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河南平顶山市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
2.甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（）
A. 9 B. 8 C. 6 D. 5
3.记为数列的前项和，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4.若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8.已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，且，则（ ）
A. B. 在上单调递增
C. 只有一个极值点 D. 有三个零点
10.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知数列满足，设，的前项和分别为，，则（ ）
A. B.
C. 当时， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
13.已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则 .
14.某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍.
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项.
16.(本小题15分)
已知椭圆：经过，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求.
17.(本小题15分)
已知数列满足.
(1)求，的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值.
18.(本小题17分)
如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.

(1)证明：平面.
(2)若存在点，使得点到，，，的距离相等.
（ⅰ）求点到平面的距离；
（ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值.
19.(本小题17分)
已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求在区间上的值域；
（ⅱ）证明：，.
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】2160
15.【答案】解：（1）由题意可知，，则，
又，所以，解得.
（2）二项式的展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.

16.【答案】解：（1）由题意可知，解得，，
故椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知，椭圆的左焦点为，
如图，
因为的面积等于的面积，
所以点，到直线的距离相等，结合图形可知，，则，
所以直线的方程为.
由消去整理得，
解得，
设，，则

17.【答案】解：（1）当时，；
当时，，解得.
（2）因为，所以当时，，
两式相减，得，
当时，也满足上式，
所以.
（3）由（2）知，，
因为，所以数列为等差数列，
则，
所以，，
令，解得，，令，解得，，令，得.
所以，
综上可知，取得最大值时的值为4或5.

18.【答案】解：（1）证明：在矩形中，因为//，，
所以四边形为正方形，
则，，即，又，
所以平面，则是平面的一个法向量，
同理证得平面，又平面，
所以，即，
又平面，所以// 平面.
（2）连接，，由（1）知，//，且平面，
所以平面，则，
因为平面平面，且，平面平面，
所以平面，又平面，则，
在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等.

（ⅰ）由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，.
设平面的法向量为，
，令，则
所以点到平面的距离为.
（ⅱ）由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上，
当，，共线，且位于线段上时，取得最小值.
由坐标系可知，，
，所以，
则，又，
设平面的法向量为，
，令，则，
由（1）知是平面的一个法向量，记为，
于是，故平面与平面夹角的余弦值为.

19.【答案】解：（1）当时，，
（ⅰ），
所以在上单调递增，
则，，
所以在区间上的值域为.
（ⅱ）要证明，，
需证明在上恒成立，
令，，
则，
因为，所以，
则，当且仅当时取得等号，
所以，则在区间上单调递减，
故，即，
综上可知，，.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则，即.
在上恒成立转化为在上恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
因为，，，
所以当时，存在唯一的，使得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
因为，，所以时，，
则当时，，所以在上单调递减，
因此当时，.
下面证明当时，，即证，
令，，则，
所以在上单调递增，则，即，
因此当时，.
综上可知，实数的取值范围为.

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