积为0列式计算即可.
17．已知x为实数，复数．
（1）当x为何值时，复数z的模最小？
（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值．
【答案】（1）解：，
当且仅当时，复数z的模最小，为．

（2）解：由(1)可知，当复数z的模最小时，x=0，所以z=-2+2i，所以复数z在复平面内对应的点．
又点Z位于函数的图象上，所以．
又，，所以，
当且仅当时等号成立．又，，，
所以，．
所以的最小值为，此时，．
【知识点】基本不等式；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质即可求得z的模的最小值.
(2) 根据(1)求得模最小时的z，进而求得复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值.
（1），
当且仅当时，复数z的模最小，为．
（2）当复数z的模最小时，．
又点Z位于函数的图象上，所以．
又，，所以，
当且仅当时等号成立．又，，，
所以，．所以的最小值为，
此时，．
18．如图，在梯形中，，.
（1）若，求；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）若，且，证明：只有一解.
【答案】（1）解：在中，由正弦定理，可得，解得；
（2）解：因为，所以，
又，设外接圆的半径为，则，所以，即外接圆的半径为；
（3）证明：因为，，且，
在中，由余弦定理，即，解得，
所以，
在中，由余弦定理，可得，
则只有一解.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；
（2）根据求出，设外接圆的半径为，利用正弦定理求解即可；
（3）在中，利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，证明即可.
（1）在中由正弦定理，即，
所以；
（2）因为，所以，
又，设外接圆的半径为，则，
所以，即外接圆的半径为；
（3）因为，，且，
在中由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以，
在中由余弦定理
，
所以，
所以只有一解.
19．在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
（3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
【答案】（1）解：在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）解：选①，理由如下：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
（3）解：由正弦定理得，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 核心思路：利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简，求出角B。
(2) ①：利用角平分线性质和面积和公式，结合余弦定理求出ac，再计算面积。
(3) 由正弦定理求出外接圆半径，将ac表示为角的函数，结合锐角三角形条件求ac范围，进而得到高的范围。
（1）在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
1 / 1广东省汕头市潮南区某校2024-2025学年高一下学期期中数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知全集，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则的值是（　　）
A．2 B．-2 C． D．
4．已知向量，，则在上的投影向量的模为（　　）
A． B．1 C． D．2
5．如图所示，已知，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
7．设点M是线段的中点，点A在直线外，，，则（　　）
A．4 B．3 C．2 D．6
8．在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（　　）
A．0 B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（　　）
A． B．1 C． D．2
10．下列各组向量中，可以作基底的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
11．在中，内角 所对的边分别为 ，已知，，则（　　）
A． B．的周长的最大值为
C．当最大时，的面积为 D．的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若复数是纯虚数，其中，则　 　．
13．设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为　 　．
14．如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为　 　米.
四、解答题（共77分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c；
（1）若，，，求的面积；
（2）若，求角A的值.
16．（1）已知，，与的夹角，求．
（2）已知，，与的夹角为60°，求．
（3） 已知，，与的夹角为，问：当为何值时，.
17．已知x为实数，复数．
（1）当x为何值时，复数z的模最小？
（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值．
18．如图，在梯形中，，.
（1）若，求；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）若，且，证明：只有一解.
19．在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
（3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由，得，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集，并集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：复数，
由，整理得，解得或，即等价于或，
且是的真子集，则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】根据列关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可．
3．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题得.
故选：D
【分析】利用同角的商数关系和正余弦齐次式的计算化简即可求解.
4．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，
则在上的投影向量的模为.
故答案为：C
【分析】先利用向量的夹角公式可得，再利用投影向量的定义即可求解.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知，
故选：A
【分析】以，为基底，根据向量的线性运算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】解三角形；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由题意不妨设，则，设每条边增加，
则新的三角形的三边分别为，
因为，所以，
即为新的三角形的最大边，
所以新的三角形的最大角的余弦值为
因为，所以，
所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形.
故答案为：B.
【分析】不妨设，设每条边增加，新的三角形的三边分别为，易知是最大边，利用余弦定理求最大角的余弦值判断即可.
