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特殊平行四边形·动点问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．如图，点C，D在线段AB上，射线DP⊥AB，连结PB，以BC，BP为邻边作□CBPE，连结AE，CP，记AE的长为m，CE的长为n.若AC=4，AD=5，BD=3，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．mn B．m-n C．m2+n2 D．m2-n2
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵点C，D在线段AB上，DP⊥AB，
∴∠PDC=∠PDB=90°，
∵AC=4，AD=5，BD=3，
∴CD=AD-AC=5-4=1
∴BC=CD+BD=1+3=4，
∴AC=BC，
∵四边形CBPE是平行四边形
∴BC//PE，BC=PE，BP=CE=n，
∴AC//PE，AC=PE，
∴四边形ACPE是平行四边形，
∴CP=AE=m，
∵CP2-CD2=PD2=BP2-BD2
∴m2-12=n2-32，
∴m2-n2=-8，
∴代数式m2-n2的值不变，
故答案为：D.
【分析】由DP⊥AB，得∠PDC=∠PDB=90°，由AC=4，AD=5，BD=3，求得CD=1，则BC=4，所以AC=BC，由平行四边形的性质得BC//PE，BC=PE，BP=CE=n，所以AC//PE，AC =PE，可证明四边形ACPE是平行四边形，则CP=AE=m，由勾股定理得PD2=m2-12=n2-32，则m2-n2=-8，于是得到问题的答案.
2．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连结分别为的中点，连结．若，则的最小值为(　　)
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；菱形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AF，
∵四边形ABCD是萎形
∴AB=BC=2
∵G，H分别为AE，EF的中点
∴GH=AF，故当AF最小时，GH最小
当AFBC时，AF最小，即
∵B=45°
∴△ABF是等腰直角三角形
GH=
即GH的最小值为
故答案是A.
【分析】本题先根据菱形的性质得出AB的长，再由中位线性质，把GH的最小值转化为求AF的最小值，最后根据垂线段最短得出AFBC，从而得出△ABF是等腰直角三角形
3．如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t(s)△DEF是等边三角形，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ADB=∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中
∴△ADE≌△BDF（ASA）
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC-CF=5-2t，
∴t=5-2t，解得：t=.
故答案为：D.
【分析】连接BD，由题意易证△ADE≌△BDF，于是可得AE=BF，由题意易得AE=t，CF=2t，根据BF=BC-CF可得关于t的方程，解方程即可求解.
4．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是边BC上的一点且CE=3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动.设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（　　）
A．3.5 B．4.5 C．3.5或5.5 D．3.5或6.5
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图
当点M在BC上时，
∵△ABM和△DCE全等，
∴BM=CE，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD=4，
∵动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动.设点M的运动时间为t秒，
∴BM=CE=2t-4=3，
解之：t=3.5；
当点M在AD上时，
∵△ABM和△DCE全等，
∴AM′=CE=16-2t=3，
解之：t=6.5
综上所述t的值为3.5或6.5.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当点M在BC上时，利用全等三角形的性质可知BM=CE，利用正方形的性质可知AB=BC=AD=4，利用点的运动方向和速度可表示出BM的长，根据CE=3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点M在AD上时，可知AM′=CE，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的t的值.
5．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点 顺时针旋转 至EF，连结BF，取BF的中点 ，若点 从点 运动至点 ，则点 经过的路径长为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF
∴EF⊥AE.
当点E在点B处时，点M在BC的中点G处，
当点E在点C处时，点M在CD中点H处，点M经过的路径长为GH的长
∵正方形ABCD的边长为4
∴ ，
故答案为：B.
【分析】已知EF⊥AE，当E点在线段BC，上运动到两端时，正好是M点运动的两个端点，由此可以判断M点的运动轨迹是BC、CD中点的连线长.
6．如图，是平行四边形ABCD内一点，且分别为AE，BC的中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，取中点，连接交于点，连接并取中点，分别连接.
四边形是平行四边形
是中点、是中点
、
、
是中点、是中点
四边形是平行四边形
是中点、是中点
是菱形
是直角三角形，且
是中点、是中点
故答案为：Ｃ.
【分析】连接并分别取中点、中点，分别连接、和，设和交于点O；由于四边形ABCD是平行四边形，所以可利用平行四边形的性质证明全等于，则OG等于OH、BO等于OD；此时由三角形中位线定理、平行四边形的性质并结合已知的可得是菱形；再由一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形得是直角三角形且是直角，则可求，再由平行的性质可得.
7．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（　　）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，理由如下，
∵的中点为O，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
当点P运动到时，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
当点P运动到未达到中点M时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
当点P运动到时，如图所示，
∴四边形是矩形；
当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
综上所述：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形，菱形，平行四边形，矩形，平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质准备条件，根据AAS证明，得OP=OQ，再根据勾股定理求出AC，进而可求OE的长，然后根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定即可解决问题．
8．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（　　）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，
∵OE=OF，OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2 ，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．
∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1∥BF1，
∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则 DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴∠E1=90°，
即四边形E1E2F1F2 是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2 是菱形，
∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：A．
【分析】E、F在特殊点时需分析四边形E1E2F1F2 的形状，而在一般点时均是平行四边形，根据对称的形式，菱形、平行四边形和矩形的判定方法判断即可.
