资源简介

专项复习提优二 相交线与平行线
用时:120分钟总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·陕西西安第八十九中学期末)如图,直线AB,CD,OE 相交于点O,且OA 平分∠COE.若∠EOD比∠BOD 大30°,则∠AOC 的度数为( ).
A. 60° B. 70° C. 50° D. 80°
2.如图，下列条件中，不能判断AB∥CD 的是( ).
A. ∠3=∠2 B. ∠1=∠4 C. ∠B=∠5 D. ∠D+∠BAD=180°
3.(2024·江苏常州武进区期中)如图,AB∥CD,∠G=90°,∠BEG=x,则∠CFG 可以表示为( ).
A. B. C. D. 180°-2x
4.下列说法正确的是( ).
A.两直线被第三条直线所截，内错角相等
B.相等的角是对顶角
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.互补的两个角一定有一个锐角
5.(2024·攀枝花中考)将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3=65°，则∠2为( ).
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
6.(2025·福建宁德第一中学期末)如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点 D 与点B 重合，点C落在点C'处，折痕为EF,若∠ABE=20°,那么∠EFB 的度数为( ).
A. 55° B. 65° C. 45° D. 20°
7.(2025·四川成都锦江区期末)木条a,b,c通过如图方式钉在一起,∠1=75°,∠2=43°,要使木条a与b平行，木条a 需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是( ).
A. 32° B. 33° C. 43° D. 75°
8.(2025·深圳模拟)如图,AB∥CD,点 E 是直线AB 上的点,过点 E 的直线l交直线CD 于点F,EG平分∠BEF 交CD 于点G.在直线l绕点E 旋转的过程中，图中∠1，∠2的度数可以分别是( ).
A. 30°,110° B. 56°,70° C. 70°,40° D. 100°,40°
9.如图,AB∥CD,E为AB 上方的一点,FB,HG 分别为∠EFG,∠EHD 的平分线.若∠E+2∠G=150°,则∠EFG 的度数为( ).
A. 90° B. 95° C. 100° D. 150°
10.(2024·山东菏泽定陶区期末)将一副三角板的直角顶点重合按如图放置， 小明得到下列结论:①若∠2=30°,则AC∥DE;②∠BAE+∠CAD=180°;③若BC∥AD,则∠2=30°;④若∠CAD=150°,则∠4=∠C.其中正确的结论有( ).
A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.∠1与∠2的两边分别平行，∠1是∠2余角的3倍，则∠1= .
12.(2025·四川成都高新区期末)某护眼灯侧面如图所示(台灯底座高度及支架的宽度忽略不计)，AB∥EF，CD⊥EF.若∠ABC=118°,则∠BCD 的度数为 .
13.(2025·四川绵阳北川期末)如图,将长方形ABCD 沿EF 翻折,再沿 ED 翻折,若 则∠CFE= 度.
14.(2025·河南周口商水期末)如图,直线l ∥l ,直线l 交l 于点A,交l 于点 B,过点B的直线l 交l 于点C,若∠2=55°,∠2+∠3+∠4=230°,则∠1的度数是 .
15.小明同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把它抽象成数学问题，如图所示,已知AB∥CD,∠BAE=77°,∠DCE=131°,则∠E= 度.
16.如图,已知长方形纸片 ABCD,点E,F 在边BC上,点G,H 在边AD 上,分别沿 EG,FH 折叠,点 B和点C恰好都落在点P 处.若∠EPF=50°,则α+β= .
17.如图(1),已知长方形纸带ABCD,将纸带沿EF 折叠后,点C,D 分别落在H,G 的位置,再沿 BC折叠成图(2).若∠DEF=72°,则∠GMN= .
18.(2025·山东日照岚山区期中)一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中点 B，D重合，若固定三角形 AOB，改变三角板ACD 的位置(其中点A 的位置始终不变)，当 时，
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)如图,D 是∠ABC 内部一点,DE∥AB交BC 于点E.
(1)请尺规作图:画出射线 DF,使得DF∥BC交直线AB 于点 F.
(2)请你直接写出∠B 与∠EDF 的数量关系: .
20.(6分)如图所示,直线AB 和CD 相交于点O,OA 是∠EOC 的平分线.
(1)若∠EOC=80°,求∠BOD 的度数;
(2)若∠EOC:∠EOD=2:3,求∠BOD 的度数.
