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广东省深圳市南山第二外国语学校前海学校2026年中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2026年春节联欢晚会主标识“骐骥驰骋纹”，巧妙融合中国传统云纹、雷纹、回纹等经典元素．以下纹样中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
【分析】一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形为轴对称图形.
2．深圳图书馆北馆是全国最大的全自动智能立体书库，藏着超400万册书籍，凭借ULAS-V系统、机器人配送以及数字孪生等前沿智慧技术，为读者提供了高效且沉浸式的服务体验，让读者体会阅读的乐趣与美好.其中400万用科学记数法记作(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：400万=4000000用科学记数法记作
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道.甲从A通道进入体育比赛馆的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得甲可以从A，B，C三个安检通道进入体育比赛馆，共有3种等可能结果，其中从从A通道进入体育比赛馆的结果为1，则甲从A通道进入体育比赛馆的概率是；
故答案为：B
【分析】由题意得甲进入体育比赛馆有3种，其中从A通道进入为1种，则甲从A通道进入体育比赛馆的概率是.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项正确，符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，故C选项错误，不符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
5．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= (　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】由平行线的性质推出即可求出的度数.
6．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术.其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、鸡价各几何 ”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少 ”设人数有 人，鸡的价钱是 钱，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A.
【分析】由题意可知8×人数-鸡的价钱=3；7×人数-鸡的价钱=4，据此列方程组即可.
7． 如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D 处，使∠D=30°，则CD 的长度约为（参考数据： （　　)
A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在中，（米）
在中，（米）
∴CD=AD-AC=3.66（米）
故答案为D：.
【分析】这是一道解直角三角形常规题型，先求AD，再求AC，两者相减即为CD，要注意计算的准确性。
8． 如图， 已知三角形 ABE为直角三角形， ∠ABE=90°， BC为圆 O切线， C为切点， CA=CD， 则 和△CDE面积之比为 （　　)
A．1： 3 B．1： 2 C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；切线的性质；切线长定理；圆周角定理的推论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接OC，
∵ ∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠OBC=90°；
∵ BC为圆 O切线， C为切点，
∴OC⊥BC，
∴∠BCO=90°，
∴∠COD+∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠COD，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠E=90°，
∵DE是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，
即∠OCD+∠OCE=90°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠E，
∴∠A=∠OCD，
又 CA=CD，
∴
∴，
又OD=OE，
∴，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠ABC+∠OBC=90°，进而根据同角的余角相等，可得出∠ABC=∠COD，进而根据圆周角定理的推论可得出∠OCD+∠OCE=90°，根据等角的余角相等，可得出∠A=∠OCD，进而根据AAS可证得，即可得出，再根据点O是DE的中点，即可得出，进而得出，j进一步即可得出答案。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．因式分解： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4x2-16=4（x-2）（x+2）.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解。
10．不等式组 的整数解为　 　．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x≥3；
解不等式②，得x<4；
所以不等式组的解集为3≤x<4，
所以不等式组的整数解为3；
故答案为：3.
【分析】分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可.
11． 在矩形 ABCD 中， 如图，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，分别交边 CD，对角线 BD于点 E，F；分别以 E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠BDC 内交于点 N，作射线 DN交BC于 M点，则 sin∠BDM的值为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；求正弦值；正切的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵
∴tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=60°，
又根据尺规作图可知：∠BDM=∠BDC=30°，
∴ sin∠BDM =sin30°=。
故答案为：.
【分析】首先根据矩形的性质可得出∠A=90°，进而根据锐角三角函数的定义及特殊锐角的三角函数值可得出∠ABD=60°，进而根据平行线的性质可得出∠BDC=∠ABD=60°，进而根据尺规作图可得出∠BDM=∠BDC=30°，再根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。
12． 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p （Pa)是气球体积 的反比例函数. 当 时，p=20000Pa. 则当 时， p=　 　 Pa.
【答案】16000
【知识点】函数值；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p （Pa)是气球体积 的反比例函数 ，可设P=，
∵ 当 时，p=20000Pa.
