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专项复习提优四 三角形与图形的轴对称
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·福建宁德期末)如图，①②是两根细直木棒，现需要将其中一根截成两段，首尾相接搭成一个三角形框架，则下列说法正确的是( ).
A.截①②都可以 B.截①②都不可以 C.只有截①可以 D.只有截②可以
2.(2025·四川成都外国语学校期中)在数学课上，同学们在练习画△ABC中边AC上的高时，出现下列四种情况，其中正确的是( ).
3.(2024·江苏常州武进区期中)在下列条件中，可以确定△ABC 是直角三角形的是( ).
A. ∠A+∠B+∠C=180° B. ∠A=∠B=∠C
C. ∠A=∠C-∠B D. ∠A=∠B=2∠C
4.(2025·四川成都高新区期末)如图,已知AE=AC,∠C=∠E,下列条件中,无法判定△ABC≌△ADE的是( ).
A. ∠B=∠D B. BC=DE C. ∠1=∠2 D. AB=AD
5.如图,将一副三角板按如图放置,则下列结论:①∠1=∠2=∠3;②∠CAD 与∠2互为补角;③若∠2=45°,则BC∥AD;④∠1-∠4=15°.其中一定正确的序号是( ).
A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④
6.(2025·眉山中考)如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AB=6,BC=10.按下列步骤作图:①以点A 为圆心、适当长度为半径画弧，分别交AB，AD 于E，F两点；②分别以点E，F为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 P；③作射线AP 交BC 于点G，则CG的长为( ).
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
7.(2025·山西吕梁汾阳期末)如图,已知△ABC 的周长是37cm,且AB=12cm,AC=9cm,AB 的垂直平分线与AB,BC分别交于点E,D,AC 的垂直平分线与AC,BC分别交于点G,F,且点 D 在点F 的左侧,则△ADF 的周长是( ).
A. 16cm B. 18cm C. 20cm D. 22cm
8.(2025·广东佛山禅城区期末)一副三角尺如图放置，D为BC中点，将 绕点 D 旋转,边DF,DE 分别与边AB,AC 分别交于点G,H,若S△ABC=1,则阴影部分面积为( ).
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.75 D. 0.8
9.如图,在第1个△A BC 中,∠B=30°,A B=CB;在边A B 上任取一点D,延长CA 到点 A ,使 得到第2个△A A D;在边A D上任取一点 E,延长A A 到点 A ,使. 得到第3个△A A E，…，按此做法继续下去，则以A 为顶点的第n个三角形的底角度数是( ).
A. B. C. D.
10.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于点F,交AC于点E，过点O作OD⊥BC于点D，下列四个结论： ③当∠C=90°时,E,F 分别是AC,BC的中点;④若OD=a,CE+CF=2b,则S△CEF= ab.其中正确的是( ).
A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·重庆万州区月考)如图,AC⊥BE,DE⊥BE,若△ABC≌△BDE,AC=7,DE=3,则CE 等于
12.如图,直线l ,l 交于点O,点 P 关于l ,l 的对称点分别为 若 则 的周长是 .
13.(2025·四川成都成华区期末)已知△ABC中，AD 为边BC上的高， 则∠BAC 的度数为 .
14.(2024·江苏常州武进区期中)定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为 48°，那么这个“特征角”α的度数为 .
15.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,CH⊥AB 于点 H,AD 垂直平分BE,交 BC于点F，交CH 于点G.下列结论正确的有 (填序号).
①∠EBC=∠CAF;②AG=DE;③BC+CG=AB;④S△ACG=S四边形BFGH.
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在 BA,BC上分别截取BM=BN，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内部交于点E，作射线 BE交AC于点F.若CF=2,点 H 为线段AB 上的一动点,则FH 的最小值是 .
17.(2025·四川成都高新区期末)如图，△ABC 的周长为15，分别以A，C为圆心、以大于 的长为半径画弧，两弧的交点 D 恰好在边AB上，连接CD.若△BCD 的周长为9，则AC 的长为 .
