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2025—2026学年北师大七年级数学下学期期末全真测评卷四
用时:100分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列图形中，是轴对称图形的是( ).
2.科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”.这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于10 米.若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为( ).
A. B.
C. D.
3.下列运算中，计算结果正确的是( ).
A. B.
C. D.
4.下列图形中,由∠1=∠2,能得到 AB∥CD 的是( ).
5.如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是( ).
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.以上都有可能
6.综合与实践活动小组的四位同学帮助某景区完成景区项目策划方案，需要解决下面的项目问题：如图，在该景区一块三角形绿地ABC 的道路AB 上建一个休息点M，使它到AC 和BC 两边的距离相等，在图中确定休息点 M 的位置.下列方案能满足项目要求的是( ).
7.如图，P是直线AB 外一点，下列是同学们利用直角三角板过点 P 画直线AB 的垂线CD 的示意图，其中正确的是( ).
8.如图，x的值可能为( ).
A. 10 B. 9 C. 7 D. 6
9.小明同学在学习了“三角形”“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是( ).
A.两条边相等 B.一个角为直角
C.有一个角为45° D.两条直角边相等
10.随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚.某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为 y (cm),y (cm),y ,y 与x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是( ).
A.客人距离厨房门口450 cm
B.慧慧比聪聪晚出发15s
C.聪聪的速度为15 cm/s
D.从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距150cm
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.我国自主研发的500 m口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为 一个11人制正规足球场的面积约为 “中国天眼”的反射面面积大约相当于 个11人制正规足球场的面积.(结果精确到1个)
12.如图,AB∥EF,BC,DE 相交于点G,若∠B=125°,∠E=95°,则∠BGE 的大小为 °.
13.若 则代数式a(a+4)+(a+1)(a-1)的值为 .
14.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AD平分∠CAB,DE⊥AC于点E,CF⊥AB 于点F.若DE=3,则CF 的长为 .
15.如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，AC与n相交于点D，以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 P，Q，作直线PQ 交直线m 于点E,连接BE.若∠1=68°,则∠CBD 的度数为 °.
三、解答题(本大题共8小题，共75分)
16.(10分)(1)计算：
(2)化简:
17.(9分)先化简,再求值: 其中
18.(8分)读懂下面的推理过程，并填空.
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图(1)是一个“互”字，如图(2)是由图(1)抽象出的几何图形,其中AB∥CD,点E,M,F在同一直线上,点G,H,N在同一条直线上,且MG∥FN,∠EFN=∠G.试说明:∠AEF=∠GHD.
解:如图(2),延长EF 交CD 于点 P.
∵MG∥FN,∴∠G+① =180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∠G=∠EFN,∴∠EFN+∠FNG=② ,
∴③ //④ (同旁内角互补,两直线平行),
∴∠GHD=∠EPD(⑤ ).
又AB∥CD,∴⑥ =⑦ (两直线平行,内错角相等),
∴∠AEF=∠GHD(⑧ ).
19.(8分)在一个口袋中只装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同.
(1)“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ；
(2)现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是 求取走了多少个红球.
20.(8分)如图,在△ABC中,AB≠AC,线段AM 是它的一条中线,P 是线段AM 上的一点,PB 与PC是否相等 请直接回答.如果AB=AC，PB与PC相等吗 请画出图形并说明理由.
21.(8分)我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图(1)可以得到(a- 基于此，请解答下列问题.
(1)若 求 mn 的值.
(2)填空:①若m(3+m)=1,则
②若(m-3)(5-m)=1,则
(3)两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图(2)所示放置，当点A，O，D在同一直线上时,连接AC,BD.若 ,求△AOB 的面积.
(4)两个等腰直角三角形 AOB 和COD 如图(3)所示放置,若AO=3,CO=6,则四边形ABDC 面积的最大值为 .
22.(12分)摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学一组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t(单位：min)和一个座舱A距离地面的高度h(单位：m)，部分数据整理成表格如下：
t/ min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
h/m 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
数学二组的同学们通过分析数据，发现可以用图象刻画h与t之间的关系，如图所示.
请根据以上数据与图象，解决下列问题：
(1)此摩天轮座舱距离地面的高度最高为 m，转盘的半径约为 m；
(2)此摩天轮转一圈所用时间为 min；
(3)若当座舱A 距离地面的高度为10m时，座舱 B 距离地面的高度是50m，求至少经过 min(精确到0.1)，这两个座舱的高度相同.请用数学语言说明理由.
23.(12分)如图(1),在 中， 将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 得到线段 BD，作 AB 交AB 的延长线于点 E.
(1)[特殊情形，整体感知]
通过观察图(1)，线段AB 与DE 的数量关系是 .
(2)[转化应用，类比迁移]
在 中， 点O是直线BC 上一动点(不与点A，B重合)，线段AO绕点O顺时针旋转 得到线段OD，连接BD.
①如图(2)，点O在BC 边上时，猜想AB 与BD 的位置关系，并说明理由；
②如图(3),点O在BC 的延长线上,若.AC=5,当OB=8时，求点 D 到BC 的距离.
