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2025—2026学年北师大七年级数学下学期期末全真测评卷三
用时:120分钟 总分:150分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下列动物图标中是轴对称图形的是( ).
2.2025年初，中国科学院物理研究所的科研团队，成功为金属材料“重塑金身”，实现了厚度约为0.000 000 000375米的单原子层金属,为人类探索物质世界打开了全新维度.若数据0.000 000 000 375用科学记数法表示成3.75×10”,则n 的值是( ).
A. - 10 B. - 9 C. 9 D. 10
3.观察如图所示的长方体，与棱 AA 平行的棱是( ).
A. A D B. BB C. AD D. AB
4.对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如表所示：
随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000
优等品数m 7 16 43 81 164 414 831
优等品率mn 0.700 0.800 0.860 0.810 0.820 0.828 0.831
则在这批乒乓球中任取一个，估计它为优等品的概率为(结果精确到0.01)( ).
A. 0.70 B. 0.80 C. 0.83 D. 0.86
5.下列运算正确的是( ).
A. B. C. D.
6.若等腰三角形一边的长是2，另一边的长是4，则第三边的长是( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4
7.如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开，绳子的段数与剪的刀数有如表关系：
剪的刀数 1 2 3 4 5 6
绳子段数 4 7 10 13 16 19
当剪8刀时，绳子的段数是( )。
A. 22 B. 24 C. 25 D. 28
8.如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,若AD=3,BD=7,E是边BC上的任意一点,连接DE,则 DE 的长不可能是( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC 是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点).若将方格纸折叠，使得点 A 与点C 重合，则与点 B 重合的是( ).
A.点 D B.点 E C.点 F D.点G
10.若m=999913×999987,则有理数m的末尾四位数是( ).
A. 1131 B. 2431 C. 3 131 D. 4131
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11.若∠A=40°,则∠A 的补角等于 .
12.在地球某地，气温T(单位：℃)与海拔d(单位：m)之间的关系可以近似地用 表示.根据这个关系式可知,当d=300m时,T= ℃.
13.现有维生素 A、维生素 B 、维生素C、维生素D这四种维生素，从中任选一种，若每一种被选中的可能性相同，则恰好选中可治疗维生素C缺乏症(又称坏血病)的维生素的概率为 .
14.若等式成立，则有理数 k 的值是 .
15.如图,四边形ABCD 的面积是18,各边中点分别为M,N,P,Q,MP 与NQ 相交于点O,则图中阴影部分的总面积为 .
16.将军饮马模型如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=4.延长BC到点D,使得CD=BC.过点 D 在直线BC上方作射线DM,射线 DM⊥BD.点 E 在射线DM上,连接EA,EB,EC.
现给出以下结论：
①当点 E 与点D 重合时，△AEB 是等腰三角形；
②当DE=2时,△ACB≌△BDE;
③当AE∥CD时,AE=3;
④当△AEC 周长最小时,△BCE 的面积是2.
其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共9小题，共86分)
17.(8分)计算:
18.(8分)如图,AC∥BD,AB与CD 相交于点O,且OA=OB,那么AC与BD 相等吗 请说明理由.
19.(8分)先化简,再求值: 其中x=-1,y=3.
20.(8分)补全求解过程，并在括号内填写理由.
如图,已知AC平分∠BAD,∠1=∠2,∠BCD=130°,试求∠B 的度数.
解:∵AC 平分∠BAD,(已知)
∴∠1=∠CAB.(角平分线的定义)
∵∠1=∠2,(已知)
∴① =∠2,(等量代换)
∴AB∥CD,(② )
∴∠BCD+∠B=180°.(③ )
∵∠BCD=130°,(已知)
∴∠B=180°-∠BCD=④ °.
21.(8分)某校在2025年国际数学日中，围绕“数学、艺术与创意”的主题开展了数学嘉年华活动.活动共有10个项目(飞镖24点、“扫雷”游戏、数字找规律、折纸挑战……)，由4个小组分别承办若干个项目，如表所示：
组别 第1组 第 2 组 第 3 组 第 4 组
项目个数/个 2 3 2 3
根据以上信息回答下列问题：
(1)小明随机参加一个项目，求恰好参加第4组承办的项目的概率.
(2)如图，此为“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”.小明参加“扫雷”游戏时，他先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格(图中黑框所围区域，设为 A 区域)中埋藏着2颗“地雷”.为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是A区域外的小方格上 请说明理由.
22.(10分)如图,在 中，AB=12,BC=4.
(1)求作直线MN，使得MN垂直平分AC，且直线MN交AB 于点M，交AC于点N(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,连接MC,求 的周长.
23.(10分)阅读下列材料，回答问题.
小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图(1)所示.景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客.
小丽在游玩花海后，15：00乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟.图(2)呈现的是从15：00开始，小丽和观光车离花海的路程s(米)与时间t(分钟)的情况(乘客上下车时间忽略不计).
如果小丽需在18：30之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下：在欢乐谷乘坐 ① (时间点)的观光车前往雨林漂流，
在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海.
