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2026年高考物理二轮复习素养培优3带电粒子在交变场与三维空间运动对应练习
一、选择题
1． 电子感应加速器的基本原理如图甲所示，在电磁铁的两极间有一环形向外逐渐减弱、并对称分布的交变磁场，这个交变磁场又在真空室内激发感生电场，其电场线是一系列绕磁感线的同心圆。这时若用电子枪把电子向右沿切线方向射入环形真空室，电子将受到环形真空室中的感生电场的作用而被加速，同时，电子还受到洛伦兹力的作用，使电子（电荷量绝对值为e）在半径为R的圆形轨道上运动。电子做圆周运动的方向如图乙所示，电子轨道所围面积内平均磁感应强度随时间变化如图丙所示（垂直纸面向内为的正方向）。下列说法正确的是（　　）
A．加速器利用磁场变化产生的静电场对电子进行加速
B．为使电子加速，电场的方向应该沿逆时针方向
C．电子在加速器中可正常加速的时间是
D．电子在圆形轨道中正常加速的时间内，加速一周，感生电通对电子所做的功为
【答案】C
【知识点】法拉第电磁感应定律；电磁感应现象中的感生电场
【解析】【解答】A.加速器利用磁场变化产生的感生电场对电子进行加速，A不符合题意；
B.电子带负电，受到的电场力方向与电场强度方向相反，所以为使电子加速，电场的方向应该沿顺时针方向，B不符合题意；
C.在时间内，磁场向外增强，根据楞次定律可知感应电场沿顺时针方向，此时电子受的洛伦兹力方向指向圆心，则电子能被正常加速，C符合题意；
D.感生电场场强
加速过程电场力总与速度方向一致，电子运动一周电场力做的功
D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】加速器是利用变化的磁场产生感生电场使电子加速，带负电的电子受力的方向（运动方向）应与电场强度方向相反，且电子受到的洛伦兹力指向圆心，由法拉第成感应定律求出感生电场的电场强度，再求解感生电场对电子加速一周所做的功。
2．如图甲所示，在三维坐标系Oxyz（y轴正方向竖直向上）中，y>0的空间内存在电场强度大小为E1，方向沿x轴正方向的匀强电场；y<0的空间内存在平行于y轴的匀强电场和匀强磁场，电场强度E2和磁感应强度B随时间变化的规律分别如图乙和丙所示，甲图中所示方向为正方向。一质量为m、电荷量为+q的小球，从坐标为的点由静止释放，经过时间T，在t=0时刻恰好过坐标原点O进入y<0的空间内。已知，重力加速度大小为g，不计一切阻力。则在t=4.5T时刻，小球的位置坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】带电粒子在交变电场中的运动
【解析】【解答】小球在重力和电场力的作用下，从位置做初速度为零的匀加速直线运动，恰好过原点，则，
得，
到达O点的水平速度与竖直速度均为
由图乙、丙可知，在内，小球竖直方向有
可得，方向向上；小球竖直方向以g做匀减速直线运动，在时，竖直速度为
在内，小球在竖直方向以g做初速度为0的匀加速直线运动，时，速度又为，所以竖直方向以为一个周期，速度循环变化，则有，速度又为，则时，小球的y轴坐标为
得
小球在平面以做匀速圆周运动。在内，小球运动周期为
在内，小球运动周期为
所以在平面内做周期运动，则在时刻，小球恰好又回到和。
综上在时刻，小球的位置坐标为。
故答案为：D。
【分析】先分析y>0区域的匀加速直线运动，求出E1 、T和到达O点的速度；再分阶段分析y<0区域的运动：0 T为匀变速直线运动，T 2T为匀速圆周运动，后续重复此规律，最终计算t=4.5T时的位置坐标。
二、多项选择题
3．如图所示，在三维坐标系Oxyz中，的空间同时存在沿z轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为，在的空间存在沿y轴正方向的匀强磁场II，磁感应强度大小为。带正电的粒子从M（a，0，）点以速度沿y轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间。不计粒子重力，正确的说法是（　　）
A．电场强度大小为
B．带电粒子的比荷为
C．第二次经过xOy平面的位置坐标为（a，0，）
D．粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为
【答案】A,D
【知识点】带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【解答】本题考查了带电粒子在匀强磁场中的运动，根据题意分析清楚粒子运动过程，应用牛顿第二定律与几何知识即可解题。A．电场没有撤去前粒子能做直线运动，则有
解得
故A正确；
B．撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间，可知，粒子做半径为的匀速圆周运动，则有
解得带电粒子的比荷为
故B错误；
C．结合上述分析可知，第一次经过xOy平面的位置坐标为（a，，0），进入空间后，磁场变为，则粒子做圆周运动的半径为，且向轴负方向偏转，则第二次经过xOy平面的位置坐标为（，，0），故C错误；
D．结合上述分析可知，粒子再次进入的空间做圆周运动，沿y轴正方向移动2a后第三次经过平面，此位置坐标为（，，0），则粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为
故D正确。
故选AD。
【分析】粒子恰好做直线运动，应用平衡条件求出电场强度大小；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后分析答题。
4．如图所示，三维坐标系O-xyz的z轴方向竖直向上，所在空间存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的小球从z轴上的A点以速度沿x轴正方向水平抛出，A点坐标为（0，0，L），重力加速度为g，场强。则下列说法中正确的是（　　）
A．小球运动的轨迹为抛物线
B．小球在平面内的分运动为直线运动
C．小球到达平面时的速度大小为
D．小球的运动轨迹与平面交点的坐标为（，L，0）
【答案】A,C
【知识点】匀速直线运动；力的合成与分解的运用；平抛运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【解答】A．小球受到重力（沿方向 ）和电场力（，沿方向 ），这两个力的合力大小为，方向与初速度（沿方向 ）垂直，由于初速度与合力垂直，小球做匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；
B．由于重力与电场力大小相等，所以小球在这两个力的合力所在平面运动，且与水平面成45°，而在xOz平面内的分运动为平抛运动，故B错误；
C．小球在重力与电场力共同作用产生的加速度为，则小球到达平面的时间，增加的速度为
小球到达平面时的速度大小为
故C正确；
D．小球在Z轴方向做自由落体运动，只受重力，且初速度为零，所以经过时间
则小球在x轴方向做匀速直线运动，则发生的位移
而在y轴方向小球只受电场力，初速度为零，因此发生的位移
所以小球的轨迹与xOy平面交点的坐标为，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】A：依据初速度与合力的方向关系，确定小球做匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
B：将小球运动分解到不同平面，判断平面内分运动的类型。
C：把小球运动分解到、、轴方向，分别求出分速度，再合成得到合速度。
D：利用分运动的位移公式，结合运动时间，计算出轨迹与平面交点的坐标。
三、计算题
5．如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线和y轴之间有垂直纸面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向，磁感应强度的大小和方向变化规律如图乙所示；在直线（图中虚线）右侧有沿x轴负方向的匀强电场。t=0时，一带正电的粒子从y轴上的P点沿与y轴正方形成45°角射入匀强交变磁场，在t=3t0时垂直穿过x轴，一段时间后粒子恰好沿原路径回到P点。粒子可视为质点、重力不计，忽略由于磁场变化引起的电磁效应，求：
（1）粒子的比荷；
（2）粒子的初速度大小v0；
（3）匀强电场的场强大小E。
【答案】（1）解：粒子要沿原路返回到P点，则粒子在3t0时垂直穿过x轴时粒子必在磁场中，根据几何关系，此时粒子的速度方向沿y轴正方向，轨迹如图所示。
设在0~t0内粒子的速度偏转角为θ，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据磁场变化的规律，则有，
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有
，
可得粒子在磁场中的运动周期
联立解得解得
（2）解：设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有
粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有
联立以上各式解得
（3）解：根据几何关系，则有
可知，粒子在t =5t0时沿x轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P点，则粒子从电场回到磁场时，磁场方向应垂直纸面向里，即粒子最早应在t =9t0时返回磁场。设粒子在电场中运动的时间为t，考虑到周期性，则有
对粒子在电场中的运动，由动量定理，则有
联立以上各式，解得
【知识点】带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）根据题意画轨迹如图。
根据磁场变化的规律，则有，，粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有，，可得粒子在磁场中的运动周期，联立解得解得。
（2）由几何关系有，粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有，联立以上各式解得粒子的初速度大小。
（3）根据几何关系，则有，粒子在t =5t0时沿x轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P点，则粒子从电场回到磁场时，磁场方向应垂直纸面向里，即粒子最早应在t =9t0时返回磁场。粒子在电场中运动的时间为t，考虑到周期性，则有，对粒子在电场中的运动，由动量定理，则有，联立以上各式可计算匀强电场的场强大小E。
（1）粒子要沿原路返回到P点，则粒子在3t0时垂直穿过x轴时粒子必在磁场中，根据几何关系，此时粒子的速度方向沿y轴正方向，轨迹如图所示。
设在0~t0内粒子的速度偏转角为θ，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据磁场变化的规律，则有，