18.(2025·四川成都锦江区期末)已知在△ABC中,AB=AC,分别以A,C为圆心、大于 长为半径作弧,两弧分别交于点E,D.作直线ED,F为BC中点,P 为直线DE 上任意一点,连接PC,PF.若BC=3,△ABC 的面积为6,则CP+FP 的最小值为 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·陕西西安铁一中学期末)如图,在△ABC中,点 D 在边 BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.
(1)求证:△ABC≌△CDE;
(2)若DE=8,CD=6,求 BD 的长.
20.(6分)(2024·安徽宿州灵璧期末)如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别在下列正方形网格中画出3个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC 成轴对称图形，并指出这样的格点三角形共有多少个
21.(8分)(2025·江西萍乡期末)在 中，AB=AC,,D 是线段BC 上一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD 的右侧作 使. 连接CE.
(1)如图(1),若
①试说明：
②判断BC 与EC 的位置关系，并说明理由.
(2)设 (如图(2))，则α，β之间有怎样的数量关系 请直接写出结论.
22.(8分)在 中，AB 的垂直平分线分别交线段AB，BC 于点M，P，AC 的垂直平分线分别交线段AC,BC于点N,Q.
(1)如图,当 时，求 的度数.
(2)当 满足什么条件时， 说明理由.
(3)在(2)的条件下,.BC=10,求 的周长.
23.(8分)等积法(2025·四川成都锦江区期末) 如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,，对角线 AC 平分BG平分 交AC 于点G,过点G的直线分别交AD,BC 于点E,F.
(1)求证:
(2)求证:AE=CF;
(3)若 AD 与BC 之间的距离为6,BC=8,求AG·BG的值.
24.(8分)(2025·四川成都高新区期末)如图(1),在 中， 的平分线交边AB于点 D，过点D 作BC 的平行线交AC于点 E，将 沿DE 折叠得到 DF 交边 AC 于点 G.
(1)求证:DE=EC;
(2)当AB=BC时，试判断AE 与 CG 的大小关系，并说明理由；
(3)如图(2),过点 G 作线段DE 的垂线,垂足为 H.若 求 EC 的长.
25.(10分)(2025·广东深圳福田区期末)定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”.例如，在图(1)中，△MPQ 与△MPN 有公共边MP 和公共角∠M,且 PQ=PN,则△MPQ 与△MPN 是“双赢三角形”.如图(2),在△ABC中,D 是边AB 上任意一点.
(1)若△ACD 和△ACB 是“双赢三角形”,∠BCD=42°,则∠B= ;
(2)如图(3),延长CD 到点E,连接AE 和BE,∠ACD=∠ECB,∠CDB+∠CBE=180°,AD=EB.
①试说明:△ACD 与△ACB 是“双赢三角形”;
②若BC=12,AC=18,求 DE 的长;
③若∠CAB=54°,∠ABC=78°,求∠AEB 的度数.
26.(12分)(2025·广东佛山南海区期末)综合探究:
“特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题.
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC. D 为边AC的中点,点E,F 分别在边AB,BC上,始终满足∠EDF=90°,且AE=BF.
(1)如图(1)，若点 E 与点B 重合，则点 F 与点C重合，请直接猜测 DE 与DF 的数量关系： .
(2)如图(2)，当点 E，F不与边AB，BC的端点重合时，DE 与DF 是否仍然保持第(1)问中的数量关系 请说明理由.
(3)如图(3),在 BA 上截取BP,在CB 延长线上截取BO,使BO=BP=DC,连接PF,EO,当 为何值时，PF+EO 有最小值 请说明理由.
1. D [解析]∵2m<3m,∴截②形成2根木棒和①的木棒满足三角形三边关系.故选D.
2. C[解析]边AC上的高应该是过点B作边AC的垂线，符合这个条件的只有选项 C.故选 C.
方法诠释 本题考查的是作图——基本作图，熟练掌握三角形高线的定义(过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段叫三角形的高线)是此题的关键.
