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第四章 三角形 提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定.如果用在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加螺栓( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.(2025·四川乐山市中区期末)如图,在3×3的正方形网格中,∠1+∠2=( ).
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
3.如图,AD,CE 是△ABC 的两条高, 则△ABC 的面积为( ).
A. B. C. D.
4.如图,AB⊥BC,AD⊥BD,AB=BC=10,AD=8,BD=6,则S△ACD 为( ).
A. 48 B. 50 C. 56 D. 64
5.(2024·广东深圳宝安中学期末)利用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是( ).
6.(2025·四川绵阳期末)已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是( ).
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
7.(2025·威海中考)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，下列条件中，不能判断四边形ABCD 是筝形的是( ).
A. BO=DO,AC⊥BD B. ∠DAC=∠BAC,AD=AB
C. ∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D. ∠ADC=∠ABC,BO=DO
8.如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,则∠BFD的度数是( ).
A. 60° B. 90° C. 45° D. 120°
9.如图,已知AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,点E,B,D到直线l的距离分别为6,3,4,则图中凹多边形 ABCDE 的面积是( ).
A. 50 B. 62 C. 65 D. 68
10.(2025·广西贵港期末)如图,在△ABC和△ADE中,∠CAB=∠DAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延长分别交AC,AD于点 F,G.若BE恰好平分∠ABC,则下列结论错误的是( ).
A. ∠ADC=∠AEB B. CD∥AB C. DE=GE D. CD=BE
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形.
12.如图,AD,CE,BF 是△ABC 的三条高,AB=6,BC=5,AD=4,则CE= .
13.如图,AB=12m,CA⊥AB 于点A,DB⊥AB 于点B,且AC=4m,点 P 从点B 向点A 运动,每分钟走1m，点Q从点B 向点D 运动，每分钟走2m，若P，Q两点同时出发，则运动 分钟后，△CAP 与△PQB 全等.
14.(2025·重庆巴蜀中学期中)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且满足BE=CE,BD=2AD,AF=2CF,连接DE,EF,若△ABC的面积为12,则四边形ADEF 的面积为 .
15.如图,在△ABC中,D是边AC上一点,CD:AD=1:2,连接BD,E是线段BD上一点,BE:ED=1:3,连接AE,F是线段AE 的中点,连接CF交线段BD 于点G,若△ABC的面积是12,则△EFG的面积是 .
16.(2025·广东汕尾期末)如图,在△ABC中,AD 为BC边的中线,E为AD 上一点,连接BE 并延长交AC 于点F,若∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF 的长为 .
17.(2025·湖北武汉东西湖区期中)如图，在四边形ABCD 中， 于点B,AD⊥CD 于点 D,E,F 分别是CB,CD 上的点,且. ，则下列说法正确的是 (填写正确的序号).
①DF=BE;②△ADF≌△ABE;③FA 平分∠DFE;④AE 平分∠FAB;⑤BE+DF=EF;⑥CF+CE>FD+EB.
18.如图,在△ABC中,CM为边AB 上的中线,AD 是∠BAC 的平分线, 若E,F 分别是边AD 和AC上的动点，则CE+EF 的最小值是 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)教材P107习题T10·变式如图,点C 在线段AD 上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)试说明:△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数.
20.(6分)(2025·山东烟台莱州期末)如图,在 Rt△ABC中, ,过点 A 作AD⊥CB 于点D,延长DA 至点E,使得DE=AC,过点 E作EF∥AB,交CB 的延长线于点F,连接CE.
(1)试说明:△ACB≌△DEF;
(2)若∠FCE=50°,∠CEF=70°,求∠FCA 的度数.
21.(8分)如图,已知
(1)试说明:
(2)过点 C作于点G，若 求CG 的长.
22.(8分)如图,在 和 中， 连接AD,BE 交于点M.
(1)如图(1),当点 B,C,D在同一条直线上,且 时，可以得到图中的一对全等三角形，即 ≌ .
