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24.3 数据的四分位数
第二十四章 数据的分析
01
理解四分位数的概念，掌握四分位数的计算方法.
02
理解箱线图的构成及其意义，能够绘制和解读箱线图.
03
能够通过四分位数和箱线图分析数据的分布特征.
情境：某次考试中，一班的部分成绩如图所示，请问老师该如何描述班级中学生的成绩分布情况？除了平均数和中位数，还有哪些统计量可以帮助我们分析数据？
一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份. 将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数.
相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息.
在百分位数中，25 % 分位数、50 % 分位数、75 % 分位数是三个最常用的百分位数，它们把一组数据分为个数相等的四部分，因此分别称为第一四分位数（下四分位数）、第二四分位数和第三四分位数（上四分位数），记为 Q1，Q2，Q3，统称四分位数.
百分位数
Q3：75 % 分位数（第三四分位数）
Q2：50 % 分位数（第二四分位数）
Q1：25 % 分位数（第一四分位数）
四分位数
问题1：某市 12 月16 — 31日每日的最高气温 (单位：℃) 依次如下：
5，3，2，2，2，2，3，3，5，5，-2，-2，-5，-1，-1，-1
求这组数据的四分位数 Q1，Q2，Q3.
解：将这 16 个数据由小到大排序：
-5 -2 -2 -1 -1 -1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 5
中位数即 50 % 分位数，因此 Q2 = = 2 (℃)；
整组数据的下四分位数为 Q1 = = -1 (℃)；
整组数据的上四分位数为 Q2 = = 3 (℃)；
练一练1：有一组数据：3，5，7，9，11，13，15，求这组数据的下四分位数、中位数和上四分位数.
练一练2：在一次体育测试中，10 名学生的跳远成绩（单位：米）分别为：4.5，4.8，5.0，5.2，5.5，5.8，6.0，6.2，6.5，6.8.请根据这些数据，确定成绩处于下四分位数以下的学生人数.
Q1 = 5
Q2 = 9
Q3 = 13
2 人
问题2：老师记录了全班 40名学生 1 min 跳绳的次数：
132 136 144 162 144 115 132 136 123 144
136 136 132 159 136 144 129 136 139 153
123 133 144 137 152 138 136 129 129 134
138 149 125 128 128 133 138 134 146 148
（1）求全班学生 1 min 跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
解：（1）将 40 名学生 1 分钟跳绳的次数从小到大排列：
115，123，123，125，128，128，129，129，129，132，
132，132，133，133，134，134，136，136，136，136，
136，136，136，137，138，138，138，139，144，144，
144，144，144，146，148，149，152，153，159，162；
最小值为：115
最大值为：162
Q1 = = 132；
Q2 = = 136；
Q3 = = 144.
（1）求全班学生 1 min 跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
（2）老师绘制了如图所示的统计图. 你能读懂这个统计图吗 图中出现了5 条横线，分别对应 5 个数据，它们是怎样的数据 你认为这个统计图是如何画出的
最小值
最大值
Q1 (下四分位数)
Q2 (中位数)
Q3 (上四分位数)
（3）根据图，中间的“箱子”被 136 分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么
“下半截箱子” 比较短，说明下四分位数与中位数之间的距离相对较小，即班级中有 25% 的数据集中在相对较小的范围内，且靠近中位数 136；
这意味着跳绳次数在 132（下四分位数）到 136（中位数）之间的学生人数相对较少.
在全班学生 1 分钟跳绳次数的数据中，存在 159、162 等较大的极端值，这些较大的值会对平均数产生向上的拉动作用，而中位数不受这些极端值的影响；且根据前面“箱子”统计图的数据情况，可以估计全班学生 1 分钟跳绳次数的平均数大于中位数.
（4）请估计一下，全班学生1 min 跳绳次数的平均数和中位数哪个大
132 136 144 162 144 115 132 136 123 144
136 136 132 159 136 144 129 136 139 153
123 133 144 137 152 138 136 129 129 134
138 149 125 128 128 133 138 134 146 148
如图所示的这种统计图叫作箱线图. 箱线图有时也画成横图的形式.