7．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，得
因为，所以，所以是直角三角形，∠A=90°，
所以
故选：．
【分析】利用数量积公式即可求得，，进而利用在直角中，斜边BC的中线等于斜边的一半即可求解．
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；解三角形
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理，
可得为钝角；
因为，所以点在三角形底边的高线上，
则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：
又，则，
故，；
则，设，，
故，当且仅当时取得等号；
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】在中，利用余弦定理求得为钝角，由，可得点在三角形底边的高线上，以所在直线为轴，以其上的高线为轴，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由A，B，C三点共线，得，
则，即，解得或.
故答案为：BC.
【分析】根据向量共线的坐标表示列式求参数值即可.
10．【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、由，得，不平行，则向量，可以作基底，A是；
B、由，得，平行，则向量，不可以作基底，B不是；
C、由，得，不平行，则向量，可以作基底，C是；
D、由，得，平行，则向量，不可以作基底，D不是.
故答案为：AC.
【分析】根据向量平行的坐标表示，结合基底的定义逐项判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、
由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，因为，所以，故A错误；
B、，得，
因，则，当且仅当时等号成立，
则的周长的最大值为，故B正确；
C、由正弦定理得，则，
故当时，取最大值，此时，，故C正确；
D、由C选项可知，
，
其中，故当时，取最大值，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用正弦定理，结合余弦定理求解即可判断A；，得，利用基本不等式求解即可判断B；利用正弦定理，结合三角形面积公式求解即可判断C；利用正弦定理边化角，求三角函数的最值即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得
故答案为：3
【分析】根据复数的概念列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为三点共线，所以，则，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据共线定理列方程组，求的值即可.
14．【答案】25
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，AC=50，，，，
所以米.
又从处观察塔尖，测得仰角为45°，所以米.
过作的垂线，垂足为（如图），
则米，，
所以米，
所以楼房的高度为米.
【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决，先 分析水平面△ABC 的几何关系，再利用利用仰角求塔高CE，进而求得楼房的高度DB即可.
15．【答案】（1）解：由正弦定理可得，
因为，所以，则，
则；
（2）解：由，可得，
由余弦定理得，因为，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，再根据三角形内角和定理可得，最后利用三角形面积公式求解即可；
（2）直接利用余弦定理求解即可.
（1）由正弦定理，可得，又，
所以，则，
.
（2）由，可得，
由余弦定理得，又，
所以.
16．【答案】解：（1）．
（2）
．
（3）因为，，与的夹角为，
所以，
若，则，
即，所以，
所以，解得：.
所以当时，.
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）应用平面向量数量积公式计算即可；
（2）根据数量积运算律及平面向量数量积公式计算求解即可；
（3）根据向量垂直的充要条件为向量的数量积为0列式计算即可.
17．【答案】（1）解：，
当且仅当时，复数z的模最小，为．

（2）解：由(1)可知，当复数z的模最小时，x=0，所以z=-2+2i，所以复数z在复平面内对应的点．
又点Z位于函数的图象上，所以．
又，，所以，
当且仅当时等号成立．又，，，
所以，．
所以的最小值为，此时，．
【知识点】基本不等式；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质即可求得z的模的最小值.
(2) 根据(1)求得模最小时的z，进而求得复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值.
（1），
当且仅当时，复数z的模最小，为．
（2）当复数z的模最小时，．
又点Z位于函数的图象上，所以．
又，，所以，
当且仅当时等号成立．又，，，
所以，．所以的最小值为，
此时，．
18．【答案】（1）解：在中，由正弦定理，可得，解得；
（2）解：因为，所以，
又，设外接圆的半径为，则，所以，即外接圆的半径为；
（3）证明：因为，，且，
在中，由余弦定理，即，解得，
所以，
在中，由余弦定理，可得，
则只有一解.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；
（2）根据求出，设外接圆的半径为，利用正弦定理求解即可；
（3）在中，利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，证明即可.
（1）在中由正弦定理，即，
所以；
（2）因为，所以，
又，设外接圆的半径为，则，
所以，即外接圆的半径为；
（3）因为，，且，
在中由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以，
在中由余弦定理
，
所以，
所以只有一解.
19．【答案】（1）解：在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）解：选①，理由如下：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
（3）解：由正弦定理得，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 核心思路：利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简，求出角B。
(2) ①：利用角平分线性质和面积和公式，结合余弦定理求出ac，再计算面积。
(3) 由正弦定理求出外接圆半径，将ac表示为角的函数，结合锐角三角形条件求ac范围，进而得到高的范围。
（1）在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
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