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广东省东莞市第十一中学2024-2025学年高一下学期第二次段考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，点在线段上，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
.
故答案为：D.
【分析】本题考查平面向量的线性运算（向量的加减及数乘），核心是利用向量的三角形法则，结合线段的比例关系将用和表示。
2．已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：因为4，7，6，5，a的平均数为5，
即，解得，
则方差为.
故答案为：A
【分析】本题考查平均数与方差的计算，核心是先通过平均数公式求出未知数据a，再代入方差公式计算方差。
3．已知，，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，则在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】本题考查平面向量的投影向量计算，核心是利用投影向量公式：在方向上的投影向量为，结合向量数量积和模长的坐标运算求解。
4．已知正方形的边长为4，则其直观图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：原正方形的面积为，
由斜二测画法的规则可知，直观图的面积与原图形面积的关系为，
故直观图的面积为.
故答案为：C.
【分析】本题考查斜二测画法中直观图与原图形的面积关系，核心是利用公式（为直观图面积，为原图形面积），先求原正方形面积，再计算直观图面积。
5．一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，
得该四棱锥为正四棱锥，其高为，
所以该四棱锥的体积是.
故答案为：D.
【分析】由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，从而得出该四棱锥为正四棱锥，利用勾股定理求出正四棱锥的高，再利用四锥体的体积公式得出该四棱锥的体积.
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，即，
又，，所以，则为锐角，所以.
故答案为：A
【分析】本题考查正弦定理的应用及三角形中大边对大角的性质，核心是通过正弦定理求出sinB的值，再结合边长关系判断角B的范围，确定最终角度。
7．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于选项A：若，，
则或为异面直线，故A错误；
对于选项B：若，，
则和可以是任何位置关系，故B错误；
对于选项C：若，，
则和可以是任何位置关系，故C错误；
对于选项D：若，，，
则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和线面平行的性质定理，则判断出选项A、选项C和选项D；根据线面垂直的判定定理，则判断出选项B，从而找出真命题的选项.
8．如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：根据题意，取的中点分别为，连接，如下图所示：
易知，且，
所以四边形是平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，，平面，
所以平面平面平行，
则过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面；
显然，，且，；
所以四边形是边长为的菱形，
则所求截面面积即为菱形的面积；
易知，
所以其面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为菱形，再利用菱形面积公式得出该截面的面积.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．若且，则 D．与夹角的余弦值为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A，，故A错误；
B，，则，故B正确；
C，由可得，解得，故C正确；
D，，，，
所以，故D正确；
故答案为：BCD
【分析】A：计算向量与的数量积，根据数量积为0判断是否垂直。
B：先求的坐标，再根据向量模的计算公式求模长，验证是否为。
C：利用向量平行的坐标关系（对应分量成比例）列方程，求解的值。
D：根据向量夹角的余弦公式，代入模长和数量积计算夹角余弦值，验证是否为。
10．已知复数，则（　　）
A．
B．z的虚部为3
C．
D．z在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：，所以，故A正确；
的虚部是3，故B正确；
，故C错误；
在复平面内对应的点为，在第二象限，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】本题考查复数的化简、模长、虚部、乘方运算及复平面内的位置判断，核心是先通过分母实数化化简复数z，再结合复数的相关概念和运算规则逐一分析选项。
11．如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．存在点P使得平面
B．存在点P使得平面
C．若P是的中点，则到平面的距离为
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
【答案】B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A.在正方体中易知，与不垂直，故A错误；
B.因为，又平面并且平面，所以平面，故B正确；
C.正方体中易知，，不在平面内，在平面内，所以平面，
所以到平面的距离即为到平面的距离，
在正方体中，易知平面平面，且相交于，
所以到平面的距离即为到的距离，
又因为点P是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，
又，，解得，故C正确；
D.设（），所以，
因为平面，且平面，所以平面平面，
且平面平面，所以点和到平面的距离就是到的距离，
计算可得，
所以，
可得，所以直线与平面所成角的正弦为，所以，故D错误.