二、填空题
9．学校的数学思维节活动中，既爱思考，又勤于动手的小青同学借助电脑技术创造出了如图所示的非常又创意的几何图案，他在和同学们分享的时候介绍了其中的数学原理：在的两条对角线上分别取两个动点E、F，始终保持EF=，然后让这两个动点在各自的对角线上运动，将线段EF的轨迹呈现出来，就得到了如图所示的图形。小青同学在探索的过程中发现，两个动点的运动范围都是受限的，称各点运动范围的两个端点为“极限位置”，分别记为、和、，若F点的“极限位置”恰好是A、C，当AB=，且AC与BD的夹角为，则当点E处于“极限位置”时，的长为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：
设AC， BD交于点O， 由题意， 得：
∵F点的“极限位置”恰好是A、C，当点 为极限位置时，此时. 即
在 中，
在 中，
∴OA=2OE，
∴OE=1，
当点E1为极限位置时，则：
同理：
故答案为：2.
【分析】设AC，BD交于点O，根据题意，可得当点 为极限位置时， 当 为极限位置时， 根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可.
10．如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当　 　 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【答案】或5
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：情况一：当点F位于点C左侧时：，，。
因为，所以当时，四边形构成平行四边形。
所以
解得。
情况二：当点F位于点C右侧时：，，。
同理，当时，四边形构成平行四边形。
所以
解得。
综上所述，当或时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。
故答案为：或5。
【分析】 此题考查平行四边形的判定条件。通过分点F在C点左侧和右侧两种情况讨论，利用平行四边形对边相等的性质建立方程求解，最终得到满足条件的时间值。
11．如图， 在 □ABCD 中，AD=10 cm，点 P 在AD边上以1 cm/s的速度从点 A 向点 D 运动，点Q 在 BC边上以4 cm/s的速度从点 C 出发，在 C，B 间往返运动，两点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止运动，同时点 Q 也停止运动.设运动时间为 ts(t>0)，当t=　 　时，以点 P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.
【答案】4或或8
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=10 cm，即PD∥BQ.
若要以点P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，则PD=BQ.
分四种情况讨论：(1)当0∴10-t=10-4t，解得t=0(不合题意，舍去)；
(2)当≤t<5时，PD=(10-t)cm，BQ=(4t-10)cm，
∴10-t=4t-10，解得t=4；
(3)当5≤t<时，PD=(10-t)cm，BQ=(30-4t)cm，
∴10-t=30-4t，解得t=；
(4)当≤t≤10时，PD=(10-t)cm，BQ=(4t-30)cm，
∴10-t=4t-30，解得t=8.
综上所述，当t=4或或8时，以点P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为：4或或8.
【分析】根据平行四边形的判定可得PD=BQ，然后分为≤t<5，≤t<5，5≤t<，≤t≤10四种情况列等式计算，求出t的值解答即可.
12． 如图，正方形的边长为3，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，设PF与BE相交于点O，过点P作PG⊥BC于点G，
则∠PGB=∠PGF=90°，PG=AB，
∴∠GPF+∠PFG=90°，
∵PF⊥BE，
∴∠BOF=90°，
∴∠OBF+∠BFO=90°，
∴∠GPF=∠OBF，即∠GPF=∠CBE，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠C=90°.
∴PG=BC，∠PGF=∠C=90°，而∠GPF=∠CBE，
∴△PGF≌△BCE(ASA)，
∴PF=BE，
过点E作EM⊥BE，且EM=PF，连接PM、BM，
则∠BEM=90°，EM=BE.
∵PF⊥BE，EM⊥BE，
∴PF∥ME。
∵EM=PF，
∴四边形PFEM是平行四边形，
∴PM=EF，BP+EF=BP+PM≥BM。
当B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长，
∵CE=1，BC=3，
∴EM=BE=，
∴BM=，
∴BP+EF 的最小值为.
故答案为： .
【分析】本题主要考查线段最短问题、正方形的性质、全等三角形的判断及性质、勾股定理等相关知识。
首先利用正方形的性质和角度互余，得出∠GPF=∠CBE，然后利用AAS证明出△PGF≌△BCE，继而得出PF=BE；随后构造出平行四边形PFEM，这时即可得出BP+EF=BP+PM≥BM，从图上可以看出，当B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长。然后利用勾股定理求出EM、BE的长度，即可求出BM的长度，此时的最小值即可求出。
13．如图，在矩形ABCD中，AD=8，DC=12，点H在AD上，AH=3，E，G是矩形ABCD的边AB、CD上的动点，以E，H，G，F四点构造菱形EFGH.在点E、G运动变化过程中，点F到CD的距离为　 　；点F的运动轨迹（起点到终点）长度为　 　.