(2)当点 D 不在直线 BC 上时,如图(2),且
①试说明：AD=BE;
②直接写出 的大小(用含α的代数式表示).
23.(8分)(2025·广东深圳坪山区期末)如图,在△ABC中,延长AB,在射线AB 的延长线上截取DE=AB.
任务1：实践与操作：
①如图(1)，请用无刻度直尺与圆规作△DEF 与△ABC全等(不写作法，保留作图痕迹)；
②你作的△DEF 与△ABC 全等的依据是 (选填 SSS,SAS,AAS,ASA).
任务2:猜想与说明:如图(2),△DEF≌△ABC,AG平分∠CAB,DG平分∠ADF.
①试猜想∠G= °;
②请你求出∠G 的度数.
24.(8分)(2025·山东济南市中区期中)如图,在△ABC中,AD为高,AC=12. E为AC上一点, 连接BE,交AD 于点O,若△BDO≌△ADC.
(1)猜想线段 BO 与AC 的位置关系，并说明理由.
(2)若动点 Q 从点A 出发沿射线AE 以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒.
①当点Q在线段AE 上时，是否存在t的值，使得△BOQ 的面积为18 若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.
②动点 P 从点O 出发沿线段OB 以每秒1个单位长度的速度向终点 B 运动，P，Q两点同时出发，当点P 到达点B时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t秒，F是直线BC上一点，且CF=AO，当△AOP 与△FCQ 全等时,请直接写出t 的值.
25.(10分)[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图(1),在△ABC中,AB=6,AC=4,求边 BC上的中线AD 的取值范围.小丽在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图(2),延长AD 到点M,使DM=AD,连接BM,可得△ACD≌△MBD,从而把AB，AC，2AD 集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围.
[方法总结]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线(或与中点有关的线段)构造全等三角形，把分散的已知条件和所求线段集中到同一个三角形中.我们把这种添加辅助线的方法称为“倍长中线法”.
[问题解决](1)直接写出图(1)中AD 的取值范围： ；
(2)猜想图(2)中AC 与BM 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图(3),AD 是△ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°,判断线段AD 和线段EF 的数量关系和位置关系，并说明理由.
26.(12分)如图(1)，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图画一对以OP 为公共边的全等三角形.参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图(2),在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,AD,CE 相交于点F,求∠EFA 的度数.
(2)在(1)的条件下，请你判断FE 与FD 之间的数量关系，并说明理由.
(3)如图(3),在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(2)中所得结论是否仍然成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
1. A[解析]用在木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释.
如图，
点A 加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原来不稳定的五角星中具有了稳定的各边.故选 A.
2. D [解析]如图,
由题意知,在△BAC 和△EAD 中,
∴△BAC≌△EAD(SAS),
∴∠ABC=∠1.
∵∠ABC+∠2=90°,
∴∠1+∠2=90°.故选 D.
3. A [解析]∵AD,CE是△ABC的两条高,
故选 A.
归纳总结 本题主要考查了三角形的面积计算，熟记三角形面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的关键.
4. C [解析]如图,过点 C 作CE⊥BD,交 DB 的延长线于点E.
∵AB⊥BC,AD⊥BD,
∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°,
∴∠CBE=90°-∠ABD=∠BAD.
又BA=CB,∴△ABD≌△BCE(AAS),
∴CE=BD=6,
故选C.
5. D [解析]A,B,C所作均不是△ABC 的高线.故选 D.
6. B[解析]甲与△ABC不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不一定全等；
乙与△ABC符合两边对应相等，且夹角相等，
∴根据 SAS可判定乙和△ABC全等;
丙与△ABC符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，∴根据 AAS可判定丙和△ABC全等.故选 B.
