资源简介

广东省江门市鹤山市纪元中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】极限及其运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，则
故答案为：D
【分析】本题考查导数的定义及基本初等函数的求导公式，核心是将极限式变形为导数定义的形式，再结合函数的导数公式计算结果。
2．下列导数运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为(为常数)，所以，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用基本初等函数的导数公式，从而找出导数运算正确的选项.
3．已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（　　）
A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等差数列的前n项和，设公差为，
所以，，即得，
所以，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】本题考查等差数列的性质、前n项和公式及通项公式，核心是利用等差数列的性质求出公差d和首项a1 ，再代入通项公式计算a15 。
4．在的展开式中，的系数为（　　）
A． B． C．21 D．35
【答案】B
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项公式为：，
令，得，
所以含的项为，
所以的系数为-35，
故选：B
【分析】利用的通项公式求解.
5．已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（　　）
A．数列为等差数列 B．
C．数列存在最大值 D．数列存在最大值
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：已知，
当n=1，时
当时，，
因为，所以，
A、数列是从第二项开始的等差数列，故A错误.
B、将的通项公式可得，故B错误.
C、由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误.
D、由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用可得即可判断AB；利用即可判断CD.
6．从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（　　）
A．12 B．18 C．30 D．60
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：若选出3人有1名医生，2名护士，则不同的选法种数为；
若选出3人有2名医生，1名护士，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为.
故答案为：C.
【分析】本题考查组合数的分类计算，核心是根据 “医生和护士都有” 的要求，分“1名医生与2名护士”和“2名医生与1名护士” 两类计算组合数，再求和。
7．若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，在切点处切线的斜率，
则切线方程为：，
曲线，设切点，则在点处切线的斜率，
由题意，即，
又因为点切点在曲线和切线上，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义求在处的切线为，设直线与曲线相切的切点为，求得，根据切点在曲线和切线上，代入求解即可.
8．设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：依题意，在内存在变号零点，
因为不是的零点，所以，
又因为在上单调递增，所以.
故答案为：B.
【分析】先求出导函数，利用函数在内存在极值点，从而得出导数在内存在零点，参变分离，则转化为求函数值域问题，再结合函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出实数a的取值范围.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分..
9．设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：A、若图中的直线为的图象，曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确；
B、若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象在处先负后正，的图象在处先减后增，故B可能正确；
C、若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确；
D、若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据原函数的单调性与导函数的正负，逐项分析判断即可.
10．有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（　　）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，
则不同的排法种数为，所以A对；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），
可用倍缩法进行求解，则不同的站法种数为，所以B错；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、C三个工厂参观，每名同学必须去，
且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种，所以C对；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，
有种分法，共有6种分组方法，则不同的安排方法有6种，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】用捆绑法即可判断选项A；利用倍缩法判断选项B；用平均分组公式判断出选项C；用分类加法计数原理和分步乘法计数原理判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．已知数列满足，，则下列结论正确的有（　　）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足，，所以，
所以，又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，故A、B正确；
又，
即，所以数列为递减数列，故C错误；
因为，所以，
则数列的前项和为
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】变形可得，结合等比数列的定义证明即可判断AB；利用作差法判断数列的单调性即可判断C；由，可得，利用分组求和法求解即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有　 　种不同的选法．
【答案】16
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若A，B两门课程选1门，不同的选法有种，
若A，B两门课程选2门，不同的选法有种，
所以一共有种不同的选法，
故答案为：16
【分析】本题考查组合数的分类计算（含 “至少” 条件），核心是将“A、B至少选1门”分为“A、B选1门”和“A、B选 2 门”两类，分别计算组合数后求和。
13．已知函数，则　 　.
【答案】
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以，解得.
故答案为：
【分析】本题考查复合函数求导与待定导数值的求解，核心是先对函数求导，再将x=2代入导函数，得到关于f'(2)的方程，解方程即可求出结果。
14．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为　 　．
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，
因为，所以，解得，则，
又因为，所以．
故答案为：.
【分析】设等差数列的公差为，根据，求得，得公差，再利用等差数列的通项公式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男 女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻.