故答案为：BC
【分析】A：根据正方体的线线垂直关系，判断与平面是否存在垂直的可能。
B：利用线面平行的判定定理，结合正方体中的性质，判断是否存在点使平面。
C：当是中点时，将到平面的距离转化为点到直线的距离，结合几何公式计算验证。
D：设，利用线面角的定义求出正弦值表达式，代入已知值求解，判断是否为。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为　 　h.
【答案】2
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：当实际速度垂直于河岸，船的航程最短，
设实际速度、船速、水流速度分别为、、，
如图，，已知，
则，河宽，
所以，船的航行时间，
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要.
故答案为：2.
【分析】本题考查运动的合成与分解（小船渡河问题），核心是明确 “航程最短” 的条件为船的实际速度垂直于河岸，再结合速度的合成（勾股定理）求出垂直河岸的分速度，最后用河宽除以该速度得到渡河时间。
13．某校高一共有学生800人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试，若这80人中有39人是男生，据此估计该校高一男生有　 　人.
【答案】390
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意得，分层抽样的抽样比为：，所以该校高一男生的人数估计为：.
故答案为：390
【分析】本题考查分层抽样的计算，核心是先求出抽样比，再利用抽样比结合样本中男生数量，估算总体中男生的人数。
14．在四棱锥中，底面为矩形，平面，且与平面所成角为，则四棱锥的外接球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如下图所示：
由平面，易得与平面所成角的平面角为，
又，可得，
又因为底面为矩形，所以四棱锥的外接球与以为棱长的长方体的外接球相同，
设四棱锥的外接球半径为，所以，
即可得，所以外接球表面积.
故答案为：
【分析】本题考查四棱锥外接球的表面积计算，核心是利用 “长方体的外接球与侧棱垂直底面的四棱锥外接球相同” 的结论，先通过线面角求出侧棱PA的长度，再结合长方体体对角线与外接球直径的关系计算半径，最终求表面积。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知复数，复数在复平面内对应的点为.
（1）若复数是关于x的方程的一个根，m，，求的值；
（2）若复数z满足，求复数z的共轭复数.
【答案】（1）解：由复数的几何意义得，
因为复数是关于x的方程的一个根，
所以，所以，
则，解得，，所以.
（2）解：，
所以.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】(1) 先由复数的几何意义确定，再将其代入实系数一元二次方程，利用复数相等的条件（实部、虚部分别相等）列方程组求解、，进而求；
(2) 利用复数的四则运算法则化简的表达式，再根据共轭复数的定义求。
（1）由复数的几何意义得，
因为复数是关于x的方程的一个根，
所以，所以，
则，解得，，所以.
（2），
所以.
16．已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求t及.
【答案】（1）解：
，
所以，
又，
所以.
（2）解：由题意知
，
即，解得，
所以，
，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1) 利用向量数量积运算律展开原式，结合向量模长、向量夹角公式，求解与的夹角；
(2) 由向量垂直得数量积为0，代入的线性表达式求解参数t，再利用向量模长平方公式计算。
（1）解：
，
所以，
又，
所以.
（2）解：由题意知
，
即，解得，
所以，
，
所以.
17．如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．
（1）求的长；
（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
【答案】（1）解：由题意可得，
因为海里，海里，
所以根据余弦定理可得海里；
（2）解：由余弦定理可得，则，
所以，
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里，
在中，解得或（舍去），
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题可得，利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系求得，再根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，最后在中，利用余弦定理求解即可.
（1）根据题意可得．
因为海里，海里，
所以根据余弦定理可得海里．
（2）由余弦定理可得，则，
所以．
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里．
在中，解得或（舍去），
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，F为中点.
（1）求证：平面EAB；
（2）求点C到平面BDE的距离.
【答案】（1）证明：取BE的中点G，连接AG，FG，
所以且，
又，，，所以，且，
所以四边形ADFG为平行四边形，所以，
又平面EAB，平面EAB，所以平面EAB.
（2）解：因为，，所以，
所以，
又平面ABCD，所以，
因为，，所以，
由平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
又，，
所以，
所以，
设点到平面BDE的距离为h，则，解得，
所以点C到平面BDE的距离为.
