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2025—2026学年北师大七年级数学下学期期末全真测评卷五
用时:90分钟 总分:100分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列事件中，是随机事件的是( ).
A.太阳东升西落
B.任意掷一枚硬币，正面朝上
C.手可摘星辰
D.在装有3个红球的不透明盒子中摸出一球是白色
2.2025年5月22日，我国在太阳能电池材料钙钛矿革新技术方面的研究成果发表在《科学》杂志上，该项技术实现了对钙钛矿薄膜厚度的精准控制，使0.79平方米面积上的钙钛矿薄膜厚度波动小于3μm(0.000003m)数据0.000003用科学记数法表示为( ).
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( ).
A. B.
C. D.
4.某公司推出了某款护眼台灯，其侧面示意图如图所示，其中灯柱BC与底座AB 垂直，BC，CD，DE 可以分别绕点C，D 调节一定的角度.经使用发现：当∠DCB=140°且 ED∥AB 时，台灯光线最佳，则此时∠CDE 的度数为( ).
A. 140° B. 130° C. 120° D. 100°
5.如图，已知线段AB 与线段A'B'关于直线l成轴对称，连接AB'，A'B 相交于点O，则下列结论不一定正确的是( ).
A. AB=A'B' B.AB'=A'B C. AB'⊥A'B D.
6.小华在离家不远的图书馆看书.下面哪一幅图能较好地刻画看书这段时间内她离家的距离与时间之间的关系( ).
7.已知 则代数式a(3a+7)-3的值为( ).
A. 1 B. 0 C. - 1 D. - 2
8.下列选项中能直接解释BC-AC9.如图,在△ABC中,∠B=70°,AD,AE 分别为△ABC的角平分线和高线,若AB=AD,则∠C的度数为( ).
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
10.在河南方言中，“中”字无疑是最有丰富文化内涵的.小明在布置河南本土文化的黑板报时，设计了如图所示的一个“中”字，他以长方形ABCD 的四条边为边分别向外作正方形，若“中”字外圈的周长为24，四个正方形的面积之和为18，则长方形ABCD 的面积为( ).
A. B. 7 C. 14 D. 63
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB 的点D 处开沟，能使沟最短，这样做的理由是 .
12.通常婴儿在1~6个月生长发育得非常快，他们的体重y(单位：g)和月龄x(单位：月)之间的关系可以用y=a+700x来表示，其中a是婴儿出生时的体重，根据以上信息判断婴儿在1~6个月内，月份每增加一个月，体重增加 g.
13.如图,AB=AD,AC=AE,请添加一个条件 ,使得△ABC≌△ADE.
14.爱好数学的小明在“设计自己的运算程序”这一综合与实践课题的研究中，设计了这样一个运算程序， 即从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数字之和，于是得到了这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,…,则在这一列数的前2025个数中,能被3整除的数共有 个.
15.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,点 D 是射线AB 上一动点,将△ADC沿AD 折叠,得到△ADE,当DE 与△ABC 的边平行时,则∠ACD 的度数为 .
三、解答题(本大题共7小题，共55分)
16.(8分)计算:
17.(7分)如图所示是一个可以自由转动的转盘.
(1)自由转动转盘一次，求指针落在蓝色区域的概率.
(2)小颖和小亮用这个转盘做游戏，自由转动转盘一次，如果指针落在红色区域，则小颖获胜，如果指针落在蓝色区域，则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗 为什么
18.(7分)某商场叠放的购物车如图所示，小航尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系.
下表是小航测得的一些数据.
购物车数量/辆 1 2 3 4 5 6
车身总长/m 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
根据上表回答下列问题：
(1)随着购物车数量的增加，车身总长是怎样变化的
(2)10辆购物车的总长大约是多少 50辆购物车的总长大约是多少 你是如何估计的 请写出你估计购物车总长的方法.
19.(8分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点 D 在BA 的延长线上.
(1)尺规作图：求作一点 P，使得点 P 到∠DAC 的两边的距离相等，且PA=PC(不写作法，只保留作图痕迹).
(2)连接CP,请你判断∠ACP 与∠ACB 的大小关系,并说明理由.