3. C [解析]A.∠A+∠B+∠C=180°,∠A,∠B,∠C的度数不确定，不能确定是直角三角形.故选项 A不符合题意；B.∠A=∠B=∠C,则△ABC是等边三角形.故选项B不符合题意；
C.∠A=∠C-∠B,即∠A+∠B=∠C,根据三角形内角和定理得到∠C=90°，可以确定△ABC 是直角三角形.故选项C符合题意；
D.由∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°,可得∠A=∠B=72°,∠C=36°,则△ABC是等腰三角形,不是直角三角形.故选项D不符合题意.故选C.
4. D [解析]A.添加∠B=∠D,由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不符合题意；
B.添加 BC=DE,由“SAS”可证△ABC≌△ADE,故选项B不符合题意；
C.添加∠1=∠2,可得∠BAC=∠DAE,由“ASA”可证△ABC≌△ADE,故选项C不符合题意;
D.添加AB=AD,不能证明△ABC≌△ADE,故选项D符合题意.故选 D.
5. B [解析]由题意知∠CAB=∠1+∠2=90°,∠EAD=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,但不能确定∠1=∠2=∠3,故①不一定正确；
∵∠CAD=∠1+∠2+∠3,
∴∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=180°,
∴∠CAD 与∠2互为补角,故②一定正确;
∵∠2=45°,∴∠1=∠2=∠3=45°.
，故③一定正确；由题意知∠4+∠CBA=∠3+∠EDA,即
∵∠1=∠3,∴∠4+45°=∠1+30°,
∴∠1-∠4=15°,故④一定正确.
综上所述，一定正确的序号是②③④.故选 B.
6. A [解析]根据题意,可得AP 平分∠BAD,即∠BAG=∠DAG.
∵AD∥BC,∴∠DAG=∠BGA,
∴∠BAG=∠BGA,∴BA=BG=6.
∵BC=10,∴CG=BC-BG=4.故选 A.
7. A [解析]∵△ABC 的周长是 37 cm,且 AB=12 cm,AC=9cm,∴BC=16 cm.
∵DE,FG分别垂直平分AB,AC,
∴AD=BD,AF=CF,
∴△ADF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=16cm.故选 A.
8. A .
9. C [解析]在△CBA 中,∠B=30°,A B=CB,
∠A A D+∠DA C=180°,
同理可得 75°，…，∴以 An为顶点的第n个三角形的底角度数是 故选C.
10. C [解析]∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O,
故①正确；
∵EF∥AB,∴∠FOB=∠ABO.
又∠ABO=∠FBO,∴∠FOB=∠FBO,∴FO=FB.
同理EO=EA,∴AE+BF=EF.故②正确;当 时,AE+BF=EF∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,
∴点O在∠C的平分线上,∴OD=OH,
故④正确.
故选 C.
11.4 [解析]∵△ABC≌△BDE,
∴BE=AC=7,BC=DE=3,
∴CE=BE-BC=4.
12.15 [解析]∵点 P 关于l ,l 的对称点分别为 P ,P ,
的周长为 4+4+7=15.
13.62°或38°[解析]分为两种情况:①如图(1).
∵AD为边BC上的高,∴∠ADB=90°.
∵∠B=40°,∴∠BAD=50°.
∵∠CAD=12°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+12°=62°;
②如图(2).
∵AD 为边 BC上的高,∴∠ADB=90°.
∵∠B=40°,∴∠BAD=50°.
∵∠CAD=12°,
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°-12°=38°.
综上,∠BAC 的度数为62°或38°.
14.48°或96°或88°[解析]当“特征角”为48°时,即α=48°;当β=48°时,
当第三个角为48°时， 解得α=88°.综上所述，这个“特征角”α的度数为48°或96°或88°.
15.①③ [解析]∵△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC.
∵AD⊥BE,∴∠ADE=∠ACB=∠BCE=90°,
∴∠EBC=∠CAF,故①正确;如图(1),连接 BG.
∵AD垂直平分BE,∴DE=BD,BG>BD.