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有，
可得粒子在磁场中的运动周期
联立解得解得
（2）设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有
粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有
联立以上各式解得
（3）根据几何关系，则有
可知，粒子在t =5t0时沿x轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P点，则粒子从电场回到磁场时，磁场方向应垂直纸面向里，即粒子最早应在t =9t0时返回磁场。设粒子在电场中运动的时间为t，考虑到周期性，则有
对粒子在电场中的运动，由动量定理，则有
联立以上各式，解得
6．如图甲，MNQP构成一矩形边界，其内存在垂直于纸面的交变磁场，其变化规律如图乙所示，该交变磁场周期为、幅值为（代表磁场垂直于纸面向外），磁场边界MN和PQ长度均为2L，MN到PQ的距离为2.4L，在MN和PQ上放置涂有特殊材料的挡板，一旦粒子碰到挡板将被吸收。在MNQP左侧和右侧分布有匀强电场和（场强大小均未知，方向平行于MN，如图所示）。在时刻，有一带电粒子从左侧电场某位置由静止释放，并在时刻恰好从下板左端边缘位置水平向右进入磁场区域，该粒子在时刻第一次离开磁场区域，水平向右进入右侧电场，并在时刻从右侧电场再次进入磁场区域。已知粒子质量为m，电荷量为q，已知，忽略粒子所受的重力。
（1）判断带电粒子的电性，求粒子在磁场中做圆周运动的周期（用、m、q、表示）；
（2）求该粒子打在PQ挡板上的位置与Q点的距离；
（3）求匀强电场和的大小（均用、m、q、、L表示）。
【答案】（1）解：带电粒子从左侧电场某位置由静止释放，并在时刻恰好从下板左端边缘位置水平向右进入磁场区域，可知粒子在左侧电场中受到的电场力向右，该带电粒子带正电，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
解得
由
解得
（2）解：由于磁场变化周期为
可得
说明在磁场变化的半个周期内粒子运动圆周，由于该粒子在时刻第一次离开磁场区域，则说明运动两个圆周后第一次离开磁场区域，由几何关系可知，粒子运动的轨迹半径为
进入右侧电场后时刻从右侧电场再次水平进入磁场区域，由于电场力做功为零，再进入磁场的速度大小与此前在磁场中运动速度相等，故粒子运动轨道半径保持不变，根据左手定则，轨迹向上偏转，如图所示，根据几何关系，可知当粒子从右侧电场进入磁场时距离PQ为
因此，得打在PQ上的位置距离Q点为

（3）解：根据洛伦兹力提供向心力
又
可得该粒子经加速进入磁场时的速度大小为
由于在时刻恰好该粒子加速完毕进入磁场区域，由动量定理有
解得
由于该粒子在时刻第一次离磁场区域，水平向右进入右侧电场，并在时刻从右侧电场再次进入磁场区域，故其在右侧电场中运动的时间为
以向右为正方向，根据动量定理有
解得
【知识点】带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）根据题意判断带电粒子在左侧电场中受电场力情况，即可知道其电性；根据洛伦兹力提供向心力，列式解得粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径和周期；
（2）已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道周期和磁场的变化周期，即可判断粒子运动情况，画出运动的过程图，根据几何关系即可求出粒子打在PQ挡板上的位置与Q点的距离；
（3）分析粒子的运动特点，根据洛伦兹力提供向心力以及动量定理，即可求出匀强电场 和 的大小。
（1）带电粒子从左侧电场某位置由静止释放，并在时刻恰好从下板左端边缘位置水平向右进入磁场区域，可知粒子在左侧电场中受到的电场力向右，该带电粒子带正电，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
解得
由
解得
（2）由于磁场变化周期为
可得
说明在磁场变化的半个周期内粒子运动圆周，由于该粒子在时刻第一次离开磁场区域，则说明运动两个圆周后第一次离开磁场区域，由几何关系可知，粒子运动的轨迹半径为
进入右侧电场后时刻从右侧电场再次水平进入磁场区域，由于电场力做功为零，再进入磁场的速度大小与此前在磁场中运动速度相等，故粒子运动轨道半径保持不变，根据左手定则，轨迹向上偏转，如图所示，根据几何关系，可知当粒子从右侧电场进入磁场时距离PQ为
因此，得打在PQ上的位置距离Q点为
（3）根据洛伦兹力提供向心力
又
可得该粒子经加速进入磁场时的速度大小为
由于在时刻恰好该粒子加速完毕进入磁场区域，由动量定理有
解得
由于该粒子在时刻第一次离磁场区域，水平向右进入右侧电场，并在时刻从右侧电场再次进入磁场区域，故其在右侧电场中运动的时间为
以向右为正方向，根据动量定理有
解得
7．在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy， x轴沿水平方向，如图甲所示。第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强为E1。坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强，匀强磁场方向垂直纸面。现一个比荷为=102C/kg的带正电微粒（可视为质点）以v0=4m/s的速度从x轴上A点竖直向上射入第二象限，并以v1=12m/s的速度从y轴正方向上的C点沿水平方向进入第一象限。取微粒刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），重力加速度g=10m/s2。则：
（1）求微粒在x方向的加速度大小和电场强度E1的大小；
（2）在x轴正方向上有一点D，OD=OC，若带电微粒在通过C点后的运动过程中不再越过y轴，要使其恰能沿x轴正方向通过D点，求磁感应强度B0及磁场的变化周期T0各为多少？
（3）要使带电微粒通过C点后的运动过程中不再越过y轴，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足的关系？
【答案】（1）解：将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀加速直线运动 ，，代入数据计算得微粒在x方向的加速度大小
电场强度E1的大小E1=0.3N/C
（2）解：由E1=3E2，可得qE2=mg，所以带电的粒子在第一象限将做匀速圆周运动
设粒子运动圆轨道半径为R，周期为T，则
可得 使粒子从C点运动到D点，则有，
计算得出 （n=1，2，3…），
解得 s （n=1，2，3…）
（3）解：当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形：
由图可以知道 ，则
【知识点】带电粒子在重力场和电场复合场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀加速直线运动，，，可求解加速度和电场强度E1的大小。
（2）题目已知 场强，可得出 qE2=mg，则带电的粒子在第一象限将做匀速圆周运动
，可得 使粒子从C点运动到D点，则有， ，计算得出磁感应强度
周期：，由 可求解 磁场的变化周期T0
（3）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形：
由图可以知道 ，则，可得出乘积应满足的关系。
（1）将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀加速直线运动
计算得出
E1=0.3N/C
（2）由E1=3E2，可得
qE2=mg
所以带电的粒子在第一象限将做匀速圆周运动
设粒子运动圆轨道半径为R，周期为T，则有
可得
使粒子从C点运动到D点，则有
计算得出
（n=1，2，3…）
解得
s （n=1，2，3…）
（3）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形：
由图可以知道
则
8．如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求：
（1）A点的坐标；
（2）粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小；
（3）交变磁场的磁感应强度和周期的大小。
【答案】（1）解：沿电场线反方向初速度为，粒子受合力沿电场线方向向下，粒子做匀减速直线运动，则有
，
由运动状态必有对应的合力定律有
，
代入已知
对A点
A点的坐标为
（2）解：粒子垂直进入的磁场中水平分运动等于初始v的水平分量，
则有由运动状态必有对应的合力定律
，
由几何关系得
，
代入
（3）解：粒子进脉冲交变磁场中，初始向里的磁场中，左手定则知洛伦兹力向上，圆心在上，0.5t0后变换磁场方向向外，洛仑磁力向右下，两个周期变四次磁场，产生四段圆弧，由运动状态必有对应的合力定律
①
整理得四个量，磁场强度
线速度
角速度
周期
因为PA过程中水平方向上始终没有受到合外力所以其中的圆周运动线速度等于已知v的水平分量，即
，
设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为，四次后刚好从C出，连接AC将其平均分成四份如上图AC线上画出四段圆弧，圆心随磁交变而上下变换，由几何关系得，x轴方向
y轴方向
两式相除得，，等式两边同时平方得
，整理得，因式分解得
解得，θ代入，
解得代入①式得，
法一：脉冲交变磁场每周期即t0的时间，粒子在磁场中经历2θ的圆心角，
，
法二：脉冲交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为
，解得
，
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；洛伦兹力的计算；带电粒子在匀强磁场中的运动；带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）类平抛运动分解是关键，注意垂直进入磁场的速度方向条件；磁场中圆周运动的临界几何关系是运用矢量的方向为建立等式的突破口，需结合三角形边角垂直关系分析；脉冲磁场下粒子运动需分段等份对称考虑偏转角度与位移，位移和等于整体两个方向的总位移，周期性条件决定
t0可从、两个角度入手计算；
（2）易错点：忽略垂直进入磁场的速度方向；临界几何关系分析错误；交变磁场周期匹配计算不准确。
（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有，
根据牛顿第二定律则有
联立解得
对A点
解得
A点的坐标为
（2）粒子进入的磁场中，则有
由牛顿第二定律
由几何关系得
联立解得
（3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律