【知识点】点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 通过构造中位线及平行四边形，结合线面平行的判定定理证明平面；
(2) 利用等体积法，先求相关棱锥的体积和底面面积，再求解点到平面的距离。
（1）取BE的中点G，连接AG，FG，
所以且，
又，，，所以，且，
所以四边形ADFG为平行四边形，所以，
又平面EAB，平面EAB，所以平面EAB.
（2）因为，，所以，
所以，
又平面ABCD，所以，
因为，，所以，
由平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
又，，
所以，
所以，
设点到平面BDE的距离为h，则，解得，
所以点C到平面BDE的距离为.
19．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）证明：在正四棱锥中，连接，连接，
则点O是正方形的中心，平面，
因为平面，
则，
又因为 ，平面，，
所以平面，
又因为 平面，
所以.
（2）解：连接，由（1）知，平面，
又因为平面，
则，
所以是二面角的平面角，
令正方形边长为，
则，
所以，
又因为，
所以则，
因此，，
所以二面角的大小为.
（3）解：在SP上取点N，使得，
过N作交SC于点E，连接BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
因此平面平面，
又因为平面，
则平面，
由（2）知，，
则点是中点，
所以，
所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征结合线面垂直的性质定理证出.
（2）由（1）知平面，再结合线线垂直确定二面角的平面角，再根据正方形的结构特征和已知条件以及余弦定理、勾股定理，从而得出二面角的大小.
（3）过点作一平面平行于平面，则平面平面，再根据面面平行的性质定理得出线面平行，则平面，再由（2）知，则点是中点，从而得出侧棱上存在一点E，使得平面，.
（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心，
平面，而平面，则，又 ，
平面，，于是平面，而 平面，
所以.
（2）连接，由（1）知，平面，而平面，则，
于是是二面角的平面角，令正方形边长为，
则，有，又，
则，，
因此，，所以二面角的大小为.
（3）在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，而平面，平面，得平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
则平面，由（2）知，，即点是中点，
于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
1 / 1广东省东莞市第十一中学2024-2025学年高一下学期第二次段考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，点在线段上，且，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知，，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．已知正方形的边长为4，则其直观图的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（　　）
A． B． C． D．
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．90°
7．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
8．如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．若且，则 D．与夹角的余弦值为
10．已知复数，则（　　）
A．
B．z的虚部为3
C．
D．z在复平面内对应的点位于第二象限
11．如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．存在点P使得平面
B．存在点P使得平面
C．若P是的中点，则到平面的距离为
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为　 　h.
13．某校高一共有学生800人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试，若这80人中有39人是男生，据此估计该校高一男生有　 　人.
14．在四棱锥中，底面为矩形，平面，且与平面所成角为，则四棱锥的外接球的表面积为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知复数，复数在复平面内对应的点为.
（1）若复数是关于x的方程的一个根，m，，求的值；
（2）若复数z满足，求复数z的共轭复数.
16．已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求t及.
17．如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．
（1）求的长；
（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，F为中点.
（1）求证：平面EAB；
（2）求点C到平面BDE的距离.
19．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
.
故答案为：D.
【分析】本题考查平面向量的线性运算（向量的加减及数乘），核心是利用向量的三角形法则，结合线段的比例关系将用和表示。
2．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：因为4，7，6，5，a的平均数为5，
即，解得，
则方差为.
故答案为：A
【分析】本题考查平均数与方差的计算，核心是先通过平均数公式求出未知数据a，再代入方差公式计算方差。
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，则在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】本题考查平面向量的投影向量计算，核心是利用投影向量公式：在方向上的投影向量为，结合向量数量积和模长的坐标运算求解。
4．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：原正方形的面积为，
由斜二测画法的规则可知，直观图的面积与原图形面积的关系为，
故直观图的面积为.
故答案为：C.
【分析】本题考查斜二测画法中直观图与原图形的面积关系，核心是利用公式（为直观图面积，为原图形面积），先求原正方形面积，再计算直观图面积。
5．【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，
得该四棱锥为正四棱锥，其高为，
所以该四棱锥的体积是.
故答案为：D.
