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第六章 变量之间的关系 单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( ).
A.2是变量 B.π是变量 C. r是变量 D. C是常量
2. (2025·河北沧州吴桥期末)小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是( ).
A.金额 B.数量 C.金额和单价 D.金额和数量
3.(2025·广西中考)生态学家G. F. Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是( ).
A.第5天的种群数量为300个 B.前3天种群数量持续增长
C.第 3天的种群数量达到最大 D.每天增加的种群数量相同
4.(2026·广东梅州五华期中改编)若自变量x每增加1，对应的y就减少2，则其关系式可以是( ).
A. y=-2x+10 B. y=2x
C. y=-x+2 D.
5.(2025·河南平顶山汝州期末)我国现存最完整的古代计时工具是元代铜壶滴漏.小红同学依据水均衡滴漏原理制作了一个简单的滴漏计时工具模型(如图)，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时间.若t表示时间，h表示木箭上升的高度，则下列图象能表示h 与t之间关系的是( ).
6.(2024·江西中考)将常温中的温度计插入一杯 60℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( ).
7.(2025·苏州中考)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表：
温度t/℃ 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v=at+b(a，b为常数，且a≠0).当温度t为15℃时，声音传播的速度v为( ).
A. 333m/s B. 339m/s C. 341m/s D. 342m/s
8.(2025·福建宁德一中期末)为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能(车速不超过140km/h)，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是( ).
刹车时车速v/(km/h) 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s/m 0 2.5 5 7.5 10 12.5
A.在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量
B. s随v的增大而增大
C.当刹车时车速为 100km/h时，刹车距离是20m
D.在限速120km/h的高速公路上，最大刹车距离为30m
9.(2025·成都中考)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是( ).
A.小明家到体育馆的距离为2km B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1km D.小明从书店到家步行的时间为40 min
10.(2024·哈尔滨中考)一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位: min)之间的关系如图所示,当x=9 min时,y的值为( ).
A. 36 B. 38 C. 40 D. 42
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2024·山东烟台招远期末)一个人在生长期时，随着年龄的增加，身高往往也在增长，在这个变化的过程中，因变量是
12.(2025·湖南中考改编)甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s(米)与时间t(秒)的关系如图所示， 先到终点(填“甲”或“乙”).
13.小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行.他们的路程差s(米)与小文的出发时间t(分)之间的关系如图所示.下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480.其中正确的是 (填序号).
14.(2025·河南平顶山汝州期末)某市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x(x>3)千米，付车费y元，则所付车费y(元)与出租车行驶的路程x(千米)之间的关系式为 .
15.如图(1),在长方形ABCD中,动点 P 从点 B 出发,沿B→C→D→A 运动至点A 停止,设点 P 运动的路程为x，△ABP 的面积为y.若y关于x的函数图象如图(2)所示，则△ABC 的面积是 .
16.(2024·安徽宿州埇桥区第一初级中学期中)如图(1),在长方形ABCD 中,E 是CD上一点,点 P 从点A出发,沿着AB,BC,CE 运动,到点 E 停止,运动速度为2cm/s,△AEP 的面积为y(cm ),点 P 的运动时间为 xs，y与x之间的关系图象如图(2)(长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行).
(1)长方形的宽 BC 的长为 cm;
(2)当点 P 运动到点E 时,x=m,则m的值为 .
17.甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A 地到B 地，乙驾车从B 地到A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶.已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，当乙到达终点A 时，甲还需 分钟到达终点 B.
18.已知动点 P 以每秒2cm的速度沿图(1)的边框按B→C→D→E→F→A 的路径移动,相应的△ABP的面积S(cm )与时间t(s)之间的关系如图(2)中的图象所示,其中AB=6cm.当t= s时,△ABP 的面积是18cm .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·河南平顶山汝州期末)如图(1),已知△ABC的面积是定值,BC长为x cm,边 BC上的高AD 为y cm. y与x 之间的关系如图(2)所示.
(1)观察图(2)，请你写出两个正确的结论；
(2)求y与x之间的关系式.
20.(6分)观察图中的棋子：
(1)按照这样的规律摆下去，第4个图形中的棋子个数是多少
(2)用含 n的代数式表示第n个图形中的棋子个数.
(3)求第20个图形需棋子多少个.
21.(8分)(2025·重庆九十五中期末)如图(1),在△ABC中,AD⊥BC于点D,AD=4cm,BC=6cm,动点E 从点B 出发，沿射线 BC以2cm/s的速度匀速运动，到达点 D 时停留1s后以原速度继续运动.如图(2)为△ACE 的面积S(cm )随时间t(s)的变化图象.
(1)填写图(2)中数据:a= ,b= ,c= ,d= ;
(2)S△ACE=2S△ACD时，求t的值；
(3)当动点E 从点B 出发时，动点 F 同时从点C沿边CB以0.5cm/s的速度向终点 B 运动，当点 F到达终点B 后，点 E 也随之停止运动，当 时，求t的值.
22.(8分)(2024·山东济南市中区期中)如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为2，则最后输出因变量y的值为多少
23.(8分)某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y(元)，用水量为x(立方米).
