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江苏省无锡市青山高级中学2024-2025高二下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（　　）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或3
【答案】D
【知识点】组合数公式
【解析】【解答】解：因为，所以或，解得或.
故答案为：D.
【分析】根据组合数公式，组合数的性质求解即可.
2．已知随机变量服从正态分布，则（　　）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意得，
由正态曲线的对称性知，则．
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的曲线特征求解即可.
3．在的展开式中，的系数是（　　）
A． B． C．20 D．80
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式中的通项公式为：，
令，则，
展开式中的系数为，
故答案为：D．
【分析】本题考查二项式定理的通项公式应用，核心是写出的展开式通项，通过令的次数等于求出参数，再代入通项计算的系数。
4．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，则“莎头”组合再次以获胜的概率.
故答案为：B.
【分析】利用二项分布的概率公式求解即可.
5．已知函数的导函数为，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：，求导可得，
令，则，解得.
故答案为：D.
【分析】求导，将代入求解即可.
6．甲 乙 丙 丁 戊 己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲 乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（　　）种.
A．144 B．156 C．168 D．192
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，甲 乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，
当丙是第一名时，则第二名肯定是乙，则共有种不同名次排列情况；
当丙不是第一名时，甲 乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，
则共有种不同名次排列情况，
故共有种不同名次排列情况.
故答案为：C
【分析】本题考查排列组合的分类讨论与捆绑法应用，核心是分 “丙是第一名” 和 “丙不是第一名” 两类，结合捆绑法处理乙丙相邻的条件，分别计算排列数后求和。
7．已知函数，若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即，即，
令，则，
当时，，函数单调递增，则，
即，即，故实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】求函数的导函数，问题转化为在上恒成立，分离参数即，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求其最小值，即可得实数a的取值范围.
8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（　　）
A．93 B．120 C．210 D．300
【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数，
，
因为1024个小球落入第三个格子的球数，
所以，即落入第三个格子的球数均值为120.
故答案为：B.
【分析】根据二项分布的均值公式求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有项选错得0分．
9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（　　）
-2 1 3
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：，由分布列的性质可得，解得，故错误；
，故B正确；
，故C错误；
D，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查离散型随机变量的分布列性质、期望、方差及概率计算，核心是先利用分布列的概率和为 1 求出参数a，再依次计算期望、方差和指定区间的概率，逐一分析选项。
10．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：由题意，总情况数为，
符合事件的情况有先选定男生甲，再从剩下的人种选出人，则情况数为，
所以，
对于事件“男生甲被选定，且男生乙和女生丙至少一个被选中”，
符合事件的情况有
①先选定男生甲，再选定男生乙，
最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为，
②先选定男生甲，再选定女生丙，
最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为，
③先选定男生甲，再选定男生乙与女生丙，则情况数为，
所以，
对于事件，易知其对立事件“男生乙与女生丙都不选”，
则事件的情况有从除男生乙与女生丙之外人选人，则情况数为，
所以，
由条件概率公式可得．
故答案为：ACD．
【分析】本题考查古典概型概率与条件概率的计算，核心是先利用组合数计算总基本事件数，再分别分析事件A、AB、B的基本事件数，结合古典概型公式和条件概率公式逐一判断选项。
11．对于函数，下列结论正确的（　　）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若恒成立，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，故A正确；
当时，，当时，，
则函数的图象，如图所示：
由图可知：函数有且仅有一个零点，故B错误；
由函数的图象，可得，
因为，所以，故C正确；
若在恒成立，则在恒成立，
令，可得，
当时，；当时，，
则函数在单调递增，在单调递减，且，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可判断A；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，根据图象即可判断可B；根据的单调性，得到，结合，即可判断C；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
12．一质点的运动方程为（s的单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为　 　.
【答案】12
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为质点的运动方程为，所以，
则当时的瞬时速度为.
故答案为：.
【分析】求导，将代入求瞬时速度即可.
