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趋势新题特训四 中考新考法
一、选择题
1.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如 因此4，12，20都是“神秘数”，则下列是“神秘数”的是( ).
A. 56 B. 60 C. 62 D. 88
2.定义运算:a b=a(1-b).下面给出了关于这种运算的几种结论:①2 (-2)=6;②a b=b a;③(a b)-(b a)=a-b;④若a b=0,则a=0或b=1.其中结论正确的序号是( ).
A. ①④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
3.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4，6，8，且相邻两根木条的夹角均可以调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( ).
A. 7 B. 10 C. 11 D. 14
4.我们知道，同底数幂的乘法法则为 (其中a≠0，m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m,n的一种新运算:h(m+n)=h(m)·h(n).比如h(2)=3,则h(4)=h(2+2)=3×3=9.若h(2)=k(k≠0),则h(2n)·h(2026)的结果是( ).
A. 2k+2025 B. 2k+2026 C. D. 2026k
5.(2025·河北石家庄期中)如图,已知AB=4cm,∠A=∠B=60°,AC=BD=3cm.点 P 在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B 向点D 运动,它们运动的时间为t(s).当x的值为( )时,△ACP 与△BPQ全等.
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或1.5
二、填空题
6.已知 现给出3个数a,b,c之间的三个关系式:①a+c=2b;②b=a+2;③a+b=2c-3.其中正确的关系式是 (填序号).
7.如图,△ABC,△DEF,△GHK 是大小相同的等边三角形,它们的面积都是16cm .又知△AHF 的面积为25cm ，三张纸片互相重合部分(即中间小三角形)的面积为4cm ，则图中三个阴影部分面积的和为 cm .
8.(2025·河北张家口经开区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点C在直线l上.点 P 从点A 出发，在三角形边上沿A→C→B 的路径向终点B 运动；点Q 从点B 出发，在三角形边上沿 B→C→A 的路径向终点A 运动.点 P 和Q分别以1个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻，分别过 P 和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点 P 的运动时间等于 秒时,△PEC 与△CFQ全等.
9.(2024·长春绿园区二模)如图,C为线段AB 上一点,△DAC,△ECB 都是等边三角形,AE,DC 交于点M,DB,EC交于点N,DB,AE交于点P,连接MN,给出下面四个结论:①MN∥AB;②∠DPM=60°;③∠AEB=90°;④△ACM≌△DCN.上述结论中,一定正确的是 (填序号).
10.(2024·广东深圳龙岗区德琳学校期中)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=12cm,BC=20cm,点 P从点B 出发,以4cm/s的速度沿 BC 向点C 运动,点Q 从点C 出发,以vcm/s的速度沿 CA 向点A运动,当v= 时,△ABP 与△PQC全等.
11.(2024·广东深圳罗湖外国语学校期中)如图,在 Rt△AOB 和Rt△COD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠B=30°,∠C=45°,点 D 在边OA 上,将图中的△COD 绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边CD 恰好与边AB 平行.
12.观察以下等式.
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式为 ;
(2)若第 n个等式为 则
三、解答题
13.(2025·陕西咸阳兴平期末)如图(1)，从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图(2)所示.
(1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ；
(2)应用以上公式，解答下列问题：
①已知x-2y=3,x+2y=5,求 的值；
②计算：
(3)拓展：计算
14.(2025·河南郑州期末)综合与实践:
实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵.为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究.
试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据.
[数据记录]
一组 二组 三组 四组 五组
开红花的植株数量 56 1 71 63 86
开其他颜色花的植株数量 86 9 101 93 129
出现红花的频率(保留两位小数) 0.39 a 0.41 0.40 b
[理论分析](1)表中
(2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率.在上述五个小组的数据中，你认为第 组的数据不适合用频率估计概率，理由是 ，你认为一株该植物开出红花的概率是 ；
[实际应用](3)某小公园自然生长大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量.
15.(2025·湖北恩施州期末改编)我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算.
例如：计算 可用竖式除法(如图).
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项 6x 除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x ；
③用商式的第一项 3x 去乘除式(2x+1)，把积 写在被除式下面(同类项对齐)，再把两式相减；
④把相减所得的差 当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.
被除式=除式×商式+余式.若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
∵余式为0, 能被(2x+1)整除.
请根据阅读材料，回答下列问题：
(1)上面的整式计算中，两个方框内分别填入数或式子应该是： (按从上往下顺序)；
(2)请用竖式除法计算：
16.(2025·山东济南济阳区期末)(1)[问题初探]某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图(1)和图(2)所示的“一线三等角”型.
已知， 请在图(1)和图(2)中选择一个模型证明
(2)[内化迁移]在 中， D为射线 BC 上一动点(点 D 不与点 B 重合)，连接AD，以AD 为直角边，在AD 的右侧作三角形ADE，使
①如图(3),当点 D 在线段BC 上时,过点 E 作. 于点F，求 EF 的长度；
②如图(4)，连接BE，交直线AC 于点M，点 D 在运动过程中，若 请直接写出 BD 的长.
