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第五章 图形的轴对称 单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款人工智能大模型的标识，其中图案为轴对称图形的是( ).
2.如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是( ).
3.(2025·安徽合肥科大附中期末)如图,AB=AC=AD,∠BAD=50°,则∠BCD 的度数为( ).
A. 115° B. 130° C. 140° D. 155°
4.(2025·长沙中考)如图,将△ABC沿折痕AD 折叠,使点 B落在边AC上的点E处,若AB=4,BC=5,AC=6,则△CDE 的周长为( ).
A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7
5.(2025·重庆一中期中)如图,△ABC和 △DEF关于直线l对称,G是直线l上一点,连接AG,DG,CG,FG,下列说法错误的是( ).
A. ∠ACB=∠DFE B.线段AD,BE,CF 被直线l垂直平分
C. △AGC≌△DGF D. AB∥DF
6.如图(1)所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动.点C 固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动.如图(2)，若∠BDE=84°,则∠CDE 的度数是( ).
A. 65° B. 68° C. 66° D. 70°
7.(2025·达州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,线段AB 的垂直平分线交AB 于点E,交 AC 于点D,则△BDC 的周长为( ).
A. 21 B. 14 C. 13 D. 9
8.(2025·凉山州中考)如图,AB=AC,AE=AD,点E在BD上,∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°,则∠ABC 的度数为( ).
A. 56° B. 60° C. 62° D. 64°
9.(2025·连云港中考)如图,在△ABC中,BC=7,AB 的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为( ).
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4,△ABC的面积是10,AB 的垂直平分线ED 分别交AC,AB于E，D 两点.若F为边BC 的中点，P 为线段ED 上一动点，则△PBF 周长的最小值为( ).
A. 7 B. 9 C. 10 D. 14
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2024·湖南中考)一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是 度.
12.(2025·重庆万州区期中)如图,在△ABC 中,∠A=30°,D,E 是边AC上的点,把△ABD 沿BD 对折得到△A'BD,再把△BCE 沿BE 对折得到△BC'E,若C'恰好落在BD 上,且此时∠C'EB=80°,则∠ABC= .
13.如图，在5×4的长方形网格中已有5块被涂成阴影，在未涂的空格中，任选一格涂成阴影，则可使阴影部分成为轴对称图形的概率是 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,点 D 在边 BC 上,EF⊥AB,AB=10,AF=CD=2.5,则BD= .
15.(2024·河南郑州新郑期末)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA 上的点E 满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC 的度数为 .
16.(2025·陕西西安交大附中期末)如图,在锐角三角形 ABC 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=α,若E,F分别是BD,BC上的动点,当CE+EF 最小时,∠FEC= (用含α的代数式表示).
17.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=12,AC=16,BC=20,将△ABC沿射线BM 折叠,使点A 与边BC上的点 D 重合，E 是射线BM 上一动点，则△CDE 的周长的最小值为 .
18.如图,D是锐角∠AOB 内一点,DE⊥OA 于点E,F 是线段OE 上的一个动点,G是射线OB 上的一个动点,连接DF,FG,GD,当△DFG的周长最小时,∠GDF 与∠AOB 的数量关系是 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2024·宜宾中考)如图,D,E 分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD 交于点F.试说明:AD=BE.
20.(6分)(2024·广东珠海香洲区期中)如图,在△ABC中,AD 是高,AE 是∠BAC 的平分线,∠BAC=80°,∠C=70°.
(1)求∠AEC的大小;
(2)若CD=2,AD=5,求△AEC 的面积.
21.(8分) (2025·重庆第九十五初级中学期中)如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC 的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹.
(1)在图(1)中，请以直线l为对称轴，画出与△ABC 成轴对称的图形△A'B'C'(要求A，B，C分别与A',B',C'对应)；
(2)在图(2)中，请在直线l上找一点 P，使得△ABP 的周长最小；
(3)计算四边形.ABCA'的面积.
22.(8分)(2025·广东深圳光明区期末)等腰三角形是常见的轴对称图形.某学习小组利用两个等腰三角形开展了以下研究性学习：
(1)如图(1),△ABC 和△DEF 是等腰三角形,AB=AC,DE=DF,底边 BC=EF.将点 B,C 分别和点E，F重合，得到如图(2)的新图形，该图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形.如果是，请画出它的对称轴.
(2)如图(3),△ABC 和△AEF 是两个全等的等腰三角形,两底边 BC,EF 相交于点G,连接BE,CF,小组成员发现一组新的全等三角形，请写出这组全等三角形并说明理由.