设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向
平行y轴方向
联立解得，
交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为
解得
9．现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹。如图甲所示，有Ⅰ和Ⅱ两个棱长皆为L的正方体电磁区域abcd-mnpq以及abcd-efgh，以棱ab中点O为坐标原点建立三维坐标系Oxyz。Ⅰ区域的正方体内充满如图乙所示周期为的交变电场（包含边界），沿y轴正方向为电场正方向；Ⅱ区域的正方体内充满如图乙所示的周期为的交变磁场（包含边界），沿y轴正方向为磁感应强度的正方向。在棱mn中点处有一粒子源，从时刻起沿x轴正方向不断地均匀发射速率为（未知）、带正电的粒子，且，粒子的质量均为m，电荷量均为。粒子恰好全部进入Ⅱ区域，且在时刻发射的粒子恰好在时刻返回Ⅰ区域。不计粒子的重力和电磁场变化造成的影响。求：
（1）Ⅰ区域中的电场强度的大小；
（2）Ⅱ区域中的磁感应强度的大小以及在时刻射入的粒子在返回Ⅰ区域时的位置坐标；
（3）所有返回Ⅰ区域的粒子中，经过abcd面的最高点的粒子射入电场的时刻；
（4）从abcd面射出磁场的粒子数与从底面abfe射出磁场的粒子数的比值。
【答案】（1）因粒子受到的电场力方向与y轴平行，可知粒子在x方向上做匀速直线运动，则粒子通过电场的时间为，从时刻开始，粒子在电场中运动时，每时间内的加速度大小为
若在y方向上偏转量最大的粒子能从a点或b点进入II区域，那么最终所有粒子恰好全部能进入II区域，可知在时刻进入电场的粒子在y方向上偏转量最大，其偏转量为，根据运动学规律有
联立解得
（2）在时刻射入的粒子通过I区域时，在y方向上先加速、再减速，反向加速、再减速，则可知第一次加速和减速的时间均为
因为粒子通过电场的时间与电场周期相同，则第二次加速和减速的时间均为
根据运动学规律可得该粒子在I区域的偏转量为
由上述分析可知，该粒子射出电场时y方向无速度分量，速度平行于x轴，大小为，因磁场方向平行于y轴，可得粒子进入II区域后，会在平面做匀速圆周运动，设粒子在磁场中运动的周期为，半径为，则有
解得
粒子在时刻进入II区域，在时间内，运动半周返回I区域，则有
联立解得
粒子在II区域运动了半个周期，则z轴方向上偏移了
综上所述，粒子在返回I区域时的位置坐标为
（3）由第（2）问得，可知如果粒子在时间内不离开II区域，那该粒子将会运动个圆周，如图甲所示。
当以为圆心的圆与z轴相切时（相切于点），高度最高，如图乙所示，由几何关系可得，则该粒子在II区域中第一次偏转的时间为
该粒子射入磁场的时刻为
因粒子在电场中通过的时间为，则可得该粒子射入电场的时刻为
（4）当粒子进入II区域时，磁感应强度的方向不确定，先分析磁感应强度沿y轴正方向的情况，由第（3）问可知，当粒子在II区域中第一次偏转的时间大于时，粒子会从abcd面射出磁场，即会从abcd面射出磁场的粒子的发射时长为
当以为圆心的圆与x轴相切时（相切于点），为另一种临界情况，如图丙所示，由几何关系可得，则该粒子在II区域中第一次偏转的时间为
当粒子在II区域中第一次偏转的时间小于时，粒子会从底面abfe射出磁场，这部分粒子对应的发射时长为
再分析磁感应强度沿y轴负方向的情况，可知刚进入II区域的粒子受到的洛伦兹力沿z轴负方向，即粒子刚进入磁场便会从abfe射出，这部分粒子对应的发射时长为
从abfe面射出磁场的粒子的总发射时长为
因粒子源均匀发射，则从abcd面射出磁场的粒子数与从底面abfe射出磁场的粒子数的比值为
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）根据运动学公式求Ⅰ区域中的电场强度的大小E0；
（2）根据洛伦兹力提供向心力和运动学公式求Ⅱ区域中的磁感应强度的大小B0以及在
时刻射入的粒子在返回Ⅰ区域时的位置坐标；
（3）根据周期公式求所有返回Ⅰ区域的粒子中，经过abcd面的最高点的粒子射入电场的时刻；
（4）画出粒子的运动轨迹，根据周期和时间的关系求从abcd面射出磁场的粒子数与从底面abfe射出磁场的粒子数的比值。
10．如图所示，在真空中以竖直向上为y轴正方向建立三维直角坐标系Oxyz，整个空间内存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带电微粒在点被静止释放，恰能通过点。不计空气阻力，已知重力加速度为g，求
（1）M、N两点间的电势差是多少；
（2）若该微粒从M点以初速度沿z轴正方向出发，则经时间该微粒的位置坐标是多少；
（3）若电场方向变为竖直向上，并在空间添加一沿z轴正方向的匀强磁场，该微粒从M点以初速度沿x轴正方向出发，仍能运动到N点，则粒子从M点出发经多长时间能经过N点？
【答案】（1）带电微粒从M到N点做匀速直线运动 由M、N两点的位置关系得
匀强电场中
联立解得

（2）经时间t，沿x轴方向，有
沿y轴方向
沿z轴方向
则坐标为

（3）电场力和重力平衡，故微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径
周期
所以能经过N点的时间为

【知识点】带电粒子在电场中的运动综合；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）已知带电微粒做匀速直线运动，利用平衡方程结合电势差与场强的关系可以求出电势差的大小；
（2）当微粒以初速度沿z轴出发，利用分运动的位移公式可以求出运动的坐标；
（3）当电场方向向上时，利用微粒做匀速圆周运动的周期可以求出经过N点的时间。
（1）带电微粒从M到N点做匀速直线运动 由M、N两点的位置关系得
匀强电场中
联立解得
（2）经时间t，沿x轴方向，有
沿y轴方向
沿z轴方向
则坐标为
（3）电场力和重力平衡，故微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径
周期
所以能经过N点的时间为
11．为测量带电粒子在电磁场中的运动情况，在某实验装置中建立如图所示三维坐标系，并沿y轴负方向施加磁感应强度为B的匀强磁场。此装置中还可以添加任意方向、大小可调的匀强电场。一质量为m、电量为的粒子从坐标原点O以初速度v沿x轴正方向射入该装置，不计粒子重力的影响。
（1）若该粒子恰好能做匀速直线运动，求所加电场强度E的大小和方向；
（2）若不加电场，保持磁场方向不变，改变磁感应强度的大小，使该粒子恰好能够经过坐标为的点，求改变后的磁感应强度的大小：
（3）若保持磁感应强度B的大小和方向不变，将电场强度大小调整为，方向平行于yOz平面，使该粒子能够在xOy平面内做匀变速曲线运动，并经过坐标为的点，求调整后电场强度的大小和方向。
【答案】（1）解：由左手定则可知，带电粒子所受洛伦兹力沿z轴负方向，则有平衡条件可知，电场力沿z轴正方向，即电场强度沿z轴正方向，且有
解得
方向沿z轴正方向
（2）解：粒子运动的轨迹如图所示
由几何关系，有
解得粒子运动的半径为
r = 2a
由牛顿第二定律，有
解得
（3）解：由题意，电场力的一个分力沿z轴正方向平衡洛伦兹力，另一个分力沿y轴正方向提供类平抛运动加速度，如图所示
则由平衡条件，有
qE1= qvB
曲平抛运动规律，有
其中
解得
则合场强为
【知识点】带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）由粒子恰好做匀速直线运动，可得到洛伦兹力与电场力的关系式，结合粒子电性，可计算电场强度大小和方向；
（2）由粒子在磁场作用下做匀速圆周运动的特点，可结合几何关系计算粒子运动半径；由洛伦兹力提供向心力，可计算磁感应强度大小；
（3）由粒子恰好在xOy平面内做匀变速曲线，可知其在z轴方向上受合力为零，从而判断电场力在z轴方向的分力与洛伦兹力的关系；粒子在电场力沿y轴方向分力的作用下，在xOy平面内做类平抛运动，由粒子经过的已知坐标，列运动学关系式，即可得到粒子在y轴方向上受到的电场力分力；结合两个反向的电场力分力即可得到电场强度的大小和方向。
（1）由左手定则可知，带电粒子所受洛伦兹力沿z轴负方向，则有平衡条件可知，电场力沿z轴正方向，即电场强度沿z轴正方向，且有
解得
方向沿z轴正方向；
（2）粒子运动的轨迹如图所示
由几何关系，有
解得粒子运动的半径为
r = 2a
由牛顿第二定律，有
解得
（3）由题意，电场力的一个分力沿z轴正方向平衡洛伦兹力，另一个分力沿y轴正方向提供类平抛运动加速度，如图所示
则由平衡条件，有
qE1= qvB
曲平抛运动规律，有
其中
解得
则合场强为
12．如图所示，三维坐标系中，在的空间同时存在沿轴正方向的匀强电场和沿轴负方向的匀强磁场，在的空间存在轴正方向的匀强磁场。带负电的离子从以速度在平面内沿轴正方向发射，恰好做匀速直线运动。两处磁场磁感应强度大小均为，不计离子重力，答案可含。
（1）求匀强电场的电场强度大小；
（2）撤去空间内的匀强磁场，离子仍从点以相同速度发射，且经进入的磁场空间，求离子在点的速度；
（3）离子在的磁场空间中速度第一次垂直轴时，求离子的坐标。
【答案】（1）解：离子做匀速直线运动，有
解得
（2）解：撤去磁场后，离子做类平抛运动，（y方向上）电场力方向上，有
初速度方向上，有
电场力方向上的速度分量
点时的速度大小为
解得
由
得速度与轴正方向夹角
（3）解：当离子进入的磁场后，在方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动，当圆周运动转过的圆心角为时，速度第一次垂直轴，在电场中
在磁场中，平面
解得
又
转过圆心角的时间为
可得此时离子坐标。
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】 （1）根据匀速直线运动特点求匀强电场的电场强度大小E；
（2）离子做类平抛运动，（y方向上）电场力方向上，根据类平抛运动的规律求离子在Q点的速度；
（3）在平面做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力和周期公式求离子的坐标。
13．如图所示，在三维坐标系Oxyz中，区域存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为，区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域存在沿z轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。某时刻一质量为m、电荷量为＋q的粒子从z轴上A点（0，0，－3L）由静止释放，、、，不计粒子的重力。求；
（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径及时间；
（2）粒子离开磁场时距离O点的距离s；
（3）粒子离开电场时的位置坐标。
【答案】（1）解：设粒子经加速电场后进入磁场时速度v，根据动能定理可得
