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2025-2026学年四川省成都市外国语学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在－4，2，－1 ，3这四个数中，比－2小的数是( )
A. －4 B. 2 C. －1 D. 3
2.中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）．
A. 10.6×104 B. 1.06×1013 C. 10.6×1013 D. 1.06×108
3.下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（　　）
A. B. C. D.
4.下列各运算中，正确的是（　　）
A. 3a+2a=5a2 B. （-3a3）2=9a6 C. a4÷a2=a3 D. （a+2）2=a2+4
5.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.下列命题是真命题的是（　　）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7.受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A. 6.2（1+x）2=8.9 B. 8.9（1+x）2=6.2
C. 6.2（1+x2）=8.9 D. 6.2（1+x）+6.2（1+x）2=8.9
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（　　）
A. c＞0
B. 2a+b=0
C. b2-4ac＞0
D. a-b+c＞0
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.因式分解： ．
10.若分式的值为零，则x= ．
11.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD=2：5，则△ABC与△DEF的面积比为 .
12.甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往120km处的B地，甲、乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系如图所示，则a= .
13.如图， ABCD的顶点A（0，4），B（-3，0），以点B为圆心，AB长为半径酒弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是 .
14.已知，则x+y的值为 .
15.已知元二次方程x2-7x+4=0的两个实数根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）= .
16.如图所示，扇形AOB的圆心角是直角，半径为，C为OA边上一点，将△BOC沿BC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D处，则阴影部分的面积为 .
17.如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 .
18.一个各位数字均不为零的四位数，若a+c=b+d=8，则称M为“麒麟数”.最小的“麒麟数”M= ；将“麒麟数”M的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，若F（M）与G（M）均为整数，则满足条件的“麒麟数”M的最大值为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
（1）计算：；
（2）解不等式组：.
20.(本小题10分)
某校开展了“学雷锋”主题演讲比赛，将参加本校选拔赛的50名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分）分成五组，并汇总且绘制了下列不完整的统计图表.
分数段 频数 频率
69.5～75.5 5 0.1
75.5～81.5 m 0.22
81.5～87.5 14 0.28
87.5～93.5 16 n
93.5～99.5 4 0.08
（1）表中m=______，n=______，并在图中补全频数分布直方图；
（2）某同学的成绩是50位选手成绩的中位数，推测他的成绩落在______分数段内；
（3）选拔赛中，成绩在93.5分以上的选手，男生2人，女生2人，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列表法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
21.(本小题10分)
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长.
23.(本小题10分)
如图1，已知反比例函数与直线交于点A（a,-2），B两点（点A在点B的左侧）.点P是双曲线上第一象限内一动点.
（1）求反比例函数解析式及点B坐标；
（2）当△BOP的面积为8时，求此时P点坐标；
（3）如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线AP的垂线，交AP于C，交x轴于点F，PA交y轴于E，连接EF.试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
24.(本小题10分)
“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉.在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元.
（1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变.若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题10分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A（-1，0），B（4，），点D是抛物线上A，B之间的一个动点（不与A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出当S取最大值时D点到AB的距离；
（3）利用图2在抛物线的对称轴上求点Q，使△ABQ为直角三角形.
26.(本小题10分)
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，
延长CF交AD于点G.
（1）求证：△BCE≌△CDG.
（2）如图2，在（1）条件下，延长BF交AD于点H.若=0.8，CE=9，求线段DE的长.
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）.