7. D [解析]A.∵BO=DO,AC⊥BD,
∴AC 是BD 的垂直平分线,
∴AB=AD,CB=CD,
∴四边形 ABCD 是筝形,
∴A选项不符合题意；
B.在△ACD 与△ACB 中,
∴△ACD≌△ACB(SAS),
∴CD=CB,
∴四边形 ABCD 是筝形,
∴B选项不符合题意；
C.在△ACD 与△ACB 中,
∴△ACD≌△ACB(ASA),
∴AD=AB,CD=CB,
∴四边形ABCD 是筝形,
∴C选项不符合题意；
D.由∠ADC=∠ABC,BO=DO,不能证明四边形 ABCD是筝形，∴D选项符合题意.故选 D.
8. B [解析]∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE=∠CAD.
在△BAE 和△CAD 中,
∴△BAE≌△CAD(SAS),∴∠B=∠C.
∵∠BGA=∠CGF,∴∠CFB=∠BAC=90°,
∴∠BFD=90°.故选 B.
9. A [解析]如图,过点 E 作EF⊥l于点 F,过点 B 作BG⊥l于点G,过点 D 作DH⊥l于点 H,
∴∠EFA=∠AGB=90°,∠FEA+∠FAE=90°.
∵AE⊥AB,∴∠BAG+∠FAE=90°,
∴∠FEA=∠GAB.
∵AE=AB,∴△EFA≌△AGB(AAS),
∴AF=GB=3,GA=EF=6.
同理可证△BGC≌△CHD,
∴CH=GB=3,CG=DH=4,
∴FH=AF+GA+CG+CH=3+6+4+3=16,
∴梯形 EFHD 的面积为 4)×16=80,三角形 EFA 的面积为 3=9,三角形 BGC 的面积为 故四边形 ABCDE 的面积为 80-9×2-6×2=50.故选 A.
10. C [解析]A.∵∠CAB=∠DAE=36°,
∴∠CAB-∠CAE=∠DAE-∠CAE,即∠DAC=∠EAB.
在△DAC 和△EAB 中,
∴△DAC≌△EAB(SAS),
∴∠ADC=∠AEB,CD=BE,故A,D选项不符合题意;
.∵AC=AB,
∴∠ACB=∠ABC.
∵∠CAB=∠DAE=36°,
∴∠ACB=∠ABC=(180°-36°)÷2=72°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=36°,
∴∠ACD=∠ABE=36°.
∵∠DCA=∠CAB=36°,
∴CD∥AB,
故B选项不符合题意；
C.根据已知条件无法证明DE=GE，故C选项符合题意.故选 C.
11.直角[解析]设三角形三个内角的度数分别为k，2k，3k，则k+2k+3k=180°,
解得k=30°.所以2k=60°,3k=90°.
故这个三角形是直角三角形.
12. [解析]∵
13.4 [解析]∵CA⊥AB 于点A,DB⊥AB 于点 B,∴∠A=∠B=90°.
设运动x分钟后,△CAP≌△PQB,则 BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12-x)m.
分两种情况：
①若BP=AC,则x=4,AP=12-4=8(m),BQ=8m,则AP=BQ,此时△CAP≌△PBQ;
②若BP=AP,则12-x=x,
解得x=6,则 BQ=12≠AC,
此时△CAP 与△PQB 不全等.
综上所述,运动4分钟后,△CAP 与△PQB 全等.
14.6
15. [解析]如图,连接 DF,CE.
∵CD:AD=1:2,S△ABC=12,
又 BE:ED=1:3,
∵F 是线段AE 的中点,
∵CD:AD=1:2,
即
△DGF 和△EFG 同高,
△CGD和△CEG 同高
归纳总结 本题考查线段的中点的性质、线段的n等分点的性质、与三角形的高有关的计算问题.正确的连接辅助线是解题关键.
16.2.4 [解析]如图,延长 AD 至点G,使 DG=AD,连接BG.
在△BDG和△CDA 中,
∴△BDG≌△CDA(SAS),
∴BG=AC,∠CAD=∠G.
