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2025-2026学年重庆市文理学院附中等校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2的相反数是（　　）
A. B. 2 C. -2 D. 0
2.重庆非遗文化底蕴深厚，传统造物中既有“对称和谐”的古典美学，也有“旋转灵动”的匠心设计.下列古典图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列调查中，适合采用抽样调查的是（　　）
A. 旅客上飞机前的安检
B. 对“长征五号”遥八运载火箭零部件的检查
C. 调查我校初一某班的身高情况
D. 日光灯管厂要检测一批护眼灯管的使用寿命
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠DCE的度数为（　　）
A. 140°
B. 110°
C. 90°
D. 70°
5.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第9个图形圆的个数为（　　）
A. 94 B. 85 C. 84 D. 76
6.“一丝一粟，来之不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为0.000005千克，用科学记数法表示0.000005为（　　）
A. 0.5×10-5 B. 5×106 C. 5×10-6 D. 5×10-5
7.已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列各点在此函数图象上的是（　　）
A. （-6，1） B. （-1，-6） C. （2，-3） D. （3，-2）
8.某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x,根据题意可列方程为（　　）
A. 605（1-x）=500 B. 605（1-x2）=500
C. 605（1-2x）=500 D. 605（1-x）2=500
9.如图，正方形ABCD边长为4，点F是对角线BD上一点，FD＜FB.过点F作FH⊥CD于点H，FG⊥BC于点G，连接GH，AF.延长BD，GH交于点E，连接，则CE的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.若整式M：anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0，其中an为正整数，n为自然数，a0，a1，…，an-1均为整数，且满足：an≥an-1≥ ≥a1≥a0.若（n+1） a0 a1 … an=24，则下列说法：
①存在满足条件的单项式M；
②若a0＞0，满足条件的整式M恰有13个；
③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的最小值都大于-2.
其中正确的个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.重庆市广益中学校初2026届某班有50名同学，其中共有10名同学参与了文艺汇演节目.从该班随机抽取1名同学，抽到参与文艺汇演的同学的概率是 .
12.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 .
13.已知：，其中n为正整数，则n的值为 .
14.若实数x,y同时满足x-|y|=4，|x|-y=8，则xy的值为 .
15.如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C在⊙O上，点A为弧BAC的中点，DC交⊙O于点E，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF，若⊙O的直径为10，BC=8，则AB= ，DF= .
16.一个四位正整数M=1000a+100b+10c+d,各个数位上的数字均不为0，当a+b=6，c+d=6k（k为正整数）时，称这个四位数M为“顺利数”.将M的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为M′，规定G（M）=，当M最大时，G（M）的值为 ；若为整数，且M能被13整除，则满足条件的正整数M的和为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组.
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为______.
18.(本小题8分)
某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论.请根据以上信息完成以下作图与填空：
（1）如图，筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD（AB＞BC），点P是AC的中点.用尺规过点P作AC的垂线，与AB，AD分别交于点E，点F，连接CE，CF（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）在（1）的条件下，求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵EF经过AC的中点P，且EF⊥AC，
∴EA=EC，①______.
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC.
∴②______.
∵EF⊥AC于点P，
∴∠APE=③______=90°.
∴AP=AP.
∴△AEP≌△AFP.
∴④______.
∴AE=EC=CF=FA.
∴四边形AECF是菱形.
19.(本小题10分)
为了加强学生的网络安全与信息素养，某校对学生进行网络知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：0≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩是：65，66，67，68，68，69，76，77，79，80，80，86，86，86，86，90，91，92，98，100；
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，86，87，88，89，89；
七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下：
年级 平均数 众数 中位数
七年级 80.5 a 80
八年级 80.5 92 b
根据上述信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
（2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握网络安全知识更好？并说明理由；
（3）若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（80≤x≤100）的学生总共有多少名？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中x=|-2|+（π-1）0.
21.(本小题10分)
列方程解应用题：
“人形机器人”是当前的热门话题.某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同.
（1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？
（2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造.改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍.若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？
22.(本小题10分)
矩形ABCD的边AB=4，AD=3，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C运动，同时点Q从点A出发，以每秒个单位长度速度沿A→C运动，运动时间为x秒且0＜x＜7.设△APC面积为y1，△ADC的面积与△AQD的面积之比为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1≥y2时，x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23.(本小题10分)
如图，A，B，C，D是某科技公司的四个试验基地，且A，B，C，D在同一平面内，B位于A的正东方向60km处，D位于A的南偏东30°方向40km米处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60°方向.（参考数据：）
（1）求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数）
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍.当两人的距离是甲到A基地距离的倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留整数）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于点A，B（2，0）两点，与y轴交于点C，点A在x轴的负半轴上，OA=OC，点D是抛物线的顶点，连接AD.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE BC交y轴于点E，过点P作PF y轴交AD于点F，点M，N为x轴上两个动点，点M在点N的左侧，MN=1，H（0，-）连接PN，MH.当PF+PE取得最大值时，求P点的坐标及PN+MH的最小值；
（3）将抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）沿射线BC方向平移个单位长度，得到新抛物线y1，过点A作AR⊥BC于点R，点Q是新抛物线y1上一点，当∠QAR=∠OCB时，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
在△ABC中，把线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接AD.

