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北京燕山教育集团2025-2026学年第二学期八年级期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简后的结果是（ ）
A. B. C. 6 D. 12
2.下列计算正确的是( )
A. 3+=3 B. =3 C. = D. 3-=3
3.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A. 1，1， B. 6，8，13 C. 4，5，6 D. 5，12，14
4.已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4,则第三边长是( )
A. 5 B. 25 C. D. 5或
5.已知在 ABCD中,A+C=, 则A等于( )
A. B. C. D.
6.下列各曲线中，表示是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
7.某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ）
A. B. C. D.
8.如图1，甲、乙两个容器内都装有一定数量的水，现将甲容器中的水匀速注入乙容器中．图2中的线段l1，l2分别表示甲、乙容器中的水的深度h（厘米）与注入时间t（分钟）之间的函数图象．
下列四个结论中错误的是 （ ）
A. 甲容器内的水4分钟全部注入乙容器
B. 注水前，乙容器内水的深度是20厘米
C. 注水1分钟时，甲容器的水比乙容器的水深10厘米
D. 注水2分钟时，甲、乙两个容器中的水的深度相等
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
10.计算的结果是 ．
11.一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为 ．
12.若是一次函数的图象上的两个点，则y 与y 的大小关系是y ___ __y ．（填“>”，“＝”或“<”）
13.已知等腰三角形的周长为16，那么底边长y关于腰长x的函数解析式为 .
14.如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为 ．
15.在平面直角坐标系中，以点为顶点构造平行四边形，则平行四边形的第四个顶点的坐标可以是 （写出一个即可）．
16.如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，则第二个正方形的面积为 ，第n个正方形的面积为 （用含n的代数式表示）．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共11小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
已知，求代数式x2-2x+1的值．
19.(本小题4分)
如图，在四边形中，．
(1) 连接，求的长；
(2) 求四边形的面积．
20.(本小题4分)
如图, 有一只摆钟, 摆锤看作一个点, 当摆锤静止时, 它离底座的垂直高度DE =4cm,当摆锤摆动到最高位置时,它离底座的垂直高度BF=6cm,此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=8cm时,求钟摆AD的长度.
21.(本小题5分)
已知：．
求作：的平分线．
作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；
分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
画射线．
射线即为所求．
(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明．
证明：连接，．
由作法可知．
∴四边形是 ．（ ）（填推理的依据）
∴平分（ ）（填推理的依据）．
22.(本小题6分)
如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF．
23.(本小题6分)
如图，点在的边上，，请从以下三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项添加到已知条件中，使得为矩形，并证明．
24.(本小题6分)
如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，，求菱形的面积．
25.(本小题6分)
电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响．下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量的部分实验数据，其中为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量（单位：），为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量（单位：）．注：电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量．
0 10 20 30 40 50
0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95
0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97
(1) 通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象，请画出与的函数图象；
(2) 在温度为 时，两款电池相对容量相同；
(3) 在 下，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等．
26.(本小题7分)
阅读材料：
小聪通过网络搜索，查到了三种平均数的定义，如下：
对于两个数，
称为这两个数的算术平均数，
称为这两个数的几何平均数，
称为这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1) 若，则 ， ；
(2) 小聪发现当两数异号时，在实数范围内没有意义，所以只研究当都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式、二次根式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形，以及它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请在图2，图3中用阴影画出面积分别为的图形；
②借助图形可知：当都是正数时，的大小关系是：___________．（把从小到大排列，并用“<”或“”号连接）
27.(本小题8分)
如图，点为正方形边上一点，，作点关于直线的对称点，连接，作射线交直线于点，连接．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求的度数（用含的式子表示）；
(3) 用等式表示的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，对于点，如果点满足条件：以线段为对角线的正方形，且正方形的边分别与轴，轴平行，那么称点为点的“和谐点”，如下图所示．
已知点，，．
(1) 已知点的坐标是．
①在，，中，是点的“和谐点”的是__________．
②已知点的坐标为，如果点为点的“和谐点”，求的值；
(2) 已知点，如果线段上存在一个点，使得点是点的“和谐点”，直接写出的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】x≥1
10.【答案】2
11.【答案】6
12.【答案】
13.【答案】y=16-2x（4＜x＜8）
14.【答案】4
15.【答案】（答案不唯一）
16.【答案】2


17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

18.【答案】解：当时，x2-2x+1=（x-1）2=（+1-1）2=5．
即x2-2x+1=5．
19.【答案】【小题1】
解：∵在中，，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．

20.【答案】解：设AB=AD=x cm，由题意得，CE=BF=6cm，DE＝4cm，
∴CD=CE-DE=2cm，
∴AC=AD-CD=（x-2）cm,
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x-2）2+82=x2，
∴x=17，
∴AD=17cm.
答：钟摆AD的长度．
21.【答案】【小题1】
解：如图，射线即为所求．
【小题2】
菱形
四条边相等的四边形是菱形
菱形的每一条对角线平分一组对角

22.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD// BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE// BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF．

23.【答案】解：添加条件①，为矩形，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴为矩形；
添加条件②，为矩形，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴为矩形．

24.【答案】【小题1】
证明：∵是的中点
，
四边形是平行四边形，
在菱形中，
四边形是矩形
【小题2】
解：，
在菱形中，是的中点
是的中点
是的中位线
在菱形中，，
在中，，
根据勾股定理得
在菱形中，，
．

25.【答案】【小题1】
解：与的函数图象如图．
【小题2】

【小题3】
或

26.【答案】【小题1】

【小题2】
解：①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
．

27.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求；
【小题2】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
由轴对称的性质可得，
∴，，
∴；
【小题3】
解：，证明如下：
如图所示，过点A作于点H，过点C作，交的延长线于点G，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．

28.【答案】【小题1】
解：①如图，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点E，点F，
故答案为：点E，点F；
过点作轴于点，如图，
点的坐标为且，
点为点的“和谐点”，
，
或
【小题2】
如图，
观察图形可知，点M在线段DE上，
∴点M的“和谐点”在线段HF和NG上，且H（-3，0），F（-1，0），N（1，0），G（3，0）
∴的取值范围为：或．

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