20.(8分)三角形具有神奇的魅力，古今中外无数学者从未停止过对它的探索.我国最近发射的神舟二十号载人飞船的飞行任务标识就是以三角形为基础，进行的大胆创新.善于学习的小明用等边三角形纸片对该标识进行了探究.
(1)如图(1),小明在等边三角形GHI 三条边上分别截取GA=GF=HB=HC=ID=IE,连接AF,BC,DE,然后剪去△GAF,△HBC和△IDE,得到该标识对应的六边形ABCDEF,连接CF.
①小明发现该六边形 ABCDEF (填“是”或“不是”)轴对称图形，每个内角度数都相等，为 °;
②请判断CF 与HG 的位置关系，并说明理由.
(2)小明继续探究，如图(2)，分别以点C，点 D 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点J 和点K,作直线JK,交CF 于点P,交CD 于点M,连接BP.量得PM=5cm,BC=2cm,请直接写出△BPC 的面积.
21.(8分)阅读材料：古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…，这样的数称为“正方形数”，查阅资料可知第n个三角形数可以用 表示.
发现：①1+3=4=2 ,②3+6=9=3 ,③6+10=16=4 ,…
结论：一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和.
(1)请你写出第④个等式： ；
(2)请你结合材料，用含n(n≥1)的等式表示出上述结论，并说明理由；
(3)我们知道 ，因此2025是正方形数.请直接写出2025 可以看作哪两个相邻“三角形数”之和.
22.(9分)综合与实践
在学习全等三角形的过程中，我们探究了一些常见的全等模型，积累了一定的研究经验.下面是数学活动课上李老师给出的问题，请你解答：
已知在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点 D 在BC 边上,连接AD,将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE,则∠ADE=90°,且AD=ED.连接EB 并延长交AC 的延长线于点F,求∠F 的度数.
[特殊情形]
(1)如图(1),当点 D 与点 B 重合时,则∠F 的度数为 °.
[一般情形]
(2)如图(2),当点 D 不与点C,点 B 重合时,求出∠F 的度数.
①小金同学想先求出∠CBF=45°，从而给出如下解题思路：过点 E 作EM⊥CB交CB 延长线于点 M.
②小水同学想先求出∠CBE=135°,从而给出如下解题思路:CA 上截取CN=CD,连接 DN.
请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程.
[学以致用]
(3)如图(3),在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4.请以AB 为直角边在AB 右侧构造等腰直角三角形ABD，连接CD，则△BCD 的面积为 .
1. B[解析]本题主要考查了随机事件的定义.
选项 A.太阳东升西落是必然现象，属于必然事件；
选项 B.抛硬币的结果可能正面朝上或反面朝上，结果不确定，属于随机事件；
选项 C.手摘星辰在现实中不可能实现，属于不可能事件；选项 D.盒中无白球，摸出白球不可能发生，属于不可能事件.故选 B.
2. B[解析]本题主要考查了负整数指数幂的科学记数法.0.000 003=3×10 ,故选 B.
3. D[解析]本题主要考查了同底数幂的运算法则，积的乘方和幂的乘方的运算法则.
选项 A. m 和m 不是同类项，不能合并，故A 选项错误；选项 故 B选项错误；
选项 故 C选项错误；
选项 故 D 选项正确.
故选 D.
4. B[解析]本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义.过点C作CK∥AB,如图.
∵ED∥AB,∴ED∥AB∥CK.
∵BC⊥AB,
∴∠CBA=90°,∠BCK=180°-90°=90°.
∵∠BCD=140°,
∴∠KCD=140°-90°=50°.
∵CK∥ED,
∴∠CDE=180°-50°=130°.故选 B.
5. C[解析]本题主要考查了轴对称的性质.
∵线段 AB 与线段A'B'关于直线l成轴对称，
∴△ABO≌△A'B'O,l⊥AA',l⊥BB',
∴AB=A'B',AO=A'O,AA'∥BB',
∴结论不一定正确的是AB'⊥A'B.
故选C.
6. C[解析]本题主要考查了用图象表示变量间关系的实际应用.
小华在离家不远的图书馆看书，离家的距离不变，即C选项符合题意.故选 C.