17.(2025·江西赣州寻乌期末)问题情境:如图(1), 求 的度数.小明的思路是：过P 作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC的度数.
(1)按小明的思路，易求得∠APC 的度数为 度.
(2)问题迁移:如图(2),AB∥CD,点 P 在射线OM 上运动,记
①当点 P 在B，D两点之间运动时，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系.
②如果点 P在B，D两点外侧运动时(点 P 与O，B，D三点不重合)，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系.
(3)问题解决：如图(3)是北斗七星的位置图，将其抽象成图(4)，其中北斗七星分别标为A，B，C，D，E,F,G,将A,B,C,D,E,F,A顺次连接,天文小组发现若AF恰好经过点G,且AF∥DE,∠B=∠BCD+5°,∠D=95°,那么∠B 与∠CGF 有什么关系 请说明.
1. B [解析]设两个连续的偶数分别为2k,2k+2,由题意,得 1).∵2k+1是奇数,
∴“神秘数”是 4 的倍数，不是8的倍数.故选 B.
2. D [解析]∵2 (-2)=2×(1+2)=6,∴①正确;∵a b=a(1-b)=a-ab,b a=b(1-a)=b-ab,∴a b和b a不一定相等,∴②错误;∵(a b)-(b a)=a(1-b)-b(1-a)=a-ab-b+ ab=a-b,∴③正确;∵若a b=a(1-b)=0,则a=0或b=1,∴④正确.故选 D.
3. B [解析]①若选3+4,6,8组成三角形,则三边长为7,6,8.∵7-6<8<7+6,∴能构成三角形,此时两颗螺丝间的最长距离为8；
②若选6+4,3,8组成三角形,则三边长为10,3,8.∵8-3<10<8+3,∴能构成三角形,此时两颗螺丝间的最大距离为10；
③若选3+8,4,6组成三角形,则三边长为11,4,6.∵4+6<11，∴不能构成三角形，此种情况不成立；
④若选6+8,3,4组成三角形,则三边长为14,3,4.∵3+4<14，∴不能构成三角形，此种情况不成立.
综上所述，任意两颗螺丝的距离的最大值为10.故选 B.
4. C [解析]∵h(2)=k(k≠0),h(m+n)=h(m)·h(n),
∴h(2n)·h(2026)=h(2n+2026)
5. D [解析]由题意,得AP=tcm,BQ= xt cm.
∵AB=4cm,∴BP=AB-AP=(4-t) cm.
∵∠A=∠B=60°,∴分两种情况:
①当AC=BP,AP=BQ时,△ACP≌△BPQ,
∴4-t=3,t= xt,∴t=1,x=1;
②当AC=BQ,AP=BP 时,△ACP≌△BQP;
∴3= xt,t=4-t,∴t=2,x=1.5.
综上所述,当x的值为1或 1.5 时,△ACP 与△BPQ 全等.故选 D.
6.①③ [解析]∵
∴c=a+2,c=b+1,∴a+2=b+1,∴b=a+1,
∴a+c=2a+2=2b,a+b=2c-3,
故其中正确的关式是①③.
7.15 [解析]设四边形 BMNG 的面积为x cm ,四边形BMEH 的面积为y cm .
∵△ABC 的面积是16 cm ,
∴2x+y+4=16,∴y=12-2x.
∵△AHF 的面积为25 cm ,
∴3x+3y+4=25,即3x+3(12-2x)+4=25,解得x=5.
故图中三个阴影部分面积的和为3x=15cm .
8.2或 或12 [解析]∵△PEC 与△CFQ 全等,∴斜边 PC=斜边 CQ.设点 P 的运动时间为t.秒.
分四种情况：
当点 P 在AC上,点 Q 在BC上,即0≤t<4时,如图(1).
∵CP=CQ,∴6-t=8-2t,解得t=2;
当点 P,Q都在AC上,即4≤t<6时,此时 P,Q 重合,如图(2).
∵CP=CQ,∴6-t=2t-8,解得
当点 P在BC上,点Q在AC上,即6≤t<7时,如图(3).
∵CP=CQ,∴t-6=2t-8,解得t=2,不符合题意;当点Q到点A,点P在BC上,即7≤t≤14时,如图(4).
∵CQ=CP,∴6=t-6,解得t=12.
综上所述，当点 P 的运动时间等于2秒或 秒或12秒时，△PEC与△CFQ全等.
9.①②④ [解析]∵△DAC,△ECB 都是等边三角形,
∴AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠MDP.
∵∠PMD=∠CMA,∴∠DPM=∠ACM=60°,故②符合题意；
∵∠CAM=∠CDN,AC=CD,∠ACM=60°=∠DCN,
∴△ACM≌△DCN,故④符合题意;
∵△ACM≌△DCN,∴CM=CN.
∴△MNC 是等边三角形,∴∠CMN=60°,
∴∠CMN=∠ACD,∴MN∥AB,故①符合题意;
∵C在AB上的位置在变化，
∴∠AEB 在变化,∠AEB 不一定是90°,故③不符合题意.故正确的是①②④.