【答案】3；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：①如图，过点F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接EG，
∴∠M=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠M=90°，AB∥CD，
∴∠CGE=∠AEG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴∠FGE=∠HEG，GF=EH，
∴∠CGE-∠FGE=∠AEG-∠HEG，
∴∠MGF=∠AEH，
在和中，
，
∴，
∵AH=3，
∴FM=AH=3，
∴点F到CD的距离为3；
②∵点F到CD的距离为3，
∴点F的轨迹在平行于CD且与CD距离为3的直线上，
当点G与点D重合时，如图，过点F作FN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠GNF=90°，
∵AD=8，AH=3，
∴DH=AD-AH=5，
∵四边形EFGH是菱形，
∴GF=HE=DH=5，GF∥HE，
∴∠NGF=∠AHE，
在和中，
，
∴，
∴NF=AE，
∵AH=3，HE=5，
∴，
当点E与点B重合时，如图，过点G作GQ⊥AB于Q，交HB于点I，过点F作FP⊥GQ于P，
∴∠GQB=∠GPF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，CD=12，
∴∠D=∠A=∠GQB=∠GPF=90°，AB=CD=12，
∴AD∥QG，
∴∠AHB=∠HIG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴GF=HB=HG，GF∥HB，
∴∠FGP=∠HIG，
∴∠AHB=∠FGP，
在和中，
，
∴，
∴FP=AB=12，
∵AH=3，AB=12，
∴，
∵DH=5，
∴，
∴点F的轨迹长度为；
故答案为：3，.
【分析】①过点F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接EG，根据矩形的性质得∠A=∠M=90°，AB∥CD，从而根据平行线的性质得∠CGE=∠AEG，然后根据菱形的性质得∠FGE=∠HEG，GF=EH，进而求出∠MGF=∠AEH，证出，得FM=AH=3；②由①可知点F的轨迹在平行于CD且与CD距离为3的直线上，然后分两种情况讨论，即分点F的起点和终点讨论：当点G与点D重合时，过点F作FN⊥AD于N，先结合矩形和菱形的性质推出，得NF=AE，利用勾股定理即可求解；当点E与点B重合时，过点G作GQ⊥AB于Q，交HB于点I，过点F作FP⊥GQ于P，推出，得FP=AB=12，利用勾股定理求出，，据此即可求出点F的轨迹长度为DG+FP-NF的值.
14．如图，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，连结，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）当时，的面积为　 　．
（2）记点G为线段的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为　 　．
【答案】10；
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
当时，，
∴，，
∵在矩形 中，∠DAE=90°，
∴，
∵将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，
故答案为：10；
（2）如图，
当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，∴为中点，
当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，∴为中点，
∵ 将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
过点F作于点P，
∵ 将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴、，
∴，
把代入得，，
∴点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，
在中，，
故答案为：．
【分析】（1）先根据B点的坐标，求得，，再根据，求得，，然后利用勾股定理求得DE，再根据旋转的性质得，求得DE和，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）如图，当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，
当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，由旋转的性质求得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，过点F作于点P，证明，可得，从而可得、，再利用中点坐标公式求得，再代入解析式可得点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，再利用勾股定理求得．
三、解答题
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度在CB间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）.
（1） 3.5秒钟后，AP与CQ的长度分别是多少
（2）当四边形APQB的面积为平行四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为多少秒.