【答案】（1）解：完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，4名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，安排除了甲之外的三人有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（2）解：完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，3名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，先安排除了甲和乙之外的另外两人，然后让甲乙两人插空有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 先根据 “男选手甲必须参加且第 4 位出场” 的条件，用组合数选取剩余选手，再用排列数安排其余选手的出场顺序，结合分步乘法计数原理计算；
(2) 先通过组合数选取剩余选手，再用插空法安排甲、乙的出场顺序（不相邻），分步计算总方法数。
（1）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，4名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，安排除了甲之外的三人有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，3名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，先安排除了甲和乙之外的另外两人，然后让甲乙两人插空有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
16．已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）解：，由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）解：由（1）可知，在单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，最小值为0.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意，先求函数的导函数，根据，解方程组求出a，b的值即可；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较求最值即可.
17．设等差数列的前n项和为，且，（为常数）
（1）求a的值；
（2）求的通项公式；
（3）若，求数列的前n项和
【答案】（1）解： 等差数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，
，满足上式，即，
因为，所以，解得；
（2）解：由（1）得；
（3）解：由（2）可得，
则
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中的关系，求的值即可；
（2）由（1）可得；
（3）由（2）可得，利用裂项相消法求即可.
（1）当时，，
当时，，
因为是等差数列，则时也应满足，即，
又，所以，解得；
（2）由（1）得
（3），
18．已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1）解： 数列的前项和为，且，
当时，，可得，
当时，，可得，则，
则数列是首项 公比都为的等比数列，即；
（2）解：由（1）可得，
，
则，
，
故.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中的关系，结合等比数列的定义求通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
（1）当时，，可得，
当时，，可得，则，
是首项 公比都为的等比数列，
故.
（2）由题设，，
，
则，
所以
，
所以.
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论函数的零点个数.
【答案】（1）解：函数的定义域为，.
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：令，得.
令，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以；
当时，，
当时，，所以，
所以函数的图象如图所示，由图可得，
当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；
当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；
当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 对函数求导后，根据参数的取值范围（、），分析导数的正负，进而确定函数的单调区间；
(2) 将函数零点问题转化为直线与函数的图像交点问题，利用导数研究的单调性与最值，结合图像分析交点个数，从而确定的零点个数。
（1）函数的定义域为，.
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，得.
令，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以；
当时，，
当时，，所以，
所以函数的图象如图所示，由图可得，
当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；
当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；
当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.
1 / 1广东省江门市鹤山市纪元中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
2．下列导数运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（　　）
A．21 B．20 C．19 D．18
4．在的展开式中，的系数为（　　）
A． B． C．21 D．35
5．已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（　　）
A．数列为等差数列 B．
C．数列存在最大值 D．数列存在最大值
6．从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（　　）
A．12 B．18 C．30 D．60
7．若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
8．设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分..
9．设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（　　）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
11．已知数列满足，，则下列结论正确的有（　　）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有　 　种不同的选法．
13．已知函数，则　 　.
14．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男 女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻.
16．已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
17．设等差数列的前n项和为，且，（为常数）
（1）求a的值；
（2）求的通项公式；
（3）若，求数列的前n项和
18．已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论函数的零点个数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】极限及其运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，则
故答案为：D
【分析】本题考查导数的定义及基本初等函数的求导公式，核心是将极限式变形为导数定义的形式，再结合函数的导数公式计算结果。
2．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为(为常数)，所以，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用基本初等函数的导数公式，从而找出导数运算正确的选项.
3．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等差数列的前n项和，设公差为，
所以，，即得，
所以，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】本题考查等差数列的性质、前n项和公式及通项公式，核心是利用等差数列的性质求出公差d和首项a1 ，再代入通项公式计算a15 。
4．【答案】B
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项公式为：，
令，得，
所以含的项为，
所以的系数为-35，
故选：B
【分析】利用的通项公式求解.
5．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：已知，
当n=1，时
当时，，
因为，所以，
A、数列是从第二项开始的等差数列，故A错误.
B、将的通项公式可得，故B错误.
C、由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误.
D、由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用可得即可判断AB；利用即可判断CD.
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：若选出3人有1名医生，2名护士，则不同的选法种数为；
若选出3人有2名医生，1名护士，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为.
故答案为：C.
【分析】本题考查组合数的分类计算，核心是根据 “医生和护士都有” 的要求，分“1名医生与2名护士”和“2名医生与1名护士” 两类计算组合数，再求和。
7．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线，求导可得，在切点处切线的斜率，
则切线方程为：，
曲线，设切点，则在点处切线的斜率，
由题意，即，
又因为点切点在曲线和切线上，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义求在处的切线为，设直线与曲线相切的切点为，求得，根据切点在曲线和切线上，代入求解即可.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：依题意，在内存在变号零点，
因为不是的零点，所以，
又因为在上单调递增，所以.