【分析】由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，从而得出该四棱锥为正四棱锥，利用勾股定理求出正四棱锥的高，再利用四锥体的体积公式得出该四棱锥的体积.
6．【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，即，
又，，所以，则为锐角，所以.
故答案为：A
【分析】本题考查正弦定理的应用及三角形中大边对大角的性质，核心是通过正弦定理求出sinB的值，再结合边长关系判断角B的范围，确定最终角度。
7．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于选项A：若，，
则或为异面直线，故A错误；
对于选项B：若，，
则和可以是任何位置关系，故B错误；
对于选项C：若，，
则和可以是任何位置关系，故C错误；
对于选项D：若，，，
则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和线面平行的性质定理，则判断出选项A、选项C和选项D；根据线面垂直的判定定理，则判断出选项B，从而找出真命题的选项.
8．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：根据题意，取的中点分别为，连接，如下图所示：
易知，且，
所以四边形是平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，，平面，
所以平面平面平行，
则过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面；
显然，，且，；
所以四边形是边长为的菱形，
则所求截面面积即为菱形的面积；
易知，
所以其面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为菱形，再利用菱形面积公式得出该截面的面积.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A，，故A错误；
B，，则，故B正确；
C，由可得，解得，故C正确；
D，，，，
所以，故D正确；
故答案为：BCD
【分析】A：计算向量与的数量积，根据数量积为0判断是否垂直。
B：先求的坐标，再根据向量模的计算公式求模长，验证是否为。
C：利用向量平行的坐标关系（对应分量成比例）列方程，求解的值。
D：根据向量夹角的余弦公式，代入模长和数量积计算夹角余弦值，验证是否为。
10．【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：，所以，故A正确；
的虚部是3，故B正确；
，故C错误；
在复平面内对应的点为，在第二象限，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】本题考查复数的化简、模长、虚部、乘方运算及复平面内的位置判断，核心是先通过分母实数化化简复数z，再结合复数的相关概念和运算规则逐一分析选项。
11．【答案】B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A.在正方体中易知，与不垂直，故A错误；
B.因为，又平面并且平面，所以平面，故B正确；
C.正方体中易知，，不在平面内，在平面内，所以平面，
所以到平面的距离即为到平面的距离，
在正方体中，易知平面平面，且相交于，
所以到平面的距离即为到的距离，
又因为点P是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，
又，，解得，故C正确；
D.设（），所以，
因为平面，且平面，所以平面平面，
且平面平面，所以点和到平面的距离就是到的距离，
计算可得，
所以，
可得，所以直线与平面所成角的正弦为，所以，故D错误.
故答案为：BC
【分析】A：根据正方体的线线垂直关系，判断与平面是否存在垂直的可能。
B：利用线面平行的判定定理，结合正方体中的性质，判断是否存在点使平面。
C：当是中点时，将到平面的距离转化为点到直线的距离，结合几何公式计算验证。
D：设，利用线面角的定义求出正弦值表达式，代入已知值求解，判断是否为。
12．【答案】2
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：当实际速度垂直于河岸，船的航程最短，
设实际速度、船速、水流速度分别为、、，
如图，，已知，
则，河宽，
所以，船的航行时间，
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要.
故答案为：2.
【分析】本题考查运动的合成与分解（小船渡河问题），核心是明确 “航程最短” 的条件为船的实际速度垂直于河岸，再结合速度的合成（勾股定理）求出垂直河岸的分速度，最后用河宽除以该速度得到渡河时间。
13．【答案】390
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意得，分层抽样的抽样比为：，所以该校高一男生的人数估计为：.
故答案为：390
【分析】本题考查分层抽样的计算，核心是先求出抽样比，再利用抽样比结合样本中男生数量，估算总体中男生的人数。
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如下图所示：
由平面，易得与平面所成角的平面角为，
又，可得，
又因为底面为矩形，所以四棱锥的外接球与以为棱长的长方体的外接球相同，
设四棱锥的外接球半径为，所以，
即可得，所以外接球表面积.
