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2025—2026学年北师大七年级数学下学期期末全真测评卷二
用时:120分钟 总分:150分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是( ).
2.2025年，中国科学家研发的新型纳米防水材料厚度仅为0.000000025米(25纳米)，该材料可应用于航天器表面防护.根据《国家纳米技术发展规划》，此材料的大规模生产将推动微电子领域革新.将纳米材料厚度0.000000025米用科学记数法表示为( ).
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3.如图所示各图中，∠1=∠2一定成立的是( ).
4.下列运算正确的是( ).
A. 2a-a=2 B. C. D.
5.下列事件中，属于必然事件的是( ).
A.太阳从东方升起
B.抛掷1枚质地均匀的硬币10次，有5次正面朝上
C.打开电视机在播放《新闻联播》
D.在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球
6.折叠凳侧面上半部分三角形的示意图如图.若AB=AC=19cm，则折叠凳的宽 BC 可能为( ).
A. 45 cm B. 40 cm C. 38cm D. 27 cm
7.将一副三角尺如图摆放，其中点 F 在边AC上，且AB∥DF，则图中∠CFE 的度数为( ).
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
8.数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，小亮想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O 固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB 的长度.其数学原理是利用△AOB≌△DOC,判断△AOB≌△DOC 的依据是( ).
A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS
9.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,在AB和AC上分别截取AM,AN,使AM=AN,分别以点M,N为圆心、大于 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，连接射线 AP 与BC 相交于点D，过点 D 作DE⊥AC 于点E.若DE=2,则△ABC 的面积为( ).
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
10.定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”： 有如下结论：是8的倍数;③m,n为正整数,且m>n,若(m+7)(m-7) 是“和谐数”,则m-n=7;④m,n为正整数,且m>n,若 和m+n-1都是“和谐数”，则7m-5n-3也是“和谐数”.则上述结论正确的个数是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11.计算:(x+2)(x-1)= .
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=35°,D为BC中点,则∠CAD= °.
13.转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在红色区域的概率是 .
14.如图(1)，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度匀速往水槽中注水，13秒时注满水槽，水槽内水面的高度y(厘米)与注水时间x(秒)之间的关系如图(2)所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,且CD=1,DB=4,以AB为边向右上方作△ABE,使得AE=AB,∠BAE=2∠CAD,连接AD,DE,则DE= .
三、解答题(本大题共9小题，共90分)
16.(8分)计算:
17.(8分)先化简,再求值:[(2x+y)(2x-y)+y(y-2x)]÷x,其中x=1,y=-2.
18.(8分)如图,点C,E 在线段BF 上,AB∥DF,BE=CF,∠ACB=∠DEF.试说明:AC=DE.
19.(8分)请把下面证明过程补充完整：
如图,在△ABC中,点E,F分别在边AB,AC上,∠EFC+∠C=180°,点G在BA 延长线上,AD平分∠CAG,∠D=∠DEF.试说明:∠B=∠C.
解:∵∠EFC+∠C=180°(已知),∴EF∥ ( ).
∵∠D=∠DEF(已知),∴ //EF( ),
∴AD∥BC( ),∴∠GAD=∠B( ),∠CAD=∠C( ).
∵AD 平分∠CAG(已知),∴∠GAD= ,
∴∠B=∠C(等量代换).
20.(8分)如图所示，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)请在图中画出△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C';
(2)△ABC 的面积为 ;
(3)如图，M是BC的中点，请在直线l上确定一点N，使得NB+NM 的值最小.
21.(10分)一个不透明袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如表：
试验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数m 144 214 276 352 425 491 559 702
摸到红球频率 0.72 0.71 0.69 0.70 0.71 0.70 0.70 a
(1)表格中a= .(精确到0.01)
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率为 .(精确到0.1)
(3)若袋子中共有10个球，则除了红球，估计还有 个其他颜色的球.
(4)在(3)的条件下，往袋子中再放入4个白球，摇匀后从袋中随机摸出一球，摸到红球小明胜，摸到其他颜色的球小亮胜，你认为游戏对两人公平吗 请说明理由.
22.(12分)综合与实践
实践主题：我是城市建筑师
生活情境 某市在创设全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米(支撑杆宽度忽略不计).
数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如表数据：
盆栽个数 2 3 4 5 6
护栏总长度/米 5.4 a 13.8 18 b
根据上述的素材，解决以下问题：
(1)根据上表中数据的规律，表格中
(2)设有x个盆栽，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是 .
(3)要在一条长度为144米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽
23.(12分)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来.我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式.(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)
公式①：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;公式②：(a+b+c)d=ad+bd+cd;
公式③： 公式④：
图(1)对应公式 ，图(2)对应公式 ，图(3)对应公式 ，图(4)对应公式 .
(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：已知 求 m n 和( 的值；
(3)两块完全相同的特制直角三角板 如图(5)所示放置，其中A，O，D在同一直线上.连接AC,BD,若求一块特制直角三角板的面积.