故答案为：B.
【分析】先求出导函数，利用函数在内存在极值点，从而得出导数在内存在零点，参变分离，则转化为求函数值域问题，再结合函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,B,C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：A、若图中的直线为的图象，曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确；
B、若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象在处先负后正，的图象在处先减后增，故B可能正确；
C、若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确；
D、若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据原函数的单调性与导函数的正负，逐项分析判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，
则不同的排法种数为，所以A对；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），
可用倍缩法进行求解，则不同的站法种数为，所以B错；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、C三个工厂参观，每名同学必须去，
且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种，所以C对；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，
有种分法，共有6种分组方法，则不同的安排方法有6种，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】用捆绑法即可判断选项A；利用倍缩法判断选项B；用平均分组公式判断出选项C；用分类加法计数原理和分步乘法计数原理判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足，，所以，
所以，又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，故A、B正确；
又，
即，所以数列为递减数列，故C错误；
因为，所以，
则数列的前项和为
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】变形可得，结合等比数列的定义证明即可判断AB；利用作差法判断数列的单调性即可判断C；由，可得，利用分组求和法求解即可判断D.
12．【答案】16
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若A，B两门课程选1门，不同的选法有种，
若A，B两门课程选2门，不同的选法有种，
所以一共有种不同的选法，
故答案为：16
【分析】本题考查组合数的分类计算（含 “至少” 条件），核心是将“A、B至少选1门”分为“A、B选1门”和“A、B选 2 门”两类，分别计算组合数后求和。
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以，解得.
故答案为：
【分析】本题考查复合函数求导与待定导数值的求解，核心是先对函数求导，再将x=2代入导函数，得到关于f'(2)的方程，解方程即可求出结果。
14．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，
因为，所以，解得，则，
又因为，所以．
故答案为：.
【分析】设等差数列的公差为，根据，求得，得公差，再利用等差数列的通项公式求解即可.
15．【答案】（1）解：完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，4名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，安排除了甲之外的三人有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（2）解：完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，3名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，先安排除了甲和乙之外的另外两人，然后让甲乙两人插空有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 先根据 “男选手甲必须参加且第 4 位出场” 的条件，用组合数选取剩余选手，再用排列数安排其余选手的出场顺序，结合分步乘法计数原理计算；
(2) 先通过组合数选取剩余选手，再用插空法安排甲、乙的出场顺序（不相邻），分步计算总方法数。
（1）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，4名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，安排除了甲之外的三人有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，3名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，先安排除了甲和乙之外的另外两人，然后让甲乙两人插空有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
16．【答案】（1）解：，由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）解：由（1）可知，在单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，最小值为0.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意，先求函数的导函数，根据，解方程组求出a，b的值即可；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较求最值即可.
17．【答案】（1）解： 等差数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，
，满足上式，即，
因为，所以，解得；
（2）解：由（1）得；
（3）解：由（2）可得，
则
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中的关系，求的值即可；
（2）由（1）可得；
（3）由（2）可得，利用裂项相消法求即可.
（1）当时，，
当时，，
因为是等差数列，则时也应满足，即，
又，所以，解得；
（2）由（1）得
（3），
18．【答案】（1）解： 数列的前项和为，且，
当时，，可得，
当时，，可得，则，
则数列是首项 公比都为的等比数列，即；
（2）解：由（1）可得，
，
则，
，
故.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中的关系，结合等比数列的定义求通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
（1）当时，，可得，
当时，，可得，则，
是首项 公比都为的等比数列，
故.
（2）由题设，，
，
则，
所以
，
所以.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，.
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：令，得.
令，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以；
当时，，
当时，，所以，
所以函数的图象如图所示，由图可得，
当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；
当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；
当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 对函数求导后，根据参数的取值范围（、），分析导数的正负，进而确定函数的单调区间；
(2) 将函数零点问题转化为直线与函数的图像交点问题，利用导数研究的单调性与最值，结合图像分析交点个数，从而确定的零点个数。
（1）函数的定义域为，.
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，得.
令，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以；
当时，，
当时，，所以，
所以函数的图象如图所示，由图可得，
当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；
当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；
当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.
1 / 1

展开更多......

收起↑