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2025—2026学年北师大版七年级数学下学期期末全真测评卷一
用时:90分钟 总分:100分 得分:
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.一个图书馆的图标设计不仅要美观大方，还要能准确传达图书馆的核心价值和文化内涵.下列图书馆图标是轴对称图形的是( ).
2.改革开放以来，人们的支付方式变得越来越便捷.某便民超市里支持现金、微信、支付宝和刷脸四种付款方式.小华在该超市消费后开始付款，假设小华选择四种付款方式的可能性相同，则选择微信的概率是( ).
A. 1 B. C. D. 0
3.下列运算正确的是( ).
A. B. C. D.
4.当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象.如图，一束平行光线AB 与DE 射入水平放置的水杯中,其折射光线 BC∥EF,若∠1=125°,则∠2的度数为( ).
A. 65° B. 55° C. 45° D. 125°
5.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点 P，测得PA=20m，PB=15m，那么A，B间的距离可能是( ).
A. 40m B. 35m C. 25m D. 5m
6.如图，直线l的同侧有P，Q两点，在直线l上确定一个点，使得这个点到 P，Q两点的距离之和最短，这个点是( ).
A.点A B.点 B C.点C D.点 D
7.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC,下列结论不一定成立的是( ).
A. AF=EF B. ∠C=∠E C. BC=DE D. ∠B=∠D
8.如图，△ABC的各边中点分别为D，E，F，AD与EF 相交于点O，将三角形分为四个部分，面积分别为S ,S ,S ,S ,则 与 的大小关系为( ).
A.
B.
C.
D.无法确定
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9.抛一个瓶盖，落地后会出现“盖口向上”和“盖口向下”两种情况.小明通过信息技术模拟试验得到了如图的折线统计图.根据统计结果估计事件“盖口向上”发生的概率为 .
10.如图，两条直线a，b被第三条直线c所截，请添加一个条件： ，使得a∥b.
11.运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里(Cal)=0.0024×体重(kg)×跳绳次数.一名体重50kg的学生跳绳x次，他所消耗的卡路里y(单位：Cal)与x(单位：次)之间的关系式为 .
12.若 则a 的值为 .
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为平面上一点,AD⊥DC,若CD=6,则△BCD 的面积为 .
三、解答题(本大题共7小题，共61分)
14.(9分)计算: (2)(a+2b)(3a+b).
15.(6分)先化简,再求值: 其中a=2,b=-1.
16.(7分)如图，小深每天乘坐公交车上学需经过由南往北的路口，该路口信号灯的配时周期为113秒，其中包含红灯80秒、绿灯30秒、黄灯3秒.
(1)小深乘坐公交车到达该路口时，遇到红灯的概率为 ；遇到绿灯的概率为 ；
(2)为提高通行效率，交管部门计划将配时周期(113秒)缩短.根据交通管理规范，该路口信号灯的配时周期宜设置在80秒到100秒之间.若该路口信号灯配时周期为83秒，其中行人遇到红灯的概率是遇到绿灯的概率的3倍，请你求出符合要求的红绿灯配时方案.(配时周期内黄灯时长不变，红绿灯时长为整数)
17.(8分)打羽毛球时，羽毛球的运动轨迹主要受击球力度、角度和空气阻力影响.小明发了个高远球，羽毛球到达最高点后开始下落.羽毛球高度与下落时间的关系如表所示：
下落时间t/s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
羽毛球高度h/m 5.25 5.17 4.96 4.63 4.19 3.66 3.05 2.37 1.63 0.74 0
根据表格所提供的信息，回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)当下落时间为 s时，羽毛球高度为3.66m；
(3)当下落时间为1.2s时，羽毛球下降的距离为 m；
(4)假设搭档小华的接球合适高度在2m左右，从羽毛球下落那一刻算起，小华最好在 s之间完成回击.
18.(9分)如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AC,DE相交于点G,
(1)试说明:
(2)若 求 的度数.
