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4.1~4.2阶段精练卷
用时:60分钟总分:100分 得分:
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
1.(2025·重庆万州二中期中)将一副三角板按照如图所示的方式摆放,其中∠C=∠F=90°,∠ABC=30°,∠DEF=45°,点C,B,E在同一直线上,∠FEB=63°,则∠EDB 的度数为( ).
A. 12° B. 15° C. 18° D. 22°
2.(2025·山东济南高新区期中)如图所示,△ABC≌△DBE.若∠E=70°,∠A=20°,则∠DBE 等于( ).
A. 10° B. 30° C. 70° D. 90°
3.(2025·辽宁沈阳期中)在下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=∠B=2∠C;④∠A= ∠B= ∠C;⑤∠A=∠B= ∠C中，能确定△ABC 为直角三角形的条件有( ).
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4.如图,△ABD≌△EBC,且点E在BD上,点A,B,C在同一直线上.若AB=3,BC=6,则DE 的长为( ).
A. 9 B. 6 C. 3 D. 2
5.(2025·河北邢台期末)已知△ABC 的两边长分别为2和n+2，则能使得第三边长取到10的最小正整数n是( ).
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6.(2025·辽宁沈阳期中)如图所示,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE 的中点,且 则△DEF 的面积等于( ).
A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
7.(2025·山东德州九中期中)已知△ABC的面积为14,AD 是边BC上的高,若AD=4,CD=2,则BD的长为 .
8.如图,∠ABG,∠ADF的平分线BE,DE 相交于点E.点F,G分别在AB,AD上,BG,DF交于点 C.设∠BFD=α,∠DGB=β,则∠BED= .(用含有α,β的代数式表示)
9.(2025·江西中考)如图，在长方形纸片ABCD 中，沿着点 A 折叠纸片并展开，AB 的对应边为AB',折痕与边 BC交于点 P.当AB'与AB,AD 中任意一边的夹角为15°时,∠APB 的度数可以是 .
10.等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则它的腰长、底边长分别为 .
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=10cm,点C在直线l上,动点 P 从点A 出发,沿A→C的路径向终点C运动，动点Q从点B 出发，沿B→C→A 的路径向终点A 运动.点P 和点Q分别以1cm/s和2cm/s的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和点Q作PM⊥直线l于点M，QN⊥直线l于点 N，则当点 P 的运动时间为 时，△PMC 与△QNC 全等.
三、解答题(本大题共5小题，共56分)
12.(8分)(2025·安徽滁州全椒期末)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边AB,AC 上,∠A=∠ABE,∠CDB=∠CBD,BE与CD 交于点F.
(1)若∠A=40°,∠ACB=70°,则∠BFD= °;
(2)若∠ABC=∠ACB,试说明:∠BDF=∠BFD.
13.(12分)(2025·重庆期中)如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,BE 是△ABC 的高,AD 与BE交于点F,过点 F 作FG∥BC交AC 于点G,连接CF.
(1)试说明:
(2)若∠CAD=∠DCF=29°,∠FBC=43°,求∠DFC 的度数.
14.(12分)如图,在△ABC中,AD,AE,AF 分别为△ABC 的高、角平分线和中线,已知△AFC 的面积为10,AD=4,∠DAE=20°,∠C=30°.
(1)求 BC 的长度;
(2)求∠B 的度数.
15.(12分) (2024·广安中考改编)如图，长方形纸片的长为4，宽为3，长方形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对长方形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片.请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线.
注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；
②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况.
16.(12分)(2025·辽宁本溪期中)[概念认识]如图(1),射线 BP 在∠ABC 的内部,若 则射线 BP 叫作∠ABC 的邻AB“n分线”.
[问题解决](1)如图(2),在△ABC中,点 P 是∠ABC 的邻AB“2分线”与∠ACB 的邻AC“2分线”的交点,若∠A=60°,则∠BPC= ;
(2)如图(3),在△ABC 中,点 P 是∠ABC 的邻AB“4分线”与∠ACB 的邻AC“4分线”的交点,且BP⊥CP,求∠A 的度数;
(3)如图(4),在△ABC中,点 D 在边 BC 的延长线上,连接AD,且 的邻AB“3分线”与AD 交于点E,若∠BAC=α,直接写出∠BED 的大小(用含α的式子表示).
