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第四章 三角形 单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1. 如图,若∠B=∠C,下列结论正确的是( ).
A. △BOE≌△COD B. △ABD≌△ACE C. AE=AD D. ∠AEC=∠ADB
2.如图，已知CA=CD，∠1=∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列四个条件中的一个：①BC=EC；②∠B=∠E;③AB=DE;④∠A=∠D.能使△ABC≌△DEC 的条件的个数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (2025·广东深圳坪山区期末)如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A 和B,在岸边标记目标点C,D,使AC=CD,并利用测角仪测得∠BAC=∠EDC=90°.此时,利用三角形全等的性质，测量 DE 长度即可得到河宽.要说明两个三角形全等最恰当的理由是( ).
A. SSS B. ASA C. SSA D. SAS
4.(2024·廊坊一模)平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是( ).
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
5.(2025·广东梅州五华期末)如图，在长方形的纸片上画出△ABC，按下列方式折叠，能得到边AC 上的高的是( ).
A.对折边 BC，使点 B 与点C 重合，则高在折痕上
B.沿着过点 A的直线对折△ABC，使点C 落在直线BC 上，则高在折痕上
C.沿着过点 B 的直线对折△ABC，使得边AB 与边BC 重合，则高在折痕上
D.延长CA，并沿着过点 B 的直线折叠，使得点C 落在直线AC上，则高在折痕上
6.如图,在△ABC 中,点 D 在AC 上,△ABD 沿BD 翻折得到△EBD,且DE∥BC,若∠C=70°,则∠DBC 的度数为( ).
A. 70° B. 65° C. 55° D. 50°
7.(2025·浙江杭州期末)在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,若AB=5,AD=8,则AC 的取值范围是( ).
A. 168.(2025·重庆八中期中)如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E.线段AD,BE交于点F,若AD=BD,BF=5,EF=1,则△ABC的面积为( ).
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
9.如图,点B,C分别在AM,AN上运动(不与点A 重合),CD 是∠BCN 的平分线,CD 的反向延长线交∠ABC的平分线于点 P.知道下列哪个条件，不能求∠P 大小的是( ).
①∠ABC+∠ACB;②∠A;③∠NCD-∠ABP;④∠ABC.
A. ① B. ② C. ③ D. ④
10. (2025·河南周口鹿邑期中)在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架 PABQ，其中AB=42cm,AP,BQ足够长,PA⊥AB 于点A,QB⊥AB 于点B,点M从点B 出发向点A 运动,同时点N从点B 出发向点Q运动，M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP 上取点C,使△ACM与△BMN 全等,则线段AC 的长为( ).
A. 18cm B. 24cm C. 18cm或28cm D. 18cm或24cm
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·四川成都西川中学期中)如图,△ABC 的面积是16,D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则四边形 AFDG 的面积是 .
12.(2025·陕西西安交大附中期末改编)有4根长度分别为2cm,3cm,4cm,6cm的木棒,从中任意取3根,则这3根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 .
13.如图,在△ABC中,∠C=40°,把△ABC沿边BC上的高AH 所在的直线翻折,使点C落在边CB的延长线上的点C'处.如果∠BAC'=20°,那么∠BAC= .
14.如图,AD 是△ABC 的中线,BE 是△ABD 的中线,EF⊥BC 于点F.若S△ABC=36,BD=6,则EF的长为 .
15.如图,在△ABC 中,∠A=m°,∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A ,得∠A ;∠A BC 和∠A CD 的平分线交于点 A ,得∠A ;…,∠A2024BC 和∠A2024 CD 的平分线交于点A2025,则∠A2025= °.
16.如图,B,F,E,D 四点共线,BE=DF,∠A=∠C.若要使△ABF≌△CDE，则需要添加的条件是 (只需添加一个你认为合适的条件即可).
17.(2025·陕西西安碑林区期中)如图,在△ABC中,D 为边AB 的中点,DE⊥AC,垂足为 E.以BC 为斜边作等腰直角三角形BFC，使得直角顶点 F 恰好在DE 上.若AC=10，DF=2，则 的值为 .
18.如图,∠ABC=∠ACB,BD,CD 分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACP,BE 平分外角∠MBC交DC 的延长线于点 E.以下结论： ②DB⊥BE;③∠BDC+∠ABC=90°;④∠BAC+2∠BEC=180°.其中正确的结论有(填序号) .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)在四边形ABCD 中,AB∥CD,BD 为对角线.
(1)尺规作图：在线段 BD上找一点E，使得∠DCE=∠ADB；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下,若BD=CD,试说明:AD=CE.
20.(6分)(2025·山西吕梁交城期末)如图,D 是 △ABC 外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.下列三个等式:①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD.请从这三个等式中,任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个正确的说法，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该说法进行说明.