（3）几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形
【答案】（1）解：∵在平行四边形中，，，
∴，
∵点以的速度由向运动，
∴当时，；
∵点以的速度在间往返运动，
∴，
∴点已到达点并折返，
∴；
（2）解：设点到边的距离为，
设运动时间为秒，
∵四边形的面积为平行四边形面积的一半，
∴，
∴，
由题意可得：，
当时，点从点向运动，，
此时，
解得（不符合题意，舍去）；
当时，点从点向运动，，
此时，
解得：；
综上所述，当四边形的面积为平行四边形面积的一半时，则运动时间为秒；
（3）解：设运动时间为秒，则，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵要使、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形，
∴需满足或，
当时，点从点向运动，，，
若，则，解得；
若，则，解得，（不符合题意，舍去）；
当时，点从点向运动，，，
若，则，解得：；
若，则，解得；
综上所述，秒或秒或秒钟后，、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行四边形的面积；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据路程时间速度，计算即可得出结果；
（2）设运动时间为秒，即可得到，分，两种情况表示BQ长，列方程求出t的值解答即可；
（3）设运动时间为秒，表示AP和PD长，根据平行四边形的性质可得或，分，两种情况表示BQ和CQ长，列方程计算即可．
16．已知 和 都是边长为10cm的等边三角形，且点B，C，D，E在同一条直线上，连结AD，CF。若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以1cm/s的速度运动，设 的运动时间为t（s)。
（1）当t为何值时，四边形ADFC是菱形 请说明理由。
（2）当t为何值时，四边形ADFC是矩形 求其面积。
（3）当t为何值时，四边形ADFC的面积是
【答案】（1）解：当t=3时，四边形ADFC是菱形。
理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，∴AB=AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°。
∴AC∥DF。∴四边形ADFC是平行四边形。
当t=3时，点B与D重合，∴AD=DF。
∴四边形ADFC是菱形。
（2）解：∵四边形ADFC是矩形，
∴∠ADF=∠DAC=90°。
∵∠CDF=60°，∴∠ADC=30°。
∵未运动时BD=3cm，
∴未运动时CD=BC-BD=7cm。
∴t=(20-7)÷1=13(s)。
∴当t=13时，四边形ADFC是矩形，此时S矩形ADFC
（3）解：过点F作FG⊥DE于点G。
∵△DEF是等边三角形，
由(1)得，四边形ADFC是平行四边形， 由题意得 解得t=9。
∴当t=9时，四边形ADFC的面积是
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【分析】
（1）由已知条件可知AC∥DF，根据平行四边形的判定定理可得四边形ADFC是平行四边形；
（2）由于△ABC沿BE方向以1cm/s的速度平移，计算时间t=(20-7)÷1即可得到满足要求的时间值；
（3）过点F作FG⊥DE于点G，求出DG长，利用ADFC面积为两个三角形DCF面积，列方程得解.
17．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4）.
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束.设点P运动的时间为t秒（t>0）.
①求当t=2时，△PQC的面积是多少
②求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？（请直接写出答案!）
【答案】（1）解：∵四边形0ABC是平行四边形，
∴AO=BC=14，
∵点A的坐标为(14，0)，点B的坐标为(18，4)
点C的坐标为（4，4)，平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为(9，2）
（2）解：①根据题意得：当t=2时，点P坐标为(2，0)，AQ=4.
∵点A的坐标为(14，0)，点B的坐标为(18，4)，
∴点Q坐标为(16，2).
②由题意得：
即
解得：
∴当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
当当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
综上所述，当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角坐标系中点的坐标可写出点C的坐标，根据平行四边形OABC的对称中心为对角线的中点，据此即可求解；
（2）①根据题意得：当t=2时，点P坐标为(2，0)，AQ=4，据此求出点Q的坐标，最后根据割补法计算面积即可；
②由题意得：列出方程，解得进而即可求解.
18．如图1，已知正方形的边长为，点是正方形内一动点，且，连结、、，并延长交于．
（1）求证：；
（2）若时，
①如图2，求的长度；
②如图3，延长至点，使得，连结．求与四边形的面积比；
（3）在图1中，在运动过程中，当的值最小时，求的长．（直接写出答案）
【答案】（1）证明：∵正方形，∴，，
又∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵
（2）如解图2，过点作，垂足为，取中点，连接、、，
∵，，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即是等腰直角三角形；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵由得，
∴，
∴四边形面积
∴与四边形的面积比
（3）如解图3-1，过点C作CK⊥DE，垂足为K，过点A作AQ⊥DE，垂足为Q，
同理（2）可得：△CKD≌△DQA，KD=KE=AQ，
，
∵AE≥AQ，
∴AQ=AE时，最小，此时AE⊥DE，即Q、E重合，如解图3-2，
∵AE=EK=KD，∠AED=90°，，
∴，
∴AE=3，DE=6，
延长DF至点G，使得AG=AD，连结BG．
同理（2）②可得：GE=DE=6 ，△BGE是等腰直角三角形；
∴ ，即，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；四边形-动点问题；函数几何问题中的最值
【解析】【分析】本题综合考查正方形性质、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、全等三角形、几何最值等知识点，解题需灵活运用这些知识，结合图形进行角度推导、线段计算与面积分析，
（1）根据四边形ABCD是正方形，得出BC=CD，以及∠BCD的角，再根据角关系进行推理证明，证明出∠BEF=45°；
（2）①作出辅助线，因为CK⊥BE，，△ABE是直角三角形，结合(1)中AB=BE(或其他边关系)，通过三角形全等，找出AF和AB的关系，从而求出AB的长；
②由AG=AD=AB，∠AGD=∠ADG，∠BAG与∠BCE等角关系，证明ΔBAG与ΔBCE全等，得到BG与BE的关系。再结合(1)(2)中得到的边长度、角度，分别计算△AGF的面积和四边形BCEF的面积，最后求两者面积比；
（3）构造相似三角形，例如过A作某线，使转化为与固定线段相关的比 ，当这个比值最小时，E的位置满足特定条件（如三点共线 ），再利用正方形边，结合等腰三角形、直角三角形性质，计算BE的长度，