∴20000=，
∴k=24000，
∴P=，
把V=1.5代入P=中，可得：P=（pa）。
故答案为：16000.
【分析】首先根据在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p （Pa)是气球体积 的反比例函数 ，可设P=，进而利用待定系数法可得出P=，进而把V=1.5代入P=中，即可求得答案。
13． 如图，在直角三角形纸片 ABC中， ∠BAC=90°， AB=4， AC=6. D是 AC中点，将纸片沿 BD翻折，直角顶点 A的对应点为 A'， AA'交 BC于 E，则 CE=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接A'C，设AA'与·BD交于点M.
在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = 4， AC = 6，由勾股定理可得BC =
∵点D 是AC 的中点，
∴AD=3，
在RtABD 中，由勾股定理可得：BD=，
由翻折可知， BD 垂直平分线段 AA’，AD=A'D，AD=A'D= DC.
∴∠DAA’=∠DA’A， ∠DA'C = ∠DCA'.
∴ ∠DAA'+∠DA'A+∠DA'C+∠DCA'=180°
∴ 2(∠AA'D+∠DA'C) =180°
∴∠AA'C= 90° ；
∴∠BAC = ∠AMB = ∠AA'C =90°.
∴∠ABM+∠BAM=∠BAM+∠CAA'=90°
∴∠ABM=∠CAA'
∴ABD，
∴
即：，
解得：A'C=
∵∠ABM=∠DBA，∠AMB=∠BAD=90°，
∴，
∴即：
解得：BM=
∵ ∠AMD=∠AA'C=90°，
∴BD //A'C.
∴
∴即：
解得；CE=
故答案为：.
【分析】连接A'C，设AA’与BD交于点M，利用勾股定理求出线段BC，BD 的长，再根据翻折的性质和等腰三角形的性质证∠AA’C 为直角，从而证明，求出A'C的长；再证明，求出BM的长，再证明BD//A'C，从而证明，进而得出比例式可求CE 的长。
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．计算：
【答案】解：原式=1×（-3）+4+2-1
=-3+4+2-1
=2
【知识点】零指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】首先根据乘方的意义，算术平方根的性质，绝对值的性质，零整数指数幂的性质进行化简，进而再进行有理数的加减乘除运算即可。
15． 先化简，再求值： 其中 a，b满足 b-3a=0.
【答案】解：原式=
=
=
=
∵ b-3a=0
∴b=3a，
∴原式==
【知识点】分式的化简求值；同分母分式的加、减法；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】首先进行分式的混合运算，化简结果为，进而根据 b-3a=0可得出b=3a，然后代入化简后的式子，进行计算即可。
16．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h)，随机调查了该校八年级 a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ)填空：a的值为 ▲ ，图①中 m的值为 ▲ ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 ▲ 和 ▲ ；
（Ⅱ)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（Ⅲ)根据样本数据，若该校八年级共有学生 500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 9h的人数约为多少
【答案】解：（I) 50， 34， 8， 8.
（Ⅱ)观察条形统计图，
∴这组数据的平均数是 8. 36.
（Ⅲ)∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是 9h的学生占 30%，
∴根据样本数据，估计该校八年级学生 500人中，每周参加科学教育的时间是 9h的学生占 30%，有500×30%=150 （人) ，
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 9h的人数约为 150人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解（Ⅰ）a=15÷30%=50（名）；
参加科教时间8h的人数所占的比例为：根据
∴m=34；
根据扇形统计图可知m=34最大，所以这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数为8；
认识总共50名，所以中位数位于按从小到大排列的第25和第26两个数的平均数，
∵3+7+17=27，
所以中位数为：8
故答案为： 50， 34， 8， 8.