24.(16分)[材料阅读]在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂.同学们踊跃参与,尝试用三种不同方式摆放一副三角板，在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC;在△DEF中,∠FDE=90°,∠FED=30°,设计出不同的题目,请你帮他们完成作答.
[发现](1)如图(1)，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 A 摆放在线段EF 上时，过点 C 作CG⊥EF,垂足为G,过点B作BH⊥EF,垂足为 H.
①请在图(1)中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论：
∵∠CAB=90°,∴∠CAG+∠BAH=90°.
∵CG⊥EF,BH⊥EF,∴∠CGA=∠AHB=90°,∴∠CAG+∠ACG=90°,∴∠ACG=∠BAH.
在△CGA 和△AHB 中,
②若CG=2,BH=3,则GH= ;
[类比](2)如图(2)，将两个三角板叠放在一起，当顶点 A 在线段DE 上且顶点C 在线段DF 上时，过点 B 作BM⊥DE，垂足为M，试猜想线段BM，MD，DC 之间的数量关系，并说明理由；
[拓展](3)如图(3)，将两个三角板叠放在一起，当顶点 A 在线段DF 上且顶点C 在线段DE 上时，若AD=5,CD=12,连接BD,求△BCD 的面积.
1. A[解析]本题考查了轴对称图形的概念，判断是否是轴对称图形需要寻找对称轴，使图形两部分折叠后可重合.选项 B，C，D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；选项 A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形.故选 A.
知识拓展轴对称图形的判断方法：观察图形是否存在一条直线，使图形沿该线对折后的两部分能完全重合；中心对称图形的判断方法：将图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形与原图形能完全重合则为中心对称图形.课本范围内，轴对称图形有线段、角(平角以内)、两直线相交、等腰三角形、正n边形、长方形、菱形、等腰梯形、圆、扇形等；中心对称图形有线段、两直线相交、正n边形(n为偶数)、平行四边形、长方形、菱形、圆等.
2. C[解析]本题考查了科学记数法的表示方法，表示时能正确确定a 的值以及n 的值是解题的关键.
0.000000025=2.5×10 .故选 C.
3. B[解析]本题考查对顶角、邻补角的性质，掌握以上知识点是解题的关键.
A.∠1与∠2是邻补角,∠1+∠2=180°,但∠1不一定等于∠2，不符合题意；
B.∠1与∠2是对顶角,∠1=∠2,符合题意;
C.∠1 与∠2不一定相等，不符合题意；
D.∠2>∠1,不符合题意.故选 B.
4. D[解析]本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.
A.2a-a=a,，故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项符合题意.故选D.
方法诠释 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，先将每个因式分别乘方，再将它们相乘；合并同类项，将各项系数相加，字母和字母的指数不变.
5. A[解析]本题考查的是随机事件、必然事件和不可能事件，正确运用方法判断是关键.
A.太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
B.抛掷1枚质地均匀的硬币 10次，有5次正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C.打开电视机在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意；
D.在只装有2个红球和3个白球的袋子里，摸出一个黑球，是不可能事件，不符合题意.故选 A.
方法诠释 必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
6. D[解析]本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系.
∵AB-AC∴19-19∴折叠凳的宽 BC可能为27 cm.故选 D.
7. C[解析]本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键.
∵AB∥DF,∴∠AFD=∠A=30°.
∵∠AFD+∠DFE+∠CFE=180°,
故选 C.
8. A[解析]本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
∵O是AD,BC的中点,∴AO=OD,BO=OC.
∵∠AOB=∠COD,∴△AOB≌△DOC,
∴AB=CD.故选 A.
9. B[解析]本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识.如图,过点 D作DF⊥AB 于点F,∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF=2,
∴△ABC 的面积 2=9.故选 B.
10. B[解析]本题考查平方差公式、完全平方公式、新定义下数字规律的探索、设参消元的知识，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，灵活应用公式进行计算.
①观察“和谐数列”，可知设下标为n，则被减数的底数为2n+1,减数的底数为2n-1,即
故①正确；
②根据①找出的规律，知
∴a +a +…+a =8×1+8×2+…+8×8=8×(1+ 是 8的倍数，故②正确；
由“和谐数”的定义，得m-n可为9，故③错误；
是“和谐数”，可设
得可取k=10,得m-n=1,
则 符合“和谐数”的定义.
假设m=5,n=4,此时; 符合“和谐数”的定义,但7m-5n-3=12不是8的倍数,
∴7m-5n-3不是“和谐数”,故④错误.故选 B.
[解析]本题主要考查了多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键.
原式
12.55 [解析]本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质.
∵AB=AC,∴∠C=∠B=35°.
∵D 为BC的中点,∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,∴∠CAD=90°—∠C=55°.
13. [解析]本题主要考查的是几何概率，熟记概率公式是解题的关键.
