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第二十二章函数第１节：函数的概念
知识点
（1）常量与变量：
①变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
②常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
（注意：区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否发生改变，即是否可以取不同的值.）
（2）函数的概念：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
（注意：关键点：（1）两个变量；（2）一个量变化另一个量也变化；（3）给一个x的值，确定一个y的值.）
（3）自变量的取值范围：在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围.
（4）①当表达式为整式时，自变量取全体实数.
②当表达式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数.
③当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数非负.
④当函数的表达式中自变量出现零次幂或负整数次幂的底数中时,自变量取值是使底数不为零的实数。
（注意：对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.当表达式是上述情况的组合时，自变量的取值范围是其公共部分.）
（5）函数的解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
①函数解析式是等式.
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数.
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的函数.
（6）函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为时的函数值.
①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值;当己知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程;
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个.
练习题
第 1 课时 常量与变量
１．徐老师到加油站加油，如图所示的是加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ）
Ａ．金额 Ｂ．油量 Ｃ．单价 Ｄ．金额和油量
２．如图，水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为 ｒ，圆周长为 Ｃ，则在圆的周长公式 Ｃ＝ ２πｒ 中，变量是 （ ）
Ａ．π Ｂ．ｒ 和 Ｃ Ｃ．２ Ｄ．只有 ｒ
３．小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以 １０ ｋｍ/ｈ 的速度匀速骑行，用时 ｘ 小时骑行 ｙ 千米，下列说法正确的是 （ ）
Ａ．１０ 和 ｘ 是常量，ｙ 是变量 Ｂ．１０ 是常量，ｘ 和 ｙ 是变量
Ｃ．１０ 和 ｙ 是常量，ｘ 是变量 Ｄ．以上说法均错误
４．如图，把两根木条 ＡＢ 和 ＡＣ 的一端 Ａ 用钉子固定在一起，木条 ＡＣ 自由转动至 ＡＣ′的位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ）
Ａ．∠ＢＡＣ 的度数 Ｂ．ＡＢ 的长度
Ｃ．ＢＣ 的长度 Ｄ．△ＡＢＣ 的面积
５．以下是关于常量和变量的说法：（１）在一个变化过程中，允许出现多个变量和常量；（２）变量就是变量，它不可以转化为常量；（３）变量和常量是相对而言的，在一定条件下可以相互转化；（４）在一个变化过程中，变量只有 ２ 个，常量可以没有，也可以有多个．其中说法正确的有（ ）
Ａ．１ 个 Ｂ．２ 个 Ｃ．３ 个 Ｄ．４ 个
６．写出下列变化过程中的变量和常量：
（１）一个面积是 １０ 平方厘米的长方形，记它的长为 ａ 厘米，宽为 ｂ 厘米．
（２）小佳带了 ２０ 元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是 １．２ 元，小佳购买 ｎ 本练习本，剩余ｍ 元．
（３）以固定的速度 ｖ０ 米/秒向上抛一个小球，小球的高度 ｈ 米与小球运动的时间 ｔ 秒之间的关系式是 ｈ ＝ ｖ０ｔ－４.９ｔ２．
第 2 课时 函数的定义
１．下列图象中，表示 ｙ 是 ｘ的函数的是 （ ）
２．下列情景中，可以表示 ｙ 是 ｘ 的函数的是 （ ）
①某天的气温 ｙ（℃ ）与时间 ｘ（时）的关系．
②正方形的面积 ｙ（ｃｍ２）与边长 ｘ（ｃｍ）的关系．
③数轴上一个点表示的数 ｙ 与这个点到原点的距离 ｘ 的关系．
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③
３．判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系，如果是，指出其中的自变量和函数．
（１）一个长方体的体积一定，改变这个长方体的高ｈ，长方体的底面积 Ｓ 随 ｈ 的变化而变化．
