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专题4.7锐角三角形函数—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，在中，，设所对的边分别为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦的概念；正切的概念
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】在中，若，则的正弦等于它的对边比斜边，即；的余弦等于它的邻边比斜边，即；的正切等于它的对边比斜边，即.
2．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，取格点J，连接AJ，BJ
∵DJ=BC，DJ∥BC
∴四边形DJBC是平行四边形
∴CD∥BJ
∴∠AMD=∠ABJ
∵
∴
∴∠A=90°
∴
故答案为：C
【分析】取格点J，连接AJ，BJ，根据平行四边形判定定理可得四边形DJBC是平行四边形，则CD∥BJ，根据直线平行性质可得∠AMD=∠ABJ，再根据勾股定理可得AB，AJ，BJ，再根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求余弦值；圆周角定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意可得，∠AED=∠ABD
在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：
BC=
所以cos∠AED=cos∠ABD=
故答案为：B．
【分析】由同弧所对的圆周角相等得到∠AED=∠ABD，然后根据勾股定理求出BC的长，根据余弦的定义解答即可．
4．已知α、β均为锐角，且满足，则α+β=（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∵，均为锐角，
∴，，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，利用特殊锐角的三角函数值求出，的值，求和解答即可.
5．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、∵，，
∴，故此选项错误；
C、，，故此选项错误；
D、，，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值分别去计算即可判断出正确答案.
6．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（　　）．（结果精确到）
A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：设梯子的长度为L，
根据正弦的定义得出：，
∴
∵5＞0，
∴L随的增大而减小
又∵随着α的增大，增大，
∴当时，L取得最小值为：.
故答案为：B.
【分析】设梯子的长度为L，根据正弦函数的定义得出，根据反比例函数的性质得L随的增大而减小，由根据正弦函数的性质得随着α的增大，增大，故当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案．
7．如图，梯子长度不变跟地面所成的锐角为，叙述正确的是(　　)
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【知识点】根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
cosα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可.
8．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
9．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】在由仰角、斜边和竖直高度构成的 中：
仰角 ，斜边 米， 为仰角的对边（即所求的竖直高度）。
根据正弦函数的定义：。
将已知条件代入公式，可得：（米）。
故答案为：C。
【分析】本题考查锐角三角函数在实际问题中的应用，利用正弦函数的定义建立边角关系，求解直角三角形的边长。
10．如图，点，， ，分别在等腰的腰上，连接，，已知，，且，，的长为定值． 当与发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的概念；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点作于点，设，（定值），
∴在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
A．，是定值，故此选项符合题意；
B．，不是定值，故此选项不符合题意；
C．，不是定值，故此选项不符合题意；
D．，不是定值，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如图所示，由于已知，则可过点作于点构造和，设，（定值），则解直角三角形可得，再由三角形相似的预备定理可证明，由相似比可得，再利用比例的性质可得，同理可证，由相似比可得，然后依次对各选项进行判断即可．
二、填空题
11．若，则=　 　．
【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：
∴两角互余，
在直角三角形中，互余的两角，一个角的余弦等于另一个角的正弦，
故答案为：．
【分析】根据在直角三角形中，互余的两锐角三角函数之间的关系即可得出答案．
12．　 　（选填“＞”或“＝”或“＜”）.
【答案】＜
【知识点】已知角度比较三角函数值的大小
【解析】【解答】解：因为cos57°=sin(90°-57°)=sin33°，而sin33°所以cos57°故答案为：<：.
【分析】根据，将cos57°化为sin33°，再将两个正弦值进行比较即可.
13． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
【答案】30°
【知识点】因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：将原等式移项得：，
方程两边同乘得：，
因式分解得：，
解得或．
因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去．
当时，
∴．
故答案为：30° .
【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到，即可根据特殊角的三角函数值解答即可.
14．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图1，连接，
由七巧板可知，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，
如图2，连接、，则，
∴，
由七巧板可知，，
则，
∴．
故答案为：．
【分析】在图1中连接GH，证明四边形HEFG是正方形，得到在图2中可得根据三角函数计算即可.
15．在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为　 　．
【答案】80
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当时，
，
在中，
∵，，
∴．
故答案为：80．
【分析】
先根据折射率定义得到，表示出，再由时，求出特殊角的函数值求出的值，再利用直角三角形的边角间关系即可解答．
16．如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由垂直定义得，由平角定义、直角三角形两内角互余及同角的余角相等得，由等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解．
17． 如图， 在△ABC中， CA=CB=5， AB=6， D为AB边上一动点， 连结CD， 将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE.连结DE交BC于点F， 则CF的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作于G，
在
当点F与G重合，则CF取得最小值，
如下图，
将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE，当时，
在
.
故答案为： .
【分析】过点C作于G，在确定当点F与G重合，CF取得最小值，再根据将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE，证得最后利用列式计算即可.
18．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是　 　海里．（参考数据：，，）
【答案】140
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过作于，
∵，，
，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：140.