(3)[积累经验，拓展延伸]
若 直接写出此时对应的α与β的数量关系.
1. B[解析]本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键.
选项 A，C，D不是轴对称图形，选项B是轴对称图形.
故选 B.
2. B[解析]本题考查科学记数法的表示方法.关键要正确确定a 的值以及n 的值.
故选 B.
知识拓展 科学记数法的表示形式为a×10"，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1 时,n是负数.
3. A[解析]本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
计算正确，符合题意；
原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
，原计算错误，不符合题意.
故选 A.
4. B[解析]本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.
A.由∠1=∠2,可得到 AD∥BC,不能得到AB∥CD,故该选项错误，不符合题意；
B.如图.∵∠1=∠3,∠1=∠2,
∴∠2=∠3,∴AB∥CD,故该选项正确,符合题意;
C.∠1和∠2是一对同旁内角,∠1=∠2不能得到AB∥CD，故该选项错误，不符合题意；
D.由∠1=∠2不能得到AB∥CD，故该选项错误，不符合题意.故选 B.
5. D.[解析]本题主要考查了三角形，掌握三角形内角和即可解答.
已知一内角为36°的三角形，由于 36°<90°，所以该三角形的另一内角可以为大于或等于90°的角，也可以是小于 90°的角，则该三角形既可以为钝角三角形、直角三角形也可以为锐角三角形.故选 D.
6. C[解析]本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
∵点M到AC和BC两边的距离相等，且点M在AB上，
∴M 是∠ACB 的平分线与AB 的交点,
∴C选项中的方案能满足项目要求.故选C.
7. C[解析]本题考查作图——简单作图，解题的关键是理解垂线的定义.
根据垂线的定义可知选项C中，直线 CD 经过点P，CD⊥AB,符合题意.故选 C.
8. B[解析]本题考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边.
由三角形三边关系可得，
在上面三角形中,7-39. C[解析]本题考查直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形，关键是掌握等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的定义.
A.两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意；
B.有一个角是直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C.如果等腰三角形的顶角是 45°，那么这样的等腰三角形不是直角三角形，故C符合题意；
D.两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意.故选C.
10. C[解析]本题考查用图象表示变量间的关系，理解图象，掌握行程问题的数量关系是解题的关键.
A.由图象知，客人距离厨房门口 450cm，A选项正确，不符合题意；
B.慧慧比聪聪晚出发15s，B选项正确，不符合题意；
C.慧慧提速前的速度是 则提速后速度为 30cm/s,
故提速后慧慧行走所用时间为
∴m=31,
∴聪聪的速度为 C选项不正确，符合题意；
D.由条件可知OD 表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，由题可得聪聪的速度为10m/s，
∴OD 段的关系式为.
当0≤x≤15时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，
∴当x=15(s)时,y =10×15=150(cm).
当15∵当x=31时,
∴y -y =450-310=140(cm)<150(cm).
∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为150cm，∴D选项正确，不符合题意.故选 C.
11.35 [解析]本题考查幂的运算、近似数与有效数字，掌握近似数与有效数字的意义是正确解答的关键.
(个).
12.40 [解析]本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键.
如图，延长AB交DE于点M，
∵AB∥EF,∠E=95°,∴∠AME=∠E=95°,
又∠ABC=125°,
∴∠BGE=∠ABC-∠AMD=125°—85°=40°.
13.2[解析]本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键.
4a-1=3-1=2.
14.6 [解析]本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的面积.
如图,过点 D 作DH⊥AB 于点 H.
∵AD 平分∠BAC,DE⊥AC,
∴DH=DE=3.
∵AD⊥BC于点D,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠B=∠ACD,∴AB=AC.
∵△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积,
∴CF=DH+DE=3+3=6.
15.11 [解析]本题考查了作图——基本作图、平行线的性质.
由题意知，PQ 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE,
∵m∥n,∴∠ABD=∠EAB=34°.
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°,∴∠CBD=45°-34°=11°.
16.[解析]本题考查了整式的混合运算，涉及平方差公式、幂的运算、整式的乘除运算、加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
解:(1)2024×2026-2025
=(2025-1)(2025+1)-2025
17.[解析]此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
解：原式
当 时，
原式
18.[解析]本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
解:如题图(2),延长EF 交CD于点P.
∵MG∥FN,
∴∠G+①∠FNG=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∠G=∠EFN,
∴∠EFN+∠FNG=②180°,
∴③EF∥④GH(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠GHD=∠EPD(⑤两直线平行,同位角相等).又AB∥CD,
∴⑥∠AEF=⑦∠EPD(两直线平行,内错角相等),
∴∠AEF=∠GHD(⑧等量代换).
19.[解析]本题考查了概率公式，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比.
解:(1) 提示：∵口袋中只装有4个白球和6个红球，共有 10个球，
∴“从口袋中随机摸出一个球是红球”的概率是
(2)设取走了x个红球，根据题意得 解得x=4.
故取走了 4个红球.