粒子磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
联立解得
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，依据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
运动轨迹对应的圆心角，由几何关系可知
可知
联立解得运动时间
（2）解：根据粒子的运动轨迹，离开磁场时距离z轴距离为s，结合几何知识可得
联立解得
（3）解：设在xOy平面上方中粒子沿z轴正方向的速度为，沿x轴正方向加速度大小为，位移大小为x，运动时间为，由牛顿第二定律可得
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动的合成与分解的规律可得，
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式可得
联立解得
设粒子沿y轴方向偏离z轴的距离为y，其中在xOy平面上方沿y方向偏离的距离，由运动学公式可得
由题意可得
联立解得
射出点坐标为
【知识点】牛顿第二定律；带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】(1) 粒子先在区域做匀加速直线运动，由动能定理求进入磁场的速度，再由洛伦兹力提供向心力求轨道半径，结合圆周运动周期公式求运动时间，关键是准确计算加速后的速度和磁场中的周期。
(2) 粒子在磁场中做圆周运动的轨迹为四分之一圆弧（结合磁场区域的空间范围），利用几何关系计算离开磁场时距O点的距离，需明确轨迹的圆心和半径的空间分布。
(3) 粒子进入区域后做类平抛运动，沿x轴方向匀加速、y轴方向匀速、z轴方向匀速，结合运动学公式计算各方向的位移，进而确定离开电场时的位置坐标。
（1）设粒子经加速电场后进入磁场时速度v，根据动能定理可得
粒子磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
联立解得
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，依据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
运动轨迹对应的圆心角，由几何关系可知
可知
联立解得运动时间
（2）根据粒子的运动轨迹，离开磁场时距离z轴距离为s，结合几何知识可得
联立解得
（3）设在xOy平面上方中粒子沿z轴正方向的速度为，沿x轴正方向加速度大小为，位移大小为x，运动时间为，由牛顿第二定律可得
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动的合成与分解的规律可得，
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式可得
联立解得
设粒子沿y轴方向偏离z轴的距离为y，其中在xOy平面上方沿y方向偏离的距离，由运动学公式可得
由题意可得
联立解得
射出点坐标为
14．如图所示，在三维坐标系中，的空间内存在沿轴负方向的匀强电场，的空间内存在沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。有一质量为带电荷量为的粒子从坐标为的点以速率沿轴负方向射出，粒子恰好从坐标原点进入磁场区域。一足够大的光屏平行于平面放置在磁场区域中，坐标原点到光屏的距离为。不计粒子的重力，求：
（1）电场强度的大小及粒子到达坐标原点时的速度大小；
（2）粒子从点运动到光屏的时间；
（3）粒子打在光屏上的位置坐标。
【答案】（1）解：粒子在电场中做类平抛运动，则有
，，，，
联立解得
， ，
（2）解：进入磁场区域，粒子沿轴负方向的分运动为匀速直线运动，则有
粒子从点到光屏的运动时间为
联立上述结论解得

（3）解：进入磁场区域，粒子在平行于平面内的分运动为匀速圆周运动，从左侧看粒子的运动轨迹如图所示
设粒子打在光屏上的点，由洛伦兹力提供向心力，得
解得
粒子做匀速圆周运动的周期为
则
，
， ，
所以粒子打在光屏上的位置坐标为
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在匀强磁场中的运动
【解析】【分析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向：，竖直方向：，，，联立解得电场强度的大小及粒子到达坐标原点时的速度大小。
（2）进入磁场区域，粒子沿轴负方向的分运动为匀速直线运动，，粒子从点到光屏的运动时间为，联立可求解粒子从点运动到光屏的时间。
（3）进入磁场区域，粒子在平行于平面内的分运动为匀速圆周运动，从左侧看粒子的运动轨迹图
洛伦兹力提供向心力：，粒子做匀速圆周运动的周期为，
，，，可得出粒子打在光屏上的位置坐标。
（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
联立解得
（2）进入磁场区域，粒子沿轴负方向的分运动为匀速直线运动，则有
粒子从点到光屏的运动时间为
联立上述结论解得
（3）进入磁场区域，粒子在平行于平面内的分运动为匀速圆周运动，从左侧看粒子的运动轨迹如图所示
设粒子打在光屏上的点，由洛伦兹力提供向心力，得
解得
粒子做匀速圆周运动的周期为
则
所以粒子打在光屏上的位置坐标为
15．如图甲所示，三维空间中，的空间存在沿轴负方向的匀强电场，场强大小为，（未知）处存在平行于的无限大界面；界面与间存在沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为；界面左侧空间存在周期性变化的磁场，变化规律如图乙所示，沿轴负方向为磁场的正方向，磁感应强度大小也为。质量为，电荷量为的带电粒子，从某位置沿轴负方向射入，经过点时的速度大小为，方向与轴负半轴的夹角为；当粒子到达界面时，速度方向平行于平面，该时刻为周期性变化磁场的计时起点；在（未知）时粒子的速度方向沿轴负方向，不计粒子重力。求：
（1）粒子在间运动的轨迹方程；
（2）的可能值；
（3）的值。
【答案】（1）粒子进入电场，水平方向做匀速运动，有，
竖直方向做初速度为零的匀加速运动，有，，
联立可得；
（2）粒子进入磁场，在yoz平面内左匀速圆周运动，沿x负方向做匀速运动，
洛伦兹力提供向心力，有，又
解得
粒子从O点运动到界面需要的时间为t，则
所以t可能为或
则或（n=0，1，2……）；
（3）当距离为d1时，如图甲所示
从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为120°，则
所以
当距离为d2时，如图乙所示，从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为60°，则
所以。

【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】本题考查带电粒子在电场和磁场组成的混合场中的运动，要求学生能正确分析带电粒子的运动过程和运动性质，熟练应用对应的规律解题。
(1)粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律结合牛顿第二定律求解粒子在间运动的轨迹方程；
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，结合圆周运动知识和数学知识结合粒子运动的周期性，求出的可能值；
(3)画出粒子的运动轨迹，然后由数学知识求出的值。
本题考查带电粒子在电场中类平抛运动，在磁场中匀速圆周运动，关键在于找到粒子在磁场中运动的轨迹和边界条件，结合数学知识分析求解。本题对作图要求很高，过程复杂，计算量大。
（1）根据运动的分解可得，水平方向有，
竖直方向有，，
联立可得
（2）根据洛伦兹力提供向心力有，
所以
粒子从O点运动到界面需要的时间为t，则
所以t可能为或
则或（n=0，1，2……）
（3）当距离为d1时，如图甲所示
从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为120°，则
所以
当距离为d2时，如图乙所示，从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为60°，则
所以
16． 在如图所示的三维空间中，的区域存在沿y轴正方向的匀强电场，在区域内存在半圆柱体空间区域，半圆柱沿y轴方向足够高，该区域内存在沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小，平面在yOz平面内，D点（0，0，0）为半圆柱体底面圆心，半圆柱体的半径为。一质量为m、电荷量为的带电粒子，从A点（-L，0，0）以初速度大小，方向沿着x轴正方向射入匀强电场，经过C点（0，L，0）后进入半圆柱体磁场区域，不计粒子的重力。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）带电粒子在半圆柱体内运动的时间；
（3）带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。
【答案】（1）解：粒子在电场中做类平抛运动，有
，
根据牛顿第二定律
联立解得
（2）解：在磁场中，粒子的运动可以分解为垂直于磁场方向的匀速圆周运动和沿正方向的匀速直线运动，垂直磁场方向，根据洛伦兹力提供向心力
解得
如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中运动的圆心角为，粒子在磁场中运动的周期
则带电粒子在半圆柱体内运动的时间
联立解得
（3）解：在磁场中，沿着轴正方向的速度大小
轴方向
轴方向
轴方向
带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标为（，，）。
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在有界磁场中的运动
【解析】【分析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据题意确定粒子在沿电场线方向和速度方向的位移，再根据平抛运动规律进行解答；
（2）粒子在磁场中受到洛伦兹力作用，根据运动的分解可知，粒子在沿Y轴方向做匀速直线运动，在垂直磁场及x轴方向做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力结合牛顿第二定律确定粒子在磁场中的运动半径，再根据几何关系确定粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角，再根据带电粒子在运动规律进行解答；
（3）粒子沿y轴方向做匀速直线运动，根据运动学规律结合几何关系确定粒子在y轴方向的坐标。再根据几何关系确定粒子在x轴和z轴方向的坐标，继而确定粒子的位置坐标。