1. A
2. D [解析]∵△ABC≌△DBE,∠E=70°,∠A=20°,
∴∠A=∠D=20°,
.故选 D.
3. B [解析]①∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴2∠C=180°,∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°,
∴最大角为 ∴△ABC 是直角三角形,故②符合题意;
③∵∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴2∠C+2∠C+∠C=180°,
∴∠C=36°,∴∠A=∠B=72°,∴△ABC 是锐角三角形,故③不符合题意；
∴最大角为
∴△ABC 是直角三角形，故④符合题意；
∴最大角为
∴△ABC 是直角三角形,故⑤符合题意.
综上所述，能确定△ABC 为直角三角形的条件有①②④⑤,共4个.故选 B.
4. C [解析]∵△ABD≌△EBC,
∴AB=BE=3,BC=BD=6,
∴DE=BD-BE=6-3=3.故选 C.
5. C
6. A [解析]∵S△ABC=16cm ,D 为BC 中点,
△ADB 与△ADC 等底同高,因此面积相等
∵E为AD 的中点,
∵F为CE 的中点, 故选 A.
7.5或9 [解析]分两种情况,
如图(1),当AD 在△ABC 内部时.
∵AD 为边BC 上的高,∴AD⊥BC,
如图(2),当AD 在△ABC 外时.
∵AD 为边BC 上的高,∴AD⊥BC,
故 BD 的长度为5 或9.
[解析]如图，连接BD.
因为∠ABG,∠ADF 的平分线BE,DE 相交于点E,则令∠ABE=∠CBE=m,∠ADE=∠FDE=n.
因为∠DGB=β,
所以∠A=180°-∠AGB-∠ABG=∠BGD-∠ABG=β-2m,同理可得∠A=α-2n,
所以β-2m=α-2n,则β-α=2m-2n,
即
因为∠A+∠ABD+∠ADB=180°,所以∠CBD+∠CDB=180°-(β-2m)-2m-2n=180°-β-2n,
所以∠EBD+∠EDB=180°-β-2n+m+n=180°-β+
所以
9.82.5°或 52.5°或 37.5° [解析]①当AB'与AB 的夹角为15°,即∠BAB'=15°时,如图(1).
∵∠BAB'=15°,∠BAP=∠B'AP,
∴∠BAP=∠B'AP=15°÷2=7.5°.
∵∠ABP=90°,∴∠APB=90°-7.5°=82.5°;
②当AB'与AD 的夹角为15°,即∠BAB'=75°时,如图(2).
∵∠BAB'=75°,∴∠BAP=∠B'AP=75°÷2=37.5°.
∵∠ABP=90°,∴∠APB=90°-37.5°=52.5°;
③当AB'与AD 的夹角为15°,即∠B'AD=15°时,如图(3).
∵∠BAB'=90°+15°=105°,∠BAP=∠B'AP,
∴∠BAP=∠B'AP=105°÷2=52.5°.
∵∠ABP=90°,∴∠APB=90°-52.5°=37.5°.综上,∠APB 的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°.
10.8和5或6和9 [解析]根据题意画出图形，如图所示.
设等腰三角形的腰长 AB=AC=2x，BC=y.
∵BD 是腰上的中线,∴AD=DC=x.
①若AB+AD 的长为12,则2x+x=12,解得x=4,2x=8,
则x+y=9,即4+y=9,
解得y=5;
②若AB+AD 的长为9,则2x+x=9,解得x=3,2x=6,则x+y=12,即3+y=12,解得y=9.∴当等腰三角形的底边长为5时，腰长为8；当等腰三角形的底边长为9时，腰长为6.
11.2s或6s [解析]设运动时间为 ts时,△PMC与△CNQ全等,∴斜边 CP=CQ.
分两种情况：
①如图(1),点 P 在AC 上,点 Q 在BC上.