21.(8分)如图,B,F,E,C在同一条直线上,∠A=∠D.
(1)若∠A=78°,∠C=47°,求∠BFD 的度数;
(2)若∠AEB+∠BFD=180°,求证:AB∥CD.
22.(8分)(2025·辽宁沈阳第七中学期中)如图(1),直线AB∥CD,直线l与直线AB,CD 相交于点E,F,点P 是射线EA 上的一个动点(不包括端点).
(1)若∠CFE=120°,PG 交∠FEB 的平分线EG 于点G,∠APG=150°,求∠G 的大小.
(2)如图(2),连接PF.将△EPF 沿PF 折叠,顶点 E 落在点Q 处.
①若∠PEF=46°,点 Q 刚好落在其中的一条平行线上,则∠EFP 的大小为 ;
②若 则∠EFP 的度数为 .
23.(8分)(1)[问题发现]如图(1),直线AB∥CD,E为AB,CD 之间的一点,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.
请把下面的证明过程补充完整：
证明:如题图(1),过点 E 作EF∥AB.
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥DC( ),
∴∠C=∠CEF( ).
∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF(同理),∴∠B+∠C= ,即∠B+∠C=∠BEC.
(2)[拓展探究]如果点 E运动到如图(2)所示的位置，其他条件不变，试说明：
(3)[解决问题]如图(3),AB∥DC,E,F,G是AB与CD 之间的点,直接写出∠1,∠2,∠3,∠4,∠5之间的数量关系 .
24.(8分)如图,平面内有两个锐角∠AOB 与∠EDC,点 B 在直线OA 的上方,∠EDC 保持不动,且∠EDC的一边CD∥AO,另一边 DE 与直线OB 相交于点 F.
(1)若∠AOB=40°,∠EDC=55°,且位置如图所示,当点 E,O,D在同一条直线上(即点O与点F 重合)时,∠BOE= °;
(2)若∠AOB=α,∠EDC=β(0°<α<β<90°),当点E,O,D不在同一条直线上时,画出图形并求∠BFE 的度数(用含α,β的式子表示).
25.(10分)如图,已知射线CB∥OA,∠C=∠OAB=120°,E,F 在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.
(1)求∠EOB 的度数.
(2)若平行移动AB，则∠OBC：∠OFC 的值是否随之变化 若变化，请找出规律；若不变，求出这个比值.
(3)在平行移动AB 的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC-∠OBA=10° 若存在,求出∠BOA 的度数；若不存在，请说明理由.
26.(12分)如图(1),已知直线a∥b,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,且AD⊥BC于点E.
(1)试说明:∠ABC+∠ADC=90°;
(2)如图(2),BF平分∠ABC交AD于点 F,DG平分∠ADC交BC于点G,求∠AFB+∠CGD的度数;
(3)如图(3),P 为线段AB 上一点,I 为线段BC 上一点,连接 PI,N 为∠IPB 的平分线上一点,且 请求出∠CIP,∠IPN,∠CNP 之间的数量关系.
1. C [解析]∵OA 平分∠COE.
设∠AOC=x,则∠BOD=∠AOC=x.
∵∠EOD 比∠BOD 大30°,
∴∠EOD=x+30°.
∵∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°,即 即∠AOC=50°.故选 C.
2. B [解析]A.∠3和∠2是直线AB,CD 被直线AC所截形成的内错角，故内错角相等，可以判断AB∥CD，不符合题意；
B.∠1和∠4是直线 AD,BC被直线AC 所截形成的内错角，故内错角相等，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，符合题意；
C.∠B 和∠5 是直线AB,CD 被直线 BE 所截形成的同位角，故同位角相等，可以判断AB∥CD，不符合题意；
D.∠D 和∠BAD 是直线AB,CD 被直线AD 所截形成的同旁内角，故同旁内角互补，可以判断AB∥CD，不符合题意.故选 B.
3. B [解析]如图,过点 G 作GH∥AB.
∵∠BEG=x,∴∠EGH=∠BEG=x.
∵∠EGF=90°,
∴∠HGF=∠EGF-∠EGH=90°-x.
∵GH∥AB,AB∥CD,∴GH∥CD,
∴∠CFG=180°-∠HGF=90°+x.故选 B.