已知 , ,试说明: .
21.(8分)(2025·福建漳州期末)如图,在△ABC中,BD,CE 分别是边AC,AB 上的高,BD 与CE 相交于点F,且EB=EC,连接DE.
(1)试说明:∠ABD=∠ACE;
(2)试求∠EDC 的度数;
(3)若F 是CE 的中点,则BD-CD=mDF,试求m 的值.
22.(8分)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=70°,作∠BCD的平分线CE,交AB 的延长线于点E.
(1)求∠BCE 的度数;
(2)过点 D 作DF∥CE,交AB 的延长线于点F,求∠F 的度数.
23.(8分)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整.
[解决问题](1)如图(1),点 E,F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD 上, 连接EF，则EF=BE+DF,试说明理由.
解:延长CD 到点G,使DG=BE,连接AG.在△ABE 和△ADG中, ∴△ABE≌△ADG(SAS),进而推出△AFE≌ ,理由; ,进而得EF=BE+DF.
[探究变式](2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E,F 分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,当∠B+∠D=180°时,还有EF=BE+DF 吗 试说明你的猜想.
24.(8分)(2025·云南丽江古城区期中)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)试说明:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE 的度数;
(3)试说明:CD=2BF+DE.
25.(10分)(2025·陕西西安碑林区期中)[问题探究]
(1)如图(1)，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4. P为直线l上的动点，则AP+BP 的最小值为 ;
(2)如图(2),已知△ABC边AC上有一点D,且满足AD=CB,过点A作AE∥BC,并截取AE=AC,连接ED,试说明:ED=AB;
[问题解决]
(3)某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏.等腰三角形空地为如图(3)所示的△ABC，其中CD 为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，F 分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小,即BE+AF 最小.已知,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=55°,CD⊥AB,垂足为D.那么这样的设计要求能否达到 若能，求出当BE+AF最小时， 的度数；若不能，请说明理由.
26.(12分)为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法.
已知:在四边形 ABCD 中,AC 平分
(1)如图(1),当 时，求证：CB=CD.
(2)如图(2),当 时.
①试说明：CB=CD;
②若 ,则点 C 到AB 的距离是 cm.
1. D [解析]∵∠B=∠C,∠CAE=∠BAD,
∴∠AEC=∠ADB,∴D选项符合题意.
∵不能确定 BE=CD,AE=AD,
∴不能判定△BOE≌△COD,△ABD≌△ACE,∴A,B,C选项不符合题意.故选 D.
2. C [解析]∵∠1=∠2,∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE,即∠ACB=∠DCE:
又CA=CD,∴可以添加条件 BC=EC,此时满足 SAS,故①正确；
添加条件∠B=∠E,此时满足 AAS,故②正确;
添加条件∠A=∠D,此时满足 ASA,故④正确;
添加条件AB=DE,不能证明△ABC≌△DEC,故③不正确.故能使△ABC≌△DEC 的条件的个数为3.故选 C.
3. B [解析]在△ABC 和△DEC中,
∵∠BAC=∠EDC=90°,AC=CD,∠ACB=∠DCE,
∴△ABC≌△DEC(ASA).故选 B.
4. C [解析]如图,设这个凸四边形为ABCD,连接 BD,设BD=a,
在△BCD中,CD-BC在△ABD 中,BD-AB观察四个选项，只有选项C符合题意.故选 C.
一题多解 如图，设这个凸四边形为ABCD，
在△ABC中,AB-BC在△ACD 中,CD-AC观察四个选项，只有选项C符合题意.故选C.
5. D [解析]A.对折边 BC,使点 B 与点C重合,则边 BC垂直平分线在折痕上，故该选项不符合题意；
B.沿着过点 A 的直线对折△ABC,使点 C 落在直线 BC上，则边 BC上的高在折痕上，故该选项不符合题意；
C.沿着过点 B 的直线对折△ABC,使得边 AB 与边 BC 重合，则∠B 的平分线在折痕上，故该选项不符合题意；
D.延长 CA，并沿着过点 B 的直线折叠，使得点 C 落在直线AC 上，则边 AC 上的高在折痕上，故该选项符合题意.故选 D.
6. C [解析]由折叠,得∠BDA=∠BDE.
∵DE∥BC,∴∠EDC=∠C=70°.
设∠BDA=∠BDE=x,则∠BDC=x-70°.
∵∠ADB+∠BDC=180°,
故选 C.
7. B [解析]在△ABC中,AD 是BC边上的中线,AB=5,AD═8,如图,延长AD至点E,使 DE=AD=8,
∴AE=16.
∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD.
在△ADC 和△EDB 中,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴BE=AC.
∵AE-AB∴16-5∴11故选 B.
8. A [解析]∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠DBF+∠C=∠C+∠DAC=90°,
∴∠DBF=∠DAC.
在△BDF 和△ADC中,
∴△BDF≌△ADC(ASA),∴AC=BF=5.
∵BE⊥AC,BE=BF+EF=5+1=6,
∴△ABC的面积
故选 A.
9. D [解析]∵CD 是∠BCN的平分线,CD 的反向延长线交∠ABC的平分线于点P，
∴∠NCD=∠BCD,∠ABP=∠CBP.
∵∠P=180°-∠PCB-∠CBP=∠DCB-∠CBP,
∴∠P=∠NCD-∠ABP,∴③能求出∠P 的大小;
∵∠A=180°-∠ACB-∠ABC=∠NCB-∠ABC=2(∠NCD-∠ABP),∠P=∠NCD-∠ABP,
∴②能求出∠P 的大小；
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴①能求出∠P 的大小，④不能求出∠P 的大小.故选 D.
10. C [解析]设 BM=3x cm,则 BN=4x cm.
已知∠A=∠B=90°.
当△ACM≌△BNM时,有 BM=AM,BN=AC.
又AB=AM+BM=42cm,
∴3x+3x=42,解得x=7,∴AC=BN=4x=28;
当△ACM≌△BMN时,有AM=BN,BM=AC.
又AB=AM+BM=42cm,
∴4x+3x=42,解得x=6,∴AC=BM=3x=18.
综上,线段 AC 的长为18cm或28cm.故选 C.
11.8 [解析]∵点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,∴AD 是△ABC 的中线,BE 是△ABD 的中线,CE 是△ACD 的中线,AF 是△ABE 的中线,AG 是△ACE 的中线,DG 是△CDE 的中线,DF 是△BDE 的中线,
同理，可得
12.9cm或13cm [解析]∵2+3>4,2+3<6,2+4=6,3+4>6，∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为2cm,3cm,4cm或3cm,4cm,6cm,
∴这3根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是2+3+4=9(cm)或3+4+6=13(cm).
13.80° [解析]根据题意，补全图形如图.
∵AH⊥BC,∴∠AHC=90°.
由折叠的性质，得
14.3 [解析]∵AD 是△ABC的中线,
∵BE是△ABD 的中线,
即 解得 EF=3.
[解析]∵BA 平分∠ABC,CA 平分∠ACD,
同理可得.
16.∠B=∠D(答案不唯一)[解析]根据题意，得添加的条件为∠B=∠D.
∵BE=DF,∴BE-EF=DF-EF,即BF=DE.
∵∠B=∠D,∠A=∠C,BF=DE,
∴△ABF≌△CDE(AAS).
17. [解析]过点B作BH⊥DE交ED的延长线于点H，如图所示.
设AE=a.∵AC=10,∴CE=AC-AE=10-a.
∵DF=2,∴DE=DF+EF=2+EF.
∵D 为AB的中点,∴AD=BD.
∵DH⊥BH,DE⊥AC,∴∠H=∠AED=90°.
∵∠ADE=∠BDH,∴△ADE≌△BDH(AAS),
∴BH=AE=a,DH=DE=2+EF.
∵以 BC为斜边作等腰直角三角形BFC，
∴FB=FC,∠BFC=90°,∴∠BFH+∠CFE=90°.
∵∠H=∠CEF=90°,∴∠FCE+∠CFE=90°,
∴∠BFH=∠FCE,∴△BFH≌△FCE(AAS),
∴BH=EF=a,FH=CE=10-a,
∴DH=2+FE=2+a,
∴FH=DH+DF=2+a+2=4+a.
∵FH=CE,CE=10-a,∴4+a=10-a,解得a=3,∴AE=a=3,CE=10-a=7,
18.①②③④ [解析]①BD,CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC,外角∠ACP,BE 平分外角∠MBC 交DC 的延长线于点E，
∴∠ACP=2∠DCP ═2∠DCA,∠ABC=2∠DBC=2∠DBA,∠MBC=2∠CBE=2∠MBE.
∵∠DCP =∠BDC +∠CBD,2∠DCP =∠BAC +2∠DBC,∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC,
故①正确；
故②正确；
③∵∠ABC=∠ACB,∴∠BAC+2∠ABC=180°,
∴∠BDC+∠ABC=90°,故③正确;
④∵∠DBE=90°,∴∠BDE+∠BEC=90°.
∴∠BAC+2∠BEC=180°,故④正确.综上，正确的有①②③④.
19.(1)如图,∠DCE 即为所求.
(2)∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDE.
∵BD=CD,∠ADB=∠DCE,
∴△ADB≌△ECD,∴AD=CE.