【分析】过作于，在中解直角三角形可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，最后根据线段的和差即可解答．
19．2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为　 　．
（参考数据：，）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等
∵数字1-12对应的点均匀分布在同一个圆上
∴相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为360÷12=30°
∴∠AOB=30°×5=150°
∴
∵OD⊥AB
∴∠BOD=75°
∴
即
∴
∵OA=OB，OD⊥AB
∴
∴这条线段的长为
故答案为：
【分析】设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O，由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，由题意可得相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为=30°，则∠AOB=150°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOD=75°，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，再根据垂径定理即可求出答案.

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令=n，当α=60°时，n= 　 　 ；当n=时，S△ABC= 　 　 .
【答案】；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，
当时，即时，
∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，
∴，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
设，则
∵
∴，
∵
∴
∴，
∴，
解得，
在中，
即，
解得（不合题意的解已经舍去）
∴，，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：，.
【分析】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出，然后根据AAS得到，根据对应边成比例设，利用两角对应相等得到，即可求出，在中根据勾股定理求出，进而得到，，，根据线段的和差求出AC长，在推理得到，根据对应边成比例解答即可．
三、解答题
21．计算：.
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类项解答即可．
22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在图中找到 D 点，连接AD，使 AD//BC(D 为格点)；
（2）连接 CD，则线段 CD 的长为　 　；
（3）若E为BC的中点，求 tan∠CAE的值.
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）
（3）解：，，，
∴，
∴∠BAC=90°，
又∵点E是BC的中点，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠BCA，
∴ tan∠CAE=tan∠BCA=.
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：（2）由网格可得，；
故答案为：；
【分析】（）根据网格特征画图即可；
（）根据勾股定理求出的长度；
（）先根据勾股定理的逆定理求出∠BAC=90°，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到AE=EC，即可得到∠EAC=∠BCA，然后根据正切的定义解答即可．
23．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm，，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）
【答案】解：如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，，，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】延长、交于，即可得到四边形为矩形，求出EB长，利用正弦的定义求出和，即可求出的长，再根据等腰直角三角形的性质解答即可．
24．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点D转动到点的路径长为（）．
（2）解：如图，过点D作于点G，过点E作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
又∵，
∴点D到直线的距离约为．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DBE的度数，根据角的和差求出，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作于点G，过点E作于点H，在 和中根据正弦的定义求出DG和EH长，再根据线段的和差解答即可.
25．涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔十塔高）超过97米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑.某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正南方向航行.欲前往位于涠洲灯塔P南偏西75°方向的作业点C，渔船的航行速度为8海里/小时.当天该艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下：
①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西30°方向上的点A处；
②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西45°方向上的点B处；
③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散.
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求涠洲灯塔P到航线AC的距离；
（2）若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾 请说明理由（参考数据：）.
【答案】（1）解：如图，过点P作PQ⊥AC于点Q，
由已知条件可得（海里），
设PQ=x海里，
在Rt△PBQ中，∠PBQ=45°，∴BQ=PQ=x海里，
在Rt△PAQ中，∠A=30°，则
解得
答：涠洲灯塔P到航线AC的距离为海里.
（2）由题意得∠CPQ=15°，则∠APC=75°.
∵∠A=30°，
∴∠C=75°，
则∠C=∠APC，△ACP为等腰三角形，
（海里），
∴14时，渔船距离作业点C的距离为海里>2.5海里，
∴渔船前往作业点C途中不会遇到海雾.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点P作PQ⊥AC于点Q，先得出BQ＝PQ，再在Rt△APQ中，解直角三角形即可；
（2）过点P作PQ⊥AC于点Q，先求出AP的长，再求出AC＝AP，然后求出14时，渔船距离作业点C的距离，由此即可得．
26．为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验.
【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转.上臂AB，下臂BC长均为25cm.双臂对称张开时，AC始终保持水平，即AC∥MN.
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径 r与转动速度ν的乘积为定值，即k=vr，k为常数.(图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，ν为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计)
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度ν部分数据如下表：
旋转半径r(cm) 30 40 50
动速度v(cm/s) 200 150 120
（1）请根据以上信息，求k的值(单位：(
（2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300cm/s，则旋转半径r至少为多少 cm
（3）某动作设计需要机械双臂的转动速度ν为160cm/s，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r.求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角∠BAD的正弦值.
【答案】（1）解：k= wr=200×30=6000 (cm2/s).
（2）解：当v=300时，
因为反比例函数 在0所以当v≤300时， r≥20.即旋转半径r至少为20cm.
（3）解：当v=160时， 即
如图，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，作BF⊥AC于点 F，
因为AB=BC，所以
因为四边形AEBF为矩形，所以
所以
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；矩形的判定与性质；求正切值
【解析】【分析】（1）将表格中的一组数据运用乘法求出k的值；
（2）将v=300代入解析式，求出r的值，然后根据反比例函数的增减性解答即可；
（3）令v=160，求出r的值，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，作BF⊥AC于点 F，根据三线合一求出AF长，再根据矩形的性质求出BE长，利用正弦的定义解答即可.
