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安徽淮南第二中学等校2025-2026学年高二第二学期期中学业质量检测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若函数在处可导，且，则（ ）.
A. B. C. 1 D. 3
2.某合唱队有男队员15人, 女队员20人, 现需从中选出一名同学担任指挥, 则不同的选法共有( )
A. 15种 B. 20种 C. 35种 D. 300种
3.对于事件A和B，，，，则（ ）.
A. 0.3 B. 0.48 C. 0.5 D. 0.6
4.射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（）.
A. 0.63 B. 1.4 C. 2.1 D. 4.2
5.若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
6.现将3名人工智能课程教师, 3名编程竞赛教练, 4名创客空间导师全部分配到三所不同的中学中, 要求每所中学都要有这三类教师,则不同的安排种数为( )
A. 864 B. 1296 C. 2592 D. 5184
7.春天来了,万物复苏,校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图,花坛内有五个花池, 有五种不同颜色的花卉可供栽种, 每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则不同的栽种方案数有( )
A. 240种 B. 360种 C. 420种 D. 720种
8.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题正确的是（）.
A. 第2026行中第1012个数和第1014个数相等
B.
C. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则
D. 第7行的第8个数、第8行的第8个数、第9行的第8个数及第10行的第8个数之和等于第11行的第9个数
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（）.
A. 已知随机变量，则
B. 设随机变量X等可能取1，2，3， ，10，则
C. 设随机变量X服从两点分布，若，则成功概率
D. 若随机变量的概率分布为且a是常数，则
10.下列各项中，正确的是（）.
A.
B.
C.
D.
11.在一个抽奖游戏中, 主持人从编号为1, 2, 3, 4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个, 放入一件奖品,再将四个箱子关闭,只有主持人知道奖品在哪个箱子里,当抽奖人选择了某个箱子后,在箱子打开之前,主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率,现在已知甲选择了1号箱,用表示i号箱有奖品(i=1,2,3,4),用表示主持人打开j号箱子(j=2,3,4),下列结论正确的是( )
A. P()=
B. 主持人打开3号箱的概率P()=
C. 若j=3,且甲更改选择,则他获奖的概率均为
D. 若j=3,甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 .
13.是函数与的公切线，则 .
14.已知关于x的方程在上有解，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答.竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分.
(1)已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差；
(2)已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列.
16.(本小题15分)
已知的展开式中共有10项.
(1)求展开式中的系数；
(2)当时，求被4整除的余数.
17.(本小题15分)
已知函数.
(1)讨论的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最小值.
18.(本小题17分)
亳州百草园为了让游客有更好的游玩体验，特推出代步自行车租用服务已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲、乙、丙、丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙、丁不超过分钟还车的概率分别为、、、，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲、乙、丙均租用型车，丁租用型车.
(1)求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为元的概率；
(2)求甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；
(3)设甲、乙、丙、丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布列.
19.(本小题17分)
设，（其中为的导函数）.
(1)证明：将A中元素适当排序后能构成等差数列；
(2)设，求的最小值；
(3)设，，试比较与的大小，并说明理由
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】34
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设甲答对题目的数目为X，则，
可得，．
（2）设乙答对的题目数为Z，可知Z的可能取值为0，1，2，3．
则，所以Y的可能取值为，2，10，18．
；；
；．
所以Y的分布列为：
Y -6 2 10 18
P

16.【答案】解：（1）
二项式 展开式有 项，由题意:.
展开式的通项公式为，其中.
令，解得.
将代入通项，得的系数为.
（2）当时，

其中
所以当时，被4整除的余数为3.

17.【答案】解：（1）易得定义域为.
当时，.
，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，.
ⅰ.若时，，，，
则在上递增，在上递减.
ⅱ.若时，令或.
当，
此时或，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
当，此时在上单调递增，
当，此时或，
，
则在，上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，在上递增，在上递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）分析可得，
若，则在上单调递减，
；
若，则在上单调递减，在上单调递增，
则此时；
综上可得：时，；
时，.

18.【答案】解：（1）记“甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为元”为事件，即人均不超过分钟，
则.
（2）由题意，甲、乙、丙、丁在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为、、、，
设“甲、乙、丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件，
由题意可知，丁还车超过分钟且不超过分钟，则丁所付的费用为元，
甲、乙、丙三人有一人还车超过分钟且不超过分钟，另外两个人还车都不超过分钟，
则.
（3）①若“人均不超过分钟”此时随机变量的值为，即为事件，
由（1）知.
②记“人中仅有一人超过分钟”为事件，
事件又分成两种情况“超过分钟的这一人是甲、乙、丙中的一个”和“超过分钟的这一人是丁”，
分别将上述两种情况记为事件和.
ⅰ.事件对应的的值为，
此时.
ⅱ.事件对应的的值为，此时.
③记“人中仅有两人超过分钟”为事件，
事件又分成两种情况“超过分钟的两人是甲、乙、丙中的两个”和“超过分钟的两人是甲、乙、丙中的一个和丁”，
分别将上述两种情况记为事件和.
ⅰ.事件对应的的值为，
此时.
ⅱ.事件对应的的值为，
此时.
④记“人中仅有三人超过分钟”为事件，
事件又分成两种情况“超过分钟的三人是甲、乙、丙”和“超过分钟的三人是甲、乙、丙中的两个和丁”，
分别将上述两种情况记为事件和.
ⅰ.事件对应的的值为，此时.
ⅱ.事件对应的的值为，
此时.
⑤记“人均超过分钟”为事件，则随机变量的值为，
此时.
综上：随机变量的所有取值为、、、、、，
且，，
，
，
，，
所以甲、乙、丙、丁四人所付费用之和的分布列为
P

19.【答案】解：（1）
设，且，则
从而
由得
即于是
所以将中元素从小到大排列后得到等差数列，其首项为，公差为.
（2）令，得
因为，且，所以，
又当时，；当时，，
故在处取得最小值.
于是.
（3）由（1）可设
因为，所以
进而
故
于是
由（2）知，的最小值为
又由条件，得
从而
因此对任意，都有
即
由于，故
所以

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