（２）向水池注水时，注水量 ｙ 随注水时间 ｘ 的变化而变化．
（３）某村人均占有耕地面积 ｙ 随这个村人数 ｎ 的变化而变化．
４．下列等式：①ｙ＝２ｘ＋１；②ｙ＝；③｜ｙ｜＝３ｘ；④ｙ２＝５ｘ－８；⑤ｙ＝±ｘ ．其中 ｙ是ｘ的函数的有 （ ）
Ａ．１ 个 Ｂ．２ 个 Ｃ．３ 个 Ｄ．４ 个
５．在计算器上按如图所示的程序操作：
填表：
x 1 5 －10 0 50 －3.6
y
显示的计算结果 ｙ 是输入数值 ｘ 的函数吗？ 为什么？
６．我们知道：“距离地面越高，气温就越低．” 下表表示的是某地某时气温 ｔ（℃ ）随高度 ｈ（ｋｍ）的变化而变化的情况：
（１）上表反映了哪两个变量之间的关系？ 哪个是自变量？ 哪个是函数？
（２）请说明温度是怎样随距离地面高度的增加而变化的．
（３）已知某山顶的气温为－２２ ℃ ，求此山顶距离地面的高度．
第 3 课时 函数的解析式
１．函数 ｙ＝的自变量 ｘ 的取值范围为 （ ）
Ａ．ｘ≠４ Ｂ．ｘ≠３ Ｃ．ｘ≠２ Ｄ．ｘ≠１
２．函数ｙ＝中，自变量 ｘ 的取值范围是 ．
３．水池中有１０ Ｌ 水，此后每小时漏水０．０５ Ｌ，水池中的水量 Ｖ（单位：Ｌ）与时间ｔ（单位：ｈ）之间的函数关系式是 ，则自变量 ｔ 的取值范围是 ．
４．在标准大气压下，水温达到 １００ ℃ ，水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾” 实验时所记录的时间ｔ（ｍｉｎ） 和水温Ｔ（℃ ）的数据：
在水烧开之前（即 ｔ＜１０ 时），水温 Ｔ 与时间 ｔ 之间的关系式为 （ ）
Ａ．Ｔ＝ ７ｔ＋３０ Ｂ．Ｔ＝ １６ｔ＋３０
Ｃ．Ｔ＝ １４ｔ－１６ Ｄ．Ｔ＝ ３０ｔ－１６
５．根据如图所示的程序计算函数 ｙ的值，当输入的 ｘ 值为 ４ 时，输出的 ｙ 值为 ５，则输入的 ｘ 值为 ３ 时，输出的 ｙ 值为 （ ）
Ａ．－６ Ｂ．６ Ｃ．－３ Ｄ．３
６．如图，把一个含可调节电阻 Ｒ 的用电器接在闭合电路中，用电器的功率 Ｐ、两端电压 Ｕ 及用电器的电阻 Ｒ 的关系式为 Ｕ２＝ＰＲ，当 Ｕ＝ ２２０ Ｖ，用电器的功率 Ｐ＝ ８００ Ｗ 时，用电器的电阻 Ｒ 的值为 Ω．
７．激光测距仪 Ｌ 发出的激光束以３×１０５ｋｍ/ｓ 的速度射向目标 Ｍ，ｔ ｓ 后测距仪 Ｌ 收到 Ｍ 反射回的激光束，则 Ｌ 到 Ｍ 的距离 ｄ（ｋｍ）与时间 ｔ（ｓ）的关系式为 （ ）
Ａ．ｄ ＝１.５×１０５ｔ Ｂ．ｄ＝３×１０５ｔ
Ｃ．ｄ ＝６×１０５ｔ Ｄ．ｄ＝３×１０６ｔ
８．函数 ｙ＝中自变量的取值范围是 ．
９．“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家１００千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油３５升，已知汽车每千米的耗油量为 ０.１２５ 升．
（１）写出行驶路程 ｘ（千米）与剩余油量 Ｑ（升）之间的关系式．
（２）当 ｘ ＝ ８０ 时，求剩余油量 Ｑ 的值．
（３）当油箱中剩余油量低于 ３ 升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？ 请说明理由．
答案
第 1 课时 常量与变量
１．Ｃ
２．Ｂ
３．Ｂ
４．Ｂ
５．Ｂ
６．解析 （１）ａ，ｂ 为变量；１０ 为常量．
（２）ｎ，ｍ 为变量；２０，１.２ 为常量．
（３）ｈ，ｔ 为变量；ｖ０ ，－４.９ 为常量．
第 2 课时 函数的定义
１．Ａ
２．Ａ
３．解析 （１）是函数关系．
∵ 长方体的底面积 Ｓ 随 ｈ的变化而变化，
∴ ｈ 是自变量，Ｓ 是 ｈ 的函数．
(2)是函数关系．
∵ 注水量 ｙ 随注水时间 ｘ 的变化而变化，
∴ ｘ 是自变量，ｙ 是 ｘ 的函数．
(3)是函数关系．
∵ 人均占有耕地面积 ｙ 随这个村人数 ｎ 的变化而变化，
∴ ｎ 是自变量， ｙ 是 ｎ 的函数．
４．Ｂ
５．解析 当ｘ＝１ 时，ｙ ＝１×３＋２ ＝５；当 ｘ＝５ 时，ｙ ＝５×
３＋２＝１７；当ｘ＝－１０时，ｙ＝（－１０）×３＋２＝－２８；当
ｘ＝０时，ｙ ＝ ０×３＋２ ＝ ２；当 ｘ ＝ ５０ 时，ｙ ＝ ５０×３＋２ ＝１５２；当ｘ ＝ －３.６时，ｙ＝－３.６×３＋２＝－８.８．
故答案为 ５；１７；－２８；２；１５２；－８．８．
∵ 输入 ｘ 的一个值，都有唯一的 ｙ 值与之对应，
∴ 显示的计算结果 ｙ 是输入数值 ｘ 的函数．
６．解析 （１）题表反映了气温 ｔ 和高度 ｈ 两个变量之间的关系．高度 ｈ 是自变量，气温 ｔ 是高度 ｈ 的函数．
（２）由题表可知气温随着距离地面高度的增加而降低．
（３）由题表可知距离地面的高度每上升 １ ｋｍ，气温下降 ６ ℃ ，
∴ 当距离地面的高度为 ６ ｋｍ 时，气温为－１６ ℃ ，当距离地面的高度为 ７ ｋｍ 时， 气温为－２２ ℃ ，
∴ 此山顶距离地面的高度是 ７ ｋｍ．
第 3 课时 函数的解析式
１．Ｄ
２．ｘ≥１ 且 ｘ≠２
３．Ｖ ＝ －０．０５ｔ＋１０ ０≤ｔ≤２００
４．Ａ
５．Ａ
６．６０.５
７．Ａ
８．ｘ＞且 ｘ≠２
９．解析 （１）根据题意，得 Ｑ＝ ３５－０.１２５ｘ．
（２）当 ｘ ＝ ８０ 时，Ｑ＝ ３５－０.１２５×８０ ＝ ２５．
（３）他们能在汽车报警前回到家．
理由：（３５－３）÷０．１２５ ＝ ２５６（千米），
∵ ２５６＞２００，
∴ 他们能在汽车报警前回到家．

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