故答案为：
【分析】本题考查四棱锥外接球的表面积计算，核心是利用 “长方体的外接球与侧棱垂直底面的四棱锥外接球相同” 的结论，先通过线面角求出侧棱PA的长度，再结合长方体体对角线与外接球直径的关系计算半径，最终求表面积。
15．【答案】（1）解：由复数的几何意义得，
因为复数是关于x的方程的一个根，
所以，所以，
则，解得，，所以.
（2）解：，
所以.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】(1) 先由复数的几何意义确定，再将其代入实系数一元二次方程，利用复数相等的条件（实部、虚部分别相等）列方程组求解、，进而求；
(2) 利用复数的四则运算法则化简的表达式，再根据共轭复数的定义求。
（1）由复数的几何意义得，
因为复数是关于x的方程的一个根，
所以，所以，
则，解得，，所以.
（2），
所以.
16．【答案】（1）解：
，
所以，
又，
所以.
（2）解：由题意知
，
即，解得，
所以，
，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1) 利用向量数量积运算律展开原式，结合向量模长、向量夹角公式，求解与的夹角；
(2) 由向量垂直得数量积为0，代入的线性表达式求解参数t，再利用向量模长平方公式计算。
（1）解：
，
所以，
又，
所以.
（2）解：由题意知
，
即，解得，
所以，
，
所以.
17．【答案】（1）解：由题意可得，
因为海里，海里，
所以根据余弦定理可得海里；
（2）解：由余弦定理可得，则，
所以，
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里，
在中，解得或（舍去），
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题可得，利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系求得，再根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，最后在中，利用余弦定理求解即可.
（1）根据题意可得．
因为海里，海里，
所以根据余弦定理可得海里．
（2）由余弦定理可得，则，
所以．
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里．
在中，解得或（舍去），
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．
18．【答案】（1）证明：取BE的中点G，连接AG，FG，
所以且，
又，，，所以，且，
所以四边形ADFG为平行四边形，所以，
又平面EAB，平面EAB，所以平面EAB.
（2）解：因为，，所以，
所以，
又平面ABCD，所以，
因为，，所以，
由平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
又，，
所以，
所以，
设点到平面BDE的距离为h，则，解得，
所以点C到平面BDE的距离为.
【知识点】点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 通过构造中位线及平行四边形，结合线面平行的判定定理证明平面；
(2) 利用等体积法，先求相关棱锥的体积和底面面积，再求解点到平面的距离。
（1）取BE的中点G，连接AG，FG，
所以且，
又，，，所以，且，
所以四边形ADFG为平行四边形，所以，
又平面EAB，平面EAB，所以平面EAB.
（2）因为，，所以，
所以，
又平面ABCD，所以，
因为，，所以，
由平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
又，，
所以，
所以，
设点到平面BDE的距离为h，则，解得，
所以点C到平面BDE的距离为.
19．【答案】（1）证明：在正四棱锥中，连接，连接，
则点O是正方形的中心，平面，
因为平面，
则，
又因为 ，平面，，
所以平面，
又因为 平面，
所以.
（2）解：连接，由（1）知，平面，
又因为平面，
则，
所以是二面角的平面角，
令正方形边长为，
则，
所以，
又因为，
所以则，
因此，，
所以二面角的大小为.
（3）解：在SP上取点N，使得，
过N作交SC于点E，连接BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
因此平面平面，
又因为平面，
则平面，
由（2）知，，
则点是中点，
所以，
所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征结合线面垂直的性质定理证出.
（2）由（1）知平面，再结合线线垂直确定二面角的平面角，再根据正方形的结构特征和已知条件以及余弦定理、勾股定理，从而得出二面角的大小.
（3）过点作一平面平行于平面，则平面平面，再根据面面平行的性质定理得出线面平行，则平面，再由（2）知，则点是中点，从而得出侧棱上存在一点E，使得平面，.
（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心，
平面，而平面，则，又 ，
平面，，于是平面，而 平面，
所以.
（2）连接，由（1）知，平面，而平面，则，
于是是二面角的平面角，令正方形边长为，
则，有，又，
则，，
因此，，所以二面角的大小为.
（3）在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，而平面，平面，得平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
则平面，由（2）知，，即点是中点，
于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
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