19.(10分)中考新考法新定义问题[定义]一个正整数除以它的各位数字之和，所得的商叫作这个数的平均商.例如：5的平均商 24的平均商 312的平均商
[理解](1)8的平均商为 ，55的平均商为 .
[探究](2)数学兴趣小组开展研究，首先计算部分两位数的平均商(保留两位小数)，结果如表：
十位数字 个位数字
9 8 7 … 1 0
9 5.5 5.76 6.06 9.1 10
8 5.24 5.5 5.8 … 9 10
7 4.94 5.2 5.5 … 8.88 10
老师：“请同学们观察表格，谈谈你的发现.”
小明：“我发现，个位数字与十位数字相同的两位数的平均商相同.”
小莉：“我发现，当个位数字相同时，十位数字越小，平均商越小.”
①请你再写出一条新的发现；
②假设一个两位数的个位数字与十位数字都为a，请结合计算，说明小明的说法是否合理.
[拓展](3)利用上述研究思路，可以得出平均商最小的三位数是 .
20.(12分)综合与实践
(1)如图，某数学小组用尺规作图在∠AOB 内求作一点P，使得
①经过讨论，得到如表两种作法，补全表格中的说明过程和依据；
方法一 方法二
作图步骤 1. 在 OA 上任取一点 C,作∠ACE'=∠AOB. 2. 在射线 CE'上作CP=OC.点 P 即为所求. 1. 在OA 和OB 上分别取点C,D,使得OC=OD. 2.作OD 的垂直平分线EF. 3.作OC的垂直平分线MN，与直线EF 交于点P.点 P 即为所求.
图示
理由 (已作), ∴CP∥OB( ), ∴∠CPO= . ∵CP=OC(已作), ∴∠CPO= , ∴∠AOP=∠BOP. 连接PC,PD. ∵EF 垂直平分OD(已作), ∴OP= , 同理可得,OP=PC,∴PC=PD. ∵OC=OD(已作),PO=PO, ∴△OPC≌△OPD( ), ∴∠AOP=∠BOP.
②请你用不同于上面的尺规作图方法在图(1)中求作点 P(保留作图痕迹，不写作法)，并说明作法的正确性.
(2)在制作万花筒时，可以先将两面镜子的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”.如图(2)，设两面镜子的夹角 物体 Q 在∠AOB 的平分线上，则在镜子中一共形成 个物体 Q 的像.
1. A[解析]本题考查了轴对称图形的辨别.
由于 B. C. D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形.故选 A.
方法诠释 判别轴对称图形的方法是寻找一条直线，把图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分如果能完全重合，则这个图形就是轴对称图形.
2. C[解析]本题考查了概率的简单应用.
∵便民超市里支持现金、微信、支付宝和刷脸四种付款方式，∴选择微信的概率是 .故选C.
3. D
4. B[解析]本题考查了平行线的性质.
∵BE∥CF,∴∠1+∠BCF=180°.
∵∠1=125°,∴∠BCF=180°-125°=55°.
∵BC//EF,∴∠2=∠BCF=55°.故选 B.
5. C[解析]本题考查了三角形的三边关系.
∵PA-PB∴20-15∴A,B间的距离可能是25m.故选 C.
6. B[解析]本题考查了将军饮马模型.
如图，作点Q关于直线l的对称点Q'，连接PQ'交直线l于点 B,则点 B 符合题意.故选 B.
7. A[解析]本题考查了全等三角形的判定和性质.
∵∠BAE=∠DAC,
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠BAC=∠DAE.
在△ABC 和△ADE 中,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠C=∠E,BC=DE,∠B=∠D,
故选项 B，C，D一定成立，不符合题意；
但AF 与EF 不一定相等，故选项 A不一定成立.故选 A.
8. B[解析]本题考查了三角形的面积.
如图,连接OB,OC.
∵E 是AB 的中点,
同理可得
∵D 是BC的中点,
故选 B.
9.0.6 [解析]本题考查了利用频率估计概率.
观察折线统计图发现：随着试验次数的增加，频率逐渐稳定到常数0.6附近，∴估计事件“盖口向上”发生的概率为0.6.