27．如图①，郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中最宽的结合梁斜拉桥，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：
方案设计：如图②，分别在A，B两点放置测角仪测得和的度数；
数据收集：A，B两点的距离为260米，测角仪和的高度变为1.5米，，；
问题解决：求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离．（结果保留整数．参考数据：，，）
（1）根据上述方案及数据，请你完成求解过程；
（2）你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些（写出一条即可）．
【答案】（1）解：如图，过点作于点，交于点，
根据题意得：，，米，米，
四边形是矩形，
米，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得，
米，
答：郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为150米．
（2）解：要确保，，
则测角仪测量时要与地面垂直（答案不唯一）．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点作于点，交于点，根据得四边形是矩形，再根据矩形的性质得到米，；再判定得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到米，；设米，根据正切的定义分别在和中，解直角三角形求出的长，根据建立方程，解方程求出的值，再计算线段的和差，解答即可；
（2）要确保，，即测角仪测量时要与地面垂直．
（1）解：如图，过点作于点，交于点，
则米，米，，，
四边形是矩形，
米，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得，
米，
答：郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为150米．
（2）解：要确保，，
则测角仪测量时要与地面垂直．
28．综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．）
第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B．
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的度数．
（2）求点B，D之间的距离．（结果精确到）
（3）求的长．（结果精确到）
（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）解：，
，
∵，
，
∵，
．

（2）解：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE=AC，
∴，
∴，
∵∠ACB=90°，
∴，
在中，，
，
∴点B，D之间的距离约为．
（3）解：设直线交于点H．
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，，
∴四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；已知正切值求边长；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据两直线平行的性质得到的度数，再根据角的和差解答即可；
（2）先求出，再利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差即可得出答案；
（3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题．
（1）解：，
，
．
（2）解：在中，，
∴，
在中，，
，
故点B，D之间的距离约为．
（3）解：设直线交于点H．
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，，
∴四边形是平行四边形，
．
29．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1，在△ABC 中，AB=AC，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述角的正对定义，解答下列问题：
（1）填空：sad60°的值为　 　，sad120°的值为　 　；
（2）对于0°（3）【理解运用】如图2，在菱形 ABCD 中， 求 sadA 的值；
（4）【问题解决】如图3，在 Rt△ABC 中， 求 的面积.
【答案】（1）1；
（2）
（3）解：连接BD，AC，AC与BD 交于点O，过点A 作AG⊥BC 于点G.在Rt△ABG 中，
∴可设AG=4a，则AB=BC=5a，
∴BG=3a，CG=BC-BG=2a，
∴AC=+CG2=2 a.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴
（4）解：在AB 上取一点D，使AD=AC，过点D 作DE⊥AC 于点E，连接CD.设CE=x.
∴可设 则AC=AD=5m，
∴AE=5m-x，
即CE=m，
【知识点】菱形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：(1)如图，含60°角的等腰三角形是等边三角形，故sad60°=
如下图，含120°的等腰三角形，∠E=∠F=30°，作DG⊥EF于点G，
设DE=2，则DG=1，EG=FG=，即EF=2
故sad120°=
(2)如图1，
【分析】(1)由题所给新定义，画出等边三角形和含120°的等腰三角形，即可直接求出底边与腰的比值；
(2)由定义求出sadA的表达式，由三角形三边关系可得其范围；
(3)由sinB的值可设AG=4a，则AB=BC=5a，求出AC和BC的长度，即可得sadA的值；
(4)由sadA的值可设则AC=AD=5m，AE=5m-x，由勾股定理得x=m，求出BC和AC的长度，即可得△ABC的面积.
30．阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 的值叫做这个平行四边形的变形度.
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 　 　；
（2）若矩形的面积为 S1，其变形后的平行四边形面积为 试猜想 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 如图2， 在矩形ABCD中， E是AD边上的一点， 且 这个矩形发生变形后为 为E 的对应点，连接. 若矩形 ABCD 的面积为 的面积为 求 的大小.
【答案】（1）
（2）解：
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴
∴
（3）解：如图2，
即
，
由(2) 知，
可知
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：(1) ∵平行四边形有一个内角是120°，
∴α=60°，
故答案为： .
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求解即可；
（2）设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，求出，再结合，可得；
（3）先求出，再结合，可得，求出，最后求出即可.