13．展开式中的系数为　 　．
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式通项，
所以展开式中项为：
，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】本题考查二项式定理的通项公式与多项式乘法的综合应用，核心是将拆分为，分别求出两部分中的项的系数，再求和。
14．已知函数有三个不同的零点，其中则的值为　 　.
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设函数，求导可得，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
且时，；时，，
故，
作出的图象，如图所示：
要使有三个不同的零点，其中
令，则需要有两个不同的实数根（其中）
可得，
因为，所以，则
所以，则，且
.
故答案为：1.
【分析】设函数，求导，利用导数判断函数的单调性，令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
（1）从中选出1名男生和3名女生排成一列；
（2）全体站成一排，男生必须站一起；
（3）全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾．
【答案】（1）解：从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法，
再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（2）解：将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种，
再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（3）解：乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法，
由分步乘法计数原理可得共有种排法．
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 先利用组合数分别选取1名男生和3名女生，再利用排列数对选出的4人进行全排列，结合分步乘法计数原理计算总方法数；
(2) 采用捆绑法，先将3名男生视为一个整体与4名女生全排列，再对男生整体内部进行全排列，分步计算总方法数；
(3) 先确定乙的位置（排尾），再安排甲的位置（不站排头），最后对剩余人员全排列，结合分步乘法计数原理求解。
（1）从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法，
再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（2）将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种，
再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（3）乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法，
由分步乘法计数原理可得共有种排法．
16．已知，求解：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：令，得①．
令，得②，
由①②，得，
.
（2）解：求，即相当于求二项式的系数和，
令，得．
（3）解：因为，
两边分别求导，得，
令，得．
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用赋值法，分别令和代入二项展开式，得到两个等式后作差，消去偶数项系数，求解奇数项系数和；
(2) 将转化为的各项系数和，再用赋值法令求解；
(3) 对原二项展开式两边求导，再令代入导函数，求解系数与项数乘积的和。
（1）令，得①．
令，得②，
由①②，得，
.
（2）求，即相当于求二项式的系数和，
令，得．
（3）因为，
两边分别求导，得，
令，得．
17．已知函数．
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值；
（2）解：在上有解，
即在上有解，
即在上有解，
令，，
则
由（1）知时，即，
所以当时，当时；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 当时，先对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，再结合极值的定义确定函数的极值点与极值；
(2) 将不等式变形为关于的不等式，构造新函数，利用导数研究的单调性与最值，结合“有解”的条件求解实数的取值范围。
（1）当时，，所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值；
（2）在上有解，
即在上有解，
即在上有解，
令，，
则
由（1）知时，即，
所以当时，当时；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
18．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
【答案】（1）解：由题意，的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，
则
所以，的分布列为：
0 1 2
则的数学期望．
（2）解：（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，
“每位员工第轮培训达到优秀”（），，
根据互斥事件加法求概率公式和事件相互独立的定义，
得：
．
则每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，
则，
所以，
则（万元），
则估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量服从超几何分布，再利用超几何分布求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出事件C的概率则得出每位员工经过培训合格的概率.
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，再利用已知条件得出，再根据二项分布求数学期望公式，从而估计出两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润．
（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19．已知函数
（1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
【答案】（1）解：当时，函数，
求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2）解：，
当时，，恒成立，函数在定义域单调递减；
当时，由，可得：，由，可得，
所以在单调递减，在单调递增；
综上：当时，在定义域单调递减，无增区间，
当时，在单调递减，在单调递增；
（3）解：，，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 当时，先求函数的导数，利用导数的几何意义得到切线斜率，再结合点坐标用点斜式求切线方程；
(2) 对求导后，根据参数的取值范围（、），分析导数的正负，进而确定函数的单调区间；
(3) 将不等式变形后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最小值，结合整数性质求解的最大值。
（1）当时，函数，
求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2），
当时，，恒成立，函数在定义域单调递减；
当时，由，可得：，由，可得，
所以在单调递减，在单调递增；
综上：当时，在定义域单调递减，无增区间，
当时，在单调递减，在单调递增；
（3），，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
1 / 1江苏省无锡市青山高级中学2024-2025高二下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（　　）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或3
2．已知随机变量服从正态分布，则（　　）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
3．在的展开式中，的系数是（　　）
A． B． C．20 D．80
4．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数的导函数为，且，则（　　）
A． B． C． D．
6．甲 乙 丙 丁 戊 己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲 乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（　　）种.