1 / 12026年高考物理二轮复习素养培优3带电粒子在交变场与三维空间运动对应练习
一、选择题
1． 电子感应加速器的基本原理如图甲所示，在电磁铁的两极间有一环形向外逐渐减弱、并对称分布的交变磁场，这个交变磁场又在真空室内激发感生电场，其电场线是一系列绕磁感线的同心圆。这时若用电子枪把电子向右沿切线方向射入环形真空室，电子将受到环形真空室中的感生电场的作用而被加速，同时，电子还受到洛伦兹力的作用，使电子（电荷量绝对值为e）在半径为R的圆形轨道上运动。电子做圆周运动的方向如图乙所示，电子轨道所围面积内平均磁感应强度随时间变化如图丙所示（垂直纸面向内为的正方向）。下列说法正确的是（　　）
A．加速器利用磁场变化产生的静电场对电子进行加速
B．为使电子加速，电场的方向应该沿逆时针方向
C．电子在加速器中可正常加速的时间是
D．电子在圆形轨道中正常加速的时间内，加速一周，感生电通对电子所做的功为
2．如图甲所示，在三维坐标系Oxyz（y轴正方向竖直向上）中，y>0的空间内存在电场强度大小为E1，方向沿x轴正方向的匀强电场；y<0的空间内存在平行于y轴的匀强电场和匀强磁场，电场强度E2和磁感应强度B随时间变化的规律分别如图乙和丙所示，甲图中所示方向为正方向。一质量为m、电荷量为+q的小球，从坐标为的点由静止释放，经过时间T，在t=0时刻恰好过坐标原点O进入y<0的空间内。已知，重力加速度大小为g，不计一切阻力。则在t=4.5T时刻，小球的位置坐标为（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
3．如图所示，在三维坐标系Oxyz中，的空间同时存在沿z轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为，在的空间存在沿y轴正方向的匀强磁场II，磁感应强度大小为。带正电的粒子从M（a，0，）点以速度沿y轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间。不计粒子重力，正确的说法是（　　）
A．电场强度大小为
B．带电粒子的比荷为
C．第二次经过xOy平面的位置坐标为（a，0，）
D．粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为
4．如图所示，三维坐标系O-xyz的z轴方向竖直向上，所在空间存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的小球从z轴上的A点以速度沿x轴正方向水平抛出，A点坐标为（0，0，L），重力加速度为g，场强。则下列说法中正确的是（　　）
A．小球运动的轨迹为抛物线
B．小球在平面内的分运动为直线运动
C．小球到达平面时的速度大小为
D．小球的运动轨迹与平面交点的坐标为（，L，0）
三、计算题
5．如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线和y轴之间有垂直纸面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向，磁感应强度的大小和方向变化规律如图乙所示；在直线（图中虚线）右侧有沿x轴负方向的匀强电场。t=0时，一带正电的粒子从y轴上的P点沿与y轴正方形成45°角射入匀强交变磁场，在t=3t0时垂直穿过x轴，一段时间后粒子恰好沿原路径回到P点。粒子可视为质点、重力不计，忽略由于磁场变化引起的电磁效应，求：
（1）粒子的比荷；
（2）粒子的初速度大小v0；
（3）匀强电场的场强大小E。
6．如图甲，MNQP构成一矩形边界，其内存在垂直于纸面的交变磁场，其变化规律如图乙所示，该交变磁场周期为、幅值为（代表磁场垂直于纸面向外），磁场边界MN和PQ长度均为2L，MN到PQ的距离为2.4L，在MN和PQ上放置涂有特殊材料的挡板，一旦粒子碰到挡板将被吸收。在MNQP左侧和右侧分布有匀强电场和（场强大小均未知，方向平行于MN，如图所示）。在时刻，有一带电粒子从左侧电场某位置由静止释放，并在时刻恰好从下板左端边缘位置水平向右进入磁场区域，该粒子在时刻第一次离开磁场区域，水平向右进入右侧电场，并在时刻从右侧电场再次进入磁场区域。已知粒子质量为m，电荷量为q，已知，忽略粒子所受的重力。
（1）判断带电粒子的电性，求粒子在磁场中做圆周运动的周期（用、m、q、表示）；
（2）求该粒子打在PQ挡板上的位置与Q点的距离；
（3）求匀强电场和的大小（均用、m、q、、L表示）。
7．在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy， x轴沿水平方向，如图甲所示。第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强为E1。坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强，匀强磁场方向垂直纸面。现一个比荷为=102C/kg的带正电微粒（可视为质点）以v0=4m/s的速度从x轴上A点竖直向上射入第二象限，并以v1=12m/s的速度从y轴正方向上的C点沿水平方向进入第一象限。取微粒刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），重力加速度g=10m/s2。则：
（1）求微粒在x方向的加速度大小和电场强度E1的大小；
（2）在x轴正方向上有一点D，OD=OC，若带电微粒在通过C点后的运动过程中不再越过y轴，要使其恰能沿x轴正方向通过D点，求磁感应强度B0及磁场的变化周期T0各为多少？
（3）要使带电微粒通过C点后的运动过程中不再越过y轴，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足的关系？
8．如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求：
（1）A点的坐标；
（2）粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小；
（3）交变磁场的磁感应强度和周期的大小。
9．现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹。如图甲所示，有Ⅰ和Ⅱ两个棱长皆为L的正方体电磁区域abcd-mnpq以及abcd-efgh，以棱ab中点O为坐标原点建立三维坐标系Oxyz。Ⅰ区域的正方体内充满如图乙所示周期为的交变电场（包含边界），沿y轴正方向为电场正方向；Ⅱ区域的正方体内充满如图乙所示的周期为的交变磁场（包含边界），沿y轴正方向为磁感应强度的正方向。在棱mn中点处有一粒子源，从时刻起沿x轴正方向不断地均匀发射速率为（未知）、带正电的粒子，且，粒子的质量均为m，电荷量均为。粒子恰好全部进入Ⅱ区域，且在时刻发射的粒子恰好在时刻返回Ⅰ区域。不计粒子的重力和电磁场变化造成的影响。求：
（1）Ⅰ区域中的电场强度的大小；
（2）Ⅱ区域中的磁感应强度的大小以及在时刻射入的粒子在返回Ⅰ区域时的位置坐标；
（3）所有返回Ⅰ区域的粒子中，经过abcd面的最高点的粒子射入电场的时刻；
（4）从abcd面射出磁场的粒子数与从底面abfe射出磁场的粒子数的比值。
10．如图所示，在真空中以竖直向上为y轴正方向建立三维直角坐标系Oxyz，整个空间内存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带电微粒在点被静止释放，恰能通过点。不计空气阻力，已知重力加速度为g，求
（1）M、N两点间的电势差是多少；
（2）若该微粒从M点以初速度沿z轴正方向出发，则经时间该微粒的位置坐标是多少；
（3）若电场方向变为竖直向上，并在空间添加一沿z轴正方向的匀强磁场，该微粒从M点以初速度沿x轴正方向出发，仍能运动到N点，则粒子从M点出发经多长时间能经过N点？
11．为测量带电粒子在电磁场中的运动情况，在某实验装置中建立如图所示三维坐标系，并沿y轴负方向施加磁感应强度为B的匀强磁场。此装置中还可以添加任意方向、大小可调的匀强电场。一质量为m、电量为的粒子从坐标原点O以初速度v沿x轴正方向射入该装置，不计粒子重力的影响。
（1）若该粒子恰好能做匀速直线运动，求所加电场强度E的大小和方向；
（2）若不加电场，保持磁场方向不变，改变磁感应强度的大小，使该粒子恰好能够经过坐标为的点，求改变后的磁感应强度的大小：
（3）若保持磁感应强度B的大小和方向不变，将电场强度大小调整为，方向平行于yOz平面，使该粒子能够在xOy平面内做匀变速曲线运动，并经过坐标为的点，求调整后电场强度的大小和方向。
12．如图所示，三维坐标系中，在的空间同时存在沿轴正方向的匀强电场和沿轴负方向的匀强磁场，在的空间存在轴正方向的匀强磁场。带负电的离子从以速度在平面内沿轴正方向发射，恰好做匀速直线运动。两处磁场磁感应强度大小均为，不计离子重力，答案可含。
（1）求匀强电场的电场强度大小；
（2）撤去空间内的匀强磁场，离子仍从点以相同速度发射，且经进入的磁场空间，求离子在点的速度；
（3）离子在的磁场空间中速度第一次垂直轴时，求离子的坐标。
13．如图所示，在三维坐标系Oxyz中，区域存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为，区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域存在沿z轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。某时刻一质量为m、电荷量为＋q的粒子从z轴上A点（0，0，－3L）由静止释放，、、，不计粒子的重力。求；
（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径及时间；
（2）粒子离开磁场时距离O点的距离s；
（3）粒子离开电场时的位置坐标。
14．如图所示，在三维坐标系中，的空间内存在沿轴负方向的匀强电场，的空间内存在沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。有一质量为带电荷量为的粒子从坐标为的点以速率沿轴负方向射出，粒子恰好从坐标原点进入磁场区域。一足够大的光屏平行于平面放置在磁场区域中，坐标原点到光屏的距离为。不计粒子的重力，求：
（1）电场强度的大小及粒子到达坐标原点时的速度大小；
（2）粒子从点运动到光屏的时间；
（3）粒子打在光屏上的位置坐标。
15．如图甲所示，三维空间中，的空间存在沿轴负方向的匀强电场，场强大小为，（未知）处存在平行于的无限大界面；界面与间存在沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为；界面左侧空间存在周期性变化的磁场，变化规律如图乙所示，沿轴负方向为磁场的正方向，磁感应强度大小也为。质量为，电荷量为的带电粒子，从某位置沿轴负方向射入，经过点时的速度大小为，方向与轴负半轴的夹角为；当粒子到达界面时，速度方向平行于平面，该时刻为周期性变化磁场的计时起点；在（未知）时粒子的速度方向沿轴负方向，不计粒子重力。求：