31．【问题提出】
已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形的边落在正方形的边上时，当时，_________；
（2）如图（2），当，正方形的边的中点刚好落在点D时，求的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在中，设其中一个锐角度数为，
则，
，
，根据勾股定理：在中：，
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为，请你用含有a，b，m的式子直接表示出的长．
【拓展应用】
（4）如图（4），已知长方形和长方形全等，把长方形绕点A顺时针旋转，当所在的直线恰好过的中点O时，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）13；
（2）解：如图，过点作于点，交于点，
在正方形中，，
，
在正方形中，，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，，
在中，，
；
（3）；
（4）
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）在正方形和正方形中，，
，
故答案为：13；
（3）过点作于点，交于点，则，
在正方形中，，
在正方形中，，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
（4）过点作于，
四边形和四边形是全等的矩形，，
，
，
，
，
在中，，
，
过点作，交的延长每于点，则，
在中，，，
，
在中，
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2） 过点作于点，交于点，根据正方形性质可得， 再根据平行四边形判定定理可得 四边形是平行四边形， 则， ，再根据线段中点可得， 再根据勾股定理可得，根据相似三角形判定定理可得， 则， 代值计算可得AI，IB，再根据勾股定理可得IH，根据边之间的关系可得GI，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点作于点，交于点，则，则 ，根据正方形性质可得，，， 根据正弦，余弦定义可得GK，FK，KI，AI，再根据边之间的关系可得GI，IB，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）过点作于，根据全等四边形可得， ，再根据全等三角形判定定理可得， 则， 根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得， 再根据边之间的关系可得∠GAB， 过点作，交的延长每于点，则， 解直角三角形可得GN，AN，再根据边之间的关系可得BN，再根据勾股定理即可求出答案.
32．邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°， AB=AD，那么四边形ABCD称为“邻等对补四边形”。
（1）【概念辨析】
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有　 　（填序号).
（2）【性质探究】
如图3，四边形 ABCD 是邻等对补四边形，其中AB=AD， ∠ABC+∠ADC=180°。
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若AD=4， ∠ABC=60°， ∠BCD=45°，求BC的长
（3）【拓展应用】
如图4，在 Rt△ABC中， ∠B=90°， AB=2， BC=3，分别在边BC， AC上取点M， N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，请直接写出tan∠NBM的值.
【答案】（1）②④
（2）解：①∠ACD=∠ACB，
理由：如图，过点A作AF⊥DC交CD 延长线于F， AE⊥BC于E，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵∠ADF+∠ADC=180°， ∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
又∵AB=AD，
∴△AEB≌△AFD （AAS)，
∴AE=AF，
∴CA平分∠DCB；
∴∠ACD=∠ACB
②解：如图所示，延长EA， CF 交于 H，
由（2）可得∠ADF=∠B=60°，
∴∠DAF=90°-60°=30°，
∵HE⊥BC， ∠BCD=45°，
∴△CEH 是等腰直角三角形，
∴∠H=45°， EH=CE，
∴AF⊥HF，
∴△AFH 是等腰直角三角形，
∵△AEB≌△AFD，
∴BD =DF =2， AE = AF =2
（3）或 或1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形；角平分线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由图可得
图①，③中不存在对角互补
图②，④中四边形是邻等对补四边形
故答案为：②④
（3）解：∵∠B=90°，AB=2，BC=3
∴
∵四边形ABMN是邻等对补四边形
∴∠ANM+∠B=180°
∴∠ANM=90°
当AB=BM时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H
∴AM2=AB2+BM2=8
在Rt△AMN中，MN2=AM2-AN2=8-AN2
在Rt△CMN中，
解得：
∴
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
当AN=AB时，连接AM
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)
∴BM=NM
过点N作NG⊥BC于点G
∵ AB=AN=2，
∴
∵
∴
∴
∴
当AN=MN时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H
∵∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△CMN∽△CAB
∴，即
解得：
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
综上所述，tan∠NBM的值为或 或1
【分析】（1）根据邻等对补四边形定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）①过点A作AF⊥DC交CD 延长线于F， AE⊥BC于E，根据角之间的关系可得∠B=∠ADF，再根据全等三角形判定定理可得△AEB≌△AFD （AAS)， 则AE=AF，根据角平分线判定定理可得CA平分∠DCB，再根据其性质即可求出答案.
②延长EA， CF 交于 H，由（2）可得∠ADF=∠B=60°，根据含30°角的直角三角形性质可得DF，根据勾股定理可得AF，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CEH 是等腰直角三角形，则∠H=45°， EH=CE，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AFH 是等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得AH，再根据全等三角形性质可得BD =DF =2， AE = AF =2 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，根据邻等对补四边形定义可得∠ANM+∠B=180°，则∠ANM=90°，分情况讨论：当AB=BM时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H，根据勾股定理可得AM，MN，建立方程，解方程可得，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得NH，CH，再根据边之间的关系可得BH，再根据正切定义即可求出答案；当AN=AB时，连接AM，根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)，则BM=NM，过点N作NG⊥BC于点G，根据边之间的关系可得CN，解直角三角形可得NG，CG，根据边之间的关系可得BG，再根据正切定义即可求出答案；当AN=MN时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H，根据相似三角形判定定理可得△CMN∽△CAB，则，代值计算可得CN，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得NH，CH，再根据边之间的关系可得BH，再根据正切定义即可求出答案.