用水量/立方米 收费/元
不超过10立方米 每立方米2.5元
超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元
(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式：
①每月用水量不超过10立方米时，
②每月用水量超过10立方米时，
(2)若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元
(3)若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米
24.(8分)某学校进行图书馆改造，有甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，请观察图象，回答下列问题.
(1)甲队每天挖 米，乙队开挖2天后每天挖 米.
(2)甲队比乙队早 完成任务.
(3)当x(x>0)等于多少时，甲、乙两队所挖管道长度相等
25.(10分)(2024·陕西咸阳礼泉期中)如图，长方形ABCD 的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD=20cm，当点 B，C在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么
(2)如果长方形的长AB 为x(cm)，请用含x的式子表示长方形ABCD 的面积.
(3)当长方形的长 AB 从25cm变到40cm时，长方形的面积怎么变化
26.(12分)如图(1),在长方形ABCD 中,AB=12cm,BC=8cm,点P 从 A 出发,沿A→B→C→D 的路线运动,到D 停止;点Q 从D 出发,沿D→C→B→A 的路线运动,到A 停止.若点 P,Q 同时出发,点 P 速度为1cm/s,点Q 的速度为2cm/s,a秒时点P,Q 同时改变速度,点 P 的速度变为b cm/s,点 Q 的速度变为d cm/s.图(2)是点 P 出发x秒后 的面积 与x(s)的关系图象；图(3)是点 Q 出发x秒后 的面积 与x(s)的关系图象.
根据题中的信息，解答下列问题.
(2)连接 PQ，当 PQ 第一次平分长方形ABCD 的面积时，求x的值；
(3)当点 P，Q在运动路线上相距的路程为29cm时，求 x的值.
1. C [解析]2 与π为常量,C 与r为变量.故选 C.
2. D[解析]由题意可得，金额=单价×数量，单价不变，数量与金额是变化的量，
∴单价为常量，数量与金额是变量.故选 D.
关键提醒 本题考查变量与常量，根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案.
3. B [解析]A.第5天的种群数量在 300B.前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意；
C.第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意；
D.由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意.故选 B.
关键提醒 本题考查了从图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的图象是解题的关键.根据图象，逐项分析即可得出结论.
4. A
5. B[解析]∵“壶”中漂浮的木箭随水面匀速缓缓上移，设该速度为 v ，由于是匀速，故 v 为常量，
∴木箭上升的高度 h 与时间t 的关系式是 即成正比例关系，能表示h 与t之间关系的是 B.故选 B.
方法诠释 本题考查了用图象表示变量间关系，理解题意.根据题意找到对应的关系是解题的关键.根据题意可知“壶”中漂浮的木箭随水面匀速缓缓上移，即木箭的运动速度是定值，根据木箭上升的高度等于速度乘时间，即可得到对应的关系式，由此可得到图象.
6. C[解析]将常温中的温度计插入一杯(恒温)的热水中，温度计的温度先升高然后不变.故C选项中的图象符合条件.故选 C.
7. B
8. C[解析]在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，故 A 说法正确，不符合题意；
由表格，可得 s 随 v 的增大而增大，当刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，故B说法正确，不符合题意；当刹车时车速为 100 km/h时,刹车距离是(100÷10)×2.5=25(m),故 C说法错误,符合题意;
在限速120km/h的高速公路上，最大刹车距离为(120÷10)×2.5=30(m),故 D说法正确,不符合题意.故选 C.
方法诠释 本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可得刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，s随v的增大而增大，当刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，逐项判断即可得出.
9. C [解析]由图象可知，小明家到体育馆的距离为 2.5km，故选项 A 错误；
小明在体育馆锻炼的时间为 45-15=30(min)，故选项 B错误；
小明家到书店的距离为1km，故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为100-80=20(min)，故选项D错误.故选 C.
10. B
11.(一个人的)身高[解析]∵随着年龄的增加，身高往往也在增长，∴在这个变化的过程中自变量是年龄，因变量是身高.
12.甲[解析]根据图象可得甲到达终点用时12秒，乙到达终点用时14秒，
∴甲先到达终点.
13.①②④ [解析]由题意,得当t=0时,小文还未出发.
当t=9时，小文步行9分后，小亮出发.
∴小文的速度为80米/分.
当t=15时，小文出发15分后，小亮追上小文.
∴小文和小亮的速度差为120米/分，
则小亮的速度为200米/分，
∴200÷80=2.5.
当t=19时，小文出发19分后，小亮先到达青少年宫.
b=(19-9)×200-19×80=480.
当t=a时，小文出发a分后，到达青少年宫.
a=2.5×(19-9)=25.
由以上分析，得正确的是①②④.
14. y=1.6x+3.2 [解析]y=8+1.6(x-3)=1.6x+3.2.
15.10
16.(1)4 (2)12 [解析](1)由题意,当点 P 从A 运动到点B，用了6秒，△AEP 的面积逐渐增大，当点 P 从点B运动到点C，用了2秒，△AEP 的面积逐渐变小.
故AB=2×6=12(cm),
BC=2×2=4(cm).
