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专项复习提优三 概率初步
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·连云港中考)下列说法正确的是( ).
A.10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
2.(2025·四川达州期末)在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球.不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则估计袋子里白球的个数是( ).
A. 8 B. 12 C. 14 D. 16
3.(2025·辽宁盘锦兴隆台区期末改编)下列事件中是必然事件的是( ).
A.投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B.任意一个三角形的内角和都等于180°
C.篮球运动员投球一次，投中 D.打开电视机正在播放的是新闻联播节目
4.(2025·四川成都锦江区期末)在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率.绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是( )。
A.一个袋中有3个红球、7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球
B.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于3
C.从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数
D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀
5.(2024·福建宁德期末)如图，三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是( ).
A. B. C. D.
6.(2024·安徽宿州宿城第一初级中学期末)某十字路口的交通信号灯，每分钟红灯亮 30秒，绿灯亮 25秒，黄灯亮 5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的可能性大小为( ).
A. B. C. D.
7.(2024·安徽宿州砀山期末)如图，转盘中8个扇形的面积都相等，部分扇形涂了灰色和红色，其余部分为白色，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率为( ).
A. B. C. D.
8.(2025·江西萍乡期末)如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中的任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是( ).
A. B. C. D.
9.为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会.班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm，大圆半径为 20cm，每个扇形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘的每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘，则重投1次)，投中“免一次作业”的概率是( ).
A. B. C. D.
10.某公司的班车在7：30，8：00，8：30从某地发车，小李在7：50至8：30之间到达车站乘坐班车，如果他到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是( ).
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·重庆中考)不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 .
12.(江苏苏州中学自主招生)某校爱滑冰的人占60%，爱滑雪的人占50%，爱滑冰或滑雪的人占70%，已知随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是 .
13.(2025·陕西西安雁塔区期末)请将“+”或“一”填入方框内，则代数式a □6a□9能构成完全平方式的概率为 .
14.(2025·四川成都高新区期末)如图，为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”.小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格(图中黑框所围区域，设为 A 区域)中埋藏着2颗“地雷”.小明在A 区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 .
15.跨学科《卖油翁》 (2025·四川成都青羊区期中)欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱(如图)直径为6cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是 (保留π)
16.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共16个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程.若共摸了 100 次球，发现有75次摸到红球，则可以估计口袋中红球的个数为 .
17.(2025·山东济南济阳区期末)小梅在如图所示的3×4的网格纸板上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个小正方形上的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域的概率是 .
18.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4，另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面的两个数字和为5 的概率是 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·四川成都高新区期末)在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球4个，黑球比白球多4个，从盒子中随机摸出一个球是白球的概率是
(1)求盒子中白球的个数.
(2)能否通过只改变盒子中红球的数量，使得任意摸出一个球是白球的概率为 若能，请问如何调整红球数量；若不能，请说明理由.
20.(6分)(2025·陕西西安未央区期末)在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个，白球5个，黑球7个.
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)小明从盒子里取出m个白球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为 ，请求出m 的值.
21.(8分)在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据.
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601
(1)表中的
(2)“摸到白球”的概率的估计值是 (结果精确到0.1).
(3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球
22.(8分)(2024·安徽宿州砀山期末)在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球5个，黑球4个，它们除了颜色外其他都相同.
(1)从中随意摸出一个球，摸出 球的可能性最大.
(2)“摸到黑球”是 事件，“摸到黄球”是 事件.(填“不可能”“必然”或“随机”)
(3)求摸出的小球不是白球的概率.