【分析】（Ⅰ）由条形统计图可知参加科教时间9h的人数为15人，由扇形统计图可知该组人数占随机调查人数的30%，故而得出a的值为15÷30%=50（名）；进而可得出参加科教时间8h的人数所占的比例为：即可得出m的值；进而再根据众数和中位数的定义即可得出它们的值；
（Ⅱ）根据加权平均数的定义，即可得出答案；
（Ⅲ）根据样本每周参加科学教育的时间是 9h的学生占 30%，可估计该校八年级学生 每周参加科学教育的时间是 9h的学生占 30%，进而可得出 八年级学生每周参加科学教育的时间是 9h的人数 。
17． “双十一年终大促”前夕，某商家购入一批进价为 8元/个的游戏手办，销售过程中发现：日销量 y （个)与售价 x （元/个)满足如图所示的一次函数关系.
（1）求 y与 x之间的函数关系式（不必写 x的取值范围)；
（2）每个游戏手办的售价定为多少元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到 720元
【答案】（1）解：设 y与 x的函数关系式为 y= kx+b，将 x=10， y=280和 x=14， y=120分别代入解析式，
解得：
∴y与 x的函数关系式为 y=-40x+680，
（2）解：设每个游戏手办的售价定为 x元，依题意，得：
（x-8) （-40x+680) =720，
解得：
当 x=11时，销量 y=-40×11+680=240 （个) ；
当 x=14时，销量 y=-40×14+680=120 （个) ，
∴尽快减少库存，
∴销量越大越好，而 240>120，则 x=11，
∴每个游戏手办的售价定为 11元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到 720元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可得出y与 x的函数关系式为 y=-40x+680；
（2）设每个游戏手办的售价定为 x元，根据（售价-定价）×销量=总利润，即可得出（x-8) （-40x+680) =720，然后求解，并根据题意 既能达到尽快减少库存的目的， 取使销量较大的解即可。
18．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得OD⊥CE，由AE⊥l，可得OD//AE，根据平行线的性质和等腰三角形性质可得∠OAD=∠EAD，结论可得；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OCD中，利用勾股定理，得到关于r的方程，即可得到r的值.
19． 综合与探究
【定义】对于 y关于 x的函数，函数在 范围内有最大值 m和最小值 n，则 m-n称为极差值，记作
【示例】如图（a)，根据函数 y=2x的图象可知，在-1≤x≤2范围内，该函数的最大值是 4，最小值为-2，即 R[-1， 2]=4 - （-2) =6.
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数 的 R[1， 3]的值为　 　；
（2）已知二次函数 的图象经过点（2， -3).
①求该函数的表达式；
②在图（b)的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的 R[-1， 4]的值.
（3）已知函数 函数 的图象经过点（0，0)，且两个函数的 相等，求 k的值.
【答案】（1）4
（2）解：①∵ 二次函数 的图象经过点（2， -3)，
∴-3=22+2b+5
∴b=-6
∴y=x2-6x+5；
②图像如下：
③当x=-1时，y=（-1）2-6×（-1）+5=12，当x=4时，y=42-6×4+5=-3
∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，
∴二次函数开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，-4），
∵3-（-1）=4＞4-3=1，
∴当-1≤x≤4时，函数值在x=-1时取得最大值，
∵-1＜3＜4，
∴顶点的纵坐标为最小值，
∴R[-1， 4] =12-（-4）=16。
（3）解：∵ 函数 ，
∴0＜，
∵当x=0时，y1=0，当x=时，y1=，
∴ =
∵ 函数 的图象经过点（0，0)，
∴a2-1=0，解得a=±1，
当a=1时：y2=-4x：当x=0时，y2=0；当x=时，y2=，
∵-4＜0，
∴0＞，
∴=0-（）=
∵ 两个函数的 相等 ，
∴=，
∴k=4；
当a=-1时：y2=-2x2+4x=-2（x-1）2+2
∴二次函数的开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，2）
∴当x=1时，二次函数有最大值，最大值为2，当x<1时，y随x的增大而增大，当0≤x≤时，函数的最小值为0
∵两个函数的 相等 ，
∴y2的最大值为，
∴0＜＜1，
当-2（x-1）2+2=时，x1=，x2=（舍去），
∴x=，
∴，解得：k=3
综上所述，k的值为4或3.