1 / 1特殊平行四边形·动点问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．如图，点C，D在线段AB上，射线DP⊥AB，连结PB，以BC，BP为邻边作□CBPE，连结AE，CP，记AE的长为m，CE的长为n.若AC=4，AD=5，BD=3，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．mn B．m-n C．m2+n2 D．m2-n2
2．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连结分别为的中点，连结．若，则的最小值为(　　)
A． B． C．2 D．3
3．如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t(s)△DEF是等边三角形，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是边BC上的一点且CE=3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动.设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（　　）
A．3.5 B．4.5 C．3.5或5.5 D．3.5或6.5
5．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点 顺时针旋转 至EF，连结BF，取BF的中点 ，若点 从点 运动至点 ，则点 经过的路径长为（　　）
A．2 B． C． D．4
6．如图，是平行四边形ABCD内一点，且分别为AE，BC的中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（　　）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
8．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（　　）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
二、填空题
9．学校的数学思维节活动中，既爱思考，又勤于动手的小青同学借助电脑技术创造出了如图所示的非常又创意的几何图案，他在和同学们分享的时候介绍了其中的数学原理：在的两条对角线上分别取两个动点E、F，始终保持EF=，然后让这两个动点在各自的对角线上运动，将线段EF的轨迹呈现出来，就得到了如图所示的图形。小青同学在探索的过程中发现，两个动点的运动范围都是受限的，称各点运动范围的两个端点为“极限位置”，分别记为、和、，若F点的“极限位置”恰好是A、C，当AB=，且AC与BD的夹角为，则当点E处于“极限位置”时，的长为　 　．
10．如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当　 　 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
11．如图， 在 □ABCD 中，AD=10 cm，点 P 在AD边上以1 cm/s的速度从点 A 向点 D 运动，点Q 在 BC边上以4 cm/s的速度从点 C 出发，在 C，B 间往返运动，两点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止运动，同时点 Q 也停止运动.设运动时间为 ts(t>0)，当t=　 　时，以点 P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.
12． 如图，正方形的边长为3，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为　 　.
13．如图，在矩形ABCD中，AD=8，DC=12，点H在AD上，AH=3，E，G是矩形ABCD的边AB、CD上的动点，以E，H，G，F四点构造菱形EFGH.在点E、G运动变化过程中，点F到CD的距离为　 　；点F的运动轨迹（起点到终点）长度为　 　.
14．如图，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，连结，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）当时，的面积为　 　．
（2）记点G为线段的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为　 　．
三、解答题
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度在CB间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）.
（1） 3.5秒钟后，AP与CQ的长度分别是多少
（2）当四边形APQB的面积为平行四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为多少秒.
（3）几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形
16．已知 和 都是边长为10cm的等边三角形，且点B，C，D，E在同一条直线上，连结AD，CF。若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以1cm/s的速度运动，设 的运动时间为t（s)。
（1）当t为何值时，四边形ADFC是菱形 请说明理由。
（2）当t为何值时，四边形ADFC是矩形 求其面积。
（3）当t为何值时，四边形ADFC的面积是
17．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4）.
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束.设点P运动的时间为t秒（t>0）.
①求当t=2时，△PQC的面积是多少
②求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？（请直接写出答案!）
18．如图1，已知正方形的边长为，点是正方形内一动点，且，连结、、，并延长交于．
（1）求证：；
（2）若时，
①如图2，求的长度；
②如图3，延长至点，使得，连结．求与四边形的面积比；
（3）在图1中，在运动过程中，当的值最小时，求的长．（直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵点C，D在线段AB上，DP⊥AB，
∴∠PDC=∠PDB=90°，
∵AC=4，AD=5，BD=3，
∴CD=AD-AC=5-4=1
∴BC=CD+BD=1+3=4，
∴AC=BC，
∵四边形CBPE是平行四边形
∴BC//PE，BC=PE，BP=CE=n，
∴AC//PE，AC=PE，
∴四边形ACPE是平行四边形，
∴CP=AE=m，
∵CP2-CD2=PD2=BP2-BD2
∴m2-12=n2-32，
∴m2-n2=-8，
∴代数式m2-n2的值不变，
故答案为：D.
【分析】由DP⊥AB，得∠PDC=∠PDB=90°，由AC=4，AD=5，BD=3，求得CD=1，则BC=4，所以AC=BC，由平行四边形的性质得BC//PE，BC=PE，BP=CE=n，所以AC//PE，AC =PE，可证明四边形ACPE是平行四边形，则CP=AE=m，由勾股定理得PD2=m2-12=n2-32，则m2-n2=-8，于是得到问题的答案.
2．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；菱形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AF，
∵四边形ABCD是萎形
∴AB=BC=2
∵G，H分别为AE，EF的中点
∴GH=AF，故当AF最小时，GH最小
当AFBC时，AF最小，即
∵B=45°
∴△ABF是等腰直角三角形
GH=
即GH的最小值为
故答案是A.