(1)这辆观光车的速度是多少
(2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程.
24.(12分)“整体思想”在数学中应用极为广泛.
例如：已知 求 的值.
解：
请尝试应用“整体思想”解决以下问题：
(1)已知 求 的值；
(2)已知 求(2025k+1)(2025k-2)的值；
(3)若 (m，n都是整数)能被6整除，试说明 也能被6整除.
25.(14分)如图，在 中,BD,CE 分别是边AC,AB 上的高,BD 与 CE 相交于点F,且EB=EC,连接DE.
(1)试说明:
(2)试求 的度数；
(3)若F 是CE 的中点,则.BD-CD=mDF,试求m 的值.
1. B[解析]本题考查了轴对称图形的判断.
由A，C，D选项的图形找不到对称轴，只有B选项的图形能找出对称轴，故只有 B选项图形为轴对称图形.故选 B.
方法诠释 判断轴对称图形的方法是寻找一条直线，把图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分如果能完全重合，则这个图形就是轴对称图形.
2. A[解析]本题考查了科学记数法.
∵0.000000000375=3.75×10 ,∴n 为-10.故选 A.
3. B[解析]本题考查了立体图形中平行线的判定.
根据长方体的特征，与棱AA 平行的棱有棱BB 、棱CC 、棱DD .故选 B.
4. C[解析]本题考查了用频率估计概率.
由表格数据可知，当抽取数量较小时，优等品率波动较大(如0.70到0.86),但随着抽取数量增大至500和1000时,优等品率分别为0.828和0.831，逐渐稳定在0.83左右.根据频率稳定性，当试验次数足够多时，频率可作为概率的估计值，因此，任取一个乒乓球为优等品的概率约为0.83.故选 C.
方法诠释 利用频率估计概率的条件：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
5. D[解析]本题考查了幂的运算.
故选项 A 错误；E
故选项B错误； 故选项C错误；D. b ÷ 故选项 D 正确.故选 D.
易错警示 同底数幂的乘除，底数不变，把指数进行相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方时需要把积的每一个因式都分别乘方.
6. C[解析]本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系.
由题意，得第三边的长为2或4.
当第三边的长为2时，有2+2=4，不符合，舍去；当第三边的长为4时，有4-2<4<4+2，满足三角形的三边关系.故选 C.
7. C[解析]本题考查了用表格表示变量之间的关系.由题意知，剪n(n为正整数)刀时，绳子变成(3n+1)段.当n=8时,3n+1=3×8+1=25(段).故选 C.
8. A[解析]本题考查了垂线段最短.
过点D 作DF⊥BC于点F,如图.
通过作垂线，构造角平分线性质的基本图形当点 E 与F 重合,此时 DE 最小.
∵BD平分∠ABC,∠A=90°,AD=3,∴DF=AD=3.
当点 E 与B 重合,此时 DE 最大.
∵DE=BD=7,
∴3≤DE≤7.故选 A.
9. C[解析]本题考查了折叠的问题.方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形，将方格纸折叠，使得点 A 与点 C 重合，如图，作线段AC的垂直平分线直线l.
∵点 A 与点 C 重合,
∴点 A与点C关于直线l对称，
∴把△ABC沿直线l 折叠,与点 B 重合的是点 F.故选 C.
解后反思 折叠的图形中折痕就是对称轴，所以我们在解决这类问题时，需要找出对应的点，此时对应点所连线段就被折痕垂直平分.
10. A[解析]本题考查了多项式乘多项式.
根据题意,设a=1000000,
则m=999913×999987
=(1000000-87)(1000000-13)
∵a 和100a 的末尾四位数都是0,且
的末尾四位数是0，
的末尾四位数是 1131.
故有理数m 的末尾四位数是1131.故选 A.
方法诠释 解答本题我们需要运用换元法，设a=1000000，则m=(a-87)(a-13),计算多项式乘多项式可得 100a+1131,判断出 的末尾四位数是0，由此即可得结论.
11.140°[解析]本题考查了补角的知识.
∵∠A=40°,
∴∠A 的补角
12.8[解析]本题考查了求代数式的值.
当 时，
13. [解析]本题考查了概率的简单应用.
∵共有四种维生素，且每种维生素选中的可能性相同，
∴恰好选中可治疗维生素 C缺乏症的维生素的概率为
14.1[解析]本题考查了多项式乘多项式.
由条件可知,1-k=0,-k=-1,∴k=1.
15.9[解析]本题考查了与中点有关的图形面积的计算.如图,连接OA,OB,OC,OD.
∵各边中点分别为M，N，P，Q，
根据题意，可得
16.①②④[解析]本题是三角形的综合题.
当点E 与点 D 重合时.
∵BC=EC,∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠ACB=90°,
∴△ACB≌△ACE,∴AB=AE,
∴△AEB 是等腰三角形，故①正确；
当DE=2时,BD=BC+CD=4=AC.