20.[解析]本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
解：PB与PC不相等.理由如下：
如果PB=PC,
∵AM 是△ABC的中线,
∴M是BC 的中点,
∴PM⊥BC,
∴AM垂直平分 BC,
∴AB=AC,
与AB≠AC矛盾,
∴PB与PC不相等;
如果AB=AC,那么PB=PC.理由如下:
∵AB=AC,AM是△ABC的中线,
∴AM垂直平分BC,
∴PB=PC.
21.[解析]本题考查的是完全平方公式及其变形的应用、全等三角形的判定和性质，熟练地运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键.
解:(
∴mn=-2.
(2)①11 提示:∵m(3+m)=1,m-(3+m)=-3,
②2 提示:∵(m-3)(5-m)=1,(m-3)+(5-m)=2, 3)·(5-m),
即
(3)∵A,O,D三点共线,且∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠BOD=90°,B,O,C三点共线.
∵△AOB≌△COD,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AD=16,S△AOC+S△BOD=68,
136=120,
∴OA·OD=60,
(4) 提示：如图所示，延长 AO至点E，使得OE=AO=3,连接CE,
∵△AOB 和△COD 是等腰直角三角形,∠AOB =∠COD=90°,
∴OE=OB,OC=OD,∠BOE+∠EOD =∠COD+∠EOD,即∠BOD=∠EOC,
∴△OEC≌△OBD(SAS),
∴S△OBC=S△OBD,
∴四边形ABDC的面积等于 当△AEC 面积最大时，四边形ABDC 面积最大，
∵AE=AO+OE=6是定值,OC=6是定值,
∴当AO⊥OC 时,△AEC 的面积取得最大值,
∵OA=3,OC=6,
∴四边形 ABDC 的面积的最大值为
22.[解析]本题考查了用图象表示变量之间的关系的实际应用，根据图象获取信息是解题的关键.
解:(1)90 40 提示:①根据以上数据与图象可知,此摩天轮座舱距离地面的高度最高为90m，最低高度为10m，
∴转盘的直径约为90-10=80(m),
∴转盘的半径约为80÷2=40(m).
(2)12 提示：根据数据与图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为8-2=6(min)，
∴从最高点到最低点用时也为6 min，
∴此摩天轮转一圈所用时间为6+6=12(min).
(3)1.5 提示:至少经过1.5m in,这两个座舱的高度相同，理由如下：
根据图象可得，当x=2时，距离地面的高度为10m，
当x=5时，距离地面的高度是50m，
则两个座舱距离3分钟的路程，
∵从最低点到最高点用时为 6m in，
∴若座舱 B 在上升阶段，最近的是在最高点两边，则至少经过 这两个座舱的高度相同.
若座舱 B在下降阶段，最近的是在最低点两边，则至少经过 这两个座舱的高度相同.
23.[解析]本题考查三角形综合、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键.
解:(1)AB=DE 提示:由旋转的性质可得 BD=CB,∠CBD=90°.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=∠A=∠CBD=90°,
∴∠CBA=∠BDE=90°-∠DBE,
∴△ACB≌△EBD(AAS),
∴AB=DE.
(2)①AB⊥BD.理由如下:
如图(1),在AC上截取AE=OB,连接OE,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ABC=45°,BC-OB=AC-AE,
∴CE=OC,
∴∠CEO=∠COE=45°,
∴∠AEO=180°-∠CEO=135°,
由旋转的性质得AO=OD,∠AOD=90°=∠ACB,
∴∠DOB=∠CAO=90°-∠AOC.
∵AE=OB,AO=OD,
∴△AEO≌△OBD(SAS),
∴∠OBD=∠AEO=135°,
∴∠ABD=∠OBD-∠ABC=90°,
∴AB⊥BD.
②作 DF⊥BC,则∠DFO=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO=90°=∠OFD.
由旋转的性质得∠AOD=90°,AO=OD,
∴∠AOC=∠ODF=90°-∠DOF,
∴△ACO≌△OFD(AAS),
∴OC=DF.
∵BC=AC=5,
∴OC=DF=OB-BC=8-5=3.
即点 D 到BC 的距离为3.
(3)①当点O 在线段BC上时,如图(2),
由(2)①可知∠DOB=∠CAO=α,∠OBD=135°,
∴∠DOB+∠BDO=180°-∠OBD=45°,即α+β=45°;
②当点O 在线段BC 的延长线上时，如图(3)，
由(2)②可知,△ACO≌△OFD,∠DOB=∠CAO=α,
∴OF=AC=BC,
∴BF=OC=DF,
∴∠BDF=∠DBF=45°,
∴∠ODB=∠ODF+∠BDF=90°-α+45°,
∴α+β=135°.
③当点O在CB的延长线上时,如图(4),作 DM⊥OC,连接 BD,
同(1)理可知△AOC≌△ODM,
∴∠DOM=∠OAC=α,OC=DM,AC=OM.
∵AC=BC,
∴OC=BC+OB=AC+OB=OM+OB,
∴BM=DM,
∴∠MBD=45°.
∵∠DOM=∠ODB+∠OBD,
∴α-β=45°.
综上所述,当点O 在线段BC 上时,α+β=45°;当点O 在线段BC 的延长线上时,α+β=135°;当点 O 在 CB 延长线上时,α-β=45°.

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