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江苏省射阳中学2025届高三下学期全真模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：易知点，则点，向量对应的复数为.
故答案为：D.
【分析】根据复数在复平面内的表示求得点的坐标，再由对称求出点的坐标，最后求对应的复数即可.
2．已知集合，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知集合，因为，所以，所以，
则实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式求得集合B，再利用集合交集建立不等式求解即可.
3．若“，”是假命题，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】存在量词命题；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：“，”是假命题，
即对于恒成立，即，
，，故.
故答案为：B
【分析】本题考查特称命题的否定与恒成立问题的求解，核心是先将假命题转化为其否定的真命题（全称恒成立），再通过三角恒等变换化简式子，结合三角函数的值域求参数m的范围。
4．已知随机变量，且，则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，
则，
所以，
则
，
当且仅当时，即当时取等号.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的的对称性，从而得出的值，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式及其推论；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，
，
则.
故答案为：D.
【分析】利用指数、对数的互化，以及对数换底公式及对数函数性质，结合不等式性质比较大小即可.
6．设数列满足，，，为的前项和，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由，得，
即，因为，所以，则，，
所以，则，
又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，则，
由，得到，即，又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由，变形可得，根据求得，再根据可得，从而可得，解指数不等式求解即可.
7．已知分别是双曲线：的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：延长交于，由是的角平分线，
则，，又是的中点，
所以，且，
由，
则，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查双曲线的定义、角平分线的性质与离心率的计算，核心是通过延长辅助线构造中点关系，结合双曲线定义得到a与b的等量关系，再利用离心率公式求解。
8．如图，三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，设经过次随机选择后质点到达区域的概率为，若质点一开始在区域，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的应用；概率的应用
【解析】【解答】解：记质点经过次随机选择后到达区域的概率为，
质点经过次随机选择后到达区域的概率为，
则有，消去，可得，
则，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故.
故答案为：.
【分析】本题考查递推数列与等比数列的构造在概率问题中的应用，核心是通过设定不同区域的概率变量，建立递推关系，构造等比数列求解通项公式，进而计算x20 。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（　　）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；例如，可得，故A错误；
B、设，数据的中位数等于的中位数均为，故B正确；
C、因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，
即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即，故C错误；
D、不妨设，
则，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项判断即可.
10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（　　）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A、抛物线：的标准方程为，焦点坐标为，
准线方程为，故A错误；
B、联立，整理可得，解得，
则直线与相切，故B正确；
C、设点，，
则，故C正确；
D、过点作准线，交于点，如图所示：
，，
则，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】化抛物线为标准方程，求焦点坐标与准线方程即可判断A；联立直线与抛物线方程，消元，由即可判断B；设点，利用两点间距离公式表示出，再根据二次函数的性质求解即可判断C；根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值即可判断D.
11．柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（　　）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为
D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
【答案】A,B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、由棱长为2，得正八面体上半部分的斜高为，高为，则正八面体的体积为，
则正八面体的外接球的球心为，半径为，
所以外接球的体积为，故A正确；
B、由于到平面的距离等于到平面的距离，
在中，过作的垂线，垂足为，则平面，
由，得，
平面截正八面体的外接球所得截面是圆，半径，
则截面的面积为，故B正确；
C、甲随机选择的情况有种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
甲构成正三角形的概率为，故C错误；
D、乙随机选择的情况有种，乙构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，
或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，
共有种，概率为；又甲能构成正三角形的概率为，
所以甲与乙均能构成正三角形的概率为，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由图形，根据正八面体的特征求上半部分的斜高，高以及正八面体的体积，根据勾股定理求出球的半径，再利用球的体积求外接球的体积即可判断A；根据等面积求出OH，进而求出截面圆的半径即可判断B；确定甲乙选择的三个点构成正三角形的情况，结合古典概型的概率公式计算即可判断CD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数在处取得极值10，则a＝　 　．
【答案】4
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由，得，
函数在处取得极值10，
（1），（1），
，
或，
当 时，，在处不存在极值；
当时，
，，，，，符合题意.
故答案为：4.
【分析】本题考查利用导数研究函数的极值，核心是先根据极值点的性质列出导数为0和函数值为10的方程组，求解参数后，再验证导数在极值点两侧的符号是否变化，排除不符合极值条件的解。
13．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾 坐公交车 骑共享单车三种，某天早上他选择自驾 坐公交车 骑共享单车的概率分别为，而他自驾 坐公交车 骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为　 　；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为　 　.
【答案】；
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，
事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”，
则.
由全概率公式可得小明这一天迟到的概率：
.
小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是.
故答案为：；.
【分析】本题考查全概率公式与贝叶斯公式的应用，核心是先通过全概率公式计算迟到的总概率，再利用贝叶斯公式（或条件概率定义）计算迟到时自驾的条件概率。
14．在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，过点作于点，
可知，
沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，
则，
所以，
由，
可得，
则，
所以，
可得．
故答案为：.