∵△ABC是等腰直角三角形,CH⊥AB于点H,
∴AH=BH,∴CH垂直平分AB,∴BG=AG,
∴AG>DE,故②错误;
在△BCE 和△ACF 中,
∴△BCE≌△ACF(ASA),∴EC=CF.
∵AD 垂直平分BE,∴AB=AE,AD⊥BE,BD=DE,
∴∠BAD=∠CAD.
∵CH⊥AB,∴∠CHA=90°=∠ACB,
∴∠BAD+∠AGH=90°=∠CAD+∠CFA,
∴∠CFA=∠AGH=∠CGF,∴CG=CF=CE,
∴CG+BC=CE+AC=AE=AB,故③正确;
如图(2),连接EF.
∵AD 垂直平分BE,∴BF=EF.
∵∠FCE=90°,∴EF>CF,∴BF>CF.
假设
∵CH 垂直平分AB,
∴BF=CF,与BF>CF 矛盾,
∴假设不成立，故④错误.故正确的有①③.
16.2 [解析]如图,过点 F 作FD⊥AB 于点 D.
由作图,知 BF 平分∠ABC.
∵FC⊥BC,FD⊥AB,∴DF=CF=2,
∴FH 的最小值为DF 的长，即为2.
17.6 [解析]由题意,得DA=DC,∴△BCD 的周长=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC=9.
∵△ABC 的周长为15,∴AC=15-9=6.
18.4 [解析]连接AF,交直线 DE 于点 P',连接CP',由作图过程可知，直线 DE 为线段AC 的垂直平分线，可；得AP'=CP',可知当点 P 与点 P'重合时,CP+FP=AP'+FP'=AF,为最小值.由题意得AB=AC,F为BC中点,则AF⊥BC.
根据题意，得 解得AF=4,即CP+FP 的最小值为4.
19.(1)∵DE∥AB,∴∠B=∠CDE.
又CD=AB,∠DCE=∠A,∴△ABC≌△CDE.
(2)∵△ABC≌△CDE,∴BC=DE=8,∴BD=BC-CD=2.
20.如图，这样的格点三角形共有5个.
21.(1)①∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.又AD=AE,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE.
②BC⊥EC.理由如下:
∵△ABD≌△ACE,∴∠B=∠ACE,
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE.
又∠BAC=90°,∴∠B+∠ACB=∠BCE=90°,即BC⊥EC.
(2)α+β=180°.理由如下:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠B=∠ACE,
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE.
∵∠BAC=α,∠BCE=β,∴∠B+∠ACB=β.
∵α+∠B+∠ACB=180°,
∴α+β=180°.
22.(1)∵MP,NQ 分别是AB,AC 的垂直平分线,∴AP=BP,AQ=CQ.
∵∠BAC=80°,∴∠B+∠C=180°-80°=100°.
∵AP=BP,AQ=CQ,∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,
∴∠PAQ=∠BAP+∠CAQ-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC=100°-80°=20°.
(2)如图.
∵AP⊥AQ,∴∠PAQ=90°.
由(1),得∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,
∴∠B +∠C = 180°-∠BAC,∠BAP +∠CAQ=∠BAC-90°,∴180°-∠BAC=∠BAC-90°,
∴∠BAC=135°.故当∠BAC=135°时,AP⊥AQ.
(3)△APQ 的周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC.∵BC=10,∴△APQ的周长为10.
23.(1)∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA.
∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠BCA,∴AD∥BC.
(2)∵AB=BC,BG平分∠ABC,
∴AG=CG,BG⊥AC.
∵AD∥BC,∴∠EAG=∠FCG.
在△AEG 和△CFG 中,
∴△AEG≌△CFG(ASA),∴AE=CF.
(3)过点 A 作AH⊥BC于点 H,如图.
∵AD与BC之间的距离为6,∴AH=6.
∵BG⊥AC,
∴AC·BG=BC·AH,∴2AG·BG=BC·AH,
24.(1)∵CD 平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.
∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,
∴∠ACD=∠EDC,∴DE=EC.
(2)AE 与CG 的大小关系是AE=CG.理由如下:在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∴当AB=BC时,△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠ACB=45°.
∵CD 平分∠ACB,
∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD=∠ACD=22.5°,∠AED=∠ACB=45°,
∴∠A=∠AED=45°,DE=EC,
∴△ADE 是等腰直角三角形,∴DA=DE,由折叠的性质,得∠FDE=∠EDC=22.5°,
∴∠CDG=∠FDE+∠EDC=45°,
∴∠CGD=180°—∠CDG-∠ACD=112.5°,
在△ADG中,∠ADG=180°—(∠A+∠AGD)=180°—(45°+67.5°)=67.5°,∴∠ADG=∠AGD=67.5°.
∴DA=AG.
又DA=DE,DE=EC,∴AG=EC,
∴AG+EG=EC+EG,即AE=CG.
(3)在 HD 上截取HM=HE,连接GM.
∴设 HE=2a,HD=5a,
∴HM=HE=2a,DE=HE+HD=7a,
∴DM=HD-HM=5a-2a=3a.
∵GH⊥DE,∴∠GHM=∠GHE=90°.
在△GHM 和△GHE 中,
∴△GHM≌△GHE(SAS),
由(1)可知∠ACD=∠BCD=∠EDC,∠AED=∠ACB,∠ACB=2∠ACD,
∴∠AED=2∠EDC,EC=DE,由折叠的性质,得∠GDE=∠EDC,
∴∠AED=2∠GDE,∴∠GME=2∠GDE.
∵∠GDE + ∠MGD + ∠GMD ═ 180°, ∠GMD +∠GME=180°,
∴∠GME=∠GDE+∠MGD=2∠GDE,
∴∠MGD=∠GDE,
解得
25.(1)69° [解析]∵△ACD 和△ACB 是“双赢三角形”,∴CB=CD,
(2)①∵∠CDB+∠CBE =180°,∠CDB+∠CDA =180°,∴∠CDA=∠CBE.
在△ADC 和△EBC 中,
∴△ADC≌△EBC(AAS),∴CD=CB,
∴△ACD 与△ACB 是“双赢三角形”.
②由①,得△ADC≌△EBC,∴CE=AC=18.
又CD=CB=12,∴DE=CE-CD=18—12=6.
③由①,得CD=CB,∴∠CDB=∠ABC=78°,
∴∠CDA =180°—∠CDB=102°,∴∠ACE =180°—∠CAB-∠CDA=24°.
由②,得CE=AC,
由①,得△ADC≌△EBC,∴∠CEB=∠CAB=54°,
26.(1)DE=DF [解析]∵△ABC 是等腰直角三角形,D为边 AC 的中点,∴AD ═ CD,∠ABD = ∠CBD ═ ∠ABC=45°=∠A=∠C,∴AD=BD=CD.
∵点E与点B重合,点F与点C重合,∴DE=DF.
(2)仍然保持,理由如下:如图(1),连接 BD.
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=45°.
∵D为AC的中点,
∴∠A=∠DBF=45°.
∵∠2+∠3=∠EDF=90°,∴∠1=∠3.
∵AE=BF,∴△ADE≌△BDF,∴DE=DF.
(3)如图(2),作CO'⊥BC,截取(CO'=BO,连接FO',
∴∠O'CF=∠ABC=∠OBE=90°.
∵AB=BC,AE=BF,
∴AB-AE=BC-BF,∴BE=CF,
∴△EBO≌△FCO',∴FO'=EO,
∴PF+EO=PF+FO'.
连接PO'，与BC 交于点F'，当点E与点F'重合时，PF+FO'有最小值，即 PF+EO有最小值.
此时,∠PF'B=∠O'F'C,∠ABC=∠O'CF=90°,BO=BP=CO',∴△PF'B≌△O'F'C,
∴BF'=CF',即BF=FC,∴BF=1,
∴当 时,PF+EO有最小值.

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