【分析】本题先根据菱形的性质得出AB的长，再由中位线性质，把GH的最小值转化为求AF的最小值，最后根据垂线段最短得出AFBC，从而得出△ABF是等腰直角三角形
3．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ADB=∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中
∴△ADE≌△BDF（ASA）
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC-CF=5-2t，
∴t=5-2t，解得：t=.
故答案为：D.
【分析】连接BD，由题意易证△ADE≌△BDF，于是可得AE=BF，由题意易得AE=t，CF=2t，根据BF=BC-CF可得关于t的方程，解方程即可求解.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图
当点M在BC上时，
∵△ABM和△DCE全等，
∴BM=CE，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD=4，
∵动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动.设点M的运动时间为t秒，
∴BM=CE=2t-4=3，
解之：t=3.5；
当点M在AD上时，
∵△ABM和△DCE全等，
∴AM′=CE=16-2t=3，
解之：t=6.5
综上所述t的值为3.5或6.5.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当点M在BC上时，利用全等三角形的性质可知BM=CE，利用正方形的性质可知AB=BC=AD=4，利用点的运动方向和速度可表示出BM的长，根据CE=3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点M在AD上时，可知AM′=CE，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的t的值.
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF
∴EF⊥AE.
当点E在点B处时，点M在BC的中点G处，
当点E在点C处时，点M在CD中点H处，点M经过的路径长为GH的长
∵正方形ABCD的边长为4
∴ ，
故答案为：B.
【分析】已知EF⊥AE，当E点在线段BC，上运动到两端时，正好是M点运动的两个端点，由此可以判断M点的运动轨迹是BC、CD中点的连线长.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，取中点，连接交于点，连接并取中点，分别连接.
四边形是平行四边形
是中点、是中点
、
、
是中点、是中点
四边形是平行四边形
是中点、是中点
是菱形
是直角三角形，且
是中点、是中点
故答案为：Ｃ.
【分析】连接并分别取中点、中点，分别连接、和，设和交于点O；由于四边形ABCD是平行四边形，所以可利用平行四边形的性质证明全等于，则OG等于OH、BO等于OD；此时由三角形中位线定理、平行四边形的性质并结合已知的可得是菱形；再由一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形得是直角三角形且是直角，则可求，再由平行的性质可得.
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，理由如下，
∵的中点为O，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
当点P运动到时，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
当点P运动到未达到中点M时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
当点P运动到时，如图所示，
∴四边形是矩形；
当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
综上所述：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形，菱形，平行四边形，矩形，平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质准备条件，根据AAS证明，得OP=OQ，再根据勾股定理求出AC，进而可求OE的长，然后根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定即可解决问题．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，
∵OE=OF，OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2 ，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．
∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1∥BF1，
∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则 DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴∠E1=90°，
即四边形E1E2F1F2 是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2 是菱形，
∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：A．
【分析】E、F在特殊点时需分析四边形E1E2F1F2 的形状，而在一般点时均是平行四边形，根据对称的形式，菱形、平行四边形和矩形的判定方法判断即可.
9．【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：
设AC， BD交于点O， 由题意， 得：
∵F点的“极限位置”恰好是A、C，当点 为极限位置时，此时. 即
在 中，
在 中，
∴OA=2OE，
∴OE=1，
当点E1为极限位置时，则：
同理：
故答案为：2.
【分析】设AC，BD交于点O，根据题意，可得当点 为极限位置时， 当 为极限位置时， 根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可.
10．【答案】或5
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：情况一：当点F位于点C左侧时：，，。
因为，所以当时，四边形构成平行四边形。
所以
解得。
情况二：当点F位于点C右侧时：，，。
同理，当时，四边形构成平行四边形。
所以
解得。
综上所述，当或时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。
故答案为：或5。
【分析】 此题考查平行四边形的判定条件。通过分点F在C点左侧和右侧两种情况讨论，利用平行四边形对边相等的性质建立方程求解，最终得到满足条件的时间值。
11．【答案】4或或8
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=10 cm，即PD∥BQ.
若要以点P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，则PD=BQ.
分四种情况讨论：(1)当0∴10-t=10-4t，解得t=0(不合题意，舍去)；
(2)当≤t<5时，PD=(10-t)cm，BQ=(4t-10)cm，
∴10-t=4t-10，解得t=4；
(3)当5≤t<时，PD=(10-t)cm，BQ=(30-4t)cm，
∴10-t=30-4t，解得t=；
(4)当≤t≤10时，PD=(10-t)cm，BQ=(4t-30)cm，
∴10-t=4t-30，解得t=8.
综上所述，当t=4或或8时，以点P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为：4或或8.
【分析】根据平行四边形的判定可得PD=BQ，然后分为≤t<5，≤t<5，5≤t<，≤t≤10四种情况列等式计算，求出t的值解答即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，设PF与BE相交于点O，过点P作PG⊥BC于点G，
则∠PGB=∠PGF=90°，PG=AB，
∴∠GPF+∠PFG=90°，
∵PF⊥BE，
∴∠BOF=90°，
∴∠OBF+∠BFO=90°，
∴∠GPF=∠OBF，即∠GPF=∠CBE，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠C=90°.