【分析】在平面直角坐标系中，过点作于点，则折成二面角后，，由，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而得出角的余弦值．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
（1）求；
（2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
【答案】（1）解：因为在上单调递增，
在上单调递减，
所以且，
所以，
可知，
由，可知，
所以，
则，
由，
可得，
则．
（2）解：因为
化简得，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，
则长的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的单调性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性和正弦型函数的最小正周期公式以及的取值范围，从而求出的值，进而得出函数解析式，再利用正弦型函数的对称性得出的值.
（2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法以及已知条件，从而得出边上的高长的最大值．
（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
16．如图，三棱柱中，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】解：（1）过点作，垂足为，
因为平面平面，所以平面，故，
又因为，，，
所以，故，
因为，所以，
又因为，所以平面，故.
（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为平面，
所以是直线与平面所成角，
故，
所以，，
，，，，，，
设平面的法向量为，则
，所以，
令，得，
因为平面，
所以为平面的一条法向量，
，
，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，利用面面垂直的性质可得CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，最后根据线面垂直的性质证明AA1⊥BC即可；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
17．在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以，
因为，所以n=1时，，所以数列是各项为0的常数列，即，
则；
（2）解：①由得，
所以①，
所以②，
②-①得：③，
所以④，
④-③得，所以，
即，
所以数列是等差数列，
②当时，由，可得，，
又因为，故的公差为1，所以，
所以，
即
．
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）递推公式变形得到，结合，可得，则数列是各项为0的常数列，即可求得；
（2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列；
②当时，求出，结合，得到等差数列的公差，根据等差数列的定义求得通项公式，可得，最后利用裂项相消法求和证明即可.
（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以n=1时，，
所以数列是各项为0的常数列，即，
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以数列是等差数列．
②当时，由得，所以，
又，故的公差为1，所以，
所以，
即
．
18．在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②设直线，相交于点，求证：为定值.
【答案】（1）解：由，，
所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为，焦距为，
则，，所以，
所以的方程为.
（2）①证明：由，直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为，，，，
联立，得，
则，，，
所以．
又，所以，，
所以
.
②证明：由①知，所以．
作关于轴的对称点，则，，三点共线．
又，，设.
则直线方程即为直线方程.
又直线方程为，
作差，得，
所以，
所以，，
由，得．
又因为，所以，
即，即，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，
所以．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 根据椭圆的定义，判断点P的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，结合椭圆的基本参数关系（长轴长、焦距）求解轨迹方程。
(2) ①设过Q点的直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理得到、的关系，再结合斜率公式推导为定值。
②作E关于x轴的对称点，利用三点共线的性质表示出点M的坐标，结合双曲线的定义证明为定值。
（1）由，，
所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为，焦距为，
则，，所以，
所以的方程为.
（2）①由，直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为，，，，
联立，得，
则，，，
所以．
又，所以，，
所以
.
②由①知，所以．
作关于轴的对称点，则，，三点共线．
又，，设.
则直线方程即为直线方程.
又直线方程为，
作差，得，
所以，
所以，，
由，得．
又因为，所以，
即，即，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，
所以．
19．已知函数.
（1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程；
（2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.
（i）求函数的极值；
（ii）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，若为奇函数，则，解得，经检验知满足题意，
则，，，
故函数在点处的切线方程为；
（2）解：（i）函数的定义域为，
，
因为函数既存在极大值，又存在极小值，所以必有两个不等的实根，则，
令，可得或，所以，解得且，
当时，，则：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值，
当时，，
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值；
（ii）由，可得，
由题意可得对恒成立，
即，因为，所以，
令，其中，
，
令，则，
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即或时，
设方程的两根分别为且，
当时，则，
则在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
当时，则，
则，则当时，，
则在上单调递减，，即不合题意，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，根据函数为奇函数，求出 的值， 再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）( i )求函数 的定义域，再求导，由题意可得 必有两个不等的实数根，， 利用导数判断函数 的单调性，求极值即可；
(ii) 由题意可得对恒成立，即，因为，所以，构造函数， 利用导数分类讨论求解即可.
（1）为奇函数，有，则，经检验知满足题意，
所以所以，，
所以在点处的切线方程为.
（2）（i），
因为函数既存在极大值，又存在极小值，
则必有两个不等的实根，则，
令可得或，
所以，解得且.
当时，.则有：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值
当时，.则有：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值.
（ii）由，所以，
由题意可得对恒成立，
即
令，其中，
令，则
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即或时，
设方程的两根分别为且，
当时，则，
则在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
当时，则，
则，则当时，，
则在上单调递减，，即不合题意.
综上所述，的取值范围是.