23.(8分)某学校将举办主题为“爱成都·迎大运”知识竞赛活动，七年级(2)班决定在甲、乙两人中选择一人参加，并采用如下游戏确定参加人员.如图，一个均匀的转盘被平均分成10份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字.转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.甲、乙两人参与游戏，一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜.猜数的方法从下面三种中选一种：①猜“是奇数”或“是偶数”；②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；③猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”.如果由乙转动转盘，甲猜数，那么为了尽可能获胜，试说明甲应选择哪一种猜数方法 怎样猜
24.(8分)(2025·江西萍乡期末)某商场举行有奖促销活动，规则如下：顾客在商场消费每满200元就有一次摸奖的机会，即从一个装有100个完全相同的乒乓球(球上分别写有数字1，2，3，…，100的箱子中摸出一个球(摸后放回).若球上的数字是88，则送价值500元的优惠券；若球上的数字是33或66或99，则送价值300元的优惠券；若球上的数字能被5整除，则送价值50元的优惠券，其他数字不送优惠券.小芳在商场购物220元，获得了一次摸奖机会.
(1)她获得价值500元、300元、50元优惠券的概率各是多少
(2)她摸奖获得优惠券的概率是多少
25.(10分)第15届全运会羽毛球比赛在深圳体育中心体育馆举办.小明和哥哥都很想去观看羽毛球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛.游戏规则是：转动如图所示的转盘(每个扇形区域面积相等)，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去(如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动).
(1)求小明去观看羽毛球比赛的概率.
(2)你认为这个游戏规则公平吗 若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则.
26.(12分)新情境开展“五育融合综合实践活动”暑假期间，某学校开展“五育融合综合实践活动”，组织部分七年级学生分别到A，B，C，D四所博物馆参观(每个学生只能去一处).如图是未制作完成的学生自己选择参观各博物馆的人数的条形统计图和扇形统计图.
地点 A B C D
票价/(元/张) 60 80 50 x
请根据以上信息回答.
(1)选择参观博物馆C 的学生有 人，将条形统计图补充完整.
(2)在选择参观博物馆B 的同学中，有6名男生、4名女生，现需随机抽选1名同学担任领队，组织大家有序参观，那么抽到男生担任领队的概率是多少
(3)已知去往博物馆A，B，C，D的车票价格信息如表，且去往博物馆D 的车票总款数占全部车票总款数的 求去往博物馆 D 的车票的价格.
1. C [解析]A.10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸或者后摸的人摸到奖票的概率一样，故该选项错误，不符合题意；
B.从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意；C.小强一次掷出 3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，故该选项正确，符合题意；
D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币 2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意.故选 C.
解后反思 本题考查事件发生的可能性与概率.由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可
2. B[解析]∵摸到红球的频率稳定在0.4左右，
∴摸到红球的概率为0.4，
∴红球的个数为 20×0.4=8,
∴白球的个数为 20-8=12.故选 B.
3. B[解析]A.投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B.任意一个三角形的内角和都等于180°是必然事件；
C.篮球运动员投球一次，投中是随机事件；
D.打开电视机正在播放的是新闻联播节目是随机事件.
故选 B.
4. D[解析]根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率 P≈0.33.
A.一个袋中有3个红球、7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球的概率为 故此选项不符合题意；
B.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于 3的概率为 故此选项不符合题意；
C.从分别标有1,1,2,2,3,4,5的7张纸条中,随机抽出一张，抽到2 的倍数的概率为 故此选项不符合题意；
D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率为 故此选项符合题意.故选D.
5. C[解析]∵三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，且阴影部分占2个相等的区域，
∴一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是 故选 C.
6. C[解析]这三种交通信号灯亮的总时间是330+25+5=60(秒)，绿灯亮 25 秒，所以是绿灯的概率为 故选 C.
7. B[解析]∵转盘被等分成8份，其中灰色区域占2份，∴指针落在灰色区域的概率为 故选 B.
8. C[解析]如图，当①②③处任意一处涂黑时，图案均为轴对称图形.
∵共有7 个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案均为轴对称图形，∴构成轴对称图形的概率是 .故选C.
9. B[解析]根据题意，得大圆面积为
小圆面积为 “免一次作业”对应区域
→圆的面积公式： (其中γ为半径)
的面积为
∴投中“免一次作业”的概率是 故选 B.
10. B[解析]由题意，得小李等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00,8:20至8:30,一共20分钟.从7:50至8：30一共有40分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是 故选 B.