（1）粒子在间运动的轨迹方程；
（2）的可能值；
（3）的值。
16． 在如图所示的三维空间中，的区域存在沿y轴正方向的匀强电场，在区域内存在半圆柱体空间区域，半圆柱沿y轴方向足够高，该区域内存在沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小，平面在yOz平面内，D点（0，0，0）为半圆柱体底面圆心，半圆柱体的半径为。一质量为m、电荷量为的带电粒子，从A点（-L，0，0）以初速度大小，方向沿着x轴正方向射入匀强电场，经过C点（0，L，0）后进入半圆柱体磁场区域，不计粒子的重力。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）带电粒子在半圆柱体内运动的时间；
（3）带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】法拉第电磁感应定律；电磁感应现象中的感生电场
【解析】【解答】A.加速器利用磁场变化产生的感生电场对电子进行加速，A不符合题意；
B.电子带负电，受到的电场力方向与电场强度方向相反，所以为使电子加速，电场的方向应该沿顺时针方向，B不符合题意；
C.在时间内，磁场向外增强，根据楞次定律可知感应电场沿顺时针方向，此时电子受的洛伦兹力方向指向圆心，则电子能被正常加速，C符合题意；
D.感生电场场强
加速过程电场力总与速度方向一致，电子运动一周电场力做的功
D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】加速器是利用变化的磁场产生感生电场使电子加速，带负电的电子受力的方向（运动方向）应与电场强度方向相反，且电子受到的洛伦兹力指向圆心，由法拉第成感应定律求出感生电场的电场强度，再求解感生电场对电子加速一周所做的功。
2．【答案】D
【知识点】带电粒子在交变电场中的运动
【解析】【解答】小球在重力和电场力的作用下，从位置做初速度为零的匀加速直线运动，恰好过原点，则，
得，
到达O点的水平速度与竖直速度均为
由图乙、丙可知，在内，小球竖直方向有
可得，方向向上；小球竖直方向以g做匀减速直线运动，在时，竖直速度为
在内，小球在竖直方向以g做初速度为0的匀加速直线运动，时，速度又为，所以竖直方向以为一个周期，速度循环变化，则有，速度又为，则时，小球的y轴坐标为
得
小球在平面以做匀速圆周运动。在内，小球运动周期为
在内，小球运动周期为
所以在平面内做周期运动，则在时刻，小球恰好又回到和。
综上在时刻，小球的位置坐标为。
故答案为：D。
【分析】先分析y>0区域的匀加速直线运动，求出E1 、T和到达O点的速度；再分阶段分析y<0区域的运动：0 T为匀变速直线运动，T 2T为匀速圆周运动，后续重复此规律，最终计算t=4.5T时的位置坐标。
3．【答案】A,D
【知识点】带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【解答】本题考查了带电粒子在匀强磁场中的运动，根据题意分析清楚粒子运动过程，应用牛顿第二定律与几何知识即可解题。A．电场没有撤去前粒子能做直线运动，则有
解得
故A正确；
B．撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间，可知，粒子做半径为的匀速圆周运动，则有
解得带电粒子的比荷为
故B错误；
C．结合上述分析可知，第一次经过xOy平面的位置坐标为（a，，0），进入空间后，磁场变为，则粒子做圆周运动的半径为，且向轴负方向偏转，则第二次经过xOy平面的位置坐标为（，，0），故C错误；
D．结合上述分析可知，粒子再次进入的空间做圆周运动，沿y轴正方向移动2a后第三次经过平面，此位置坐标为（，，0），则粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为
故D正确。
故选AD。
【分析】粒子恰好做直线运动，应用平衡条件求出电场强度大小；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后分析答题。
4．【答案】A,C
【知识点】匀速直线运动；力的合成与分解的运用；平抛运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【解答】A．小球受到重力（沿方向 ）和电场力（，沿方向 ），这两个力的合力大小为，方向与初速度（沿方向 ）垂直，由于初速度与合力垂直，小球做匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；
B．由于重力与电场力大小相等，所以小球在这两个力的合力所在平面运动，且与水平面成45°，而在xOz平面内的分运动为平抛运动，故B错误；
C．小球在重力与电场力共同作用产生的加速度为，则小球到达平面的时间，增加的速度为
小球到达平面时的速度大小为
故C正确；
D．小球在Z轴方向做自由落体运动，只受重力，且初速度为零，所以经过时间
则小球在x轴方向做匀速直线运动，则发生的位移
而在y轴方向小球只受电场力，初速度为零，因此发生的位移
所以小球的轨迹与xOy平面交点的坐标为，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】A：依据初速度与合力的方向关系，确定小球做匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
B：将小球运动分解到不同平面，判断平面内分运动的类型。
C：把小球运动分解到、、轴方向，分别求出分速度，再合成得到合速度。
D：利用分运动的位移公式，结合运动时间，计算出轨迹与平面交点的坐标。
5．【答案】（1）解：粒子要沿原路返回到P点，则粒子在3t0时垂直穿过x轴时粒子必在磁场中，根据几何关系，此时粒子的速度方向沿y轴正方向，轨迹如图所示。
设在0~t0内粒子的速度偏转角为θ，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据磁场变化的规律，则有，
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有
，
可得粒子在磁场中的运动周期
联立解得解得
（2）解：设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有
粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有
联立以上各式解得
（3）解：根据几何关系，则有
可知，粒子在t =5t0时沿x轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P点，则粒子从电场回到磁场时，磁场方向应垂直纸面向里，即粒子最早应在t =9t0时返回磁场。设粒子在电场中运动的时间为t，考虑到周期性，则有
对粒子在电场中的运动，由动量定理，则有
联立以上各式，解得
【知识点】带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）根据题意画轨迹如图。
根据磁场变化的规律，则有，，粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有，，可得粒子在磁场中的运动周期，联立解得解得。
（2）由几何关系有，粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有，联立以上各式解得粒子的初速度大小。
（3）根据几何关系，则有，粒子在t =5t0时沿x轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P点，则粒子从电场回到磁场时，磁场方向应垂直纸面向里，即粒子最早应在t =9t0时返回磁场。粒子在电场中运动的时间为t，考虑到周期性，则有，对粒子在电场中的运动，由动量定理，则有，联立以上各式可计算匀强电场的场强大小E。
（1）粒子要沿原路返回到P点，则粒子在3t0时垂直穿过x轴时粒子必在磁场中，根据几何关系，此时粒子的速度方向沿y轴正方向，轨迹如图所示。
设在0~t0内粒子的速度偏转角为θ，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据磁场变化的规律，则有，
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有，
可得粒子在磁场中的运动周期
联立解得解得
（2）设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有
粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有
联立以上各式解得
（3）根据几何关系，则有
可知，粒子在t =5t0时沿x轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P点，则粒子从电场回到磁场时，磁场方向应垂直纸面向里，即粒子最早应在t =9t0时返回磁场。设粒子在电场中运动的时间为t，考虑到周期性，则有
对粒子在电场中的运动，由动量定理，则有
联立以上各式，解得
6．【答案】（1）解：带电粒子从左侧电场某位置由静止释放，并在时刻恰好从下板左端边缘位置水平向右进入磁场区域，可知粒子在左侧电场中受到的电场力向右，该带电粒子带正电，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
解得
由
解得
（2）解：由于磁场变化周期为
可得
说明在磁场变化的半个周期内粒子运动圆周，由于该粒子在时刻第一次离开磁场区域，则说明运动两个圆周后第一次离开磁场区域，由几何关系可知，粒子运动的轨迹半径为
进入右侧电场后时刻从右侧电场再次水平进入磁场区域，由于电场力做功为零，再进入磁场的速度大小与此前在磁场中运动速度相等，故粒子运动轨道半径保持不变，根据左手定则，轨迹向上偏转，如图所示，根据几何关系，可知当粒子从右侧电场进入磁场时距离PQ为
因此，得打在PQ上的位置距离Q点为

（3）解：根据洛伦兹力提供向心力
又
可得该粒子经加速进入磁场时的速度大小为
由于在时刻恰好该粒子加速完毕进入磁场区域，由动量定理有
解得
由于该粒子在时刻第一次离磁场区域，水平向右进入右侧电场，并在时刻从右侧电场再次进入磁场区域，故其在右侧电场中运动的时间为
以向右为正方向，根据动量定理有
解得
【知识点】带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）根据题意判断带电粒子在左侧电场中受电场力情况，即可知道其电性；根据洛伦兹力提供向心力，列式解得粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径和周期；
（2）已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道周期和磁场的变化周期，即可判断粒子运动情况，画出运动的过程图，根据几何关系即可求出粒子打在PQ挡板上的位置与Q点的距离；