1 / 1江苏省射阳中学2025届高三下学期全真模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．若“，”是假命题，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．已知随机变量，且，则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
5．设，则（　　）
A． B． C． D．
6．设数列满足，，，为的前项和，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知分别是双曲线：的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，设经过次随机选择后质点到达区域的概率为，若质点一开始在区域，则（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（　　）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（　　）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
11．柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（　　）
A．该正八面体的外接球的体积为
B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为
C．甲能构成正三角形的概率为
D．甲与乙均能构成正三角形的概率为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数在处取得极值10，则a＝　 　．
13．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾 坐公交车 骑共享单车三种，某天早上他选择自驾 坐公交车 骑共享单车的概率分别为，而他自驾 坐公交车 骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为　 　；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为　 　.
14．在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
（1）求；
（2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
16．如图，三棱柱中，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.
17．在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
18．在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②设直线，相交于点，求证：为定值.
19．已知函数.
（1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程；
（2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.
（i）求函数的极值；
（ii）若，且，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：易知点，则点，向量对应的复数为.
故答案为：D.
【分析】根据复数在复平面内的表示求得点的坐标，再由对称求出点的坐标，最后求对应的复数即可.
2．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知集合，因为，所以，所以，
则实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式求得集合B，再利用集合交集建立不等式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】存在量词命题；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：“，”是假命题，
即对于恒成立，即，
，，故.
故答案为：B
【分析】本题考查特称命题的否定与恒成立问题的求解，核心是先将假命题转化为其否定的真命题（全称恒成立），再通过三角恒等变换化简式子，结合三角函数的值域求参数m的范围。
4．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，
则，
所以，
则
，
当且仅当时，即当时取等号.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的的对称性，从而得出的值，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式及其推论；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，
，
则.
故答案为：D.
【分析】利用指数、对数的互化，以及对数换底公式及对数函数性质，结合不等式性质比较大小即可.
6．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由，得，
即，因为，所以，则，，
所以，则，
又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，则，
由，得到，即，又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由，变形可得，根据求得，再根据可得，从而可得，解指数不等式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：延长交于，由是的角平分线，
则，，又是的中点，
所以，且，
由，
则，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查双曲线的定义、角平分线的性质与离心率的计算，核心是通过延长辅助线构造中点关系，结合双曲线定义得到a与b的等量关系，再利用离心率公式求解。
8．【答案】D
【知识点】数列的应用；概率的应用
【解析】【解答】解：记质点经过次随机选择后到达区域的概率为，
质点经过次随机选择后到达区域的概率为，
则有，消去，可得，
则，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故.
故答案为：.
【分析】本题考查递推数列与等比数列的构造在概率问题中的应用，核心是通过设定不同区域的概率变量，建立递推关系，构造等比数列求解通项公式，进而计算x20 。
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；例如，可得，故A错误；
B、设，数据的中位数等于的中位数均为，故B正确；
C、因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，
即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即，故C错误；
D、不妨设，
则，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A、抛物线：的标准方程为，焦点坐标为，
准线方程为，故A错误；
B、联立，整理可得，解得，
则直线与相切，故B正确；
C、设点，，
则，故C正确；
D、过点作准线，交于点，如图所示：
，，
则，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】化抛物线为标准方程，求焦点坐标与准线方程即可判断A；联立直线与抛物线方程，消元，由即可判断B；设点，利用两点间距离公式表示出，再根据二次函数的性质求解即可判断C；根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、由棱长为2，得正八面体上半部分的斜高为，高为，则正八面体的体积为，
则正八面体的外接球的球心为，半径为，
所以外接球的体积为，故A正确；
B、由于到平面的距离等于到平面的距离，
在中，过作的垂线，垂足为，则平面，
由，得，
平面截正八面体的外接球所得截面是圆，半径，
则截面的面积为，故B正确；
C、甲随机选择的情况有种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
甲构成正三角形的概率为，故C错误；
D、乙随机选择的情况有种，乙构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，
或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，
共有种，概率为；又甲能构成正三角形的概率为，
所以甲与乙均能构成正三角形的概率为，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由图形，根据正八面体的特征求上半部分的斜高，高以及正八面体的体积，根据勾股定理求出球的半径，再利用球的体积求外接球的体积即可判断A；根据等面积求出OH，进而求出截面圆的半径即可判断B；确定甲乙选择的三个点构成正三角形的情况，结合古典概型的概率公式计算即可判断CD.
12．【答案】4
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由，得，
函数在处取得极值10，
（1），（1），
，
或，
当 时，，在处不存在极值；
当时，
，，，，，符合题意.
故答案为：4.
【分析】本题考查利用导数研究函数的极值，核心是先根据极值点的性质列出导数为0和函数值为10的方程组，求解参数后，再验证导数在极值点两侧的符号是否变化，排除不符合极值条件的解。
13．【答案】；
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，
事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”，
则.
由全概率公式可得小明这一天迟到的概率：
.
