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24.4 数据的分组
第二十四章 数据的分析
01
理解组内离差平方和与组间离差平方和的定义，明确两者的关联，并能准确计算.
02
学会运用 “组内离差平方和最小” 原则对数据进行合理分组，解决实际分类问题.
问：校医需分析七年级某班20名学生的身高分布：
155，155，156，157，158，159，160，161，162，162，
163，165，165，166，167，167，168，169，172，178.
若想分为3组制作频数分布表，等距分组法（如150-160，160-170，170-180）可能存在什么问题
有的组人数过多（如160-170集中12人），有的组过少（170-180仅2人），无法清晰反映分布特征.
是否存在更科学的分组方法，使得每组内部数据尽可能相似？如何衡量“组内差异度”？
问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进人面试. 将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58、64、68、75、76、83、85、89、90、92.
公司要从这10人中选部分人进入面试，该如何确定“成绩好”的标准？你有哪些分组方法？
基于数据自身特点的分组方法——数据的分组（基于离差平方和）
观察排序后的成绩间隔：58|64|68|75|76|83|85|89|90|92.
10个数据有几个间隔？每个间隔能将数据分成几组？
10个数据有 9 个间隔，每个间隔对应1种“两组分法”（如第1个间隔分“{58}和{64,68,…,92}”，第2个间隔分“{58,64}和{68,…,92}”），共 9 种分法.
组内数据差异最小
活动1：理解“组内差异最小”的需求
那怎样能做到组内数据差异最小呢
活动2：学习“组内离差平方和”的概念与计算
一般地，设有一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，假设这些数据都不相等，其平均数记为 x，则离差平方和为
=(x1- x)2+(x2- x)2+…+(xn- x)2.
如果把这组数据分为两组，前m（m＜n）个数据为一组（称为第一组），后（n-m）个数据为一组（称为第二组），那么这n个数据的离差平方和可以分解为两类离差平方和：一类反映两个组内数据的离散程度，另一类反映两组数据之间的差异程度.
它们的平均数分别记为 x1和 x2，离差平方和分别为
=(x1- x1)2+(x2- x1)2+…+(xm- x1)2，
=(xm+1- x2)2+(xm+2- x2)2+…+(xn- x2)2.
=(x1- x)2+(x2- x)2+…+(xn- x)2
=(x1- x)2+(x2- x)2+…+(xm- x)2+(xm+1- x)2+(xm+2- x)2+…+(xn- x)2
=(x1- x1+ x1 - x )2+(x2- x1 + x1 - x )2+…+(xm- x1 + x1 - x )2+
(xm+1- x2 + x2 - x )2+(xm+2- x2 + x2 - x )2+…+(xn- x2 + x2 - x )2
=(x1- x1)2+(x2- x1)2+…+(xm- x1)2+(xm+1- x2)2+(xm+2- x2)2+…+(xn- x2)2
= + + m(x1- x)2+(n-m)(x2- x)2.
组内离差平方和越小，说明两组内部的数据越集中，分组越合理.
d12 + d22 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度.
以招聘成绩的“第5个间隔”为例，分步计算组内离差平方和：
第一步：计算第一组平均数 =(58+64+68+75+76)÷5=72.2；
第二步：计算第一组离差平方和 =(58－72.2) +(64－72.2) +(68－72.2) +(75－72.2) +(76－72.2) =228.8；
第三步：计算第二组平均数 =(83+85+89+90+92)÷5=87.8；
58|64|68|75|76|83|85|89|90|92.
第四步：计算第二组离差平方和=(83－87.8) +(85－87.8) +(89－87.8) +(90－87.8) +(92－87.8) =54.8；
第五步：组内离差平方和=228.8+54.8=283.6.
分组任务：将数据分为9组，每组计算1种间隔的组内离差平方和. 观察汇总结果，你能得出什么结论？
活动3：验证“组内离差平方和最小”的分法
因此最优分法为{58,64,68,75,76}（不进面试）和{83,85,89,90,92}（进面试）.
最小
由于不变，所以除了可以按最小来分组，也可以按最大来分组.
+m(1- +(n-m)(2-
活动4：学习“组间离差平方和”的概念与计算
称为组间离差平方和，是m个第一组数据平均数、(n-m)个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，表示两个组间的差异．
记为
计算前面例子的组间离差平方和，验证最小则最大.
分组
第1个间隔 799.6 444.4
第2个间隔 521.5 722.5
第3个间隔 322.1 922.6
第4个间隔 323.6 920.1
第5个间隔 283.6 960.4
第6个间隔 437.3 806.4
第7个间隔 592.1 652
第8个间隔 821.5 422.5
第9个间隔 1026.2 217.9
58、64、68、75、76、83、85、89、90、92.
最大
数据分组的步骤：
(1)将数据按从小到大排序；
(2)确定所有可能的间隔(n个数据有n-1个间隔，对应n-1种两组分法)；
(3)计算每种分法的两组平均数及组内离差平方和；
(4)选择组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分法作为最优分组.
例 10 个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
（1）根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这 10 个城市分为两组.
解：将表中的数据按从小到大排列，可得
－11　－3　3　3　9　10　12　17　21　22
将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示.
分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内
离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0.5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
最小
因此，按组内离差平方和最小的分法为
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}
（2）根据平均高温的组间离差平方和最大原则，把这 10 个城市分为两组．所得分组结果与（1）中结果一致吗？
分别计算各组数据的平均数和组间离差平方和，如表所示：
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
最大
所得分组结果与（1）中结果一致.
数据的分组
离差平方和
组内离差平方和
组间离差平方和
计算公式
应用
1.按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小明将一组数据分成了两组{80，82}和{87，86，90，85}，这两组数据组内离差平方和为 .
16
计算第一组{80，82}的组内离差平方和=2，
计算第二组{87，86，90，85}的组内离差平方和=14，
=2+14=16.
2.如图记录了某地连续5天的日最低气温，若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，则这两组是__________________和_________________________．
{星期一，星期二}
{星期三，星期四，星期五}
3.学校运动会上，5 名学生的跳远成绩(单位：米)分别是 4.2、4.5、4.8、5.2、5.5，体育老师要按照组内离差平方和最小的原则将学生成绩分为两组，用于后续训练安排，求分组方案.
解：把这5个数据分为两组，共有4种情况：
分为{4.2}和{4.5，4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.58；
分为{4.2，4.5}和{4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和≈0.292；
分为{4.2，4.5，4.8}和{5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.225；
分为{4.2，4.5，4.8，5.2}和{5.5}时，组内离差平方和=0.5475；
通过比较每组的组内离差平方和，可知应当分为{4.2,4.5,4.8}和{5.2,5.5}两组.

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