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解】解（1）当x=1时，y==6，当x=3时，y==2，
∴R[1， 3]=6-2=4；
故答案为：4；
【分析】（1）根据反比例的性质，即可得出 R[1， 3]的值；
（2）①根据待定系数法即可得出y=x2-6x+5；②利用描点法即可得出函数图象；③根据二次函数的性质及二次函数的最值，即可得出R[-1， 4]的值；
（3）首先可求得函数函数 的 =，进而再根据 函数 的图象经过点（0，0)， 求得a=±1，然后分成两种情况：当a=1时：y2=-4x，根据一次函数的性质即可得出=0-（）=，即可得出=，k=4；当a=-1时，y2=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，根据两个函数的 相等，可得出0＜＜1，进而根据最小值为0，可得出最大值为，进一步求出当函数值为时x=，即可得出，解得k=3，综上即可得出k的值为4或3.
20． 如图
（1）问题背景如图，在矩形 ABCD中，点 E，F分别是 AB，BC的中点，连接 BD，EF，求证：
（2）问题探究如图，在四边形 ABCD中， 点 E是 AB的中点，点 F在边 BC上，AD=2CF，EF与 BD交于点 G，求证：BG=FG.
（3）问题拓展如图，在“问题探究”的条件下，连接 AG，AD=CD，AG=FG，直接写出 的值.
【答案】（1）证明： ∵E、F分别是 AB 和 BC 中点，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，
∵∠EBF=∠C=90°，
∴△BCD∽△FBE；
（2）证明：方法一：如图延长 FE交 DA延长线于点 M，作 FH⊥AD于点 H，则四边形 CDHF 是矩形.
∵E是 AB 中点，
∴AE=BE，
∵AM∥BC，
∴∠AME=∠BFE， ∠MAE=∠FBE，
∴△AME≌△BFE （AAS) ，
∴AM=BF，
∵AD=2CF， CF=DH，
∴AH=DH=CF，
∴AM+AH=BF+CF，即 MH=BC，
∵FH=CD， ∠MHF=∠BCD=90°，
∴△MFH≌△BDC （SAS) ，
∴∠AMF=∠CBD，
又∵∠AMF=∠BFG，
∴∠CBD=∠BFG，
∴BG=FG；
方法二：如图，取 BD中点 H，连接 EH、CH，
∵E是 AB中点， H是 BD中点，
∵AD=2CF，
∴EH=CF，
∵AD∥BC，
∴EH∥CF，
∴四边形 EHCF 是平行四边形，
∴EF∥CH，
∴∠HCB=∠GFB，
∵∠BCD=90°， H是 BD中点，
∴∠HCB=∠HBC，
∴∠GFB=∠HBC，
∴BG=FG；
（3）
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）解：如图，过 F作 FM⊥AD于点 M，取 BD中点 H，连接 AF，则四边形 CDMF是矩形，
∴CF=DM，
∵AD=2CF，
∴AM=DM=CF，
设 CF=a，则 AM=DM=CF=a，AD=CD=2a=MF，
∵E是 AB 中点，且 AG=FG，
∴FE 垂直平分 AB，
∵H是 BD中点，
∴EH 是△ABD中位线，
∴△EGH∽△FGB，
【分析】（1）根据SAS可得出△BCD∽△FBE；
（2）如图延长 FE交 DA延长线于点 M，作 FH⊥AD于点 H，则四边形 CDHF 是矩形.首先可根据AAS证得△AME≌△BFE ，得出AM=BF，进一步得出MH=BC，再根据SAS证得△MFH≌△BDC，得出∠AMF=∠CBD，进一步得出∠CBD=∠BFG，即可得出BG=FG；
（3）过 F作 FM⊥AD于点 M，取 BD中点 H，连接 AF，则四边形 CDMF是矩形，设 CF=a，则 AM=DM=CF=a，AD=CD=2a=MF，根据勾股定理可得出再根据三角形中位线定理可得出EH∥AD∥BF，进而得出△EGH∽△FGB，进而即可得出
1 / 1广东省深圳市南山第二外国语学校前海学校2026年中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2026年春节联欢晚会主标识“骐骥驰骋纹”，巧妙融合中国传统云纹、雷纹、回纹等经典元素．以下纹样中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．深圳图书馆北馆是全国最大的全自动智能立体书库，藏着超400万册书籍，凭借ULAS-V系统、机器人配送以及数字孪生等前沿智慧技术，为读者提供了高效且沉浸式的服务体验，让读者体会阅读的乐趣与美好.其中400万用科学记数法记作(　　)
A． B． C． D．
3．第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道.甲从A通道进入体育比赛馆的概率是（　　）
A． B． C． D．1
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= (　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
6．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术.其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、鸡价各几何 ”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少 ”设人数有 人，鸡的价钱是 钱，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7． 如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D 处，使∠D=30°，则CD 的长度约为（参考数据： （　　)
A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
8． 如图， 已知三角形 ABE为直角三角形， ∠ABE=90°， BC为圆 O切线， C为切点， CA=CD， 则 和△CDE面积之比为 （　　)
A．1： 3 B．1： 2 C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．因式分解： =　 　.