小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是.
故答案为：；.
【分析】本题考查全概率公式与贝叶斯公式的应用，核心是先通过全概率公式计算迟到的总概率，再利用贝叶斯公式（或条件概率定义）计算迟到时自驾的条件概率。
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，过点作于点，
可知，
沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，
则，
所以，
由，
可得，
则，
所以，
可得．
故答案为：.
【分析】在平面直角坐标系中，过点作于点，则折成二面角后，，由，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而得出角的余弦值．
15．【答案】（1）解：因为在上单调递增，
在上单调递减，
所以且，
所以，
可知，
由，可知，
所以，
则，
由，
可得，
则．
（2）解：因为
化简得，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，
则长的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的单调性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性和正弦型函数的最小正周期公式以及的取值范围，从而求出的值，进而得出函数解析式，再利用正弦型函数的对称性得出的值.
（2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法以及已知条件，从而得出边上的高长的最大值．
（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
16．【答案】解：（1）过点作，垂足为，
因为平面平面，所以平面，故，
又因为，，，
所以，故，
因为，所以，
又因为，所以平面，故.
（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为平面，
所以是直线与平面所成角，
故，
所以，，
，，，，，，
设平面的法向量为，则
，所以，
令，得，
因为平面，
所以为平面的一条法向量，
，
，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，利用面面垂直的性质可得CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，最后根据线面垂直的性质证明AA1⊥BC即可；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
17．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以，
因为，所以n=1时，，所以数列是各项为0的常数列，即，
则；
（2）解：①由得，
所以①，
所以②，
②-①得：③，
所以④，
④-③得，所以，
即，
所以数列是等差数列，
②当时，由，可得，，
又因为，故的公差为1，所以，
所以，
即
．
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）递推公式变形得到，结合，可得，则数列是各项为0的常数列，即可求得；
（2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列；
②当时，求出，结合，得到等差数列的公差，根据等差数列的定义求得通项公式，可得，最后利用裂项相消法求和证明即可.
（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以n=1时，，
所以数列是各项为0的常数列，即，
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以数列是等差数列．
②当时，由得，所以，
又，故的公差为1，所以，
所以，
即
．
18．【答案】（1）解：由，，
所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为，焦距为，
则，，所以，
所以的方程为.
（2）①证明：由，直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为，，，，
联立，得，
则，，，
所以．
又，所以，，
所以
.
②证明：由①知，所以．
作关于轴的对称点，则，，三点共线．
又，，设.
则直线方程即为直线方程.
又直线方程为，
作差，得，
所以，
所以，，
由，得．
又因为，所以，
即，即，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，
所以．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 根据椭圆的定义，判断点P的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，结合椭圆的基本参数关系（长轴长、焦距）求解轨迹方程。
(2) ①设过Q点的直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理得到、的关系，再结合斜率公式推导为定值。
②作E关于x轴的对称点，利用三点共线的性质表示出点M的坐标，结合双曲线的定义证明为定值。
（1）由，，
所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为，焦距为，
则，，所以，
所以的方程为.
（2）①由，直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为，，，，
联立，得，
则，，，
所以．
又，所以，，
所以
.
②由①知，所以．
作关于轴的对称点，则，，三点共线．
又，，设.
则直线方程即为直线方程.
又直线方程为，
作差，得，
所以，
所以，，
由，得．
又因为，所以，
即，即，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，
所以．
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，若为奇函数，则，解得，经检验知满足题意，
则，，，
故函数在点处的切线方程为；
（2）解：（i）函数的定义域为，
，
因为函数既存在极大值，又存在极小值，所以必有两个不等的实根，则，
令，可得或，所以，解得且，
当时，，则：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值，
当时，，
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值；
（ii）由，可得，
由题意可得对恒成立，
即，因为，所以，
令，其中，
，
令，则，
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即或时，
设方程的两根分别为且，
当时，则，
则在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
当时，则，
则，则当时，，
则在上单调递减，，即不合题意，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，根据函数为奇函数，求出 的值， 再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）( i )求函数 的定义域，再求导，由题意可得 必有两个不等的实数根，， 利用导数判断函数 的单调性，求极值即可；
(ii) 由题意可得对恒成立，即，因为，所以，构造函数， 利用导数分类讨论求解即可.
（1）为奇函数，有，则，经检验知满足题意，
所以所以，，
所以在点处的切线方程为.
（2）（i），
因为函数既存在极大值，又存在极小值，
则必有两个不等的实根，则，
令可得或，
所以，解得且.
当时，.则有：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值
当时，.则有：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值，极小值.
（ii）由，所以，
由题意可得对恒成立，
即
令，其中，
令，则
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即或时，
设方程的两根分别为且，
当时，则，
则在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
当时，则，
则，则当时，，
则在上单调递减，，即不合题意.
综上所述，的取值范围是.
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