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北京市第十三中学分校2025----2026学年第二学期期中七年级数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数中，无理数是（ ）
A. B. 3.14 C. D.
2.在今年的米兰冬奥会上，我国运动健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．下列各组由运动项目图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（）
A. B.
C. D.
3.在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.如图，在下列给出的条件中，能判定DF // AB的是（）
A. ∠4＝∠3 B. ∠1＝∠A C. ∠1＝∠4 D. ∠4+∠2＝180°
5.下列命题中，真命题是（）
A. 4的算术平方根是
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D. 三角形的外角等于两个内角的和
6.如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1．若点在数轴上的位置如图所示，且，则点表示的数为（ ）
A. B. C. D.
7.如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（）
A. 3颗 B. 4颗 C. 6颗 D. 7颗
8.如图，，射线交于点，，点为上一点，，则与的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共9小题，共20分。
9.81的平方根是 ．
10.若是关于的方程的解，则的值为 ．
11.点在x轴上，则点P的坐标是 ．
12.如图，是直线上一点，平分，，若，则
13.能说明命题“如果、都是无理数，那么它们的和也为无理数”为假命题的反例是： ， ．
14.在北京这座古今交融的城市里，是感受其独特脉搏的最好方式之一．如图是小芸游览什刹海路线图，她分别在四个景点打卡留念．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为
15.如图，点分别为长方形的边上的点，将长方形纸片沿翻折，点分别落在点处，与相交于点，若，则的度数为 （用含的式子表示）．
16.已知关于的方程组，有下列四个结论：
①当时，；
②若，则；
③无论取何值，的值都不可能互为相反数；
④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能在第三象限．
其中所有正确结论的序号是 ．
17.如图，已知，．求证：．
(1) 请将下面的证明过程补充完整．
证明：，，
，
，
．（ ）
，
，
．（ ）
(2) 若平分，，则的度数为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
18.计算：
(1)
(2)
19.求下列各式中的值：
(1)
(2)
20.解下列方程组：
(1)
(2)
四、解答题：本题共7小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点．
(1) 在坐标系中画出，直接写出的面积；
(2) 将线段向右平移个单位长度，若存在点，使得的面积为1，则的最小值为 ，最大值为 ．
22.(本小题6分)
如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且．
(1) 证明：；
(2) 若，平分，求的度数．
23.(本小题6分)
在解多元方程组时，我们通常采用消元的方法，通过逐步消去未知数，将其最终转化为一元方程进行求解．常用的消元方法有“代入消元法”和“加减消元法”．
(1) 对于二元一次方程组，采用代入消元法，将①式代入②式，消去y可以得，则方程①是 ；
(2) 在解关于x，y的方程组时，采用加减消元法，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，求a和b的值．
24.(本小题6分)
刺绣又称“丝绣”或“针绣”，是用针线在织物上绣制图案的古老手工艺，它不仅是装饰艺术，更是承载着数千年文化记忆的活态遗产．现有一块长、宽比为的长方形绣布，绣布面积是．
(1) 求绣布的长和宽的值；
(2) 刺绣师傅想要在这块绣布上绣一幅面积为的圆形花鸟图，试通过计算说明，她能够完整地绣出来吗？（取3）
25.(本小题6分)
课上老师出了一道题：已知关于的二元一次方程组①：的解为，求关于的二元一次方程组②：的解．
甲同学说：可以将代入方程组①，求出和的值，再将求出的和的值代入方程组②，求出方程组②的解．
乙同学说：观察两个方程组发现，只需令方程组②中的，即可转化为关于的方程组，与方程组①对比，立马可以得出和的值，进而得出方程组②中和的值．
老师说：甲、乙都是正确的，但乙的做法更巧妙，我们将这个方法叫做“换元法”．请你利用这种“换元法”，解决下列问题：
(1) 直接写出题目中方程组②的解：
(2) 已知关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解；
(3) 已知关于的二元一次方程的解如表：
… 0 1 …
… 4 2 …
关于的二元一次方程的解如表：
… 0 1 …
… 4 1 …
则关于的二元一次方程组的解为： ．
26.(本小题7分)
如图1，直线，直线与分别交于点．将一个含角的直角三角板按图1放置，使点分别在直线上，．
(1) 若，则 °；
(2) 如图2，延长交于点，在内作射线交直线于点．若，求的度数；
(3) 将三角板沿直线左右移动，保持，过点作射线平分交直线于点，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
27.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，对于点和实数，称点是点的“阶关联点”．对于图形上一点，若图形上存在一点，满足点是点的“阶关联点”，则称图形是图形的“阶关联图形”．点，点
(1) 点的“2阶关联点”坐标为 ；
(2) 若点的“阶关联点”与点的距离为4，求的值；
(3) 点，以为边向上作正方形，若该正方形是射线的“阶关联图形”，则的最大值为 ，最小值为 ．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】±9
10.【答案】4
11.【答案】
12.【答案】 /50度
13.【答案】（答案不唯一））
（答案不唯一

14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】①③④
17.【答案】【小题1】
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
【小题2】

18.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

19.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
解得：；
【小题2】
解：，
，
解得：或．

20.【答案】【小题1】
解：，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
原方程组的解是；
【小题2】
解：，
由②得，
，得，
，得，
，
把代入①，得，
解得，
原方程组的解是．

21.【答案】【小题1】
解：如图所示，为所求：
；
【小题2】
1
6

22.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
，
；
【小题2】
解：，
，
，
．
平分，
．
，
．

23.【答案】【小题1】

【小题2】
解：可以消去未知数x，
，
可以消去未知数y，
，
联立方程组，
整理，得，
，得，
，
把代入③，得，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：设绣布的长为，宽为，
根据题意，得，即，
∴，
∵，
∴，
答：绣布的长为，宽为；
【小题2】
解：不能够绣出来，理由如下：
设完整的圆形绣布的半径为，
则，
∵取3，
∴，
解得（负值已舍去），
∵，
∴，
∴不能够绣出来．

25.【答案】【小题1】

【小题2】
解：令，，
则方程组可转化为，
∵关于的二元一次方程组的解是，
∴关于的二元一次方程组的解是，
∴，
解得，
∴关于、的二元一次方程组的解为．
【小题3】


26.【答案】【小题1】
70
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：①当N，M分别在点G，H的右侧，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴；
②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
综上所述，或．

27.【答案】【小题1】

【小题2】
解：点，
点的“阶关联点”坐标为，
点的“阶关联点”与点的距离为4，
，
，
解得：或；
【小题3】

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