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安徽蚌埠市2025-2026学年高一下学期4月期中质量检测数学（北师大版）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知平面向量，若，则实数的值为（ ）
A. B. 7 C. 1 D. -1
2.若，则为（ ）
A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角
3.如图，在中，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系表示为：，其中A0是初始振幅，e是自然常数，k是阻尼系数，ω是角频率，该阻尼振动的角频率为，当t=1时，振子的位移x=1；当t=2时，振子的位移x=-0.5.据此计算，当t=5时，该振子的位移x=（　　）
A. -0.125 B. 0.125 C. -0.0625 D. 0.0625
7.已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为
10.函数的部分图象如图，下列说法正确的有（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上的值域为
D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个长度单位
11.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 的值域为
C. 在上单调递减
D. 图象的对称轴为直线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为 .（结果保留）
13.已知函数在区间上有4个零点，则的取值范围是 .
14.已知为的重心，，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
16.(本小题15分)
已知.
(1)化简并求的值；
(2)若，求.
17.(本小题15分)
在直角梯形中，//.
(1)求；
(2)若与共线，求的值；
(3)若为边上的动点（不包括端点），求的最小值.
18.(本小题17分)
已知,是平面内两个不共线的向量,=-2,=3+,=2+ (R),且A,C,E三点共线.
(1)求的值;
(2)若向量,的夹角为,且||=2||=2,求向量与的夹角的余弦值;
(3)已知=(1,1),=(-4,0),点D的坐标为(2,3),若四边形ABCD为平行四边形,求点A的坐标.
19.(本小题17分)
已知函数，其中.
(1)若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值；
(2)若，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，是的一个零点.
（i）若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值；
（ ii）已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）将函数的图象的点纵坐标伸长为原来的两倍，得，
再把横坐标缩短为原来的，得，
再向右平移个单位长度，得，
则.
（2）函数，当时，
，，
函数的图象如下：
要使方程在区间上恰有两个实数根，
等价于函数在区间的图象与函数的图象有两个交点，
由图可知．

16.【答案】解：（1）
，；
所以
；
（2）由（1）知，由，可得，
所以.

17.【答案】解：（1）过 作 ，易知 ，又 ，故可得 ；
以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：
则 ，
，故 .
（2）由（1）可知， ，
故 ，若 与 共线，则 ，解得 .
（3）设 ，则 ，易知 ，
则 ，
则 ，
对 ，其对称轴 ，故其最小只能为 ；
故 的最小值为 .

18.【答案】解：（1）由题意得，
因为A,C,E三点共线，所以存在实数，使得
即
由于不共线，可得
解得，代入得，故
（2）由题意得，，，与夹角为，则
由（1）知，所以
，则：
设与的夹角为，则
（3）设点的坐标为，由，得：
，所以点的坐标为
，所以点的坐标为
因为四边形为平行四边形，所以
又，则，
可得，解得，故点的坐标为
19.【答案】解：（1）因为两个相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，所以，解得.
（2）（i）由题意得，，
因为是的一个零点，
所以，
所以，
所以或，
解得或，
因为，所以，
所以.
令，则，
所以或，
解得或.
因为函数在且上恰好有8个零点，
要使最小，则需找到跨度最小的连续8个零点.
的零点为或，
通过比较不同起始零点的连续8个零点区间的长度，
区间的长度为，区间的长度为，
所以的最小值为.
（ii）由（i）知，，
设在上的值域为在上的值域为，
因为对任意，存在，使得成立，
所以
当时，，所以，
所以，所以
当时，，所以，
所以，
所以，
因为，所以，解得，
即实数的取值范围为.

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