33．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
1 / 1专题4.7锐角三角形函数—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，在中，，设所对的边分别为，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知α、β均为锐角，且满足，则α+β=（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
5．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
6．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（　　）．（结果精确到）
A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2
7．如图，梯子长度不变跟地面所成的锐角为，叙述正确的是(　　)
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
8．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
9．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，点，， ，分别在等腰的腰上，连接，，已知，，且，，的长为定值． 当与发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若，则=　 　．
12．　 　（选填“＞”或“＝”或“＜”）.
13． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
14．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为　 　．
15．在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为　 　．
16．如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是　 　．
17． 如图， 在△ABC中， CA=CB=5， AB=6， D为AB边上一动点， 连结CD， 将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE.连结DE交BC于点F， 则CF的最小值为　 　.
18．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离A处的距离是　 　海里．（参考数据：，，）
19．2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为　 　．
（参考数据：，）
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令=n，当α=60°时，n= 　 　 ；当n=时，S△ABC= 　 　 .
三、解答题
21．计算：.
22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在图中找到 D 点，连接AD，使 AD//BC(D 为格点)；
（2）连接 CD，则线段 CD 的长为　 　；
（3）若E为BC的中点，求 tan∠CAE的值.
23．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm，，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）
24．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：）
25．涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔十塔高）超过97米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑.某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正南方向航行.欲前往位于涠洲灯塔P南偏西75°方向的作业点C，渔船的航行速度为8海里/小时.当天该艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下：
①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西30°方向上的点A处；
②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西45°方向上的点B处；
③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散.
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求涠洲灯塔P到航线AC的距离；
（2）若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾 请说明理由（参考数据：）.
26．为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验.
【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转.上臂AB，下臂BC长均为25cm.双臂对称张开时，AC始终保持水平，即AC∥MN.
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径 r与转动速度ν的乘积为定值，即k=vr，k为常数.(图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，ν为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计)
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度ν部分数据如下表：
旋转半径r(cm) 30 40 50
动速度v(cm/s) 200 150 120
（1）请根据以上信息，求k的值(单位：(
（2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300cm/s，则旋转半径r至少为多少 cm
（3）某动作设计需要机械双臂的转动速度ν为160cm/s，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r.求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角∠BAD的正弦值.
27．如图①，郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中最宽的结合梁斜拉桥，某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：
方案设计：如图②，分别在A，B两点放置测角仪测得和的度数；
数据收集：A，B两点的距离为260米，测角仪和的高度变为1.5米，，；
问题解决：求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离．（结果保留整数．参考数据：，，）
（1）根据上述方案及数据，请你完成求解过程；
（2）你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些（写出一条即可）．
28．综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．）
第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B．
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的度数．
（2）求点B，D之间的距离．（结果精确到）
（3）求的长．（结果精确到）
（参考数据：，，，，，）
29．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1，在△ABC 中，AB=AC，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述角的正对定义，解答下列问题：
（1）填空：sad60°的值为　 　，sad120°的值为　 　；
（2）对于0°（3）【理解运用】如图2，在菱形 ABCD 中， 求 sadA 的值；
（4）【问题解决】如图3，在 Rt△ABC 中， 求 的面积.
30．阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 的值叫做这个平行四边形的变形度.
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 　 　；
（2）若矩形的面积为 S1，其变形后的平行四边形面积为 试猜想 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 如图2， 在矩形ABCD中， E是AD边上的一点， 且 这个矩形发生变形后为 为E 的对应点，连接. 若矩形 ABCD 的面积为 的面积为 求 的大小.
31．【问题提出】
已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形的边落在正方形的边上时，当时，_________；
（2）如图（2），当，正方形的边的中点刚好落在点D时，求的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在中，设其中一个锐角度数为，
则，
，
，根据勾股定理：在中：，
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为，请你用含有a，b，m的式子直接表示出的长．
【拓展应用】
（4）如图（4），已知长方形和长方形全等，把长方形绕点A顺时针旋转，当所在的直线恰好过的中点O时，当时，请直接写出的长．
32．邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°， AB=AD，那么四边形ABCD称为“邻等对补四边形”。
（1）【概念辨析】
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有　 　（填序号).
（2）【性质探究】
如图3，四边形 ABCD 是邻等对补四边形，其中AB=AD， ∠ABC+∠ADC=180°。
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若AD=4， ∠ABC=60°， ∠BCD=45°，求BC的长
（3）【拓展应用】
如图4，在 Rt△ABC中， ∠B=90°， AB=2， BC=3，分别在边BC， AC上取点M， N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，请直接写出tan∠NBM的值.
33．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正弦的概念；正切的概念
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】在中，若，则的正弦等于它的对边比斜边，即；的余弦等于它的邻边比斜边，即；的正切等于它的对边比斜边，即.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，取格点J，连接AJ，BJ
∵DJ=BC，DJ∥BC
∴四边形DJBC是平行四边形
∴CD∥BJ
∴∠AMD=∠ABJ
∵
∴
∴∠A=90°
∴
故答案为：C
【分析】取格点J，连接AJ，BJ，根据平行四边形判定定理可得四边形DJBC是平行四边形，则CD∥BJ，根据直线平行性质可得∠AMD=∠ABJ，再根据勾股定理可得AB，AJ，BJ，再根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】求余弦值；圆周角定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意可得，∠AED=∠ABD
在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：
BC=
所以cos∠AED=cos∠ABD=
故答案为：B．
【分析】由同弧所对的圆周角相等得到∠AED=∠ABD，然后根据勾股定理求出BC的长，根据余弦的定义解答即可．
4．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∵，均为锐角，
∴，，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，利用特殊锐角的三角函数值求出，的值，求和解答即可.