7. D[解析]本题主要考查了单项式乘以多项式以及代数求值.
故选 D.
8. B[解析]本题主要考查了基本尺规作图的应用、构成三角形的条件.
在线段 BC 上截取CG=AC,在 AB 上截取 BF=BG=BC-AC,
∵BF∴BC-AC选项 A.可以解释BC-AB选项 C.可以解释AC-AB选项 D.不能直接解释 BC-AC9. C[解析]本题主要考查了三角形的高、角平分线的含义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与三角形外角的性质.
∵在△ABC 中,∠B=70°,AB=AD,AE 为△ABC 的高线，
∴∠ABD=∠ADB=70°,
∵AD 为△ABC 的角平分线,
∴∠DAC=∠BAD=40°,
∴∠C=∠ADB-∠CAD=30°.故选 C.
10. A[解析]本题主要考查了完全平方公式的意义和应用.
设长方形ABCD 的边AB=a,AD=b,
根据题意可知
即
∴9+2ab=16,
∴长方形ABCD 的面积为 .故选 A.
11.垂线段最短[解析]本题主要考查了垂线的性质在实际生活中的运用.
12.700 [解析]本题主要考查了变量间关系式的理解.
当x=0时,y =a;
当x=1时,y =a+700.
13. BC=DE(答案不唯一)[解析]本题主要考查了全等三角形的判定.
在△ABC 和△ADE 中,
∴△ABC≌△ADE(SSS),
∴添加一个条件 BC=DE(答案不唯一),使得△ABC≌△ADE.
知识拓展 全等三角形判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组边对应相等；若已知一边及一邻角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.
14.506 [解析]本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得这一列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,
∴从第1个数开始，每4个数为一组，每个组中有1个数能被3整除，且被3整除的数为每一组的最后一位.
∵2025÷4=506……1,
∴在这一列数的前2025个数中，能被3整除的数共有506个.
15.10°或100° [解析]本题主要考查了折叠、三角形的内角和、邻补角、平行线的性质.
由△ADC沿AD 折叠,得到△ADE,则∠CAD=∠DAE=40°,∠ADE=∠ADC.
∵∠ACB=90°,∴∠BDC=180°-∠ADC,∠BDE=180°-∠ADE,∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=50°,∴∠BDC=∠BDE.
①当DE∥BC时,如图(1),
有∠BDE=∠CBD=50°,∴∠BDC=∠BDE=50°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=10°.
②当DE∥AC时,如图(2),
有∠ADE=∠CAD=40°,
∴∠BDC=∠BDE=40°,
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=100°.
综上所述,∠ACD 的度数为 10°或100°.
16.[解析]本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂及整式的混合运算.
解：
=2a-2b.
17.[解析]本题主要考查了与几何图形有关的概率计算，游戏的公平性.
解：(1)由题意，得指针落在蓝色区域的概率为
(2)不公平.理由如下：
∴游戏对双方不公平.
18.[解析]本题主要考查了用关系式表示变量间的关系、求未知数的值.
解：(1)购物车每增加一辆，车身总长增加0.2m.
(2)10辆购物车的车身总长大约是2.8m，50辆购物车的总长大约是10.8m.
方法是设购物车的数量是x辆，车身总长是 ym.
由表格可知,y=0.2x+0.8.
当x=10时,y=0.2×10+0.8=2.8;
当x=50时,y=0.2×50+0.8=10.8,
所以10辆购物车的车身总长大约是2.8m，50辆购物车的总长大约是10.8m.
19.[解析]本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识.
解：(1)如图所示，点 P 即为所求作.
(2)∠ACP=∠ACB.理由如下:
因为AB=AC,
所以∠B=∠ACB.
由作图可知AP平分∠DAC，
所以∠1=∠2.
因为∠1+∠2=∠B+∠ACB,
所以∠2=∠ACB.
由作图可知 PQ 为线段AC 的垂直平分线，Q为垂足，
所以PA=PC,
所以∠2=∠ACP,
所以∠ACB=∠ACP.
20.[解析]本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称图形的识别、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、平行线的判定.