∵AP=t cm,BQ=2t cm,∴CP=AC-AP=(8-t) cm,CQ=BC-BQ=(10-2t) cm.
∵CP=CQ,∴8-t=10-2t,∴t=2;
②如图(2),点 P,Q 都在AC上,此时点 P,Q重合.
∵CP=AC-AP=(8-t) cm,CQ=(2t-10) cm,
∴8-t=2t-10,∴t=6.
综上所述，当点 P 的运动时间为2s或6s时，△PMC与△QNC全等.
12.(1)70 [解析]∵∠A=40°,∠ACB=70°,
∴∠ABC=180°-(40°+70°)=70°.
∵∠A=∠ABE,∠CDB=∠CBD,
∴∠A=∠ABE=40°,∠CDB=∠CBD=70°,
∴∠BFD=180°-∠ABE-∠CDB =180°-40°-70°=70°.
(2)∵∠CDB+∠ADC=180°,∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠CDB=∠A+∠ACD.
又∠CBD=∠ABE+∠CBE,∠CDB=∠CBD,
∴∠A+∠ACD=∠ABE+∠CBE.
∵∠A=∠ABE,∴∠ACD=∠CBE.
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABE+∠CBE=∠BCD+∠ACD.
∴∠ABE=∠BCD.∴∠A=∠BCD.
∵∠BFD=180°-∠BFC=∠BCD+∠CBE,∠BDF=∠A+∠ACD,∴∠BDF=∠BFD.
13.(1)∵FG∥BC,∴∠ACB=∠AGF.
∵AD 是∠BAC 的平分线,
∵∠DFG=180°-∠AFG=180°-(180°-∠CAD-∠AGF)=∠AGF+∠CAD,
(2)∵BE 是△ABC 的高,∴BE⊥AC,∴∠CEB=90°.
在△BCE中,∠CBE+∠ECB+∠CEB=180°.
∵∠EBC=43°,∴∠ACB=47°.
∵∠CAD=29°,∴∠BDF=∠ACD+∠CAD=76°.
∵∠DCF=29°,∴∠DFC=∠BDF-∠DCF=47°.
14.(1)∵AF 是△ABC 的中线,
∴BC=2BF=2CF,BF=CF,
∴△ABF 和△ACF 的面积相等.
∵△AFC 的面积为10,
∴△ABF 的面积为10.
∵AD=4,∴ BF×4=10,
∴BF=5,∴BC=2BF=2×5=10.
(2)∵AD 是△ABC 的高,∴∠ADC=90°.
∵∠DAE=20°,
∴∠AED=90°-∠DAE=90°-20°=70°.
∵∠C=30°,∠AED+∠AEC=∠AEC+∠CAE+∠C,
∴∠CAE=∠AED-∠C=70°-30°=40°.
∵AE 是△ABC 的角平分线,
∴∠BAC=2∠CAE=2×40°=80°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-30°=70°.
15.如图.
16.(1)120°[解析](1)设∠ABP=α,∠ACP=β.
∵点 P 是∠ABC 的邻AB“2分线”与∠ACB 的邻AC“2分线”的交点，
∴∠PBC=∠ABP=α,∠PCB=∠ACP=β.
∵∠A=60°,∴2(α+β)=180°-60°=120°,即α+β=60°,∴∠BPC=180°-(α+β)=120°.
(2)设∠ABP=α,∠ACP=β.
∵点 P 是∠ABC 的邻AB“4分线”与∠ACB 的邻AC“4分线”的交点，
∴∠PBC=3∠ABP=3α,∠PCB=3∠ACP=3β.
∵BP⊥CP,∴∠BPC=90°,
∴∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°,
∴3(α+β)=90°,即α+β=30°,
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-4(α+β)=60°.
∴设∠ADB=2β,∠ACB=3β.
∵∠ABC 的邻AB“3分线”与 AD 交于点 E,
∴设∠ABE=θ,则∠EBD=2θ,
在△ABC中,由三角形内角和定理,得α+3θ+3β=180°,
在△EBD 中,由三角形内角和定理,得∠BED=180°-

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