（1）在图 1 的直方图中，数据的分布有什么特点 图 2 的箱线图是否也反映了数据的这种特征
（2）读取箱线图时，你可以借鉴之前学习统计图的哪些经验？
问题3：为反映全班学生 1 min 跳绳次数的整体情况，小颖和小亮分别画出了图1 和图2.
图1
图2
（1）图1直方图中数据主要集中在130 - 140跳绳次数区间内，两端的数据较少，呈现中间多、两边少的分布特征；图2的箱线图也反映了这种数据中间多、两边少的特征；
（2）读取箱线图时，可以借鉴条形图通过长度比较数据离散程度的经验，以及折线图观察数据分布范围和集中趋势变化的经验 .
图1
图2
练一练3：如图是同一班级学生两次 1 min 跳绳成绩的箱线图.该班学生第二次跳绳成绩有什么变化 你是如何得出结论的
（1）整体水平提升：第二次跳绳的最小值（130 > 115）、中位数（153 > 136）、最大值（181 > 162）均显著大于第一次，说明低水平、中等水平、高水平学生的跳绳成绩都有进步；
（2）中间 50% 数据上移：第二次的箱体（m25 ~ m75 之间的距离，代表中间 50% 学生的成绩范围）从“132~144”上移到“146~160”，说明大部分学生的跳绳成绩都有提升.
1.能直观展示数据分布特征：通过箱线图的箱子，可以直观地看出数据的集中趋势（中位数）、离散程度（四分位距和全距）以及数据的偏态性（箱子上下部分的长短）.
2.能识别异常值：箱线图能清晰地标记出异常值，超出须的范围的点即为异常值，便于分析数据中是否存在特殊情况.
3.数据信息简洁明了：相比于大量原始数据，箱线图用几个关键数值（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值 ）就能概括数据的主要特征，便于不同数据集之间的比较.
思考：你认为箱线图在表示数据方面有什么特点
四分位数与箱线图
五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值
应用：分析数据分布
计算步骤：排序→定位→取值
最小值
最大值
Q1 (下四分位数)
Q2 (中位数)
Q3 (上四分位数)
1. 一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是(　D　)
A. 14 B. 15 C. 23 D. 25
D
2. 兴趣小组9名同学的数学成绩(单位：分)分别为80，68，90，88，96，89，70，98，91，则下列说法正确的是(　D　)
A. 中位数是88.5 B. 上四分位数是91
C. 下四分位数是80 D. 以上说法都不对
D
3. 如图是某班学生1min跳绳次数的箱线图，从中我们可以得到信息：
(1)该班学生1min跳绳次数最多相差 次；
(2)四分位距为 .
47　
12　
4.老师记录了全班 40 名学生 1 min 跳绳的次数：
132 136 144 162 144 115 132 136 123 144
136 132 132 159 136 144 129 136 139 153
123 133 144 137 152 138 136 129 129 134
138 149 125 128 128 133 138 134 146 148
(1) 求全班学生 1min 跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值.
最小值：115
最大值：162
解：将这 40 个数据由小到大排序：
115 123 123 125 128 128 129 129 129 132
132 132 132 133 133 134 134 136 136 136
136 136 136 137 138 138 138 139 144 144
144 144 144 146 148 149 152 153 159 162
故 Q1=
= 132 (次)；
Q3 =
= 144 (次).
因此 Q2= =136 (次)；
下四分位数为132次、中位数136次、上四分位数144次.
(2) 画出箱线图；
170
160
150
140
130
120
110
1 min 跳绳次数
全班学生
(3) 根据图中间的“箱子”被136 分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么
(4) 请你估计一下，全班学生 1 min 跳绳次数的平均数和中位数哪个大 你是怎么估计的
“下半截箱子”比较短，说明中位数136 以下数据更集中，波动小.
平均数大.因数据中较大值(如 162 等 )会拉高平均数，中位数是中间位置代表值，故估计平均数大于中位数.

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