∵∠AEF=∠FAE,
∴∠G=∠AEF,
∵∠BEG=∠AEF,
∴∠G=∠BEG,
∴BG=BE=4,
∴AC=BE=4.
∵∠AEP=∠FAE,
∴AF=EF=1.6,
∴CF=AC-AF=4-1.6=2.4.
17.③⑤⑥ [解析]如图,延长 EB 到点G,使 BG=DF,连接AG.
∵AB⊥CB,AD⊥CD,∴∠D=∠ABG=90°.
在△ADF 和△ABG中
∴△ADF≌△ABG(SAS),
∴AF=AG,∠G=∠DFA,∠DAF=∠BAG.
∵∠EAF=70°,∠DAB=140°,
∴∠DAF+∠EAB=∠DAB-∠FAE=140°-70°=70°,
∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠FAD=70°,
∴∠FAE=∠EAG=70°.
在△FAE 和△GAE 中
∴△FAE≌△GAE(SAS),
∴∠FEA=∠GEA,∠G=∠EFA,EF=EG,
∴EF=EB+DF,∠FAE≠∠EAB,故⑤正确,④错误;
∵∠G=∠EFA=∠DFA,即 FA平分∠DFE,故③正确;
∴CF+CE>EF,EF=DF+BE,
∴CF+CE>DF+BE,故⑥正确;根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误.综上所述，说法正确的是③⑤⑥.
18. [解析]如图,过点 C作CG⊥AD 于点G,延长CG交AB 于点 H,连接EH,FH,
∴∠AGC=∠AGH=90°.
∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠CAG=∠HAG.
又AG=AG,
∴△AGC≌△AGH,
∴CG=HG,AC=AH.
又EG=EG,∠CGE=∠HGE=90°,
∴△CEG≌△HEG,∴CE=HE,
∴CE+EF=HE+EF,
∴当E,F,H三点共线具HF⊥AC时,HE+EF 最小,
此时CE+EF最小,最小值为 HF 的长.
∵CM 为AB 边上的中线,
∴=S△BCM=7,
∴点C到AM的距离为
∴HF= ,∴CE+EF 的最小值为
19.(1)在△ABC 和△ADE 中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)由(1),得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°,
∴∠ACE=60°.
归纳总结·本题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE 是解题的关键.
20.(1)∵EF∥AB,∴∠CBA=∠EFD.
∵AD⊥CB,∠CAB=90°,
∴∠EDF=∠CAB=90°.
∵DE=AC,∴△ACB≌△DEF(AAS).
(2)∵∠FCE=50°,∠CEF=70°,
60°,∴∠ABC=∠EFD=60°,
21.(1)∵BF=CE,
∴BF+CF=CE+CF,∴BC=EF.
∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.
在△ABC 和△DEF 中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE=6.
∵S△ABC= AB·CG=9,∴6·CG=18,∴CG=3.
22.(1)△BCE △ACD [解析]∵∠ACB=∠DCE=45°,∴∠ACD=∠BCE.
在△BCE 和△ACD 中
∴△BCE≌△ACD(SAS).
(2)①∵∠ACB=∠DCE=α,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD 和△BCE 中
∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.
②∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE.
∵∠BAC+∠ABC=180°-α,
∴∠BAM+∠ABM=180°-α,
23.任务1:
①如图,△DEF 即为所求.
②SSS
任务2:①90
②∵△DEF≌△ABC,∴∠CAB=∠FDE,
∴AC∥DF,∴∠CAB+∠ADF=180°.
∵AG 平分∠CAB,DG 平分∠ADF,
24.(1)BO⊥AC.理由如下:
∵AD 为高,∴∠ODB=90°.
∵△BDO≌△ADC,∴∠OBD=∠CAD.
∵∠OBD=∠CAD,∠BOD=∠AOE,∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°,∠AOE+∠OAE+∠AEO=180°,
∴∠AEO=∠ODB=90°,
∴BO⊥AC.