11. [解析]1+3=4(个)，∴袋子里一共有4个球，红球有1个，∴摸出红球的概率
12.0.8 [解析]∵爱滑冰的人占 60%,爱滑雪的人占50%,爱滑冰或滑雪的人占70%，
∴既爱滑冰又爱滑雪的人占60%+50%-70%=40%,
∴随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是 0.8.
关键提醒 本题考查了概率公式，理解题中的占比是解题的关键.先根据题意求出既爱滑冰又爱滑雪的人的占比，再根据概率公式求解即可.
13. [解析]根据题意，得填入的情况有 共4种情况，
其中 即共有2种情况能构成完全平方式，
∴能构成完全平方式的概率为
14. [解析]∵在9×9个小方格的雷区中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”，
∴小明踩到 A 区域外的小方格中的“地雷”的概率为
15. π [解析]∵直径为 6 c m 的铜钱的面积为 9π(cm ),边长为 1 cm的正方形小孔的面积为1×1=1(cm ),
∴随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，油恰好落入孔中的概率为
16.12 [解析]估计口袋中红球个数为
17. [解析]∵阴影部分的面积是 ∴飞镖落在阴影区域的概率是
18. [解析]将所有可能的情况一一列举出来，结果如下：(1,1),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,8),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,8),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,8),(3,1),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,8),(3,1),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,8),(4,1),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(4,8),共有 36种情况,其中和为5的情况有4种，所以概率为
19.(1)设白球的个数为x,
由题可得 解得x=4,
∴盒子中白球的个数为4.
(2)设增加红球的个数为x
白球个数不变，但摸出白球的概率变小，则盒中球总数增加
则有 解得y=4,∴盒子还要增加4个红球.
20.(1)因为红球3个,白球5个,黑球7个,所以盒子中球的总数为3+5+7=15(个)，所以任意摸出一个球是黑球的概率为
(2)因为任意摸出一个球是红球的概率为 所以盒子中球的总数为 (个),所以可以将盒子中的白球拿出15-12-3(个)，所以m=3.
21. (1)0.58 118 [解析]a=58÷100=0.58,b=200×0.59=118.
(2)0.6
(3)15÷0.6-15=10(个).
故除白球外，还有 10个其他颜色的球.
22.(1)红
(2)随机 不可能
(3)摸出的小球不是白球的概率
23.方法①中.∵奇数有1,3,5,7,9,共5个,
∴P(是奇数)
∵偶数有2,4,6,8,10,共5个,
∴P(是偶数)
方法②中.∵3的倍数有3,6,9,共3个,
∴P(是3的倍数)
∵不是3的倍数的有1,2,4,5,7,8,10,共7个,
∴P(不是3的倍数)
方法③中.∵大于6有7,8,9,10,共4个,
∴P(是大于 6的数)
∵不大于6的有1,2,3,4,5,6,共6个,
∴P(不是大于 6的数)
∵方法②中“不是3的倍数”的概率最大，
∴为了尽可能获胜，甲应选第②种猜法，猜“不是3的倍数”.
24.(1)由题意知，共有 100种等可能的情况，其中摸到88的情况有1种；摸到33或66或99的情况有3种；摸到能被5整除的数字的情况有20种，
因此，P(获得500元优惠券)
P(获得 300元优惠券)
P(获得50元优惠券)
本题获得3种优惠券的情况不重复
∴她摸奖获得优惠券的概率是
25.(1)根据题意，得转盘被均分成9份，其中红色占4份，白色占1份，蓝色占2份，黄色占2份，
∴P(小明去观看羽毛球比赛)
(2)公平.理由如下：
∵P(小明去观看羽毛球比赛)
P(哥哥去观看羽毛球比赛)
∴P(小明去观看羽毛球比赛)=P(哥哥去观看羽毛球比赛)，∴游戏公平.
26.(1)20 [解析]40÷40%=100(人),到博物馆C 的学生有 100-(30+10+40)=20(人).
补全条形图如图.
(2)∵有6名男生、4名女生,
∴抽到男生担任领队的概率为
(3)根据题意，得 40x)=40x,解得x=40.
故去往博物馆 D 的车票的价格为 40 元/张.

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