(3)如图(4),△ABC 和△AEF 都是等腰直角三角形, ,连接 BE,CF,延长 BE分别交AC,CF 于点M,N,求∠BNC 的度数.
23.(8分)(2025·达州中考改编)开启作角平分线的智慧之窗
问题:作∠AOB 的平分线OP.
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上.即得OP 为∠AOB 的平分线;
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑.认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ；对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS,ASA,② ;对丙同学的作法陷入了沉思.
任务：
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；
(2)完成对丙同学作法的验证.已知∠AED=∠AOB,EP=EO,求证:OP 平分∠AOB.
24.(8分)(2024·四川成都温江区期末)在 中， D 为AB 的中点,动点 E 从点C 开始沿射线CB 方向以2cm/s的速度运动.
(1)如图，当点 E 在边BC上运动时，过点 D 作DE 的垂线交直线AC于点F，试探究线段CE，AF 之间的数量关系，请写出结论并说明理由.
(2)动点 P 也同时从点C开始在直线AC上以1cm/s的速度向远离C点的方向运动，分别连接DC，DE,DP.设动点 E 的运动时间为 ts,则当t为何值时, 与 全等
25.(10分)(2025·广东揭阳揭西期末) 已知△ABC是等腰三角形,且AB=AC,D是射线BC上的一动点,连接AD,以AD为腰在AD 右侧作等腰三角形ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC.
(1)如图(1),当点 D 在线段BC上时,试说明:BD=CE;
(2)如图(2),当点 D 在射线BC上运动时,取AC 的中点M,连接ME,且∠DAE=∠BAC=40°.当△MEC为等腰三角形时,∠CME 的度数为 ;
(3)如图(3),当点 D 在线段BC 的延长线上,∠DAE=∠BAC=60°时,在线段CA 上截取CF,使CF=CD+AF,并连接EF.试说明:EF⊥AC.
26.(12分)(2025·广东深圳坪山区期末)“图形的变化”是初中几何的重要模块之一，为更好地研究图形在某种变换下具有怎样的性质，某校七年级数学小组设计如下探究活动并提出问题.
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为射线BC上一点,连接AD,以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)当点 D在BC上时，如图(1)，BD和CF的数量关系为 ，位置关系为 .
(2)当点 D 运动到BC延长线上时(如图(2))，以上两种关系还成立吗 如果成立，请给出理由.
(3)在(2)的条件下,若AB=AC=1,连接AE,BE,在点 D 的运动过程中,△ABE 的面积是否为定值 若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.
1. C[解析]A.图案不是轴对称图形，不符合题意；
B.图案不是轴对称图形，不符合题意；
C.图案是轴对称图形，符合题意；
D.图案不是轴对称图形，不符合题意.
故选 C.
归纳总结 本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形是解题的关键.根据轴对称图形的定义逐项分析即可判断.
2. A[解析]找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示.
故选 A.
3. D [解析]∵∠BAD=50°,
∴∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×2-50°=310°,
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC=310°.
∵AB=AC=AD,
∴∠ABC=∠ACB,∠ACD=∠ADC,
故选 D.
4. D [解析]由折叠可得AE=AB=4,DE=DB,
∴CE=AC-AE=6-4=2,
∴C△CDE=CE+CD+DE=CE+CD+DB=CE+CB=2+5=7.故选 D.
5. D [解析]∵△ABC 和△DEF 关于直线l对称,
∴∠ACB=∠DFE,线段AD,BE,CF 被直线l垂直平分,AC=DF,故 A 和B正确,不符合题意;
∴GA=GD,GC=GF,
∴△AGC≌△DGF,故 C正确,不符合题意;
AB 与 DF 不一定平行，故D说法错误，符合题意.
故选 D.
6. B [解析]∵OC=CD=DE,
∴∠COD=∠CDO,∠DCE=∠DEC.
∵∠DCE=180°-∠DCO=180°-(180°-∠CDO-∠COD)=∠CDO+∠COD=2∠COD,
∴∠DEC=2∠COD.
∵∠COD+∠DEC=180°-∠EDO=∠BDE,
∴3∠COD=84°,∴∠COD=28°,
∴∠DEC=∠DCE=56°,
∴∠CDE=68°.故选 B.
7. C [解析]∵线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点E,交 AC于点 D,∴AD=BD,
∴△BDC 的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=5+8=13.故选 C.
8. C [解析]∵∠EAD=∠BAC,
∴∠EAD-∠CAE=∠BAC-∠CAE,即∠BAE=∠CAD.在△BAE 和△CAD 中,
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴∠ABE=∠ACD.如图所示，设AC，BD 交于点O.
∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,∠COD+∠DCO+∠CDO=180°,∠AOB=∠COD,
∴∠BAO=∠CDO=56°.
∵AB=AC,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
故选 C.
9. C
10. A [解析]如图,连接AP,AF.
∵DE 是AB 的垂直平分线,∴AP=BP,
∴△PBF 的周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF.
∵AB=AC,F 是BC 的中点,
∵BC=4,∴BF=2,AF=5,
∴△PBF 周长的最小值是AF+BF=5+2=7.
故选 A.
11.100 [解析]因为其底角为 40°,所以其顶角=180°-40°×2=100°.
12.75°[解析]由折叠可得,
∠BEC=∠C'EB=80°,∠ABD=∠DBE=∠EBC,
∴∠ABE+∠A=∠BEC=80°.
∵∠A=30°,∴∠ABE=50°,
13. [解析]如图,
未涂空格共有15个，选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的有4种，
∴任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率为
14.5 [解析]连接 CF 交 BE 于点 O.∵∠C=90°,∴EC⊥BC.
∵BE 平分∠ABC,EF⊥AB,
∴EC=EF.
又 BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE,∴∠CEB=∠FEB,∴EB⊥CF,CO=FO,∴EB 为CF 的垂直平分线,∴BF=BC.
∵AF=DC=2.5,
∴BF=AB-AF=7.5,
∴BD=BC-DC=7.5-2.5=5.
15.75°或30°或120° [解析]∵OC 平分∠AOB,
①当OC=OE 时,如图(1).
∵OC=OE,
∴∠OEC=∠OCE,
②当OC=CE 时,如图(2).
∵OC=CE,
∴∠OEC=∠COE=30°;
③当OE=CE 时,如图(3).
∵OE=CE,
∴∠OCE=∠COE=30°,
∴∠OEC = 180°-∠OCE - ∠COE = 180°-30°-30°=120°.
综上所述,∠OEC 的度数为 75°或 30°或120°.
16.α [解析]依题意,过点C作CH⊥AB,交 BD 于点E,过点 E 作EF⊥BC.
∵BD 平分∠ABC,EF⊥BC,CH⊥AB,
∴EF=HE,
即CE+EF=CE+HE=CH(垂线段最短).
∵∠ABC=α,EF⊥BC,CH⊥AB,
∴∠HEF=360°-90°-90°-α=180°-α.
∵∠HEF+∠FEC=180°,
∴∠FEC=α.
17.24 [解析]如图,设 BM 与AC 交于点 F,连接AE.
由折叠的性质,得 BD=AB=12,DE=AE,
∴CD=BC-BD=20-12=8,
∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=8+AE+CE,要使△CDE 的周长最小，只需AE+CE 的值最小，由两点之间，线段最短，知当点 E 与点 F 重合时，AE+CE 取最小值，最小值为AC的长，
∴△CDE 的周长的最小值为8+AC=8+16=24.
18.2∠AOB+∠GDF=180°[解析]如图,作点 D 关于OA的对称点 D',作点 D 关于OB 的对称点 D",连接 D'D",交OA,OB 于点 F,点 G,此时△DFG 的周长最小,最小值为 D'D"的长,连接OD,OD',OD".
由轴对称的性质,得△GOD≌△GOD",△FOD≌△FOD',
∴∠BOD = ∠BOD',∠ODG = ∠OD"G,∠DOA =∠AOD',∠ODF=∠OD'F,
∴∠D'OD"=2∠AOB,∠GDF=∠OD'F+∠OD'G.
∵∠D'OD"+∠OD'F+∠OD"G=180°,
∴2∠AOB+∠GDF=180°.
19.∵△ABC 是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°.
又 BD=CE,∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
20.(1)∵AE 是∠BAC 的平分线,∠BAC=80°,
∵∠C=70°,∴∠AEC=180°-∠EAC-∠C=180°-40°-70°=70°.
(2)∵∠AEC=70°,∠C=70°,
∴AE=AC.
∵AD 是高,CD=2,AD=5,
∴CE=2CD=4,
∴△AEC 的面积
21.(1)如图(1),△A'B'C'即为所求作.
(2)如图(2),作点 A 关于直线l 的对称点A',连接A'B交直线l 于点 P，则点 P 即为所求作.理由如下：
由轴对称的性质可知 PA'=PA.
∵此时 PA'+PB 最小,即 PA+PB 最小,
∴AB+PA+PB 最小,
即△ABP 的周长最小.
关键提醒本题主要考查了画轴对称图形、无刻度直尺作图、轴对称一最短路径问题、轴对称的性质等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法及轴对称的性质是解题的关键.