(2)由题意,当x=8时,点 P 运动到点C,此时△AEP 的面积
又 BC=4cm,
∴CE=8cm.
思路引导(1)依据题意，根据三角形的面积随点 P 的运动时间变化图象，判断出 AB，BC，进而可以求解；
(2)依据题意，根据三角形的面积随点 P 的运动时间变化图象,抓住当x=8s时,△AEP 的面积 进而计算可以求解.
17.78 [解析]由题意，得甲先行驶了1千米，甲行驶1千米用了6分钟，
所以甲的速度是 (千米/分钟).
由题意，得A，B两地的距离是16千米，
设乙的速度是x千米/分钟，
由题意，得
解得
相遇后乙到达 A 地还需 (分钟),
相遇后甲到达B 地还需 (分钟),
故当乙到达终点 A 时，甲还需80-2=78(分钟)到达终点 B.
18.3或14 [解析]动点 P 在 BC 上运动时,对应的时间为0到4s,
∴BC=2×4=8(cm).
动点 P 在CD 上运动时，对应的时间为4到6s，∴CD=2×(6-4)=4(cm).
动点 P 在 DE 上运动时，对应的时间为6到9s，∴DE=2×(9-6)=6(cm).
故题图(1)中的 BC=8cm,DE=6cm,EF=6-4=2(cm),∴AF=BC+DE=8+6=14(cm),
或 AF-2t)=18,解得t=3或14.
19.(1)由题图(2)可知,①当x越来越大时,y 越来越小;
②当x=1,y=4 时, 2(cm ),由于△ABC 的面积是定值,故△ABC 的面积是2.
(2)由(1)可知 即 xy=4,
故y与x之间的关系式为
思路引导 本题考查了三角形的面积公式和用关系式表：示变量之间的关系，从图象中提取信息是解题的关键.
(1)根据题图(2)可得，①当x越来越大时，y越来越小；②当x=1，y=4时，利用三角形面积公式可得 由于△ABC 的面积是定值，故△ABC 的面积是2;
(2)根据题图(2),可得到△ABC 的面积是2,由于△ABC的面积是定值，故 由此可得到 y与x之间的关系式.
20.(1)第4个图形中的棋子个数是4+3+3+3=13.
(2)第n个图形的棋子个数是4+3(n-1)=3n+1.
(3)当n=20时,3n+1=3×20+1=61,所以第20个图形需棋子61个.
21.(1)12 2 4 4 [解析]由题意,得 b=3-1=2,
d=6÷2+1=4.
(2)由(1),得BD=2×2=4(cm),CD=6-4=2(cm).
∴2CE=2×4,∴CE=4cm.
当点 E 在BC 上时,
BE=BC-CE=6-4=2(cm),
当点 E 在 BC 延长线上时，
BE=BC+CE=6+4=10(cm).
∵E在到达点D 时停留1s后以原速度继续运动，
综上所述,当t=1或6s时,S△ACE=2S△ACD.
时，
当E在F 的左侧时，
当E在F 的右侧时，
综上所述，当 或 时，
22.由题意可得,当x=2时,y=x(x+1)=2×(2+1)=6>5,∴输出y=6.
23.(1)①2.5x [解析]当0≤x≤10时,y=2.5x.
②3.5x-10 [解析]当x>10时,y=2.5×10+3.5(x-10)=3.5x-10.
(2)∵6<10,
∴当x=6时,y=2.5×6=15(元).
故应交水费15元.
(3)∵32>2.5×10,
∴当y=32时,3.5x-10=32,
解得x=12.
故该户居民用水12立方米.
24.(1)100 50 [解析]由图象,得甲队的工作效率为 600÷6=100(米/天),
乙队开挖2天后的工作效率为(500-300)÷(6-2)=50(米/天).
(2)2天[解析]由图象，得甲队完成 600米的时间是6天,
乙队完成600米的时间是2+300÷50=8(天),
∵8-6=2(天),
∴甲队比乙队提前2天完成任务.
(3)由题意,得100x=300+50(x-2),解得x=4.
故当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同.
25.(1)在这个变化过程中,长方形ABCD 的面积随AB(CD)的长度变化而变化，
∴在这个变化过程中，自变量为AB(CD)的长，因变量为长方形 ABCD 的面积.
(2)长方形的面积=AB·AD,即y=20x.
(3)当AB=25cm时,y=20x=20×25=500(cm ),
当AB=40cm时,y=20x=20×40=800(cm ),
所以当长 AB 从 25 cm变到 40 cm时,长方形的面积从500 cm 变到800cm .
26.(1)8 2 20 1 [解析]观察图(2),由
由题意,得(24-8)d=12×2+8-2×8,解得d=1.
(2)由题意，得 解得x=4,
∴当x=4时，PQ第一次平分长方形ABCD 的面积.
(3)当点Q在DC上时,由题意,得12+8+12-3x=29,解得x=1;
当点 P 到达点D 时，两点在运动路线上相距的路程为8×2+(20-8)×1=28cm<29cm,
∴点 P 到达点D 后，两点在运动路线上相距的路程才能相距29cm,
综上所述，x的值为1或21时，点P，Q在运动路线上相距的路程为29 cm.

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