A．144 B．156 C．168 D．192
7．已知函数，若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（　　）
A．93 B．120 C．210 D．300
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有项选错得0分．
9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（　　）
-2 1 3
A． B．
C． D．
10．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．对于函数，下列结论正确的（　　）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
12．一质点的运动方程为（s的单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为　 　.
13．展开式中的系数为　 　．
14．已知函数有三个不同的零点，其中则的值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
（1）从中选出1名男生和3名女生排成一列；
（2）全体站成一排，男生必须站一起；
（3）全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾．
16．已知，求解：
（1）；
（2）；
（3）．
17．已知函数．
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数的取值范围．
18．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．已知函数
（1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】组合数公式
【解析】【解答】解：因为，所以或，解得或.
故答案为：D.
【分析】根据组合数公式，组合数的性质求解即可.
2．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意得，
由正态曲线的对称性知，则．
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的曲线特征求解即可.
3．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式中的通项公式为：，
令，则，
展开式中的系数为，
故答案为：D．
【分析】本题考查二项式定理的通项公式应用，核心是写出的展开式通项，通过令的次数等于求出参数，再代入通项计算的系数。
4．【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，则“莎头”组合再次以获胜的概率.
故答案为：B.
【分析】利用二项分布的概率公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：，求导可得，
令，则，解得.
故答案为：D.
【分析】求导，将代入求解即可.
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，甲 乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，
当丙是第一名时，则第二名肯定是乙，则共有种不同名次排列情况；
当丙不是第一名时，甲 乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，
则共有种不同名次排列情况，
故共有种不同名次排列情况.
故答案为：C
【分析】本题考查排列组合的分类讨论与捆绑法应用，核心是分 “丙是第一名” 和 “丙不是第一名” 两类，结合捆绑法处理乙丙相邻的条件，分别计算排列数后求和。
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即，即，
令，则，
当时，，函数单调递增，则，
即，即，故实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】求函数的导函数，问题转化为在上恒成立，分离参数即，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求其最小值，即可得实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数，
，
因为1024个小球落入第三个格子的球数，
所以，即落入第三个格子的球数均值为120.
故答案为：B.
【分析】根据二项分布的均值公式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：，由分布列的性质可得，解得，故错误；
，故B正确；
，故C错误；
D，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查离散型随机变量的分布列性质、期望、方差及概率计算，核心是先利用分布列的概率和为 1 求出参数a，再依次计算期望、方差和指定区间的概率，逐一分析选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：由题意，总情况数为，
符合事件的情况有先选定男生甲，再从剩下的人种选出人，则情况数为，
所以，
对于事件“男生甲被选定，且男生乙和女生丙至少一个被选中”，
符合事件的情况有
①先选定男生甲，再选定男生乙，
最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为，
②先选定男生甲，再选定女生丙，
最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为，
③先选定男生甲，再选定男生乙与女生丙，则情况数为，
所以，
对于事件，易知其对立事件“男生乙与女生丙都不选”，
则事件的情况有从除男生乙与女生丙之外人选人，则情况数为，
所以，
由条件概率公式可得．
故答案为：ACD．
【分析】本题考查古典概型概率与条件概率的计算，核心是先利用组合数计算总基本事件数，再分别分析事件A、AB、B的基本事件数，结合古典概型公式和条件概率公式逐一判断选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，故A正确；
当时，，当时，，
则函数的图象，如图所示：
由图可知：函数有且仅有一个零点，故B错误；
由函数的图象，可得，
因为，所以，故C正确；
若在恒成立，则在恒成立，
令，可得，
当时，；当时，，
则函数在单调递增，在单调递减，且，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可判断A；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，根据图象即可判断可B；根据的单调性，得到，结合，即可判断C；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与即可判断D.