红色区域占转盘总面积的
故指针落在红色区域的概率为
14.3[解析]本题考查了用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答.
由图形，可知圆柱形水槽的高是 16 cm，正方体铁块的高是8cm，圆柱形水槽一半注满水需要 13-5=8(秒)，
故如果将正方体铁块取出，又经过8-5=3(秒)恰好将水槽注满.
名师点评 图象信息题首先是读懂题目，分析图象，弄清楚每一个点所表示的实际意义，图象上特殊点最为重要，是帮助理解题意，确定状态的重要信息，另外图象信息题可以配合实际图形解决问题，将图象中的信息全部转移到实际图形上去，更有利于弄清所有的状态.
15.6 [解析]本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键.如图,延长 BC至点G,使CD═CG,连接AG.
∵∠ACB=90°,∴AC⊥GB,
∴AC垂直平分GD,
∴AG=AD,∠GAC=∠CAD,
∴∠GAD=2∠CAD.
∵∠BAE=2∠CAD,
∴∠GAD=∠BAE,
∴∠GAD+∠BAD=∠BAE+∠BAD,
∴∠GAB=∠DAE.
在△GAB 与△DAE中,
∴△GAB≌△DAE(SAS),∴BG=DE,
∴BG=BD+GD=BD+2CD.
∵CD=1,DB=4,∴DE=4+2=6.
16.[解析]本题考查了整式的混合运算、绝对值、有理数的加减混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解决本题的关键是按照运算法则和运算顺序进行计算.
解：
。
17.[解析]本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
解:[(2x+y)(2x-y)+y(y-2x)]÷x
=4x-2y.
当x=1,y=-2时,原式=4×1-2×(-2)=8.
18.[解析]本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
解:∵AB∥DF,∴∠B=∠F.
∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,即 BC=FE.
在△ABC 和△DFE 中,
∴△ABC≌△DFE(ASA),∴AC=DE.
方法诠释：判定两个三角形全等的一般方法有SSS，SAS，ASA,AAS.注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，选择方法时需要紧扣条件正确选用.
19.[解析]本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键.
解:∵∠EFC+∠C=180°(已知),
∴EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行).
∵∠D=∠DEF(已知),
∴AD∥EF(内错角相等，两直线平行)，
∴AD∥BC(平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠GAD=∠B(两直线平行,同位角相等),∠CAD=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵AD 平分∠CAG(已知),∴∠GAD=∠CAD,
∴∠B=∠C(等量代换).
20.[解析]本题考查了作图一轴对称变换、三角形的面积、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.
解:(1)如图,△A'B'C'即为所求.
(2)5 提示:△ABC 的面积为
(3)如图,连接MB'交直线l于点N,连接BN,此时NB+NM=NB'+NM=MB',，为最小值，则点 N 即为所求.
21.[解析]本题考查了频率估计概率.
解:(1)0.70 提示:
(2)0.7
(3)3提示：∵摸出一个球恰好是红球的概率为0.7，
∴袋子中有红球10×0.7=7(个),
∴估计还有3个其他颜色的球.
(4)游戏对两人公平.理由如下：
∵摸到红球的概率为
摸到其他颜色的球的概率为
∴游戏对两人公平.
知识要点 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率的稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确.
22.[解析]本题主要考查了列变量关系式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的变量关系式.
解:(1)9.6 22.2 提示:根据题意,得
当盆栽个数为3时,护栏总长度为1.2×3+3×2=9.6;
当盆栽个数为6时,护栏总长度为1.2×6+3×5=22.2.
(2)y=4.2x-3 提示:根据题意,得
y与x之间的关系式为y=1.2x+3(x-1)=4.2x-3.
(3)当y=144时,144=4.2x-3,解得x=35.
故道路两旁共需要加装70个花卉盆栽.
→看清问题“道路两旁”避免错解
23.[解析]本题考查了完全平方公式、整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式、整式的混合运算.
解:(1)② ① ③ ④
即
(3)根据题意,可知AD=BC=16,AD⊥BC,
∴一块特制直角三角板的面积为54÷2=27.
24.[解析]本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解题的关键.
解:(1)①△AHB ②5 提示:②∵△CGA≌△AHB,
∴CG=AH=2,AG=BH=3,
∴GH=AG+AH=3+2=5.
(2)BM=DC+MD.理由如下:
∵∠BAC=90°,∴∠BAM+∠DAC=90°.
∵∠ADC=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°,∴∠BAM=∠ACD.
∵BM⊥DE,∴∠BMA=∠ADC=90°.
∵AB=AC,
∴△BAM≌△ACD,∴AM=DC,BM=AD.
∵AD=AM+MD,∴BM=DC+MD.
(3)如图,过点 B 作 BN⊥FD,交 FD的延长线于点 N.
由(2),得△BNA≌△ADC,
∴BN=AD=5,AN=CD=12,
∴DN=AN-AD=12-5=7,
7=42.

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