10．不等式组 的整数解为　 　．
11． 在矩形 ABCD 中， 如图，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，分别交边 CD，对角线 BD于点 E，F；分别以 E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠BDC 内交于点 N，作射线 DN交BC于 M点，则 sin∠BDM的值为　 　.
12． 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p （Pa)是气球体积 的反比例函数. 当 时，p=20000Pa. 则当 时， p=　 　 Pa.
13． 如图，在直角三角形纸片 ABC中， ∠BAC=90°， AB=4， AC=6. D是 AC中点，将纸片沿 BD翻折，直角顶点 A的对应点为 A'， AA'交 BC于 E，则 CE=　 　.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．计算：
15． 先化简，再求值： 其中 a，b满足 b-3a=0.
16．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h)，随机调查了该校八年级 a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ)填空：a的值为 ▲ ，图①中 m的值为 ▲ ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 ▲ 和 ▲ ；
（Ⅱ)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（Ⅲ)根据样本数据，若该校八年级共有学生 500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 9h的人数约为多少
17． “双十一年终大促”前夕，某商家购入一批进价为 8元/个的游戏手办，销售过程中发现：日销量 y （个)与售价 x （元/个)满足如图所示的一次函数关系.
（1）求 y与 x之间的函数关系式（不必写 x的取值范围)；
（2）每个游戏手办的售价定为多少元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到 720元
18．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
19． 综合与探究
【定义】对于 y关于 x的函数，函数在 范围内有最大值 m和最小值 n，则 m-n称为极差值，记作
【示例】如图（a)，根据函数 y=2x的图象可知，在-1≤x≤2范围内，该函数的最大值是 4，最小值为-2，即 R[-1， 2]=4 - （-2) =6.
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数 的 R[1， 3]的值为　 　；
（2）已知二次函数 的图象经过点（2， -3).
①求该函数的表达式；
②在图（b)的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的 R[-1， 4]的值.
（3）已知函数 函数 的图象经过点（0，0)，且两个函数的 相等，求 k的值.
20． 如图
（1）问题背景如图，在矩形 ABCD中，点 E，F分别是 AB，BC的中点，连接 BD，EF，求证：
（2）问题探究如图，在四边形 ABCD中， 点 E是 AB的中点，点 F在边 BC上，AD=2CF，EF与 BD交于点 G，求证：BG=FG.
（3）问题拓展如图，在“问题探究”的条件下，连接 AG，AD=CD，AG=FG，直接写出 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
【分析】一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形为轴对称图形.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：400万=4000000用科学记数法记作
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得甲可以从A，B，C三个安检通道进入体育比赛馆，共有3种等可能结果，其中从从A通道进入体育比赛馆的结果为1，则甲从A通道进入体育比赛馆的概率是；
故答案为：B
【分析】由题意得甲进入体育比赛馆有3种，其中从A通道进入为1种，则甲从A通道进入体育比赛馆的概率是.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项正确，符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，故C选项错误，不符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】由平行线的性质推出即可求出的度数.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A.