12．【答案】12
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为质点的运动方程为，所以，
则当时的瞬时速度为.
故答案为：.
【分析】求导，将代入求瞬时速度即可.
13．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式通项，
所以展开式中项为：
，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】本题考查二项式定理的通项公式与多项式乘法的综合应用，核心是将拆分为，分别求出两部分中的项的系数，再求和。
14．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设函数，求导可得，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
且时，；时，，
故，
作出的图象，如图所示：
要使有三个不同的零点，其中
令，则需要有两个不同的实数根（其中）
可得，
因为，所以，则
所以，则，且
.
故答案为：1.
【分析】设函数，求导，利用导数判断函数的单调性，令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围即可.
15．【答案】（1）解：从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法，
再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（2）解：将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种，
再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（3）解：乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法，
由分步乘法计数原理可得共有种排法．
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 先利用组合数分别选取1名男生和3名女生，再利用排列数对选出的4人进行全排列，结合分步乘法计数原理计算总方法数；
(2) 采用捆绑法，先将3名男生视为一个整体与4名女生全排列，再对男生整体内部进行全排列，分步计算总方法数；
(3) 先确定乙的位置（排尾），再安排甲的位置（不站排头），最后对剩余人员全排列，结合分步乘法计数原理求解。
（1）从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法，
再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（2）将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种，
再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法．
（3）乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法，
由分步乘法计数原理可得共有种排法．
16．【答案】（1）解：令，得①．
令，得②，
由①②，得，
.
（2）解：求，即相当于求二项式的系数和，
令，得．
（3）解：因为，
两边分别求导，得，
令，得．
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用赋值法，分别令和代入二项展开式，得到两个等式后作差，消去偶数项系数，求解奇数项系数和；
(2) 将转化为的各项系数和，再用赋值法令求解；
(3) 对原二项展开式两边求导，再令代入导函数，求解系数与项数乘积的和。
（1）令，得①．
令，得②，
由①②，得，
.
（2）求，即相当于求二项式的系数和，
令，得．
（3）因为，
两边分别求导，得，
令，得．
17．【答案】（1）解：当时，，所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值；
（2）解：在上有解，
即在上有解，
即在上有解，
令，，
则
由（1）知时，即，
所以当时，当时；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 当时，先对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，再结合极值的定义确定函数的极值点与极值；
(2) 将不等式变形为关于的不等式，构造新函数，利用导数研究的单调性与最值，结合“有解”的条件求解实数的取值范围。
（1）当时，，所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值；
（2）在上有解，
即在上有解，
即在上有解，
令，，
则
由（1）知时，即，
所以当时，当时；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由题意，的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，
则
所以，的分布列为：
0 1 2
则的数学期望．
（2）解：（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，
“每位员工第轮培训达到优秀”（），，
根据互斥事件加法求概率公式和事件相互独立的定义，
得：
．
则每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，
则，
所以，
则（万元），
则估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量服从超几何分布，再利用超几何分布求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出事件C的概率则得出每位员工经过培训合格的概率.
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，再利用已知条件得出，再根据二项分布求数学期望公式，从而估计出两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润．
（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19．【答案】（1）解：当时，函数，
求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2）解：，
当时，，恒成立，函数在定义域单调递减；
当时，由，可得：，由，可得，
所以在单调递减，在单调递增；
综上：当时，在定义域单调递减，无增区间，
当时，在单调递减，在单调递增；
（3）解：，，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 当时，先求函数的导数，利用导数的几何意义得到切线斜率，再结合点坐标用点斜式求切线方程；
(2) 对求导后，根据参数的取值范围（、），分析导数的正负，进而确定函数的单调区间；
(3) 将不等式变形后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最小值，结合整数性质求解的最大值。
（1）当时，函数，
求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2），
当时，，恒成立，函数在定义域单调递减；
当时，由，可得：，由，可得，
所以在单调递减，在单调递增；
综上：当时，在定义域单调递减，无增区间，
当时，在单调递减，在单调递增；
（3），，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
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