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24.2 数据的离散程度
第二十四章 数据的分析
课时2 根据方差做决策
01
会用样本方差估计总体方差，并进一步运用方差解决实际问题.
说一说方差的计算公式和方差的意义.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小．
数据分布比较分散
数据分布比较集中
任务：运用方差解决实际问题.
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
问题：估计两家加工厂的鸡腿质量，你认为应该选购哪家加工厂的鸡腿？通过计算说明.
解：计算得样本的平均数均为75，样本方差为 ，由样本估计总体，可知两家鸡腿的质量大致相同，但甲的鸡腿质量更稳定，所以选购甲加工厂的鸡腿.
活动1：甲、乙加工厂的鸡腿价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量(单位:g)如下表所示.
(1) 在解决实际问题时，方差的作用是什么？　　
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
反映数据的波动大小．
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
(2) 运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
小组讨论
问题1：为了直观地观察两地气温的特点，请把表中的数据用折线图表示.
解：以时刻为横坐标，气温为纵坐标，得到下图.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
活动2：甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？
问题2：由图你发现了什么？
从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
问题3：可以通过哪些统计量来比较两地气温的差异？
可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.
平均数、中位数、众数
方差
两地气温的平均数分别为：
甲= =16；
乙= =16.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个(甲地是16和21，乙地是15和17)且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.
因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
两地气温的方差分别为
= = ，
= = .
由 > 可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩(环)及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是( )
A. 甲 B. 乙 C.丙 D.丁
C
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.8 0.56
丁 9.6 1.34
例 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
甲 (585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601.6，
乙 (613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)=599.3，
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩也不突出，所以甲队比较突出．
解:
s2甲≈65.84；
s2乙≈284.21．
（2）历届比赛表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
甲 601.6，
乙 599.3，
s2甲≈65.84；
s2乙≈284.21．
针对本节课的关键词“根据方差做决策”，你能说说学到了哪些知识吗？
根据方差做决策
利用样本方差估计总体方差
运用方差解决实际问题：
先计算样本平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
1.某校为了解八年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间(单位：分钟)：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是(　　)
A．方差为0 B．众数为75
C．中位数为77.5 D．平均数为75
B
2.若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是 x＝9，方差是s2＝6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2 的平均数是______，方差是_______.
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3.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示．
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
（1）分别计算两组数据的平均数和方差；
解：甲= = ；
乙= = .
= [(0-1.5)2+(1-1.5)2+(0-1.5)2+(-1.5)2+(2-1.5)2+(0-1.5)2+(3-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2+(4-1.5)2] = ，
= [(2-)2+(3-)2+(1-)2+(-)2+(0-)2+(2-)2+(1-)2+(1-)2 +(0-)2+(1-)2] = .
乙机床的平均数（1.2）小于甲机床（1.5），说明乙机床平均每天出的次品更少.
乙机床的方差（0.76）远小于甲机床（1.65），说明乙机床的次品数量更稳定.
因此，乙机床的性能更好.
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
（2）哪台机床的性能比较好？

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