∴PG=BC，∠PGF=∠C=90°，而∠GPF=∠CBE，
∴△PGF≌△BCE(ASA)，
∴PF=BE，
过点E作EM⊥BE，且EM=PF，连接PM、BM，
则∠BEM=90°，EM=BE.
∵PF⊥BE，EM⊥BE，
∴PF∥ME。
∵EM=PF，
∴四边形PFEM是平行四边形，
∴PM=EF，BP+EF=BP+PM≥BM。
当B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长，
∵CE=1，BC=3，
∴EM=BE=，
∴BM=，
∴BP+EF 的最小值为.
故答案为： .
【分析】本题主要考查线段最短问题、正方形的性质、全等三角形的判断及性质、勾股定理等相关知识。
首先利用正方形的性质和角度互余，得出∠GPF=∠CBE，然后利用AAS证明出△PGF≌△BCE，继而得出PF=BE；随后构造出平行四边形PFEM，这时即可得出BP+EF=BP+PM≥BM，从图上可以看出，当B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长。然后利用勾股定理求出EM、BE的长度，即可求出BM的长度，此时的最小值即可求出。
13．【答案】3；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：①如图，过点F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接EG，
∴∠M=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠M=90°，AB∥CD，
∴∠CGE=∠AEG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴∠FGE=∠HEG，GF=EH，
∴∠CGE-∠FGE=∠AEG-∠HEG，
∴∠MGF=∠AEH，
在和中，
，
∴，
∵AH=3，
∴FM=AH=3，
∴点F到CD的距离为3；
②∵点F到CD的距离为3，
∴点F的轨迹在平行于CD且与CD距离为3的直线上，
当点G与点D重合时，如图，过点F作FN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠GNF=90°，
∵AD=8，AH=3，
∴DH=AD-AH=5，
∵四边形EFGH是菱形，
∴GF=HE=DH=5，GF∥HE，
∴∠NGF=∠AHE，
在和中，
，
∴，
∴NF=AE，
∵AH=3，HE=5，
∴，
当点E与点B重合时，如图，过点G作GQ⊥AB于Q，交HB于点I，过点F作FP⊥GQ于P，
∴∠GQB=∠GPF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，CD=12，
∴∠D=∠A=∠GQB=∠GPF=90°，AB=CD=12，
∴AD∥QG，
∴∠AHB=∠HIG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴GF=HB=HG，GF∥HB，
∴∠FGP=∠HIG，
∴∠AHB=∠FGP，
在和中，
，
∴，
∴FP=AB=12，
∵AH=3，AB=12，
∴，
∵DH=5，
∴，
∴点F的轨迹长度为；
故答案为：3，.
【分析】①过点F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接EG，根据矩形的性质得∠A=∠M=90°，AB∥CD，从而根据平行线的性质得∠CGE=∠AEG，然后根据菱形的性质得∠FGE=∠HEG，GF=EH，进而求出∠MGF=∠AEH，证出，得FM=AH=3；②由①可知点F的轨迹在平行于CD且与CD距离为3的直线上，然后分两种情况讨论，即分点F的起点和终点讨论：当点G与点D重合时，过点F作FN⊥AD于N，先结合矩形和菱形的性质推出，得NF=AE，利用勾股定理即可求解；当点E与点B重合时，过点G作GQ⊥AB于Q，交HB于点I，过点F作FP⊥GQ于P，推出，得FP=AB=12，利用勾股定理求出，，据此即可求出点F的轨迹长度为DG+FP-NF的值.