（3）分析粒子的运动特点，根据洛伦兹力提供向心力以及动量定理，即可求出匀强电场 和 的大小。
（1）带电粒子从左侧电场某位置由静止释放，并在时刻恰好从下板左端边缘位置水平向右进入磁场区域，可知粒子在左侧电场中受到的电场力向右，该带电粒子带正电，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
解得
由
解得
（2）由于磁场变化周期为
可得
说明在磁场变化的半个周期内粒子运动圆周，由于该粒子在时刻第一次离开磁场区域，则说明运动两个圆周后第一次离开磁场区域，由几何关系可知，粒子运动的轨迹半径为
进入右侧电场后时刻从右侧电场再次水平进入磁场区域，由于电场力做功为零，再进入磁场的速度大小与此前在磁场中运动速度相等，故粒子运动轨道半径保持不变，根据左手定则，轨迹向上偏转，如图所示，根据几何关系，可知当粒子从右侧电场进入磁场时距离PQ为
因此，得打在PQ上的位置距离Q点为
（3）根据洛伦兹力提供向心力
又
可得该粒子经加速进入磁场时的速度大小为
由于在时刻恰好该粒子加速完毕进入磁场区域，由动量定理有
解得
由于该粒子在时刻第一次离磁场区域，水平向右进入右侧电场，并在时刻从右侧电场再次进入磁场区域，故其在右侧电场中运动的时间为
以向右为正方向，根据动量定理有
解得
7．【答案】（1）解：将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀加速直线运动 ，，代入数据计算得微粒在x方向的加速度大小
电场强度E1的大小E1=0.3N/C
（2）解：由E1=3E2，可得qE2=mg，所以带电的粒子在第一象限将做匀速圆周运动
设粒子运动圆轨道半径为R，周期为T，则
可得 使粒子从C点运动到D点，则有，
计算得出 （n=1，2，3…），
解得 s （n=1，2，3…）
（3）解：当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形：
由图可以知道 ，则
【知识点】带电粒子在重力场和电场复合场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀加速直线运动，，，可求解加速度和电场强度E1的大小。
（2）题目已知 场强，可得出 qE2=mg，则带电的粒子在第一象限将做匀速圆周运动
，可得 使粒子从C点运动到D点，则有， ，计算得出磁感应强度
周期：，由 可求解 磁场的变化周期T0
（3）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形：
由图可以知道 ，则，可得出乘积应满足的关系。
（1）将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀加速直线运动
计算得出
E1=0.3N/C
（2）由E1=3E2，可得
qE2=mg
所以带电的粒子在第一象限将做匀速圆周运动
设粒子运动圆轨道半径为R，周期为T，则有
可得
使粒子从C点运动到D点，则有
计算得出
（n=1，2，3…）
解得
s （n=1，2，3…）
（3）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形：
由图可以知道
则
8．【答案】（1）解：沿电场线反方向初速度为，粒子受合力沿电场线方向向下，粒子做匀减速直线运动，则有
，
由运动状态必有对应的合力定律有
，
代入已知
对A点
A点的坐标为
（2）解：粒子垂直进入的磁场中水平分运动等于初始v的水平分量，
则有由运动状态必有对应的合力定律
，
由几何关系得
，
代入
（3）解：粒子进脉冲交变磁场中，初始向里的磁场中，左手定则知洛伦兹力向上，圆心在上，0.5t0后变换磁场方向向外，洛仑磁力向右下，两个周期变四次磁场，产生四段圆弧，由运动状态必有对应的合力定律
①
整理得四个量，磁场强度
线速度
角速度
周期
因为PA过程中水平方向上始终没有受到合外力所以其中的圆周运动线速度等于已知v的水平分量，即
，
设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为，四次后刚好从C出，连接AC将其平均分成四份如上图AC线上画出四段圆弧，圆心随磁交变而上下变换，由几何关系得，x轴方向
y轴方向
两式相除得，，等式两边同时平方得
，整理得，因式分解得
解得，θ代入，
解得代入①式得，
法一：脉冲交变磁场每周期即t0的时间，粒子在磁场中经历2θ的圆心角，
，
法二：脉冲交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为
，解得
，
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；洛伦兹力的计算；带电粒子在匀强磁场中的运动；带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）类平抛运动分解是关键，注意垂直进入磁场的速度方向条件；磁场中圆周运动的临界几何关系是运用矢量的方向为建立等式的突破口，需结合三角形边角垂直关系分析；脉冲磁场下粒子运动需分段等份对称考虑偏转角度与位移，位移和等于整体两个方向的总位移，周期性条件决定
t0可从、两个角度入手计算；
（2）易错点：忽略垂直进入磁场的速度方向；临界几何关系分析错误；交变磁场周期匹配计算不准确。
（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有，
根据牛顿第二定律则有
联立解得
对A点
解得
A点的坐标为
（2）粒子进入的磁场中，则有
由牛顿第二定律
由几何关系得
联立解得
（3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律
设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向
平行y轴方向
联立解得，
交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为
解得
9．【答案】（1）因粒子受到的电场力方向与y轴平行，可知粒子在x方向上做匀速直线运动，则粒子通过电场的时间为，从时刻开始，粒子在电场中运动时，每时间内的加速度大小为
若在y方向上偏转量最大的粒子能从a点或b点进入II区域，那么最终所有粒子恰好全部能进入II区域，可知在时刻进入电场的粒子在y方向上偏转量最大，其偏转量为，根据运动学规律有
联立解得
（2）在时刻射入的粒子通过I区域时，在y方向上先加速、再减速，反向加速、再减速，则可知第一次加速和减速的时间均为
因为粒子通过电场的时间与电场周期相同，则第二次加速和减速的时间均为
根据运动学规律可得该粒子在I区域的偏转量为
由上述分析可知，该粒子射出电场时y方向无速度分量，速度平行于x轴，大小为，因磁场方向平行于y轴，可得粒子进入II区域后，会在平面做匀速圆周运动，设粒子在磁场中运动的周期为，半径为，则有
解得
粒子在时刻进入II区域，在时间内，运动半周返回I区域，则有
联立解得
粒子在II区域运动了半个周期，则z轴方向上偏移了
综上所述，粒子在返回I区域时的位置坐标为
（3）由第（2）问得，可知如果粒子在时间内不离开II区域，那该粒子将会运动个圆周，如图甲所示。
当以为圆心的圆与z轴相切时（相切于点），高度最高，如图乙所示，由几何关系可得，则该粒子在II区域中第一次偏转的时间为
该粒子射入磁场的时刻为
因粒子在电场中通过的时间为，则可得该粒子射入电场的时刻为
（4）当粒子进入II区域时，磁感应强度的方向不确定，先分析磁感应强度沿y轴正方向的情况，由第（3）问可知，当粒子在II区域中第一次偏转的时间大于时，粒子会从abcd面射出磁场，即会从abcd面射出磁场的粒子的发射时长为
当以为圆心的圆与x轴相切时（相切于点），为另一种临界情况，如图丙所示，由几何关系可得，则该粒子在II区域中第一次偏转的时间为
当粒子在II区域中第一次偏转的时间小于时，粒子会从底面abfe射出磁场，这部分粒子对应的发射时长为
再分析磁感应强度沿y轴负方向的情况，可知刚进入II区域的粒子受到的洛伦兹力沿z轴负方向，即粒子刚进入磁场便会从abfe射出，这部分粒子对应的发射时长为
从abfe面射出磁场的粒子的总发射时长为
因粒子源均匀发射，则从abcd面射出磁场的粒子数与从底面abfe射出磁场的粒子数的比值为
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）根据运动学公式求Ⅰ区域中的电场强度的大小E0；
（2）根据洛伦兹力提供向心力和运动学公式求Ⅱ区域中的磁感应强度的大小B0以及在
时刻射入的粒子在返回Ⅰ区域时的位置坐标；
（3）根据周期公式求所有返回Ⅰ区域的粒子中，经过abcd面的最高点的粒子射入电场的时刻；
（4）画出粒子的运动轨迹，根据周期和时间的关系求从abcd面射出磁场的粒子数与从底面abfe射出磁场的粒子数的比值。
10．【答案】（1）带电微粒从M到N点做匀速直线运动 由M、N两点的位置关系得
匀强电场中
联立解得

（2）经时间t，沿x轴方向，有
沿y轴方向
沿z轴方向
则坐标为

（3）电场力和重力平衡，故微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径
周期
所以能经过N点的时间为

【知识点】带电粒子在电场中的运动综合；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）已知带电微粒做匀速直线运动，利用平衡方程结合电势差与场强的关系可以求出电势差的大小；
（2）当微粒以初速度沿z轴出发，利用分运动的位移公式可以求出运动的坐标；
（3）当电场方向向上时，利用微粒做匀速圆周运动的周期可以求出经过N点的时间。
（1）带电微粒从M到N点做匀速直线运动 由M、N两点的位置关系得
匀强电场中
联立解得
（2）经时间t，沿x轴方向，有
沿y轴方向
沿z轴方向
则坐标为
（3）电场力和重力平衡，故微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径
周期
所以能经过N点的时间为
11．【答案】（1）解：由左手定则可知，带电粒子所受洛伦兹力沿z轴负方向，则有平衡条件可知，电场力沿z轴正方向，即电场强度沿z轴正方向，且有
解得
方向沿z轴正方向
（2）解：粒子运动的轨迹如图所示
由几何关系，有
解得粒子运动的半径为
r = 2a
由牛顿第二定律，有
解得
（3）解：由题意，电场力的一个分力沿z轴正方向平衡洛伦兹力，另一个分力沿y轴正方向提供类平抛运动加速度，如图所示
则由平衡条件，有
qE1= qvB
曲平抛运动规律，有
其中
解得
则合场强为
【知识点】带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】（1）由粒子恰好做匀速直线运动，可得到洛伦兹力与电场力的关系式，结合粒子电性，可计算电场强度大小和方向；
（2）由粒子在磁场作用下做匀速圆周运动的特点，可结合几何关系计算粒子运动半径；由洛伦兹力提供向心力，可计算磁感应强度大小；