5．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、∵，，
∴，故此选项错误；
C、，，故此选项错误；
D、，，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值分别去计算即可判断出正确答案.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：设梯子的长度为L，
根据正弦的定义得出：，
∴
∵5＞0，
∴L随的增大而减小
又∵随着α的增大，增大，
∴当时，L取得最小值为：.
故答案为：B.
【分析】设梯子的长度为L，根据正弦函数的定义得出，根据反比例函数的性质得L随的增大而减小，由根据正弦函数的性质得随着α的增大，增大，故当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案．
7．【答案】A
【知识点】根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
cosα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】在由仰角、斜边和竖直高度构成的 中：
仰角 ，斜边 米， 为仰角的对边（即所求的竖直高度）。
根据正弦函数的定义：。
将已知条件代入公式，可得：（米）。
故答案为：C。
【分析】本题考查锐角三角函数在实际问题中的应用，利用正弦函数的定义建立边角关系，求解直角三角形的边长。
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的概念；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点作于点，设，（定值），
∴在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
A．，是定值，故此选项符合题意；
B．，不是定值，故此选项不符合题意；
C．，不是定值，故此选项不符合题意；
D．，不是定值，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如图所示，由于已知，则可过点作于点构造和，设，（定值），则解直角三角形可得，再由三角形相似的预备定理可证明，由相似比可得，再利用比例的性质可得，同理可证，由相似比可得，然后依次对各选项进行判断即可．
11．【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：
∴两角互余，
在直角三角形中，互余的两角，一个角的余弦等于另一个角的正弦，
故答案为：．
【分析】根据在直角三角形中，互余的两锐角三角函数之间的关系即可得出答案．
12．【答案】＜
【知识点】已知角度比较三角函数值的大小
【解析】【解答】解：因为cos57°=sin(90°-57°)=sin33°，而sin33°所以cos57°故答案为：<：.
【分析】根据，将cos57°化为sin33°，再将两个正弦值进行比较即可.
13．【答案】30°
【知识点】因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：将原等式移项得：，
方程两边同乘得：，
因式分解得：，
解得或．
因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去．
当时，
∴．
故答案为：30° .
【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到，即可根据特殊角的三角函数值解答即可.
14．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图1，连接，
由七巧板可知，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，
如图2，连接、，则，
∴，
由七巧板可知，，
则，
∴．
故答案为：．
【分析】在图1中连接GH，证明四边形HEFG是正方形，得到在图2中可得根据三角函数计算即可.
15．【答案】80
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当时，
，
在中，
∵，，
∴．
故答案为：80．
【分析】
先根据折射率定义得到，表示出，再由时，求出特殊角的函数值求出的值，再利用直角三角形的边角间关系即可解答．
16．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由垂直定义得，由平角定义、直角三角形两内角互余及同角的余角相等得，由等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解．
17．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作于G，
在
当点F与G重合，则CF取得最小值，
如下图，
将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE，当时，
在
.
故答案为： .
【分析】过点C作于G，在确定当点F与G重合，CF取得最小值，再根据将CD绕点C逆时针旋转到CE， 使∠ACB=∠DCE，证得最后利用列式计算即可.
18．【答案】140
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过作于，
∵，，
，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：140.
【分析】过作于，在中解直角三角形可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，最后根据线段的和差即可解答．
19．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等
∵数字1-12对应的点均匀分布在同一个圆上
∴相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为360÷12=30°
∴∠AOB=30°×5=150°
∴
∵OD⊥AB
∴∠BOD=75°
∴
即
∴
∵OA=OB，OD⊥AB
∴
∴这条线段的长为
故答案为：
【分析】设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O，由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，由题意可得相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为=30°，则∠AOB=150°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOD=75°，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，再根据垂径定理即可求出答案.

20．【答案】；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，
当时，即时，
∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，
∴，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
设，则
∵
∴，
∵
∴
∴，
∴，
解得，
在中，
即，
解得（不合题意的解已经舍去）
∴，，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：，.
【分析】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出，然后根据AAS得到，根据对应边成比例设，利用两角对应相等得到，即可求出，在中根据勾股定理求出，进而得到，，，根据线段的和差求出AC长，在推理得到，根据对应边成比例解答即可．
21．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类项解答即可．
22．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）
（3）解：，，，
∴，
∴∠BAC=90°，
又∵点E是BC的中点，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠BCA，
∴ tan∠CAE=tan∠BCA=.