(2)①当 时,△BOQ的面积为 18.理由如下:
∵△BDO≌△ADC,AC=12,
∴BO=AC=12.
由(1)可知,∠BEC=90°,
∴BE⊥AC.
∵点 Q在线段AE上,如图(1),
解得
②∵△BDO≌△ADC,
∴∠BOD=∠ACD.
当点 F 在线段 BC 延长线上时，如图(2)，
∵∠BOD=∠ACD,
∴∠AOP=∠QCF.
∵AO=CF,
∴当OP=CQ时,△AOP≌△FCQ(SAS),此时,t=12-4t,
解得
当点 F 在线段BC 上时,如图(3).
∵∠BOD=∠ACD,
∴∠AOP=∠QCF.
∵AO=CF,
∴当OP=CQ时,△AOP≌△FCQ(SAS),此时,t=4t-12,解得t=4.
综上所述,当△AOP 与△FCQ 全等时,t 的值为 或4.
归纳总结 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、一元一次方程、直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.
25.(1)1∵2(2)AC=BM,AC∥BM.理由如下:
∵AD是△ABC的中线,∴CD=BD.
在△ADC和△MDB中,
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴∠BMD=∠CAD,AC=BM,∴AC∥BM.
(3)EF=2AD,AD⊥EF.理由如下:
如图(1),延长AD 到点 Q,使得DQ=AD,连接BQ.
由(2)知,△QDB≌△ADC(SAS),
∴∠DBQ=∠ACD,BQ=AC.
∵AC=AF,∴BQ=AF.
在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180°,
∴∠BAC+∠ABQ=180°.
∵∠BAE=∠FAC=90°,
∴∠BAC+∠EAF=180°,
∴∠ABQ=∠EAF.
在△ABQ和△EAF中
∴△ABQ≌△EAF(SAS),
∴AQ=EF,∠BAQ=∠AEF,如图(2),延长DA,交 EF 于点 P.
∵∠BAE=90°,
∴∠BAQ+∠EAP=90°,
∴∠AEF+∠EAP=90°,
∴∠APE=90°,∴AD⊥EF.
∵AD=DQ,∴AQ=2AD.
∵AQ=EF,∴EF=2AD.
综上所述,EF=2AD,AD⊥EF.
26.(1)∵∠ACB=90°,∠B=60°,
∴∠BAC=30°.
∵AD,CE分别是∠BAC 和∠BCA 的平分线,
∴∠EFA = 180°-∠AFC = 180° -(180°-∠DAC-∠ECA)=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.
(2)FE=FD.理由如下:
如图(1),在AC上截取AG=AE,连接 FG.
∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠EAF=∠GAF.
在△EAF和△GAF中,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°.
∵∠DFC=∠EFA=60°,
∴∠GFC = 180°-∠GFA - ∠DFC = 180°-60°-60°=60°,
∴∠DFC=∠GFC.
又CE 是∠BCA 的平分线,
∴∠FCD=∠FCG.
在△FDC和△FGC中,
∴△FDC≌△FGC(ASA),
∴FD=FG,∴FE=FD.
(3)FE=FD 仍然成立.证明如下:
如图(2),在 AC 上截取AH=AE,连接 FH.
∵AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,
∴∠EAF=∠HAF,∠FCH=∠FCD,
在△EAF 和△HAF 中,
∴△EAF≌△HAF(SAS),
∴FE=FH,∠EFA=∠HFA.
由(1)知,
∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-60°=120°,
∴∠EFA=∠HFA=∠CFD=180°-∠AFC=180°-120°=60°,
∴∠HFC=∠AFC-∠HFA=120°-60°=60°.
又∠DFC=∠EFA=60°,
∴∠HFC=∠DFC.
在△FDC 和△FHC 中,
∴△FDC≌△FHC(ASA),
∴FD=FH,
∴FE=FD.

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