14．【答案】10；
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
当时，，
∴，，
∵在矩形 中，∠DAE=90°，
∴，
∵将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，
故答案为：10；
（2）如图，
当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，∴为中点，
当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，∴为中点，
∵ 将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
过点F作于点P，
∵ 将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴、，
∴，
把代入得，，
∴点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，
在中，，
故答案为：．
【分析】（1）先根据B点的坐标，求得，，再根据，求得，，然后利用勾股定理求得DE，再根据旋转的性质得，求得DE和，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）如图，当时，点与原点O重合，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，
当时，运动终止，点与点A重合，把绕点顺时旋转得到，即可得到中点，由旋转的性质求得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，过点F作于点P，证明，可得，从而可得、，再利用中点坐标公式求得，再代入解析式可得点G在直线上运动，即点G的运动路线为线段，再利用勾股定理求得．
15．【答案】（1）解：∵在平行四边形中，，，
∴，
∵点以的速度由向运动，
∴当时，；
∵点以的速度在间往返运动，
∴，
∴点已到达点并折返，
∴；
（2）解：设点到边的距离为，
设运动时间为秒，
∵四边形的面积为平行四边形面积的一半，
∴，
∴，
由题意可得：，
当时，点从点向运动，，
此时，
解得（不符合题意，舍去）；
当时，点从点向运动，，
此时，
解得：；
综上所述，当四边形的面积为平行四边形面积的一半时，则运动时间为秒；
（3）解：设运动时间为秒，则，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵要使、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形，
∴需满足或，
当时，点从点向运动，，，
若，则，解得；
若，则，解得，（不符合题意，舍去）；
当时，点从点向运动，，，
若，则，解得：；
若，则，解得；
综上所述，秒或秒或秒钟后，、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行四边形的面积；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据路程时间速度，计算即可得出结果；
（2）设运动时间为秒，即可得到，分，两种情况表示BQ长，列方程求出t的值解答即可；
（3）设运动时间为秒，表示AP和PD长，根据平行四边形的性质可得或，分，两种情况表示BQ和CQ长，列方程计算即可．
16．【答案】（1）解：当t=3时，四边形ADFC是菱形。
理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，∴AB=AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°。
∴AC∥DF。∴四边形ADFC是平行四边形。
当t=3时，点B与D重合，∴AD=DF。
∴四边形ADFC是菱形。
（2）解：∵四边形ADFC是矩形，
∴∠ADF=∠DAC=90°。
∵∠CDF=60°，∴∠ADC=30°。
∵未运动时BD=3cm，
∴未运动时CD=BC-BD=7cm。
∴t=(20-7)÷1=13(s)。
∴当t=13时，四边形ADFC是矩形，此时S矩形ADFC
（3）解：过点F作FG⊥DE于点G。
∵△DEF是等边三角形，
由(1)得，四边形ADFC是平行四边形， 由题意得 解得t=9。
∴当t=9时，四边形ADFC的面积是
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【分析】
（1）由已知条件可知AC∥DF，根据平行四边形的判定定理可得四边形ADFC是平行四边形；
（2）由于△ABC沿BE方向以1cm/s的速度平移，计算时间t=(20-7)÷1即可得到满足要求的时间值；
（3）过点F作FG⊥DE于点G，求出DG长，利用ADFC面积为两个三角形DCF面积，列方程得解.
17．【答案】（1）解：∵四边形0ABC是平行四边形，
∴AO=BC=14，
∵点A的坐标为(14，0)，点B的坐标为(18，4)
点C的坐标为（4，4)，平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为(9，2）
（2）解：①根据题意得：当t=2时，点P坐标为(2，0)，AQ=4.
∵点A的坐标为(14，0)，点B的坐标为(18，4)，
∴点Q坐标为(16，2).
②由题意得：
即
解得：
∴当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
当当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
综上所述，当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角坐标系中点的坐标可写出点C的坐标，根据平行四边形OABC的对称中心为对角线的中点，据此即可求解；
（2）①根据题意得：当t=2时，点P坐标为(2，0)，AQ=4，据此求出点Q的坐标，最后根据割补法计算面积即可；
②由题意得：列出方程，解得进而即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵正方形，∴，，
又∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵
（2）如解图2，过点作，垂足为，取中点，连接、、，
∵，，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即是等腰直角三角形；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵由得，
∴，
∴四边形面积
∴与四边形的面积比
（3）如解图3-1，过点C作CK⊥DE，垂足为K，过点A作AQ⊥DE，垂足为Q，
同理（2）可得：△CKD≌△DQA，KD=KE=AQ，
，
∵AE≥AQ，
∴AQ=AE时，最小，此时AE⊥DE，即Q、E重合，如解图3-2，
∵AE=EK=KD，∠AED=90°，，
∴，
∴AE=3，DE=6，
延长DF至点G，使得AG=AD，连结BG．
同理（2）②可得：GE=DE=6 ，△BGE是等腰直角三角形；
∴ ，即，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；四边形-动点问题；函数几何问题中的最值
【解析】【分析】本题综合考查正方形性质、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、全等三角形、几何最值等知识点，解题需灵活运用这些知识，结合图形进行角度推导、线段计算与面积分析，
（1）根据四边形ABCD是正方形，得出BC=CD，以及∠BCD的角，再根据角关系进行推理证明，证明出∠BEF=45°；
（2）①作出辅助线，因为CK⊥BE，，△ABE是直角三角形，结合(1)中AB=BE(或其他边关系)，通过三角形全等，找出AF和AB的关系，从而求出AB的长；
②由AG=AD=AB，∠AGD=∠ADG，∠BAG与∠BCE等角关系，证明ΔBAG与ΔBCE全等，得到BG与BE的关系。再结合(1)(2)中得到的边长度、角度，分别计算△AGF的面积和四边形BCEF的面积，最后求两者面积比；
（3）构造相似三角形，例如过A作某线，使转化为与固定线段相关的比 ，当这个比值最小时，E的位置满足特定条件（如三点共线 ），再利用正方形边，结合等腰三角形、直角三角形性质，计算BE的长度，
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