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：（2）由网格可得，；
故答案为：；
【分析】（）根据网格特征画图即可；
（）根据勾股定理求出的长度；
（）先根据勾股定理的逆定理求出∠BAC=90°，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到AE=EC，即可得到∠EAC=∠BCA，然后根据正切的定义解答即可．
23．【答案】解：如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，，，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】延长、交于，即可得到四边形为矩形，求出EB长，利用正弦的定义求出和，即可求出的长，再根据等腰直角三角形的性质解答即可．
24．【答案】（1）解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点D转动到点的路径长为（）．
（2）解：如图，过点D作于点G，过点E作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
又∵，
∴点D到直线的距离约为．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DBE的度数，根据角的和差求出，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作于点G，过点E作于点H，在 和中根据正弦的定义求出DG和EH长，再根据线段的和差解答即可.
25．【答案】（1）解：如图，过点P作PQ⊥AC于点Q，
由已知条件可得（海里），
设PQ=x海里，
在Rt△PBQ中，∠PBQ=45°，∴BQ=PQ=x海里，
在Rt△PAQ中，∠A=30°，则
解得
答：涠洲灯塔P到航线AC的距离为海里.
（2）由题意得∠CPQ=15°，则∠APC=75°.
∵∠A=30°，
∴∠C=75°，
则∠C=∠APC，△ACP为等腰三角形，
（海里），
∴14时，渔船距离作业点C的距离为海里>2.5海里，
∴渔船前往作业点C途中不会遇到海雾.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点P作PQ⊥AC于点Q，先得出BQ＝PQ，再在Rt△APQ中，解直角三角形即可；
（2）过点P作PQ⊥AC于点Q，先求出AP的长，再求出AC＝AP，然后求出14时，渔船距离作业点C的距离，由此即可得．
26．【答案】（1）解：k= wr=200×30=6000 (cm2/s).
（2）解：当v=300时，
因为反比例函数 在0所以当v≤300时， r≥20.即旋转半径r至少为20cm.
（3）解：当v=160时， 即
如图，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，作BF⊥AC于点 F，
因为AB=BC，所以
因为四边形AEBF为矩形，所以
所以
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；矩形的判定与性质；求正切值
【解析】【分析】（1）将表格中的一组数据运用乘法求出k的值；
（2）将v=300代入解析式，求出r的值，然后根据反比例函数的增减性解答即可；
（3）令v=160，求出r的值，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，作BF⊥AC于点 F，根据三线合一求出AF长，再根据矩形的性质求出BE长，利用正弦的定义解答即可.
27．【答案】（1）解：如图，过点作于点，交于点，
根据题意得：，，米，米，
四边形是矩形，
米，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得，
米，
答：郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为150米．
（2）解：要确保，，
则测角仪测量时要与地面垂直（答案不唯一）．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点作于点，交于点，根据得四边形是矩形，再根据矩形的性质得到米，；再判定得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到米，；设米，根据正切的定义分别在和中，解直角三角形求出的长，根据建立方程，解方程求出的值，再计算线段的和差，解答即可；
（2）要确保，，即测角仪测量时要与地面垂直．
（1）解：如图，过点作于点，交于点，
则米，米，，，
四边形是矩形，
米，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
在中，米，
在中，米，
，
，
解得，
米，
答：郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为150米．
（2）解：要确保，，
则测角仪测量时要与地面垂直．
28．【答案】（1）解：，
，
∵，
，
∵，
．

（2）解：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE=AC，
∴，
∴，
∵∠ACB=90°，
∴，
在中，，
，
∴点B，D之间的距离约为．
（3）解：设直线交于点H．
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，，
∴四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；已知正切值求边长；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据两直线平行的性质得到的度数，再根据角的和差解答即可；
（2）先求出，再利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差即可得出答案；
（3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题．
（1）解：，
，
．
（2）解：在中，，
∴，
在中，，
，
故点B，D之间的距离约为．
（3）解：设直线交于点H．
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，，
∴四边形是平行四边形，
．
29．【答案】（1）1；
（2）
（3）解：连接BD，AC，AC与BD 交于点O，过点A 作AG⊥BC 于点G.在Rt△ABG 中，
∴可设AG=4a，则AB=BC=5a，
∴BG=3a，CG=BC-BG=2a，
∴AC=+CG2=2 a.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴
（4）解：在AB 上取一点D，使AD=AC，过点D 作DE⊥AC 于点E，连接CD.设CE=x.
∴可设 则AC=AD=5m，
∴AE=5m-x，
即CE=m，
【知识点】菱形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：(1)如图，含60°角的等腰三角形是等边三角形，故sad60°=
如下图，含120°的等腰三角形，∠E=∠F=30°，作DG⊥EF于点G，
设DE=2，则DG=1，EG=FG=，即EF=2
故sad120°=
(2)如图1，
【分析】(1)由题所给新定义，画出等边三角形和含120°的等腰三角形，即可直接求出底边与腰的比值；
(2)由定义求出sadA的表达式，由三角形三边关系可得其范围；
(3)由sinB的值可设AG=4a，则AB=BC=5a，求出AC和BC的长度，即可得sadA的值；
(4)由sadA的值可设则AC=AD=5m，AE=5m-x，由勾股定理得x=m，求出BC和AC的长度，即可得△ABC的面积.