在△ACB 和△BDE 中,
∴△ACB≌△BDE,故②正确;
当AE∥CD时,连接AD,易得△ADE≌△DAC,
∴AE=CD=2≠3,故③错误;
作点 A 关于直线 DM 的对称点 A',AA'与 DM 交于点N,连接A'C交DM 于点H.易证△A'NH≌△CDH,则NH=DH=2.
当点E 与点H 重合时，△AEC 周长最小，
将军饮马模型
此时 故④正确.
解后反思 解答本题利用了全等三角形的判定、等腰三角形判定、最短路径、三角形面积计算，解题关键是灵活运用几何判定定理与性质，结合对称思想分析图形关系.
17.[解析]本题考查了实数的运算.
先计算零指数幂的值、负整数指数幂的值、同底数幂的商，最后再计算加减.
解：
18.[解析]本题考查了全等三角形的判定和性质.
利用角边角来判定两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质来继续说明.
解：AC 与BD 相等.理由如下：
∵AC∥BD,∴∠A=∠B.
在△AOC 和△BOD 中,
∴△AOC≌△BOD(ASA),∴AC=BD.
19.[解析]本题考查了整式的化简求值.
利用整式的运算法则进行化简，然后代入字母的值进行计算.
解：原式
当x=-1,y=3时,原式=3×(-1)+3=-3+3=0.
20.[解析]本题考查了几何相关的填空.
利用角平分线定义、等量代换推出平行线，再依据平行线性质求角的度数.
解：①∠CAB ②内错角相等，两直线平行 ③两直线平行，同旁内角互补 ④50
21.[解析]本题考查了简单的概率计算.
(1)用第 4 组承办的项目数除以项目总数可得对应的概率；
(2)分别计算出 A 区域内踩雷的概率和A 区域外踩雷的概率，比较得出结论.
解：(1)由题意，得小明随机参加一个项目，恰好参加第4组承办的项目的概率为
(2)小明的第二步应踩在 A 区域外的小方格上.理由如下：
P(A 区域内踩中地雷)
P(A区域外踩中地雷)
∴小明的第二步应踩在 A 区域外的小方格上.
22.[解析]本题考查了尺规作图一作垂直平分线，垂直平分线的性质.
解：(1)如图所示，直线 MN 为所求.
(2)如图,连接MC.∵MN 垂直平分AC,
∴AN=CN,MA=MC,
∴BM+MC=BM+MA=AB,
∴△BMC 的周长=BC+BM+MA=BC+AB=16.
23.[解析]本题考查了用图象表示变量间关系的应用.
②由题图可知，观光车在10分钟时第一次到达雨林漂流，然后每20分钟到达一次雨林漂流，小丽要在 18：30前返回花海，则最晚乘坐18：10分的观光车，据此来解决问题.
解：(1)观光车一个往返耗时20分钟，路程为4000×2=8000(米),则速度为8000÷20=400(米/分钟).
故这辆观光车的速度为400米/分钟.
(2)①16:48 提示:∵小丽在彩虹滑道游玩40分钟,
∴(800+2400)÷400=3200÷400=8(分钟),
∴小丽到达欢乐谷的时间是15：48.
∵小丽在欢乐谷游玩60分钟，
∴小丽在欢乐谷乘坐观光车前往雨林漂流的时间为16：48.
②80 提示:根据题意可知,从 15:00 到 18:20共用时200分钟,
∴(200-10)÷20=9……10,
∴小丽想在雨林漂流尽可能游玩更多时间需乘坐 18：10的观光车,在返回前共用时18:10-15:00=190(分钟),∴在雨林漂流最多游玩190-10-40-60=80(分钟).
24.[解析]本题考查了“整体思想”在数学中的应用.
解： 即.
(2)设x2025k+1=a,2025k-2=a-3,
则
则(2025k+1)(2025k—2)=28.
能被6整除，
∴设 (p为正整数)，
也能被6整除.
25.[解析]本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质.
解:(1)在△ABC中,BD,CE 分别是边AC,AB上的高,∴∠BEF=∠BDC=90°.
∵BD 与CE 相交于点F,∴∠EFB=∠DFC,
∴∠ABD=90°-∠EFB,∠ACE=90°-∠DFC,
∴∠ABD=∠ACE.
(2)如图(1),
在线段BD 上取点G,使得BG=CD,连接EG.>通过裁取，构造手拉手全等三角形
在△BEG 和△CED 中,
∴△BEG≌△CED(SAS),
∴∠BEG=∠CED,EG=ED,
∴∠GED=∠GEF+∠CED=∠GEF+∠BEG=∠BEF=90°,
∴△GED 是等腰直角三角形,∴∠GDE=45°,
(3)如图(2),过点E作EH⊥BD 于点H.
通过作垂线构造平行线夹中点模型，再通过全等三角形的判定和性质来解决问题
∵F是CE的中点,∴EF=CF.
在△EHF 和△CDF 中,
∴△EHF≌△CDF(AAS),
∴HF=DF,∴HD=2DF.
由(2),得EG=ED,BG=CD.
∵EH⊥BD,∴GH=DH,
∴GD=2HD=2×2DF=4DF,
∴BD-CD=BD-BG=GD=4DF,∴m=4.

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