解:(1)①是 120°提示:由题意,得六边形 ABCDEF 是轴对称图形，
∵三角形GHI 是等边三角形，
∴∠G=60°.
∵GA=GF,
∴△GAF 是等边三角形,
∴∠GAF=∠GFA=60°,
∴∠BAF=∠EFA=180°-60°=120°,同理可得∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠FED=120°,
∴六边形 ABCDEF 的每个内角度数都相等,为120°.
②CF∥HG.理由如下:
∵△GHI 是等边三角形,
∴∠H=∠I=60°,IH=IG.
∵GF=HC,
∴IH-HC=IG-GF,即IC=IF,
∴△ICF 是等边三角形,
∴∠ICF=60°=∠H,
∴CF∥HG.
(2)如图所示,过点 P 作 PH⊥CB 交 CB 的延长线于点H,
由(1)可得∠BCD=120°,∠PCM=60°,
∴∠PCH=60°=∠PCM,
由作图方法可得 PM 垂直平分CD，
∴∠PMC=∠PHC=90°.
又PC=PC,∠PCH=∠BCD-∠PCM=60°=∠PCM,
∴△PCH≌△PCM(AAS),
∴PH=PM=5cm,
21.[解析]本题主要考查了规律题的探究.
解:(1)10+15=25=5 .
理由如下：
∵左边
右边，
(3)由(2),得(
解得 (不合题意，舍去)，
1035.
∴2025 可以看作 990 和 1 035 这两个相邻“三角形数”之和.
知识拓展 探寻数列规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，得出关系式.
22.[解析]本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质.
解:(1)45°提示:∵AC=BC,∠ACB=90°,∠ADE=90°,AD=ED,
∴△ABE,△ABC为等腰直角三角形,
∴∠AEB=∠EAB=∠ABC=∠BAC=45°,
∴∠F=45°.
(2)①选择小金的解题思路，如图(1),
∵EM⊥CB 交CB 延长线于点M,
∴∠M=90°,
∴∠M=∠ACD.
∵∠BCA=∠ADE=90°,
∴∠DAC+∠ADC=90°,∠EDM+∠ADC=90°,
∴∠DAC=∠EDM.
又AD=DE,
∴△ADC≌△DEM(AAS),
∴CD=ME,AC=DM.
∵BC=AC,∴BC=DM,
∴BC-BD=DM-BD,
∴CD=BM,∴ME=BM,∴∠EBM=45°,
∴∠CBF=45°.
∵∠BCF=90°,∴∠F=45°.
②选择小水的解题思路，
如图(2),在CA 上截取CN=CD,连接DN,
∵∠BCA=∠ADE=90°,
∴∠DAC+∠ADC=∠BDE+∠ADC=90°,
∴∠DAN=∠EDB.
∵AC=BC,CN=CD,
∴AC-CN=BC-CD,即AN=DB.
又AD=DE,
∴△ADN≌△DEB(SAS),
∴∠AND=∠DBE.
∵CN=CD,∠NCD=90°,
∴∠CND=45°,
∴∠AND=135°,∴∠DBE=135°,∴∠CBF=45°.又∠BCF=90°,∴∠F=45°.
(3)8或4 提示①当直角顶点为 B 时,此时AB=BD,∠ABD=90°,如图(3),过点 D 作DG⊥BC,∴∠DGB=90°.
又∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°.
∵∠ABC+∠CBD=90°,∴∠CBD=∠BAC.
在△ACB 和△BGD 中,
∴△ACB≌△BGD(AAS),
∴DG=BC=4,
②当直角顶点为A 时，
此时AB=AD,∠BAD=90°.
如图(4)，过点 D 作BC 的垂线，垂足为 E，延长 DE，过点A 作ED 的垂线,垂足为 H,
则∠BED=∠AHE=90°,∠ACE=90°,
∴AH∥CE,
∴∠HAC=90°,
∴∠HAD+∠CAD=90°.
又∠BAD=90°,∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠ACB=∠AHD,
∴∠BAC=∠HAD.
在△ACB 和△AHD 中,
∴△ACB≌△AHD(AAS),
∴AC=AH=HE=2,HD=BC=4,
∴ED=2,
综上所述，△BCD 的面积为8或4.

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