4. C[解析]A.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故A 错误，不符合题意；
B.相等的角不一定是对顶角，故 B错误，不符合题意；
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C正确，符合题意；
D.互补的两个角不一定有一个锐角，如两个直角互补，故D错误，不符合题意.故选 C.
5. B[解析]如图所示.
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠3=65°,
∴∠1=90°-∠BAC=25°,
∴∠2=∠1+∠E=55°.
故选 B.
关键提醒 本题考查三角板中的角度计算、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键.根据平行线的性质求出∠BAC=∠3=65°，然后利用三角形外角的性质求解即可.
6. A [解析]∵四边形ABCD 是长方形,
∴∠A=90°,AD∥BC.
∵∠ABE=20°,
∴∠AEB=90°-20°=70°.
由折叠知∠DEF=∠BEF=(180°-70°)÷2=55°.
折叠前后对应的两个角相等
∵AD∥BC,
∴∠EFB=∠DEF=55°.故选 A.
关键提醒 本题考查了折叠问题，直角三角形两锐角互余，以及平行线的性质.先求出∠AEB=70°，再求出∠DEF，然后根据平行线的性质，即可求出∠EFB 的度数.
7. A [解析]当∠1=∠2时,a∥b.
∵∠1=75°,∠2=43°,
∴木条a 需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是75°-43°=32°.故选 A.
8. C [解析]∵AB∥CD,∴∠BEG=∠1.
∵EG平分∠BEF,∴∠BEF=2∠BEG=2∠1.
∵∠2+∠BEF=180°,∴∠2+2∠1=180°,
∴符合条件的只有C选项.故选 C.
9. C [解析]如图,过点 G作GM∥AB,
∴∠2=∠5.
∵AB∥CD,∴MG∥CD,∴∠6=∠4,
∴∠FGH=∠5+∠6=∠2+∠4.
∵FB,HG分别为∠EFG,∠EHD 的平分线,
∵∠E+2∠FGH=150°,
∴∠E+2(∠2+∠4)=∠E+2∠2+2∠4=∠E+2∠2+∠EHD=150°.
∵AB∥CD,∴∠EHD=∠ENB.
∵∠1=180°-∠EFN=180°-(180°-∠ENB-∠E)=∠ENB+∠E,
∴∠EHD=∠1-∠E=∠2-∠E,
∴∠E+2∠2+(∠2-∠E)=150°,解得∠2=50°,
∴∠EFG=2∠2=100°.故选 C.
10. C [解析]∵∠2=30°,∠CAB=90°,∴∠1=60°.
∵∠E=60°,∴∠1=∠E,
∴AC∥DE,故①正确;
∵∠CAB=∠DAE=90°,∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°,故②正确;
∵BC∥AD,∠B=45°,∴∠3=∠B=45°.
∵∠2+∠3=∠DAE=90°,
∴∠2=45°.故③错误;
设 BA交DE 于点O,
∵∠CAD=150°,∠BAE+∠CAD=180°,
∴∠BAE=30°.
∵∠E=60°,
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°.
∴∠4+∠B=90°.
∵∠B=45°,∴∠4=45°.
∵∠C=45°,∴∠4=∠C,故④正确.
综上所述，其中正确的结论有3个.故选 C.
11.67.5°或135°[解析]∵∠1的两边与∠2的两边分别平行,∴∠1=∠2或∠1+∠2=180°.
又∠1是∠2余角的3倍,∴∠1=3(90°-∠2).
①当∠1=∠2时,∠1=3(90°-∠1),
解得∠1=67.5°;
②当∠1+∠2=180°时,∠1=3[90°-(180°-∠1)],解得∠1=135°.
综上所述,∠1=67.5°或∠1=135°.
12.152°[解析]如图,过点C作CK∥AB,
∵AB∥EF,
∴CK∥AB∥EF,
∴∠BCK+∠ABC=180°.
∵∠ABC=118°,
∴∠BCK=180°-118°=62°.
∵CD⊥EF,CK∥EF,
∴CD⊥CK,
∴∠DCK=90°,
∴∠BCD=∠BCK+∠DCK=152°.
13. 155 [解析]由四边形 ABFE 沿 EF 折叠得四边形A'B'FE,设B'F 与AD 相交于点M,
∴∠A'EF=∠AEF.