【分析】由题意可知8×人数-鸡的价钱=3；7×人数-鸡的价钱=4，据此列方程组即可.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在中，（米）
在中，（米）
∴CD=AD-AC=3.66（米）
故答案为D：.
【分析】这是一道解直角三角形常规题型，先求AD，再求AC，两者相减即为CD，要注意计算的准确性。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；切线的性质；切线长定理；圆周角定理的推论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接OC，
∵ ∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠OBC=90°；
∵ BC为圆 O切线， C为切点，
∴OC⊥BC，
∴∠BCO=90°，
∴∠COD+∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠COD，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠E=90°，
∵DE是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，
即∠OCD+∠OCE=90°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠E，
∴∠A=∠OCD，
又 CA=CD，
∴
∴，
又OD=OE，
∴，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠ABC+∠OBC=90°，进而根据同角的余角相等，可得出∠ABC=∠COD，进而根据圆周角定理的推论可得出∠OCD+∠OCE=90°，根据等角的余角相等，可得出∠A=∠OCD，进而根据AAS可证得，即可得出，再根据点O是DE的中点，即可得出，进而得出，j进一步即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4x2-16=4（x-2）（x+2）.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解。
10．【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x≥3；
解不等式②，得x<4；
所以不等式组的解集为3≤x<4，
所以不等式组的整数解为3；
故答案为：3.
【分析】分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可.
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；求正弦值；正切的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵
∴tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=60°，
又根据尺规作图可知：∠BDM=∠BDC=30°，
∴ sin∠BDM =sin30°=。
故答案为：.
【分析】首先根据矩形的性质可得出∠A=90°，进而根据锐角三角函数的定义及特殊锐角的三角函数值可得出∠ABD=60°，进而根据平行线的性质可得出∠BDC=∠ABD=60°，进而根据尺规作图可得出∠BDM=∠BDC=30°，再根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。
12．【答案】16000
【知识点】函数值；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p （Pa)是气球体积 的反比例函数 ，可设P=，
∵ 当 时，p=20000Pa.
∴20000=，
∴k=24000，
∴P=，
把V=1.5代入P=中，可得：P=（pa）。
故答案为：16000.
【分析】首先根据在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p （Pa)是气球体积 的反比例函数 ，可设P=，进而利用待定系数法可得出P=，进而把V=1.5代入P=中，即可求得答案。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接A'C，设AA'与·BD交于点M.
在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = 4， AC = 6，由勾股定理可得BC =
∵点D 是AC 的中点，
∴AD=3，
在RtABD 中，由勾股定理可得：BD=，
由翻折可知， BD 垂直平分线段 AA’，AD=A'D，AD=A'D= DC.
∴∠DAA’=∠DA’A， ∠DA'C = ∠DCA'.
∴ ∠DAA'+∠DA'A+∠DA'C+∠DCA'=180°
∴ 2(∠AA'D+∠DA'C) =180°
∴∠AA'C= 90° ；
∴∠BAC = ∠AMB = ∠AA'C =90°.
∴∠ABM+∠BAM=∠BAM+∠CAA'=90°
∴∠ABM=∠CAA'
∴ABD，
∴
即：，
解得：A'C=
∵∠ABM=∠DBA，∠AMB=∠BAD=90°，
∴，
∴即：
解得：BM=
∵ ∠AMD=∠AA'C=90°，
∴BD //A'C.
∴
∴即：
解得；CE=
故答案为：.
【分析】连接A'C，设AA’与BD交于点M，利用勾股定理求出线段BC，BD 的长，再根据翻折的性质和等腰三角形的性质证∠AA’C 为直角，从而证明，求出A'C的长；再证明，求出BM的长，再证明BD//A'C，从而证明，进而得出比例式可求CE 的长。
14．【答案】解：原式=1×（-3）+4+2-1
=-3+4+2-1
=2
【知识点】零指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】首先根据乘方的意义，算术平方根的性质，绝对值的性质，零整数指数幂的性质进行化简，进而再进行有理数的加减乘除运算即可。
15．【答案】解：原式=
=
=
=
∵ b-3a=0
∴b=3a，
∴原式==
【知识点】分式的化简求值；同分母分式的加、减法；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】首先进行分式的混合运算，化简结果为，进而根据 b-3a=0可得出b=3a，然后代入化简后的式子，进行计算即可。
16．【答案】解：（I) 50， 34， 8， 8.