22.(1)是[解析]该图形是轴对称图形，对称轴为直线 AD，如图(1).
(2)如图(2),△ABE 与△ACF 全等.理由如下:
因为△ABC 和△AEF 是两个全等的等腰三角形，
所以AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,
所以∠BAC-∠EAC =∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.
因为在△ABE 和△ACF 中,AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF,
所以△ABE≌△ACF.
(3)因为△ABC 和△AEF 都是等腰直角三角形,所以AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°,所以∠BAC-∠EAC =∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.
因为在△ABE 和△ACF 中,AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF,
所以△ABE≌△ACF,
所以∠ABE=∠ACF.
因为∠ABE+∠BMA+∠BAC=∠ACF+∠CMN+∠BNC=180°,
所以∠BNC=90°.
23.(1)SSS 全等三角形的对应角相等
(2)∵∠AED=∠AOB,∴ED∥OB,
∴∠EPO=∠BOP.
∵EP=EO,∴∠EPO=∠EOP,
∴∠BOP=∠EOP,∴OP 平分∠AOB.
24.(1)CE=AF.理由如下:
如图(1),连接CD.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB 的中点,
∴∠A=∠B=45°,CD⊥AB,CD=AD=BD,
∴∠DCE=∠A=∠B=45°,∠ADF+∠CDF=90°.
∵DF⊥DE,∴∠CDE+∠CDF=90°,
∴∠CDE=∠ADF.
在△CDE 和△ADF 中 ∴△CDE≌△ADF(ASA),∴CE=AF.
(2)如图(2),设M为AC 延长线上的点,N 为CB 延长线上的点.
∵∠ACB=90°,CD=BD,∠DCB=∠ABC=45°,
∴∠BCM=90°,
∴∠DCM=∠DCB+∠BCM=45°+90°=135°.
∵∠DBN=180°-∠ABC=180°-45°=135°,
∴∠DCM=∠DBN=135°.
又CD=BD,点 P 在AC 的延长线上,
∴当△DCP 与△DBE 全等时,点 E 在CB 的延长线上,此时CP=BE，根据点 E，P 的运动速度和时间，得CE=2t cm,CP=t cm.
∵AC=BC=8cm,
∴BE=CE-BC=(2t-8) cm,
∴t=2t-8,解得t=8,
∴当t 为8时,△DCP 与△DBE 全等.
关键提醒 本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质是解题的关键.
25.(1)∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
(2)40°或 55°或 70° [解析]根据(1),可得△ABD≌△ACE(SAS),
当ME=MC时,∠MCE=∠MEC,
∴∠CME=180°-2∠MCE=40°;
当 EM=EC时,∠MCE=∠CME=70°;
当CM=CE时,∠CME=∠CEM,
综上,∠CME 的度数为40°或55°或70°.
(3)如图,延长BD 到点G,使得 DG=AF.
∵∠DAE=∠BAC=60°,AB=AC,AD=AE,
∴△ABC,△ADE 为等边三角形,
∴AE=DE.
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE=∠ACB=60°,
∴∠ECG=60°.
∵CF=CD+AF,AF=DG,
∴CF=CD+AF=CD+DG=CG.
∵EC=EC,
∴△EFC≌△EGC(SAS),
∴EF=EG,∠EFC=∠G.
∵AF=DG,AE=DE,
∴△AEF≌△DEG(SSS),
∴∠AFE=∠G=∠EFC,
∴∠AFE=∠EFC=90°,即EF⊥AC.
26.(1)CF=BD， CF⊥BD [解析]在正方形 ADEF 中,AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF.
∵AB=AC,∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴CF=BD,∠B=∠ACF=45°=∠ACB,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD.
(2)成立.理由如下：
∵四边形ADEF 为正方形，
∴AD=AF,∠FAD=90°.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAF,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴BD=CF,∠FCA=∠B=45°,
∴∠BCF=∠BCA+∠FCA=45°+45°=90°,
∴BD⊥CF.
(3)△ABE 的面积为定值.
过点 A 作AG⊥BC 于点G,过点 E 作EH⊥BC 于点 H,如图，
∴∠AGD=∠DHE=90°,AG=BG=CG.
∵∠ADE=90°,
∴∠DAG+∠ADG=∠ADG+∠EDH=90°,
∴∠DAG=∠EDH,
∴△AGD≌△DHE(AAS),
∴AG=DH,GD=EH.
∵AG=GC,∴GC+CD=DH+CD,即CH=GD=EH.
连接EC,∴∠ECH=45°,
∴EC∥AB,

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