30．【答案】（1）
（2）解：
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴
∴
（3）解：如图2，
即
，
由(2) 知，
可知
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：(1) ∵平行四边形有一个内角是120°，
∴α=60°，
故答案为： .
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求解即可；
（2）设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，求出，再结合，可得；
（3）先求出，再结合，可得，求出，最后求出即可.
31．【答案】（1）13；
（2）解：如图，过点作于点，交于点，
在正方形中，，
，
在正方形中，，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，，
在中，，
；
（3）；
（4）
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）在正方形和正方形中，，
，
故答案为：13；
（3）过点作于点，交于点，则，
在正方形中，，
在正方形中，，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
（4）过点作于，
四边形和四边形是全等的矩形，，
，
，
，
，
在中，，
，
过点作，交的延长每于点，则，
在中，，，
，
在中，
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2） 过点作于点，交于点，根据正方形性质可得， 再根据平行四边形判定定理可得 四边形是平行四边形， 则， ，再根据线段中点可得， 再根据勾股定理可得，根据相似三角形判定定理可得， 则， 代值计算可得AI，IB，再根据勾股定理可得IH，根据边之间的关系可得GI，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点作于点，交于点，则，则 ，根据正方形性质可得，，， 根据正弦，余弦定义可得GK，FK，KI，AI，再根据边之间的关系可得GI，IB，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）过点作于，根据全等四边形可得， ，再根据全等三角形判定定理可得， 则， 根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得， 再根据边之间的关系可得∠GAB， 过点作，交的延长每于点，则， 解直角三角形可得GN，AN，再根据边之间的关系可得BN，再根据勾股定理即可求出答案.
32．【答案】（1）②④
（2）解：①∠ACD=∠ACB，
理由：如图，过点A作AF⊥DC交CD 延长线于F， AE⊥BC于E，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵∠ADF+∠ADC=180°， ∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
又∵AB=AD，
∴△AEB≌△AFD （AAS)，
∴AE=AF，
∴CA平分∠DCB；
∴∠ACD=∠ACB
②解：如图所示，延长EA， CF 交于 H，
由（2）可得∠ADF=∠B=60°，
∴∠DAF=90°-60°=30°，
∵HE⊥BC， ∠BCD=45°，
∴△CEH 是等腰直角三角形，
∴∠H=45°， EH=CE，
∴AF⊥HF，
∴△AFH 是等腰直角三角形，
∵△AEB≌△AFD，
∴BD =DF =2， AE = AF =2
（3）或 或1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形；角平分线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由图可得
图①，③中不存在对角互补
图②，④中四边形是邻等对补四边形
故答案为：②④
（3）解：∵∠B=90°，AB=2，BC=3
∴
∵四边形ABMN是邻等对补四边形
∴∠ANM+∠B=180°
∴∠ANM=90°
当AB=BM时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H
∴AM2=AB2+BM2=8
在Rt△AMN中，MN2=AM2-AN2=8-AN2
在Rt△CMN中，
解得：
∴
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
当AN=AB时，连接AM
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)
∴BM=NM
过点N作NG⊥BC于点G
∵ AB=AN=2，
∴
∵
∴
∴
∴
当AN=MN时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H
∵∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△CMN∽△CAB
∴，即
解得：
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
综上所述，tan∠NBM的值为或 或1
【分析】（1）根据邻等对补四边形定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）①过点A作AF⊥DC交CD 延长线于F， AE⊥BC于E，根据角之间的关系可得∠B=∠ADF，再根据全等三角形判定定理可得△AEB≌△AFD （AAS)， 则AE=AF，根据角平分线判定定理可得CA平分∠DCB，再根据其性质即可求出答案.
②延长EA， CF 交于 H，由（2）可得∠ADF=∠B=60°，根据含30°角的直角三角形性质可得DF，根据勾股定理可得AF，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CEH 是等腰直角三角形，则∠H=45°， EH=CE，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AFH 是等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得AH，再根据全等三角形性质可得BD =DF =2， AE = AF =2 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，根据邻等对补四边形定义可得∠ANM+∠B=180°，则∠ANM=90°，分情况讨论：当AB=BM时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H，根据勾股定理可得AM，MN，建立方程，解方程可得，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得NH，CH，再根据边之间的关系可得BH，再根据正切定义即可求出答案；当AN=AB时，连接AM，根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)，则BM=NM，过点N作NG⊥BC于点G，根据边之间的关系可得CN，解直角三角形可得NG，CG，根据边之间的关系可得BG，再根据正切定义即可求出答案；当AN=MN时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H，根据相似三角形判定定理可得△CMN∽△CAB，则，代值计算可得CN，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得NH，CH，再根据边之间的关系可得BH，再根据正切定义即可求出答案.
33．【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
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