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浙江温州环大罗山联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列等式恒成立的是（）
A. a2+b2≤2ab B. a2+b2≥﹣2ab C. a+b≥2 D. a2+b2≤﹣2ab
3.四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）
A. B. C. D.
4.某次测试共设置两道必答题,考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为,甲通过测试的概率为( )
A. B. C. D.
5.函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.某地GDP的年平均增长率为%,按此增长率,该地GDP翻两番大约需要多少年( )(参考数据:2,)
A. 11年 B. 22年 C. 25年 D. 33年
7.已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数y=x+-2与函数y=m(m>0)图象两个交点的坐标为(,),(,),其中<,当m增大时,的值( )
A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异,用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验,结果得到22列联表如下:
阳性 阴性 合计
荧光抗体法 150 b 200
常规培养法 c 80 200
合计 270 130 400
参考公式:=,其中n=a+b+c+d.
附：
下列表述正确的是( )
A. b=50,c=120
B. 零假设: 在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异
C. 依据小概率值=的独立性检验,认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异
D. 常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为
10.下列说法正确的是（）
A. 若A和B是两个独立事件，则
B. 设和B互为对立事件，则
C. 若，则
D. 若，则
11.已知关于x的不等式组,其中mn,则下列结论正确的是( )
A. 当m< n<1时,不等式组的解集为
B. 当m=1时,不等式组的解集可以为{x|cxd}的形式
C. 不等式组的解集恰好为{x|mxn},那么n=
D. 不等式组解集恰好为{x|mxn},那么n-m=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 0.2 0.6 m
其中m为常数,则D(X)= .
13.的展开式中，含项的系数为 ．（用数字作答）
14.已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式的所有二项式系数之和为64,
(1)求n的值;
(2)求展开式的常数项.
16.(本小题15分)
某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：
第天 1 2 3 4 5
高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数加以说明；
(2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度．
参考数据：.
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
17.(本小题15分)
某人进行3场比赛(任何一场比赛均分出胜负),规则如下:第1场获胜的概率为;若上一场获胜,则本场获胜的概率为;若上一场失败,则本场获胜的概率为.
(1)分别求第2场、第3场获胜的概率;
(2)设X为3场中获胜的总场数,求X的数学期望E(X).
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=-+,其中a为常数,且a>1.
(1)若f(x)是奇函数,求a的值;
(2)证明:f(x)在(0,+)上有唯一的零点;
(3)设f(x)在(0,+)上的零点为,证明:>(2a-1).
19.(本小题17分)
俄国数学家切比雪夫(1821-1894)是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数f(x),以及函数g(x)=kx+b(k,bR),切比雪夫将函数y=|f(x)-g(x)|,x的最大值称为f(x),g(x)的“偏差”.
(1)函数f(x)=(x[0,1]),g(x)=-x-1,求f(x),g(x)的“偏差”;
(2)函数f(x)=+1(x[1,2]),g(x)=kx+1(k>0),若f(x),g(x)的“偏差”为2,求k的值;
(3)函数f(x)=(x[-1,2]),g(x)=ax+b,若f(x),g(x)的“偏差”取最小值,求a,b的值,并求出“偏差”的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】0.4
13.【答案】119
14.【答案】
15.【答案】解：（1）二项展开式中，所有项的二项式系数之和为,
由已知得，得．
(2)展开式的通项为==，
令6-r=0r=4，
展开式的常数项为==15.

16.【答案】解：（1）由，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），，
所以关于的回归直线方程为，
当时，，由此预测第7天这株幼苗的高度为4.5cm.

17.【答案】解: (1)第2 场获胜的概率:
设表示“第i场获胜”(i=1,2,3),已知P()=,则P()=1-=，
根据全概率公式:P()=P()P()+P()P(|)=+=+=,
第3场获胜的概率:已知P()=,则P()=1-=,
根据全概率公式:P()=P()P()+P()P(| )=+=+=;
（2）设=1表示第i场胜,=0表示第i场败,则服从0-1分布,
且X=++,
E()=P()，
根据数学期望具有线性性质:E(X)=E()+E()+E()=P()+P()+P()=++=.
18.【答案】解：（1），易得f(x)的定义域为，
若是奇函数，则，恒成立，
即，
化简得，解得，经检验a=2满足题意，
故；
(2)证明：由题意，，
∵，∴函数y=和 y=在上都是连续增函数，
∴在上是连续增函数，
又，，
由零点存在定理可知在上有唯一的零点；
(3)证明：由在上的零点为，则，
，即，
由（2）可知，
易知函数在（1,2）上单调递减，
又，
∴，
，则.

19.【答案】解：（1），
因为x∈[0，1]，所以，
则，
因此f（x）与g（x）的“偏差”为3.
（2）令，
因为k＞0，所以函数是单调减函数，
所以，
根据题意，函数y=|t|，，且ymax=2，
当，即时，，
所以或，
解得 （舍）或；
当，即时，
ymax=|1-k|=2，解得k=3或k=-1，不符合；
综上所述，.
（3）函数
,
则
,
∴M≥，
当且仅当，即时取"=",
所以f(x),g(x)的“偏差”最小值为.
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