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2025-2026年第二学期甘肃省渭源县渭源一中期中考试数学试卷
高二 数学
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．在直角三角形中，若，，，则为（ ）
A．3 B．6 C．－3 D．－6
5．已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．若，且，则函数的最小正周期为
C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3
D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为
10．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）.
A．
B．主持人打开3号箱的概率
C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为
D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大
11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为3
C．存在点，使得
D．当离心率不小于时，的最小值为
三、填空题（每题5分，共15分）
12．在的展开式中，的系数为___________．
13．某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答）
14．已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________．
四、解答题（共77分）
15（13分）．已知数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式及；
(2)求数列的前n项和.
16（15分）．为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的.
性别 最佳舒适温度 合计
男
女
合计 400
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关；
(2)从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率.
附：.
17（15分）．如图，在几何体中，平面平面，四边形是矩形，是等腰三角形，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
18（17分）．在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的两条直线与椭圆分别交于点和，线段和的中点分别为．
（i）若轴上存在点，使得，求实数的取值范围；
（ii）设直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．
19（17分）．设函数，
(1)若有极值点、无零点，求的取值范围；
(2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围；
(3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且
第1页共4页 第2页共4页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B D C A C AD BC
题号 11
答案 ABD
12．
13．36
14．
15．（1）因为，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，
.
（2）由（1）知，公差，故数列是递增数列.
令，解得.
所以当时，；当时，；当时，.
当时，，
当时，
，
因为，
所以 .
综上所述，数列的前n项和为：
（）.
16．（1）依题意可知，女性用户共有200人，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人，
男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为，
列联表如下：
性别 最佳舒适温度 合计
男 100 100 200
女 150 50 200
合计 250 150 400
零假设为：修改为“认同取暖器‘最佳舒适温度’不低于与性别无关.
根据表中的数据，计算得到，
因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，
故此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关；
（2）由第1问得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人，
故抽取2人至少有1名女性的概率为.
17．（1）证明：因为四边形是矩形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以，，
因为是等腰三角形，所以，
又，所以，所以，
因为，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
（2）由（1）知，直线两两垂直，
以A为原点，分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则
取，得，，所以
设平面的一个法向量，则
取，得，，所以，
所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18（1）已知椭圆（）的短轴长为2，故，解得，
离心率，则，整理得，
椭圆．
（2）
（i）椭圆右焦点，设过的直线，，联立椭圆方程，
得，
设，中点，由韦达定理得
，
，，
，
在的垂直平分线上，
设垂直平分线的斜率为，则，解得，
故垂直平分线的方程为，
令，得，代入得，
则，
当时，；
当时，，，
；
（ii）已知直线的斜率分别为，且由（i）可知，
的中点，的中点，
由则，
，
，
，
直线的方程为，
整理得，
令，解得，此时，与无关，
直线与无关，故直线过定点．
19．（1）因为，则，
当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意；
当时，由可得，由可得，
此时函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数有极小值点，故的极小值为，
因为函数无零点，所以，即，即，解得，
综上，的取值范围为．
（2）由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，
可知存在、使得．
当，则，不符合题意．
当时，在上单调递增．
所以在内的值域为．
所以，由题意可得，
整理可得，解得，
因此，的取值范围为．
（3）设，则，
因为，所以．
当时，，在上单调递增，不符合题意，所以．
由，得．
设，则，所以在上单调递增．
又因，所以，
所以，所以，
所以，所以，
设，则，
因为当时，，所以在上单调递减，
又因为，所以当时，，即．
因为，所以，即，
又因，所以，所以，
又因为，，所以．
答案第1页，共2页
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