10.4或4.8 [解析]设运动时间为 ts,由题意,得BP=4 t cm,CQ= vt cm,∴PC=(20-4t) cm.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ,
∴AB=PC=12cm,
∴CQ=BP=BC-PC=20-12=8(cm),
∴4t=8,解得
当BA=CQ,PB=PC时,△ABP≌△QCP.
∴4t=10,解得t=2.5.
综上所述,当v=4或4.8时,△ABP 与△PQC全等.
思路引导 本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握三角形全等的条件，找准对应边.分两种情况：①△ABP≌△PCQ;②△ABP≌△QCP,然后分别计算出t 的值,进而得到v的值.
11.5或17 [解析]①如图(1),当两三角形在点O 的同侧时,设CD 与OA 相交于点E.
∵∠AOB=90°,∠B=30°,∴∠A=60°.
∵AB∥CD,∴∠DEO=∠A=60°.
∵∠C=45°,∠COD=90°,
∵每秒旋转 (秒);
②如图(2)，当两三角形在点O 的异侧时，延长AO 交CD于点E.
∵AB∥CD,∴∠DEO=∠A=60°.
∵∠C=45°,∠COD=90°,
∴旋转角为
∵每秒旋转 (秒).
综上所述，在第5或17秒时，边CD 恰好与边AB 平行.
易错警示 本题考查了平行线的性质、旋转变换的性质以及三角形的内角和，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观.分两种情况求解：①当两三角形在点O的同侧时；②当两三角形在点O的异侧时.
(2)33 [解析]观察猜测第n个等式为 证明如下：
等式左边：
等式右边：[
即猜测成立.
16×2,
(2)①因为x-2y=3,x+2y=5,
所以.
=
=(2+1)×(2-1)+(4+3)×(4-3)+(6+5)×(6-5)+(8+7)×(8-7)=3×1+7×1+11×1+15×1=36.
14.(1)0.1 0.4
(2)二试验的植株数太少 0.4 [解析]利用频率估计概率可知一株该植物开出红花的概率约是0.4.
(3)514÷0.4=1285(棵).
故估计该公园此植物植株的总数量为1285棵.
(2)略
16.(1)选择题图(1):∵∠ACE=90°,
∴∠ECD+∠ACB=90°.
∵∠CDE=90°,
∴∠ECD+∠CED=90°,
∴∠ACB=∠CED.
在△ABC与△CDE 中,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
选择题图(2):∵∠ACE=∠CDE=90°,
∴∠ECD+∠ACB=90°,∠ECD+∠CED=90°,
∴∠ACB=∠CED.
在△ABC 与△CDE中 ∴△ABC≌△CDE(AAS).
(2)①∵∠ACD=∠DAE=90°,
∴∠CAD+∠ADC=90°,∠EAF+∠CAD=90°,
∴∠ADC=∠EAF.∵EF⊥AC,∴∠EFA=90°.
在△ADC 与△EAF 中,
∴△ADC≌△EAF(AAS),
∴EF=AC=3.
②过点 E 作EF⊥AC交CA 的延长线于点 F.
根据“一线三等角”易得△EAF≌△ADC,∴EF=AC=3,AF=CD.
∵S△ABD=3S△AME,
设AF=CD=x.
当点 M在线段AC上时，如图(1).
∵EF=AC,AC=BC,∴EF=BC.
∵∠EFM=∠ACB=90°,∠FME=∠CMB,
∴△EFM≌△BCM,∴CM=FM,
∴CF=AC+AF=3+x,
∵BD=BC+CD=3+x,BD=3AM,
解得
当点M在线段AC反向延长线上时，如图(2)，同理,得△EFM≌△BCM,∴CM=FM,
∴CF=AC+AF=3+x,CM=FM= CF=3+2x,
∵BD=BC+CD=3+x,BD=3AM,
解得x=15,∴BD=3+15=18;
当点 D 在线段BC上时，情况不存在.
综上，BD 的长为 或18.
17.(1)110 [解析]过点 P 作PE∥AB.
∵AB∥CD,∴AB∥PE∥CD,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)①∠APC=α+β.理由如下:如图(1),过点 P 作PE∥AB 交AC 于点E.
∵AB∥CD,∴AB∥PE∥CD,
∴∠APE=∠PAB=α,∠CPE=∠PCD=β,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
②如图(2),当点 P 在BD 的延长线上时,∠APC=α-β.过点 P作PE∥AB交AC的延长线于点 E.
∵AB∥CD,∴AB∥PE∥CD,
∴∠APE=∠PAB=α,∠CPE=∠PCD=β,
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β.
如图(3),当点 P 在线段OB上时,∠APC=β-α.
过点 P作PE∥AB交AO于点E.
∵AB∥CD,∴AB∥PE∥CD,
∴∠APE=∠PAB=α,∠CPE=∠PCD=β,
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α.
(3)∠B-∠CGF=100°,理由如下:
∵AF∥DE,∠D=95°,
由(2),得∠BCD=∠CGF+∠D=∠CGF+95°.
∵∠B =∠BCD +5°,∴∠B=∠CGF+ 95°+ 5°=∠CGF+100°,∴∠B-∠CGF=100°.

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