（Ⅱ)观察条形统计图，
∴这组数据的平均数是 8. 36.
（Ⅲ)∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是 9h的学生占 30%，
∴根据样本数据，估计该校八年级学生 500人中，每周参加科学教育的时间是 9h的学生占 30%，有500×30%=150 （人) ，
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 9h的人数约为 150人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解（Ⅰ）a=15÷30%=50（名）；
参加科教时间8h的人数所占的比例为：根据
∴m=34；
根据扇形统计图可知m=34最大，所以这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数为8；
认识总共50名，所以中位数位于按从小到大排列的第25和第26两个数的平均数，
∵3+7+17=27，
所以中位数为：8
故答案为： 50， 34， 8， 8.
【分析】（Ⅰ）由条形统计图可知参加科教时间9h的人数为15人，由扇形统计图可知该组人数占随机调查人数的30%，故而得出a的值为15÷30%=50（名）；进而可得出参加科教时间8h的人数所占的比例为：即可得出m的值；进而再根据众数和中位数的定义即可得出它们的值；
（Ⅱ）根据加权平均数的定义，即可得出答案；
（Ⅲ）根据样本每周参加科学教育的时间是 9h的学生占 30%，可估计该校八年级学生 每周参加科学教育的时间是 9h的学生占 30%，进而可得出 八年级学生每周参加科学教育的时间是 9h的人数 。
17．【答案】（1）解：设 y与 x的函数关系式为 y= kx+b，将 x=10， y=280和 x=14， y=120分别代入解析式，
解得：
∴y与 x的函数关系式为 y=-40x+680，
（2）解：设每个游戏手办的售价定为 x元，依题意，得：
（x-8) （-40x+680) =720，
解得：
当 x=11时，销量 y=-40×11+680=240 （个) ；
当 x=14时，销量 y=-40×14+680=120 （个) ，
∴尽快减少库存，
∴销量越大越好，而 240>120，则 x=11，
∴每个游戏手办的售价定为 11元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到 720元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可得出y与 x的函数关系式为 y=-40x+680；
（2）设每个游戏手办的售价定为 x元，根据（售价-定价）×销量=总利润，即可得出（x-8) （-40x+680) =720，然后求解，并根据题意 既能达到尽快减少库存的目的， 取使销量较大的解即可。
18．【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得OD⊥CE，由AE⊥l，可得OD//AE，根据平行线的性质和等腰三角形性质可得∠OAD=∠EAD，结论可得；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OCD中，利用勾股定理，得到关于r的方程，即可得到r的值.
19．【答案】（1）4
（2）解：①∵ 二次函数 的图象经过点（2， -3)，
∴-3=22+2b+5
∴b=-6
∴y=x2-6x+5；
②图像如下：
③当x=-1时，y=（-1）2-6×（-1）+5=12，当x=4时，y=42-6×4+5=-3
∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，
∴二次函数开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，-4），
∵3-（-1）=4＞4-3=1，
∴当-1≤x≤4时，函数值在x=-1时取得最大值，
∵-1＜3＜4，
∴顶点的纵坐标为最小值，
∴R[-1， 4] =12-（-4）=16。
（3）解：∵ 函数 ，
∴0＜，
∵当x=0时，y1=0，当x=时，y1=，
∴ =
∵ 函数 的图象经过点（0，0)，
∴a2-1=0，解得a=±1，
当a=1时：y2=-4x：当x=0时，y2=0；当x=时，y2=，
∵-4＜0，
∴0＞，
∴=0-（）=
∵ 两个函数的 相等 ，
∴=，
∴k=4；
当a=-1时：y2=-2x2+4x=-2（x-1）2+2
∴二次函数的开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，2）
∴当x=1时，二次函数有最大值，最大值为2，当x<1时，y随x的增大而增大，当0≤x≤时，函数的最小值为0
∵两个函数的 相等 ，
∴y2的最大值为，
∴0＜＜1，
当-2（x-1）2+2=时，x1=，x2=（舍去），
∴x=，
∴，解得：k=3
综上所述，k的值为4或3.
