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24.2 数据的离散程度
第二十四章 数据的分析
课时1 离差平方和与方差
01
理解离差平方和、方差的概念及统计意义.
02
能利用方差公式和计算器计算方差，并运用方差解决简单的实际问题.
某工厂生产了两批共1000个乒乓球，标准直径为40mm. 质检人员从两批产品中各随机抽取5个乒乓球，测得直径数据（单位：mm）如下：
第一批样本：39.8、40.0、40.2、39.9、40.1
第二批样本：39.5、40.3、39.7、40.5、39.0
平均数都为40
想一想：两批样本的平均直径都是40mm，为什么实际产品的质量感觉有差异？
任务一：理解离差平方和、方差的概念及统计意义，并会计算方差.
活动：为从甲、乙玉米种子中选择适合某地的种子，农科院各用10块自然条件相同的试验田试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．根据表格数据，思考下列问题：
问题1：玉米产量用什么量来描述？请计算后说明根据产量能否给出种植建议.
问题2：结合已学知识，思考如何更直观的考察甲乙玉米产量的稳定性？
平均产量相差不大，所以通过产量无法给出种植建议.
=7.537，=7.515
甲种玉米的产量
甲种玉米产量波动较大，乙种玉米产量较集中分布在平均产量附近，波动较小，所以乙种玉米产量更稳定.
乙种玉米的产量
从图中，你发现哪种甜玉米产量更稳定？
可以画统计图直观地反映出玉米产量的分布情况．
平均数
平均数
甲种玉米的产量
乙种玉米的产量
平均数
平均数
问题3：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
正如上图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小，反过来也成立. 这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
一般地，有n个数据x1， x2 ，… ，xn，用 它们的平均数，我们把 xi - (i=1，2，…，n)叫作 xi 关于平均数 的离差或偏差.
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
(x1 - )+(x2 - )+…+(xn - ) = x1+x 2 +…+ xn - n = 0
可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.
我们把 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和. 记作“d 2”.
(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2
把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“s2”.
问题4：列出甲、乙甜玉米产量的方差公式，并用计算器求出方差.
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
计算器求方差 1.按有关键，进入统计状态；
2.依次输入数据x1，x2，…，xn；
3.按求方差的功能键(如 ).
问题5：观察方差公式和玉米产量图，你发现方差的大小和数据波动程度有什么关系？
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
甲种玉米的产量
乙种玉米的产量
平均数
平均数
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量，
方差的意义
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小.
如图是甲、乙两名跳远运动员的10次测验成绩（单位：米）的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次跳远成绩的方差S甲2，S乙2哪个大？
由图可得，甲这10次跳远成绩波动（离散程度）小，而乙这10次跳远成绩波动（离散程度）大，所以S甲2＜S乙2，
任务二：运用方差解决实际问题
活动：运用方差解决下列情境：
1.在一次广场舞比赛中，甲、乙两个队参加表演的女演员的身高数据如下(单位：cm)，哪个队女演员的身高更整齐？
甲队 163 164 165 165 165 165 166 167
乙队 162 164 164 165 165 166 167 167
2.甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示，请判定哪名射击运动员的发挥更稳定？
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
解：甲、乙两队女演员身高平均数均是165 cm，身高方差分别为：
S甲2＜S乙2，所以甲队女演员的身高更整齐．
1.在一次广场舞比赛中，甲、乙两个队参加表演的女演员的身高数据如下(单位：cm)，哪个队女演员的身高更整齐？
甲队 163 164 165 165 165 165 166 167
乙队 162 164 164 165 165 166 167 167
2.甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示，请判定哪名射击运动员的发挥更稳定？
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
两名运动员射击成绩的方差分别为
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
甲= = 8.7
乙= = 8.6
= = 2.41,
= = 1.04.
由＞可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
针对本节课的关键词“数据的离散程度”，“方差”，你能说说学到了哪些知识吗？
方差越大(小)，数据的离散程度越大(小)
数据的
离散程度
方差
方差的意义
离差
离差平方和
xi - (i=1，2，…，n)
1.人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：甲=乙=80，s2甲=240，s2乙=180，则成绩较为稳定的班级是( )
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
B
2.某部门四名员工的月工资都为5 000元，后来又来了一名新员工，月工资为4 800元，这五名员工工资与原来四名员工工资比较，方差(　　)
A．变大了
B．变小了
C．没有变化
D．无法确定
A
3.为了比较A，B两个品种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的高度(单位：cm)，结果如下表：
A种 12 13 15 15 10
B种 13 14 16 12 10
通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐．
解：A＝B＝13，＝3.6，＝4.
∵＜，
∴A品种水稻秧苗出苗更整齐.

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