解后反思 利用频率估计概率的条件：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
10.∠5=∠3(答案不唯一)[解析]本题考查了平行线的判定.
∵∠5=∠3,∴a∥b(内错角相等,两直线平行).
一题多解 ∵∠5=∠1,
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)。
11. y=0.12x [解析]本题考查了用关系式表示变量之间的关系.
根据题意，得.y=0.0024×50x=0.12x.
12.1 [解析]本题考查了代数式求值.
且(
将 两边同乘a，得(
方法技巧解答本题需要把原来的等式变形为 a+1后两边同乘a，然后整体代入即可.
13.18 [解析]本题考查了一线三等角全等模型.
过点B作BE⊥CD于点E，如图所示.
图形中有等腰直角三角形以及过顶点的一条直线，这时就需要通过作垂线来构造一线三直角全等三角形来解决问题
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°.
∵AD⊥CD,BE⊥CD,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BCE.
在△ACD 和△CBE 中,
∴△ACD≌△CBE(AAS),∴CD=BE=6,
∴△BCD 的面积为
知识拓展 本题运用了一线三等角全等模型，一线三等角是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.
14.[解析]本题考查了整式的混合运算.
(1)利用同底数幂乘法及除法法则、幂的乘方法则计算后再合并同类项；
(2)利用多项式乘多项式法则计算后，再合并同类项.
解:(1)原式
(2)原式:
15.[解析]本题考查了整式的化简求值.
根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和多项式除以单项式法则进行化简，再把a，b的值代人即可.
解：原式
当a=2,b=-1时,原式=2+2×(-1)=2+(-2)=0.
16.[解析]本题考查了概率的应用.
解：
(2)设绿灯时长为x秒，则红灯时长为 3x秒.
配时周期=3x+x+3=4x+3=83,解得x=20,则红灯时长为60秒，绿灯时长为20秒，黄灯时长为3秒，总时长为83秒.
17.[解析]本题考查了变量之间的关系.
解:(1)t h (2)1
(3)2.2提示：当下落时间为1.2s时，羽毛球的高度是3.05m,∴下降的距离为5.25-3.05=2.2(m).
(4)1.4~1.6 提示:由题意,得羽毛球的高度为2m时,1.418.[解析]本题考查了全等三角形的判定和性质.
解:(1)∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,∴BC=EF.
在△ABC 和△DEF 中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠F=∠ACB,∴AC∥DF.
(2)∵△ABC≌△DEF,∴∠B=∠DEF=45°,∠F=∠ACB=60°,∴∠EGC=180°-∠GEC-∠GCE=180°
19.[解析]本题考查了对新定义平均商的理解和掌握.
解：(1)1 5.5 提示：8的各位数字之和为8，平均商为8÷8=1;
55的各位数字之和为5+5=10,平均商为55÷10=5.5.
(2)①个位数字为0的两位数的平均商均为10(答案不唯一).
②设个位数字与十位数字均为a(a为1到9的整数)，则两位数为10a+a=11a,各位数字之和为a+a=2a,平均商为
因此，所有个位数字与十位数字相同的两位数的平均商均为5.5，小明的说法合理.
(3)199 提示：设三位数的百位、十位、个位数字分别为x,y,z(1≤x≤9,0≤y≤9,0≤z≤9),则三位数为100x+10y+z,平均商为
要使平均商最小，需分子尽可能小且分母尽可能大，
当x=1(百位最小),y=9,z=9(十位和个位最大)时,三位数为199,各位数字之和为1+9+9=19,
∴平均商为
经检验，其他组合的平均商均大于此值.
故平均商最小的三位数是 199.
20.[解析]本题考查了与角平分线尺规作图有关的综合与实践.解:(1)①同位角相等,两直线平行 ∠POB ∠COPPD SSS
②如图，射线OP 即为所求.
理由:由作图可知,OC=OD,CP=PD.
∵OP=OP,∴△OPC≌△OPD,
∴∠AOP=∠BOP.
(2)5

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