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解】解（1）当x=1时，y==6，当x=3时，y==2，
∴R[1， 3]=6-2=4；
故答案为：4；
【分析】（1）根据反比例的性质，即可得出 R[1， 3]的值；
（2）①根据待定系数法即可得出y=x2-6x+5；②利用描点法即可得出函数图象；③根据二次函数的性质及二次函数的最值，即可得出R[-1， 4]的值；
（3）首先可求得函数函数 的 =，进而再根据 函数 的图象经过点（0，0)， 求得a=±1，然后分成两种情况：当a=1时：y2=-4x，根据一次函数的性质即可得出=0-（）=，即可得出=，k=4；当a=-1时，y2=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，根据两个函数的 相等，可得出0＜＜1，进而根据最小值为0，可得出最大值为，进一步求出当函数值为时x=，即可得出，解得k=3，综上即可得出k的值为4或3.
20．【答案】（1）证明： ∵E、F分别是 AB 和 BC 中点，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，
∵∠EBF=∠C=90°，
∴△BCD∽△FBE；
（2）证明：方法一：如图延长 FE交 DA延长线于点 M，作 FH⊥AD于点 H，则四边形 CDHF 是矩形.
∵E是 AB 中点，
∴AE=BE，
∵AM∥BC，
∴∠AME=∠BFE， ∠MAE=∠FBE，
∴△AME≌△BFE （AAS) ，
∴AM=BF，
∵AD=2CF， CF=DH，
∴AH=DH=CF，
∴AM+AH=BF+CF，即 MH=BC，
∵FH=CD， ∠MHF=∠BCD=90°，
∴△MFH≌△BDC （SAS) ，
∴∠AMF=∠CBD，
又∵∠AMF=∠BFG，
∴∠CBD=∠BFG，
∴BG=FG；
方法二：如图，取 BD中点 H，连接 EH、CH，
∵E是 AB中点， H是 BD中点，
∵AD=2CF，
∴EH=CF，
∵AD∥BC，
∴EH∥CF，
∴四边形 EHCF 是平行四边形，
∴EF∥CH，
∴∠HCB=∠GFB，
∵∠BCD=90°， H是 BD中点，
∴∠HCB=∠HBC，
∴∠GFB=∠HBC，
∴BG=FG；
（3）
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）解：如图，过 F作 FM⊥AD于点 M，取 BD中点 H，连接 AF，则四边形 CDMF是矩形，
∴CF=DM，
∵AD=2CF，
∴AM=DM=CF，
设 CF=a，则 AM=DM=CF=a，AD=CD=2a=MF，
∵E是 AB 中点，且 AG=FG，
∴FE 垂直平分 AB，
∵H是 BD中点，
∴EH 是△ABD中位线，
∴△EGH∽△FGB，
【分析】（1）根据SAS可得出△BCD∽△FBE；
（2）如图延长 FE交 DA延长线于点 M，作 FH⊥AD于点 H，则四边形 CDHF 是矩形.首先可根据AAS证得△AME≌△BFE ，得出AM=BF，进一步得出MH=BC，再根据SAS证得△MFH≌△BDC，得出∠AMF=∠CBD，进一步得出∠CBD=∠BFG，即可得出BG=FG；
（3）过 F作 FM⊥AD于点 M，取 BD中点 H，连接 AF，则四边形 CDMF是矩形，设 CF=a，则 AM=DM=CF=a，AD=CD=2a=MF，根据勾股定理可得出再根据三角形中位线定理可得出EH∥AD∥BF，进而得出△EGH∽△FGB，进而即可得出
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