∵∠A'EF=∠A'ED+∠DEF,∠AEF=180°—∠DEF.
∴∠A'ED+∠DEF=180°—∠DEF.
由四边形A'B'ME沿AD 折叠得四边形A'B'ME,
∵∠A"ED=∠A"EF+∠DEF=105°+∠DEF,
∴∠A'ED=105°+∠DEF.
∴105°+∠DEF+∠DEF=180°-∠DEF.
∴∠DEF=25°.
∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB=25°.
∴∠CFE=180°—∠EFB=180°—25°=155°.
14.75° [解析]如图.
∴∠4=180°-∠2=125°.
∵∠2+∠3+∠4=230°,
∴∠2+∠3=230°—125°=105°,
∴∠5=180°-(∠2+∠3)=75°.
∴∠1=∠5=75°.
15.54 [解析]如图,延长 DC交AE 于点F.
∵AB∥CD,
∴∠EFD=∠BAE=77°.
∵∠DCE=131°,
∴∠ECF=180°-∠DCE=49°,
∴∠E=180°—∠EFC-∠ECF=54°.
16.115°[解析]根据题意,得AD∥BC,
∴∠BEG=∠DGE=α,∠CFH=∠AHF=β.
由折叠的性质,得∠BEG=∠PEG=α,∠CFH=∠PFH=β,
∴∠PEB=2∠BEG=2α,∠PFC=2∠CFH=2β,
∴∠PEF=180°—∠PEB=180°—2α,∠PFE=180°—∠PFC=180°-2β.
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°,∠EPF=50°,
∴180°—2α+180°—2β=180°—50°,即α+β=115°.
17.72° [解析]∵AD∥CB,
∴∠EFC+∠DEF=180°,∠EFB=∠DEF,
即∠EFC=180°—72°=108°,∠EFB=72°.
由折叠,得∠EFH=∠EFC=108°,
∴∠BFH=108°-72°=36°.
由题意,得∠H=∠D=90°,
∴∠HMF=180°—90°—36°=54°.
由折叠,得∠NMF=∠HMF=54°,
∴∠GMN=180°-∠NMF-∠HMF=72°.
18.15°或165°[解析]如图(1),设AB,CD交于点E.
∵CD∥OB,∴∠AEC=∠B=45°,∴∠AED=135°.
又∠D=30°,∴∠BAD=15°;
如图(2),延长 BA 交CD 于点E.
∵CD∥OB,∴∠CEA=∠B=45°,∴∠AED=135°.
又∠D=30°,∴∠DAE=15°,
∴∠BAD=180°—15°=165°.
故当∠BAD=15°或165°时,CD//OB.
19.(1)如图,作∠EDF=∠DEC,射线 DF 即为所求.
(2)∠B=∠EDF [解析]∵DE∥AB,
∴∠B=∠DEC.
∵∠EDF=∠DEC,∴∠B=∠EDF.
20.(1)∵OA 是∠EOC 的平分线,
∴∠BOD=∠AOC=40°.
(2)设∠EOC=2x,∠EOD=3x,
∴2x+3x=180°,∴x=36°,
∴∠EOC=72°,∠EOD=108°,
∴∠BOD=∠AOC=36°.
21.(1)∵∠A=78°,∠A=∠D,
∴∠D=78°.
∵∠C=47°,∴∠CFD=180°—∠C-∠D=55°,
∴∠BFD=125°.
(2)∵∠AEB+∠BFD═180°,∠CFD+∠BFD═180°,
∴∠AEB=∠CFD.
∵∠A=∠D,
∴180°-∠A-∠AEB=180°-∠D-∠CFD,
∴∠B=∠C,∴AB∥CD.
22.(1)∵AB∥CD,
∴∠BEF=∠CFE=120°,∠PEF=180°-∠CFE=60°.
∵EG 平分∠BEF,
∴∠PEG=∠PEF+∠GEF=120°.
∵∠APG=150°,∴∠EPG=30°,
∴∠G=180°-∠EPG-∠PEG=180°-30°—120°=30°.
(2)①44°或67° [解析]①如图(1)当点Q落在AB上时,
由折叠的性质,得∠FPQ=∠EPF=90°,
如图(2),当点 Q 落在CD上时,由折叠的性质得,∠PQF=∠PEF=46°.
∵AB∥CD,∴∠EPQ+∠PQF=180°,
∴∠EPQ=134°.