（3）由粒子恰好在xOy平面内做匀变速曲线，可知其在z轴方向上受合力为零，从而判断电场力在z轴方向的分力与洛伦兹力的关系；粒子在电场力沿y轴方向分力的作用下，在xOy平面内做类平抛运动，由粒子经过的已知坐标，列运动学关系式，即可得到粒子在y轴方向上受到的电场力分力；结合两个反向的电场力分力即可得到电场强度的大小和方向。
（1）由左手定则可知，带电粒子所受洛伦兹力沿z轴负方向，则有平衡条件可知，电场力沿z轴正方向，即电场强度沿z轴正方向，且有
解得
方向沿z轴正方向；
（2）粒子运动的轨迹如图所示
由几何关系，有
解得粒子运动的半径为
r = 2a
由牛顿第二定律，有
解得
（3）由题意，电场力的一个分力沿z轴正方向平衡洛伦兹力，另一个分力沿y轴正方向提供类平抛运动加速度，如图所示
则由平衡条件，有
qE1= qvB
曲平抛运动规律，有
其中
解得
则合场强为
12．【答案】（1）解：离子做匀速直线运动，有
解得
（2）解：撤去磁场后，离子做类平抛运动，（y方向上）电场力方向上，有
初速度方向上，有
电场力方向上的速度分量
点时的速度大小为
解得
由
得速度与轴正方向夹角
（3）解：当离子进入的磁场后，在方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动，当圆周运动转过的圆心角为时，速度第一次垂直轴，在电场中
在磁场中，平面
解得
又
转过圆心角的时间为
可得此时离子坐标。
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】 （1）根据匀速直线运动特点求匀强电场的电场强度大小E；
（2）离子做类平抛运动，（y方向上）电场力方向上，根据类平抛运动的规律求离子在Q点的速度；
（3）在平面做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力和周期公式求离子的坐标。
13．【答案】（1）解：设粒子经加速电场后进入磁场时速度v，根据动能定理可得
粒子磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
联立解得
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，依据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
运动轨迹对应的圆心角，由几何关系可知
可知
联立解得运动时间
（2）解：根据粒子的运动轨迹，离开磁场时距离z轴距离为s，结合几何知识可得
联立解得
（3）解：设在xOy平面上方中粒子沿z轴正方向的速度为，沿x轴正方向加速度大小为，位移大小为x，运动时间为，由牛顿第二定律可得
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动的合成与分解的规律可得，
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式可得
联立解得
设粒子沿y轴方向偏离z轴的距离为y，其中在xOy平面上方沿y方向偏离的距离，由运动学公式可得
由题意可得
联立解得
射出点坐标为
【知识点】牛顿第二定律；带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】【分析】(1) 粒子先在区域做匀加速直线运动，由动能定理求进入磁场的速度，再由洛伦兹力提供向心力求轨道半径，结合圆周运动周期公式求运动时间，关键是准确计算加速后的速度和磁场中的周期。
(2) 粒子在磁场中做圆周运动的轨迹为四分之一圆弧（结合磁场区域的空间范围），利用几何关系计算离开磁场时距O点的距离，需明确轨迹的圆心和半径的空间分布。
(3) 粒子进入区域后做类平抛运动，沿x轴方向匀加速、y轴方向匀速、z轴方向匀速，结合运动学公式计算各方向的位移，进而确定离开电场时的位置坐标。
（1）设粒子经加速电场后进入磁场时速度v，根据动能定理可得
粒子磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
联立解得
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，依据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
运动轨迹对应的圆心角，由几何关系可知
可知
联立解得运动时间
（2）根据粒子的运动轨迹，离开磁场时距离z轴距离为s，结合几何知识可得
联立解得
（3）设在xOy平面上方中粒子沿z轴正方向的速度为，沿x轴正方向加速度大小为，位移大小为x，运动时间为，由牛顿第二定律可得
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动的合成与分解的规律可得，
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式可得
联立解得
设粒子沿y轴方向偏离z轴的距离为y，其中在xOy平面上方沿y方向偏离的距离，由运动学公式可得
由题意可得
联立解得
射出点坐标为
14．【答案】（1）解：粒子在电场中做类平抛运动，则有
，，，，
联立解得
， ，
（2）解：进入磁场区域，粒子沿轴负方向的分运动为匀速直线运动，则有
粒子从点到光屏的运动时间为
联立上述结论解得

（3）解：进入磁场区域，粒子在平行于平面内的分运动为匀速圆周运动，从左侧看粒子的运动轨迹如图所示
设粒子打在光屏上的点，由洛伦兹力提供向心力，得
解得
粒子做匀速圆周运动的周期为
则
，
， ，
所以粒子打在光屏上的位置坐标为
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在匀强磁场中的运动
【解析】【分析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向：，竖直方向：，，，联立解得电场强度的大小及粒子到达坐标原点时的速度大小。
（2）进入磁场区域，粒子沿轴负方向的分运动为匀速直线运动，，粒子从点到光屏的运动时间为，联立可求解粒子从点运动到光屏的时间。
（3）进入磁场区域，粒子在平行于平面内的分运动为匀速圆周运动，从左侧看粒子的运动轨迹图
洛伦兹力提供向心力：，粒子做匀速圆周运动的周期为，
，，，可得出粒子打在光屏上的位置坐标。
（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
联立解得
（2）进入磁场区域，粒子沿轴负方向的分运动为匀速直线运动，则有
粒子从点到光屏的运动时间为
联立上述结论解得
（3）进入磁场区域，粒子在平行于平面内的分运动为匀速圆周运动，从左侧看粒子的运动轨迹如图所示
设粒子打在光屏上的点，由洛伦兹力提供向心力，得
解得
粒子做匀速圆周运动的周期为
则
所以粒子打在光屏上的位置坐标为
15．【答案】（1）粒子进入电场，水平方向做匀速运动，有，
竖直方向做初速度为零的匀加速运动，有，，
联立可得；
（2）粒子进入磁场，在yoz平面内左匀速圆周运动，沿x负方向做匀速运动，
洛伦兹力提供向心力，有，又
解得
粒子从O点运动到界面需要的时间为t，则
所以t可能为或
则或（n=0，1，2……）；
（3）当距离为d1时，如图甲所示
从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为120°，则
所以
当距离为d2时，如图乙所示，从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为60°，则
所以。

【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在有界磁场中的运动；带电粒子在电场与磁场混合场中的运动
【解析】本题考查带电粒子在电场和磁场组成的混合场中的运动，要求学生能正确分析带电粒子的运动过程和运动性质，熟练应用对应的规律解题。
(1)粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律结合牛顿第二定律求解粒子在间运动的轨迹方程；
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，结合圆周运动知识和数学知识结合粒子运动的周期性，求出的可能值；
(3)画出粒子的运动轨迹，然后由数学知识求出的值。
本题考查带电粒子在电场中类平抛运动，在磁场中匀速圆周运动，关键在于找到粒子在磁场中运动的轨迹和边界条件，结合数学知识分析求解。本题对作图要求很高，过程复杂，计算量大。
（1）根据运动的分解可得，水平方向有，
竖直方向有，，
联立可得
（2）根据洛伦兹力提供向心力有，
所以
粒子从O点运动到界面需要的时间为t，则
所以t可能为或
则或（n=0，1，2……）
（3）当距离为d1时，如图甲所示
从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为120°，则
所以
当距离为d2时，如图乙所示，从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为60°，则
所以
16．【答案】（1）解：粒子在电场中做类平抛运动，有
，
根据牛顿第二定律
联立解得
（2）解：在磁场中，粒子的运动可以分解为垂直于磁场方向的匀速圆周运动和沿正方向的匀速直线运动，垂直磁场方向，根据洛伦兹力提供向心力
解得
如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中运动的圆心角为，粒子在磁场中运动的周期
则带电粒子在半圆柱体内运动的时间
联立解得
（3）解：在磁场中，沿着轴正方向的速度大小
轴方向
轴方向
轴方向
带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标为（，，）。
【知识点】带电粒子在电场中的偏转；带电粒子在有界磁场中的运动
【解析】【分析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据题意确定粒子在沿电场线方向和速度方向的位移，再根据平抛运动规律进行解答；
（2）粒子在磁场中受到洛伦兹力作用，根据运动的分解可知，粒子在沿Y轴方向做匀速直线运动，在垂直磁场及x轴方向做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力结合牛顿第二定律确定粒子在磁场中的运动半径，再根据几何关系确定粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角，再根据带电粒子在运动规律进行解答；
（3）粒子沿y轴方向做匀速直线运动，根据运动学规律结合几何关系确定粒子在y轴方向的坐标。再根据几何关系确定粒子在x轴和z轴方向的坐标，继而确定粒子的位置坐标。
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