20.① ② ③(答案不唯一)
在△ABC和△BAD中,
∴△ABC≌△BAD(SAS),∴AC=BD.
21.(1)∵BD,CE 分别是边AC,AB上的高,
∴∠BEF=∠BDC=90°,
∴∠ABD=90°-∠EFB,∠ACE=90°-∠DFC.
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠ABD=∠ACE.
(2)如图(1),在线段 BD 上取点G,使得 BG=CD,连接EG.
在△BEG 和△CED 中
∴△BEG≌△CED(SAS),
∴∠BEG=∠CED,EG=ED,
∴∠GED =∠GEF +∠CED =∠GEF +∠BEG =∠BEF=90°,
∴△GED 是等腰直角三角形,∴∠GDE=45°,
∴∠EDC=∠GDE+∠BDC=45°+90°=135°.
(3)如图(2),过点 E作EH⊥BD 于点 H.
∵F是CE的中点,∴EF=CF.
在△EHF 和△CDF 中, ∴△EHF≌△CDF(AAS),∴HF=DF,∴HD=2DF.由(2),得EG=ED,BG=CD.
又EH⊥BD,∴GH=DH,
∴GD=2HD=2×2DF=4DF,
∴BD-CD=BD-BG=GD=4DF,
∴m=4.
22.(1)∵∠A=30°,∠ABC=70°,
∠ABC)=∠A+∠ABC=100°.
又 CE 平分∠BCD
(2)∵∠BCE=50°,∠ABC=70°,∠A=30°,
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=130°,
∴∠BEC=180°-∠A-∠ACE=20°.又DF∥CE,∴∠F=∠BEC=20°.
23.(1)△AFG SAS
(2)仍有 EF=BE+DF.理由如下:
如图,延长 FD至点G,使DG=BE,连接AG.
∵∠ADF+∠ADG=180°,∠B+∠ADF=180°,
∴∠B=∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,即∠FAG=45°.
在△AFE 和△AFG 中
∴△AFE≌△AFG(SAS),∴EF=FG.
∵FG=DF+DG,BE=DG,∴EF=BE+DF.
24.(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC 和△ADE 中 ∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E=45°.
由(1)知△ABC≌△ADE,∴∠BCA=∠E=45°.
∵AF⊥BC,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°.
(3)如图,延长BF到点G,使得 FG=FB.
∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°.
在△AFB 和△AFG 中,
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G.
∵△ABC≌△ADE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,∠GCA=∠E=∠DCA=45°,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA.在△CGA 和△CDA 中
∴△CGA≌△CDA(AAS),∴CG=CD.
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,∴CD=2BF+DE.
25.(1)4 [解析]∵两点之间,线段最短,
∴当A,P,B 三点共线时,AP+BP 取得最小值,即AP+BP=AB=4.
(2)∵AE∥BC,∴∠EAD=∠C.
∵AD=CB,AE=AC,∴△EAD≌△ACB(SAS),
∴ED=AB.
(3)以 FC 为边、C 为顶点,向下作∠FCG=∠BAE,使得CG=AB,连接FG,如图(1).
∵AE=CF,∴△ABE≌△CGF(SAS),
∴BE=FG,
∴BE+AF=AF+FG.
当A,F,G三点共线时,BE+AF 最小,此时,点 F 位置如图(2)所示，
此时,∠AFD=∠FAC+∠ACD.
根据题意,得∠FCG=∠BAC=55°.
∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=35°,
∴∠ACG=∠ACD+∠FCG=90°.
∵CG=AB,AC,∴∠FAC=45°,
∴∠AFD=∠ACD+∠FAC=80°.
26.(1)∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,∴∠D=90°.
∵AC平分∠BAD,∴∠CAD=∠CAB.
∵AC=AC,
∴△ACD≌△ACB(AAS),∴CD=BC.
(2)①如图,过点C作CE⊥BA于点E,过点C作CF⊥AD交AD 延长线于点F.
∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠F=∠AEC=90°.
∵AC平分∠BAD,∴∠CAF=∠CAE.
又AC=AC,∴△ACE≌△ACF(AAS).∴CE=CF.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,
∴∠B=∠FDC.
∵∠CEB=∠F=90°,CE=CF,
∴△CBE≌△CDF(AAS),∴BC=CD.
②2 [解析]由①可知△ACF≌△ACE,△CDF≌△CBE,∴AF=AE,DF=BE,
∴AD+DF=AB-BE,即AD+BE=AB-BE.
∴2BE=AB-AD.
∵AB=10cm,AD=6 cm,∴BE=2cm.
∵∠B=45°,∴△BCE为等腰直角三角形,
∴CE=BE=2cm,∴点C到AB的距离是2cm.

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