（1）如图1，已知AB=7，BC=5，，求AC的长；
（2）如图2，已知∠CAB=45°，点F和点E分别为BC和AD的中点，连接EF，求证：；
（3）如图3，已知AB=6且BC=2AC，把线段AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AM，连接DM，请直接写出DM的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】8
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】4
2

16.【答案】150
8463

17.【答案】 x＞-2
18.【答案】图形如图所示：
FA-FC;∠BAC=∠DAC;∠APF;AE=AF
19.【答案】86;86.5;30 八年级的学生掌握网络安全知识更好，理由如下：由题意，∵八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高，∴八年级的学生掌握网络安全知识更好 890名
20.【答案】；-8．
21.【答案】该厂每月生产A款人形机器人120台，B款人形机器人80台 升级改造后每月可生产A款人形机器人150台
22.【答案】， 图象如下：
2.2≤x≤6.4
23.【答案】B和C两试验基地之间的距离约为12km 当两人的距离是甲到A基地距离的倍时，甲距离A基地10km
24.【答案】 P点坐标为，PN+MH的最小值为 点Q的横坐标为
25.【答案】（1）解：如图1，
作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，作CF⊥AB于F，
∴∠AFC=∠CFB=∠E=90°，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
∵∠CBD=90°，
∴∠CBF+∠DBE=90°，
∴∠CBF=∠BDE，
∵CB=BD，
∴△CBF≌△BDE（AAS），
∴BF=DE，CF=BE，
由S△ABD=得，
×7 DE=，
∴DE=3，
∵BD=BC=5，
∴CF=BE=4，BF=DE=3，
∴AF=AB-BF=7-3=4，
∴AC=；
（2）如图2，
作CG⊥AC，交AB于G，连接AF，并延长使FH=AF，连接DH，BH，
∴∠ACG=∠CBD=90°，
∵∠CAB=45°，
∴AG=，AC=CG，
∵E是AD的中点，
∴DH=2EF，
∵F是CB的中点，
∴CF=BF，
∴四边形ABHC是平行四边形，
∴AC∥BH，AC=BH，
∴∠ACB=∠CBH，BH=AC=CG，
∴90°-∠ACB=90°-∠CBH，
∴∠BCG=∠DBH，
∵BC=BD，
∴△CBG≌△BDH（SAS），
∴BG=DH=2EF，
∵AB+BG=AG，
∴AB+2EF=AC；
（3）如图3，
分别作∠ACB和∠ACB的外角∠ACY的角平分线CQ和CW，交直线AB于Q和W，
∴，，∠WCQ=90°，
∵AB=6，
∴AQ=AB=2，AW=AB=6，
∴WQ=AW+AQ=6+2=8，
∴点C在以WQ的中点X为圆心，4为半径的⊙X上运动，
连接CX，AX，分别将△BCX和△ACX，绕点B和点A顺时针和逆时针旋转90°至△BDV和△AMT，
∴BV=BX=AB+AX=6+XQ-AQ=6+4-2=8，AT=AX=2，DV=CX=4，MT=CX=4，
∴点D在以V为圆心，4为半径的⊙V上运动，点M在以T为圆心，4为半径的⊙T上运动，
连接TV，交⊙V于D′，交⊙T于M′，
∴当D在D′，点M在M′处，DM最小，此时点C在⊙X的C′处，
作TR⊥直线BV于R，
∵TR=AB=6，VR=BV+BR=8+AT=10，∠R=90°，
∴TV==2，
∴D′M′=2-8，
∴DM的最小值为：2-8．
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