∵∠EPF=∠QPF,
综上所述，满足条件的∠EFP 的大小为 44°或67°.
②42°或60°[解析]如图(3),当点 Q在平行线AB,CD之间时.
由折叠的性质得∠EFP=∠PFQ.
即3∠CFQ=∠PFC,
∵AB∥CD,
∴∠CFE+∠PEF=180°.
∵∠PEF=75°,
解得∠EFP=42°;
如图(4),当点Q在CD 下方时,由折叠的性质,得∠EFP=∠PFQ.
∴3∠CFQ=∠PFC,4∠CFQ=∠PFQ=∠EFP,
∴∠CFE=∠CFP+∠PFE=7∠CFQ.
∵AB∥CD,
∴∠CFE+∠PEF=180°.
∵∠PEF=75°,
,解得∠CFQ=15°,
∴∠EFP=4∠CFQ=60°.
综上所述,∠EFP 的度数为42°或60°.
23.(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行 两直线平行,内错角相等 ∠CEF+∠BEF
(2)如图(1),过点E作EF∥AB,
∴∠ABE+∠BEF=180°.
∵EF∥AB,AB∥CD,∴EF∥CD,
∴∠FEC+∠DCE=180°,
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC+∠DCE=360°.
∵∠BEC=∠BEF+∠FEC,
∴∠B+∠C+∠BEC=360°.
(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 [解析]如图(2),过点E作EH∥AB,过点F作JF∥EH,过点G作GK∥CD,则AB∥EH∥JF∥GK∥CD,
∴∠1=∠PEH,∠FEH=∠EFJ,∠JFG=∠FGK,∠KGN=∠5.
∵∠2=∠PEH+∠FEH,∠3=∠EFJ+∠JFG,∠4=∠FGK+∠NGK,
∴∠1+∠3+∠5=∠1+∠EFJ+∠JFG+∠5
=∠PEH+∠FEH+∠FGK+∠KGN=∠2+∠4.
24.(1)85 [解析]∵CD∥AO,∠EDC=55°,
∴∠AOD=∠EDC=55°.
(2)如图(1),若点 A 位于点O 的右侧,过点 F 作 FG//OA.
∵CD∥OA,∴FG∥OA∥CD,
∴∠BFG=∠AOB=α,∠DFG=∠EDC=β,
∴∠BFD=∠BFG+∠DFG=α+β,
如图(2)，若点 A 位于点O的左侧，
同理可证∠BFE=β-α.
综上所述,∠BFE=180°-α-β或∠BFE=β-α.
25.(1)∵CB∥OA,
∵∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF,
(2)不变.∠OBC:∠OFC=1:2.理由如下:
∵CB∥OA,
∴∠OBC=∠AOB,∠OFC=∠AOF.
∵∠FOB=∠AOB,
∴∠OFC=∠AOF=2∠AOB=2∠OBC,
∴∠OBC:∠OFC=1:2.
(3)存在.
设∠BOA=x(0°∴∠BOA=20°.
26.(1)如图(1),过点 E 作EF∥a.
∵a∥b,∴a∥b∥ EF.
∵AD⊥BC,∴∠BED=90°.
∵EF∥a,∴∠ABE=∠BEF.
∵EF∥b,∴∠ADC=∠DEF,
∴∠ABC+∠ADC=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°.
(2)如图(2),过点F 作FM∥a,过点G作GN∥b.
设∠ABF=∠EBF=x,∠ADG=∠CDG=y,
由(1)知,2x+2y=90°,∴x+y=45°.
∵FM∥a∥b,∴∠BFD=2y+x,
∴∠AFB=180°-(2y+x),同理.
(3)如图(3),设PN 交CD 于点E.
当点 N 在∠DCB 内部时.∵∠CIP =180°-∠PIB =∠PBC+∠IPB,
∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE.
∵PN平分∠IPB,∴∠EPB=∠EPI.
∵AB∥CD,∴∠NPB=∠CEN,∠ABC=∠BCE.
∵∠NCE = ∠BCN,∴∠CIP +∠IPN =3∠PEC+3∠NCE=3(∠NCE+∠NEC)=3∠CNP.
当点 N'在直线CD的下方时,同理可知∠CIP+∠CN'P=3∠IPN'.
综上,3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP.

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