1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】2（x+2）（x-2）
10.【答案】-3
11.【答案】4：25
12.【答案】
13.【答案】（5，4）
14.【答案】
15.【答案】12
16.【答案】
17.【答案】1+
18.【答案】1177
7414

19.【答案】2-4 x≤1
20.【答案】11;0.32 81.5～87.5
21.【答案】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
则AG=60m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°，
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴OG=≈≈21.8（m），
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF=∠HFE-∠FOE=30°，
∴∠FOE=∠OEF=30°，
∴OF=EF=24m，
在Rt△EFH中，∠HFE=60°，
∴FH=EF cos60°=24×=12（m），
∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
22.【答案】如图1，BC为⊙O直径，∠ACB=90°，连接CD，OD
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵E为AC中点，
∴EC=ED=AE，
∴∠ECD=∠EDC；又∵∠OCD=∠CDO，
∴∠ODE=∠EDC+∠CDO=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∵OD为圆O的半径，
∴DE是⊙O的切线 OF=1.8
23.【答案】（1），B（3，2） （2）P点坐标为（1，6）或 （3）为定值，定值为1
24.【答案】每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元；
该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元．
25.【答案】解：（1）在y=ax2+bx+中，令x=0，得y=，
又∵B（4，），
∴抛物线的对称轴为：x=，
∴，即b=-4a，
将A（-1，0）代入抛物线解析式得：0=a-b+，
将b=-4a代入得：a=，
∴b=2，
∴抛物线解析式为：y=；
（2）设AB的解析式为：y=kx+b，将A（-1，0），B（4，）代入得，
，
∴，
∴AB的解析式为：y=，
设D（m，），C（m，），
S=
=，
∵a=＜0，
∴当x=-时，S取最大值，
∴D（），C（），
过点D作DE⊥BA，过点B作BF⊥x轴，
∴∠DCE=∠ACH，∠ACH=∠ABF，
∴∠DCE=∠ABF，
又∵∠DEC=∠BFA=90°，
∴△DEC∽△AFB，
∴，
∵AF=4-（-1）=5，BF=，
∴AB=，
∴，
∴；
∴S关于m的函数解析式为S=，当S取最大值时D点到AB的距离；
（3）∵抛物线的对称轴为x=2，
∴设点Q的坐标为（2，n），
由两点间的距离公式得：AB2=（4+1）2+=，
AQ2=+4，
BQ2=n2+9，
∴当∠QAB=90°时，BQ2=AQ2+AB2，即n2+9=+4+，
解得n=，
∴点Q的坐标为（2，）；
当∠ABQ=90°时，AQ2=BQ2+AB2，即+4=n2+9+，
解得n=-6，
∴点Q的坐标为（2，-6）；
当∠AQB=90°时，AB2=AQ2+BQ2，即=n2+9++4，
解得n=4或n=-，
∴点Q的坐标为（2，4）或（2，-）．
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，-6）或（2，4）或（2，-）．
26.【答案】（1）证明：∵△BFE是由△BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCE=90°，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∠BEC=∠CGD，
又BC=CD，∠D=∠BCE，
∴△BCE≌△CDG（AAS）；
（2）解：如图2，连接EH，
∵△BCE≌△CDG，
∴CE=DG=9，
由折叠可知BC=BF，CE=FE=9，
∴∠BCF=∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG=∠HGF，
∵∠BFC=∠HFG，
∴∠HFG=∠HGF，
∴HF=HG，
∵，DG=9，
∴HD=4，HF=HG=5，
∵∠D=∠HFE=∠90°，
∴HF2+FE2=DH2+DE2，
即52+92=42+DE2，
∴DE=或（舍去），
即DE=；
（3）解：连接HE，设DH=4m,则GH=5m,设，
①当点H在点D的左侧时，如图3，
∵HF=HG，
∴DG=9m,
由折叠可知BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∴∠CGD=∠BEC，
又∵∠BCE=∠D=90°，
∴△CDG∽△BCE，
∴，
∵，
∴，
∴CE==FE，
∴DE=，
∵∠D=∠HFE=90°，
∴HF2+FE2=DH2+DE2，
即，
∴x=或x=-（舍去）
∴；
②当点H在点D的右侧时，如图4，
同理 HG=HF，△BCE∽△CDG，
∴DG=m,CE==FE，
∴，
∵HF2+FE2=DH2+DE2，
∴，
∴x=或x=-（舍去），
∴，
综上所述，或．
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